贵州省黔南布依族苗族自治州2025届高三第一次模拟考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省黔南布依族苗族自治州2025届高三第一次模拟考试数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】依题意，，所以.故选：B2.已知向量，.若，则（）A. B. C. D.12【答案】C【解析】向量，，由，得，所以.故选：C3.样本数据：11，12，15，13，17，18，16，22，36，30的第70百分位数是（）A.16 B.19 C.20 D.22【答案】C【解析】共有10个数，，故从小到大排列，选择第7个数和第8个数的平均数作为第70百分位数，即20为第70百分位数.故选：C.4.曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】由，求导得，则，而，因此曲线在点处的切线为，该切线交于点，交轴于点，所以该切线与两坐标轴围成三角形的面积.故选：A5.若为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】圆的圆心，半径，点到直线的距离，即直线与圆相离，又点在该圆上，所以点到直线的距离的最小值为.故选：A6.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，即，解得，所以.故选：C7.三次函数的图象如图所示.下列说法正确的是（）A.，，， B.，，，C.，，， D.，，，【答案】D【解析】函数，求导得，观察函数图象，得函数有异号两个极值点，且，函数在上单调递增，在上单调递减，，排除A；由，得则，，得，排除C；由不等式的解集为，得，即，排除B；又是方程的二根，，则，选项D符合题意.故选：D8.通常用小时内降水在平地上的积水厚度（单位：）来判断降雨量的大小，如下表：降雨等级小雨中雨大雨暴雨大暴雨特大暴雨积水厚度（）某同学用如图所示的圆台形容器接了小时雨水，则这小时内降雨的等级是（）A.中雨 B.大雨 C.暴雨 D.大暴雨【答案】A【解析】作圆台的轴截面如图，由题意得，，，所以容器内雨水的体积，所以小时内降水在平地上的积水厚度为，因为，所以这小时内降雨等级是中雨.故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为.下列说法正确的是（）A.数列为等差数列 B.若，，则C.数列为等比数列 D.若，则数列的公比为2【答案】ACD【解析】对于A，令等差数列公差为，则，，为常数，数列为等差数列，A正确；对于B，等差数列中，成等差数列，则，解得，B错误；对于C，令等比数列的公比为，则，为常数，数列为等比数列，C正确；对于D，等比数列的公比为，由，得，则，而，解得，D正确.故选：ACD10.函数的部分图象如图所示.下列说法正确的是（）A.函数y=fxB.函数y=fxC.函数y=fxD.函数y=fx的图象与直线在区间【答案】BD【解析】由图象可知，最小正周期，所以，将，代入中得，结合，解得，所以，，则，因为在上不单调，所以在上不单调，故A错；，则，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减，所以在有两个极值点，故B正确；，所以不是的对称中心，故C错；令，解得或，因为，所以或，所以的图象与直线在上有两个公共点，故D正确.故选：BD.11.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点.若抛物线在点，处的切线的斜率分别为，，且抛物线的准线与轴交于点，则下列说法正确的是（）A.的最小值为4B.若，则C.若，则直线的方程为D.直线倾斜角的最小值为【答案】ABD【解析】抛物线的焦点，准线方程为，，显然直线的斜率存在，设其方程为，，由消去得，显然，，对于A，，当且仅当时取等号，A正确；对于B，由选项A知，，而，因此，B正确；对于C，由，求导得，则，由，得，则，解得，直线的方程为，C错误；对于D，直线的斜率，，当且仅当时取等号，则或，因此直线的倾斜角，直线的倾斜角的最小值为，D正确.故选：ABD三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知是虚数单位，复数满足，则___________.【答案】【解析】，所以.故答案为：.13.的展开式中，常数项为___________.(用数字作答)【答案】【解析】由题意二项式展开式的通项为，令，可得展开式的常数项为.故答案为：.14.已知集合为不超过的正整数，.若，，则的最大值与最小值之和为___________.【答案】【解析】由题意可得，，且，，对于的最小值，要尽可能让每一项取最大值；对于的最大值，要尽可能让每一项取最小值；当尽可能取大的值时，会取到最小值，当时，n取到最大值，最大值为60；当时，因为，，所以取时，，此时n恰好取到最小值，综上的最大值为，的最小值为，则的最大值与最小值之和为.故答案为：15.已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且，，.（1）求和；（2）已知点在线段上，且平分，求的长.解：（1）在中，由，得，而，则，由余弦定理，得，即，即，而，所以.（2）由（1）知，，由平分，得，即，则，即，所以.16.已知函数.（1）讨论函数单调性；（2）若当时，函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.解：（1）函数的定义域为R，求导得，当时，，函数在R上单调递减；当时，由，得；由，得，即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，函数的单调递减区间是；当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）由（1）知，当时，，当时，；当时，，要函数有两个不同的零点，当且仅当，解得，所以实数的取值范围.17.如图，四棱锥的底面为平行四边形，底面，.（1）求证：平面平面；（2）若，求平面与平面的夹角的余弦值.（1）证明：在四棱锥中，由底面，底面，得，由，得，而平面，则平面，又平面，所以平面平面.（2）解：过作直线，由底面，得底面，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，令，又为平行四边形，则，，设平面的法向量为，则，取，得，设平面的法向量为，则，取，得，所以平面与平面的夹角的余弦值为.18.已知椭圆的左、右焦点分别为，，且椭圆经过点.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线的倾斜角为90°，求的值.解：（1）椭圆的二焦点为，，点在椭圆上，则，解得，则，所以椭圆的标准方程为.（2）依题意，点不在轴上，即直线不垂直于轴，且直线不垂直于轴，否则重合，设直线方程为，，由消去得，，显然，设，由直线的倾斜角为90°，得点，则，所以，直线的方程为，当时，，所以.19.若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①为单调数列；②存在实数，对任意都有成立，则称数列具有性质.（1）若，，判断数列，是否具有性质，并说明理由；（2）已知离散型随机变量服从二项分布，，，记为奇数的概率为.（ⅰ）当时，求，；（ⅱ）求，并证明数列具有性质.解：（1）由，得，即是递增数