广东省部分名校2025届高三上学期阶段调研数学试卷三（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省部分名校2025届高三上学期阶段调研数学试卷三一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知集合，，则的真子集的个数为（）A.8 B.7 C.16 D.15【答案】B【解析】因为，，将中元素代入，验证可得，所以的真子集的个数为.故选：B.2.在复平面内，复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】因为，所以该复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D.3.设，都是不等于1的正数，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，可得，则，所以，即等价于；若，等价于，显然可以推出，但不能推出，所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B.4.已知，则=（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，即，所以，所以，所以．故选：D．5.已知单位向量，的夹角为，则下列结论正确的有（）A.B.在方向上投影向量为C.若，则D.若，则【答案】B【解析】对于A，因为，是单位向量，所以，所以，故A错误；对于B，因为，是单位向量，所以在方向上的投影向量为，故B正确；对于C，因为，所以，又因为，所以，故C错误；对于D，因为，所以，所以，所以，故D错误；故选：B．6.已知数列的前项和为，其中，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，所以．故选：C.7.函数，其中，其最小正周期为，则下列说法错误的是（）A.B.函数图象关于点对称C.函数图象向右移个单位后，图象关于轴对称，则的最小值为D.若，则函数的最大值为【答案】D【解析】.因为，的最小正周期为，所以，解得，故A选项正确；所以，，因为，所以，函数图象关于点对称，B选项正确；将函数图象向右移个单位后可得函数的图象，因为的图象关于轴对称，所以,即，又，所以的最小值为，C选项正确；若，则，所以，故，所以当时，函数取最大值，最大值为，D错误.故选：D.8.已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（）A.函数有两个零点B.当时，C.的解集是D.都有【答案】C【解析】设，则，所以，因为是定义在上的奇函数，所以f-x=-fx所以，即，所以函数的解析式为，故不正确；当时，令，解得，当时，令，解得，所以函数有三个零点，故不正确；当时，令，解得，当时，令，解得，所以的解集为，故正确；当时，，所以当时，f'x<0，函数当时，f'x>0，函数所以当时，函数取得最小值，当时，，所以当时，f'x>0，函数当时，f'x<0，函数所以当时，函数取得最大值，当时，，所以，都有，所以不正确.故选：.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，，则（）A.与的值域相同B.与的最小正周期相同C.曲线与有相同的对称轴D.曲线与有相同的对称中心【答案】ABC【解析】对于A，，，则与的值域相同，故A正确．对于B，与的最小正周期均为，故B正确．对于C，曲线与的对称轴方程均为，C正确．对于D，曲线没有对称中心，曲线有对称中心，故D错误．故选：ABC.10.已知数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A.若是等差数列，且，则B.若是等比数列，且，则C.若，则是等差数列D.若是公比大于1的等比数列，则【答案】AB【解析】对于A，若是等差数列，则，且，则，A正确；对于B，若是等比数列，显然时，否则，不成立，，且，则，B正确；对于C，若，则，，，，数列不是等差数列，C错误；对于D，若，则，，不满足，D错误.故选：AB11.已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的是（）A.函数是奇函数 B.C.函数的图象关于点对称 D.【答案】BCD【解析】对A，因为，所以，所以函数是偶函数，故A错误；对B，因为为偶函数，所以，即，所以，即，令，得，所以，故B正确；对C，因为，所以，即，又，所以，所以，所以，即，所以函数的图象关于点对称，故C正确；对D，因为，令，得，所以，又，所以，，…，所以，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，若，，且，则的最小值是________．【答案】8【解析】解：因为的定义域为，，所以，函数为奇函数，因为，令，则，令，则所以，在上单调递增，因为，所以，当时，，当时，所以，当时，单调递减，当时，单调递增所以，当时，有最小值，所以，，所以，函数在上单调递增，因为，，所以，即，因为函数在上单调递增，所以，，即，因，，所以，的最小值，当且仅当，即时等号成立.故答案为：13.已知的外心为，内角的对边分别为，且.若，则__________.【答案】解析】由题意，不妨设，所以，解得k=1，则，又因为是的外心，过点作又因为,所以则，故填：14.若存在实数m，使得对于任意的，不等式恒成立，则取得最大值时，__________．【答案】【解析】因为恒成立，即恒成立，若存在实数，使得上式成立，则，则，可得，可得，解得，由，则取得最大值时，此时.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.已知的内角、、的对边分别为、、，且．（1）求；（2）若，则面积为，求、的值．解：（1）因为，由正弦定理可得，因为，则，所以，，即，即，因为，则，所以，，解得.（2）因为，所以，①，由余弦定理可得②，联立①②可得或.16.已知数列中，，（1）证明数列是等比数列；（2）若数列的通项公式为,求数列的前n项和.（1）证明：因为，所以，即，为常数，故数列是等比数列．（2）解：由（1）知，数列是首项为4，公比为2的等比数列，所以，即，所以，故，所以，两式相减得，，所以．17.已知直三棱柱中，，分别为和的中点，为棱上的动点，.（1）证明：平面平面；（2）设，是否存在实数，使得平面与平面所成的角的余弦值为?（1）证明：由于在直三棱柱中，有平面，而在平面内，故.同时有，且，故.由于，，且和在平面内交于点，故平面.由于在平面内，故.取的中点，由于分别是和的中点，故，而，故，即.由于分别是和的中点，可以得到，所以有平行四边形，故.设和交于点，由于，，，从而得到全等于，故.这就得到，从而，即.而，故.由于，即，而，和在平面内交于点，故平面.由于平面，在平面内，故平面平面.（2）解：有，又因为平面，和在平面内，故，.由于两两垂直，故我们能够以为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系.由于题设条件和需要求证的结论均只依赖于线段间的比值，不妨设，这就得到A0,0,0，，，，，，，.据题设有，显然，此时.从而有，，，.设和分别是平面和平面的法向量，则，.即，，从而可取，.此时平面与平面所成的角的余弦值为，故条件等价于，即，解得，所以存在，使得平面与平面所成的角的余弦值为.18.如图，广东省某机器人比赛设计了一个矩形场地ABCD（含边界和内部，A为坐标原点），AD长10米，在AB边上距离A点4米的F处放一只电子狗，在距A点2米的E处放一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫“成功点”．（1）求在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程；（2）若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，求|AP|的取值范围．解：（1）分别以AD，AB为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，则，，设成功点，依题意，，即，则，化简得，所以这个矩形场地内成功点M的轨迹方程是.（2）由（1）知，点M的轨迹是以为圆心，为半径的右半圆，由电子狗在线段FP上总能逃脱，得直线与点M轨迹在轴右侧且相离，此时直线的斜率，方程为，即，由，得，则有，即，此时，而，所以的取值范围是.19.已知函数，且在上的最小值为0.（1）求实数的取值范围；（2）设函数在区间上的导函数为，若对任意实数恒成立，则称函数在区间上具有性质.（i）求证：函数在上具有性质；（ii）记，其中，求证：.（1）解：，，，，，令，等号不同时取，所以当时，，在上单调递增，①若，即，，在上单调递增，所以在上的最小值为，符合题意.②若，即，此时，，又函数在的图象不间断，据零点存在性定理可知，存在，使得，且当时，，在上单调递减，所以，与题意矛盾，舍去.综上所述，实数的取值范围是.（2）证明：（i）由（1）可知，当时，.要证函数在上具有性质.即证：当时，.即证：当时，.令，，则，即，，，所以在上单调递增，.即当时，，得证.（ii）法一：由（i）得，当时，，所以当时，.下面先证明两个不等式：①，其中；②，其中