广东省韶关市2025届高三上学期综合测试（一）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省韶关市2025届高三上学期综合测试（一）数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数满足，则（）A.1 B. C.2 D.4【答案】C【解析】法1：因为，所以，所以.法2：因为，所以，即.故选：C.2.已知数列是等比数列，若，则的前6项和为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设数列的公比为，依题意，，解得，所以.故选：A3.已知向量，若与垂直.则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意，向量，可得，因为，所以，解得，所以当时，与垂直，故选：A.4.众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，所以平均数大于中位数为，由于第一个小矩形面积为，前2个小矩形面积之和为，所以中位数位于之间，故可得，解得，由频率分布直方图可知众数，故，故选：D.5.已知函数在上是单调函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为时，是单调减函数，又因为在R上单调，所以，故时，单调递诚，则只需满足，解得，故选：B6.已知函数的部分图像如图，是相邻的最低点和最高点，直线的方程为，则函数的解析式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】连接，与轴交于点，由图像的对称性，知点也在函数的图像上，所以点的坐标为.设，由，得，所以的最小正周期满足，解得，即，解得，，因为点是图像的一个最高点，所以，结合，解得，故选：C.7.已知为方程的两个实数根，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为为方程的两根，由韦达定理，得，则故选：C.8.椭圆的左右焦点分别为，以为直径的圆与椭圆没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】以为直径的圆的方程为，依题意，椭圆短轴的端点在此圆外，即，解得，则双曲线的离心率为，由，得，所以所求离心率取值范围.故选：D二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某批产品的质量指标服从正态分布，且，现从该批产品中随机取3件，用表示这3件产品的质量指标值位于区间的产品件数，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】由正态分布的概念可知，故A正确；由正态分布的性质得，故B错误；则1件产品的质量指标值位于区间的概率为所以，故C正确；，故D错误.故选：AC.10.已知圆锥的顶点为为底面圆的直径，，点在圆上，点为的中点，与底面所成的角为，则（）A.该圆锥的侧面积为B.该圆锥的体积为C.D.该圆锥内部半径最大的球的表面积为【答案】BCD【解析】由已知，，，易得等腰三角形的底边长，，对于A，该圆锥的侧面积为，A错误；对于B该圆锥的体积为，B正确；对于C，如图，取中点为，连接，则为与底面所成角为，故，C正确；对于D，当球与圆锥内切时，表面积最大，此时球心在圆锥的高上，设为，球半径为，过向作垂线，垂足为，则，又，所以，所以，球的表面积为，D正确，故选：BCD11.若为函数的导函数，对任意的，恒有，且，则（）A. B.C.为偶函数 D.若，则【答案】ABD【解析】原式移项得，即对于A，令，则由可得，故（舍去）或，故A正确：对于B，令，则，故.由于x∈R，令，则，所以，即有，故B正确：对于C，令，则，即，因为，所以，所以为偶函数，对左右两边同时求导得，所以为奇函数，故C错误；对于D，由A选项，若，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，由此可得的值有周期性，且周期为6，且，故，故D正确.故选：ABD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知集合，写出满足条件的整数的一个值__________.【答案】中的任何一个值.【解析】因为，所以，又因为，故整数所有可能取值为.故答案为：中的任何一个值.13.已知，则__________.【答案】4【解析】由，整理得，得，解得，所以.另解：由题知，则，利用基本不等式可得，当且仅当时取等号，解得.故答案为：414.小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为，则小明通过测试的概率为__________.【答案】【解析】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A，则，所以，所以，故答案为：四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文子说明､证明过程或演算步骤.15.已知分别为三个内角的对边，且.（1）求；（2）若，求周长的最大值.解：（1）由b及正弦定理得所以因为化简得因为，所以，所以所以.（2）法一：由余弦定理有因为所以即，所以，当且仅当时等号成立所以的周长.即周长的最大值为6.法二：由正弦定理，即的周长因为，所以所以因为，所以当时取得最大值为6法三：（几何法）：如图1所示，延长到点，使得使得，要使的周长最大，则需满足长度最大将问题转化为已知一边，一对角，求另一边的长度的最大值由图2可得.当为该圆直径时，最大.即所以.16.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面平面为的中点.（1）求证：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：方法一；由，有，，因为为正方形，故，又平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，又平面平面，故平面，又平面，所以平面平面.方法二；因为为正方形，故，而平面平面交于平面，所以平面，又平面，所以，平面和平面交线平行于.故是平面和平面所成二面角的平面角..有，故平面平面.方法三：取中点为，先证明：，，点为的中点.，而平面平面交于平面，所以，平面，又平面，所以，，由已知，建立如图空间直角坐标系，因为.故，，设平面的一个法向量为，则，即，取，得，设平面的一个法向量为，则，即，取，得，，故，所以，平面平面.（2）解：取中点为.由（1）知，，建立如图所示空间直角坐标系，则，，所以，，显然可知平面的法向量为PD=0,1,-1设平面的一个法向量为，则，，取，得，则，所以平面和平面所成锐二面角的余弦值为.17.已知抛物线的焦点为，其准线与轴相交于点.动点满足直线的斜率之积为，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）过点且斜率为的直线与轴相交于点，与相交于两点，若.求的值.解：（1）设点，由题意知.直线的斜率分别，所以，化简得点的轨迹方程为.（2）方法一，设，由题意知直线的方程为，所以，联立方程组，消去整理得，，，由得，，故有，即，解得.方法二：设，由题意知直线的方程为，所以，联立方程组，消去整理得.，，由得，，故有，即，解得.方法三：设，由题意知直线的方程为，所以.因为，所以线段的中点为，，又因为，所以点也是的中点，联立方程组，-②得，即，所以，又因为，所以，解得.18.已知函数.（1）当时，求函数的图像在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）设，若，求实数的取值范围.解：（1），当时，，当时，，函数在处的切线方程为.（2）函数的定义域为，①当时，恒成立，令，则，若：若，所以在单调递减，在单调递增；②当时，，令，则，（i）当，即时，若或：若，所以在上递增，在上递减，在上递增.（ii）当，即时，恒成立，在上递增.（iii）当，即时，若或：若，所以在上递增，在上递减，在上递增，综上所述，当时，在单调递减，在单调递增；当时，在上递增，在上递减，在上递增；当时，在上递增；当时，在上递增，在上递减，在上递增.（3）由得恒成立因为，即恒成立.设，则，因为，同构可得令因为，所以，下面先证设，于是，令，则，当时，：当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即，当且仅当时等号成立.所以，即，所以，即故实数取值范围为19.设数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）在和之间插入1个数，使成等差数列；在和之间插入2个数，使成等差数列；依次类推，在和之间插入个数，使成等差数列.（i）若，求；（ii）对于（i）中的，是否存在正整数，使得