2018全国Ⅲ卷高考压轴卷理科数学2

2018全国Ⅲ卷高考压轴卷理科数学本试卷共23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合A．[－1，4) B．[0，5) C．[1，4] D．[－4，－1)[4，5)2.在中，，，，则的面积为（）A．B．4C．D．3.边长为8的等边△ABC所在平面内一点O，满足，若M为△ABC边上的点，点P满足，则|MP|的最大值为A. B. C. D.4.设实数满足则的最小值为A.－5 B.－4 C.－3 D.－15.已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A． B． C． D．6.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（）A．1B．2C．4D．77.若直线与直线垂直，则实数A．3 B．0 C． D．8.若双曲线C:（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则双曲线C的离心率为A．2B.C.D.9.已知，函数的部分图象如图所示，则函数图象的一个对称中心是A． B． C． D．10.甲、乙、丙、丁四位同学参加朗读比赛，其中只有一位获奖，有同学走访这四位同学，甲说：“是乙或丙获奖”，乙说：“甲、丙都未获奖”，丙说：“我获奖了”，丁说：“是乙获奖了”。若四位同学中只有两人说的话是对的，则获奖的同学是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁11.设三次函数的导函数,且,则函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．312.若A为不等式组表示的平面区域，则当a从﹣2连续变化到1时，动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为（）A． B．1 C． D．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知是实数，是虚数单位，若是纯虚数，则．14.已知某一段公路限速60公里/小时，现抽取200辆通过这一段公路的汽车的时速，其频率分布直方图如图所示，则这200辆汽车中在该路段没有超速的有辆．15.已知的展开式中，的系数为，则．16已知椭圆的半焦距为c，且满足，则该椭圆的离心率e的取值范围是__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：60分。17.（12分）△ABC的内角为A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的最大值；（2）若，当△ABC的面积最大时，△ABC的周长；18.（12分）“中国人均读书4.3本（包括网络文学和教科书），比韩国的11本、法国的20本、日本的40本、犹太人的64本少得多，是世界上人均读书最少的国家.”这个论断被各种媒体反复引用，出现这样的统计结果无疑是令人尴尬的，而且和其他国家相比，我国国民的阅读量如此之低，也和我国是传统的文明古国、礼仪之邦的地位不相符.某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，特举办读书活动，准备进一定量的书籍丰富小区图书站，由于不同年龄段需看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了一天40名读书者进行调查，将他们的年龄分成6段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图.问：（1）估计在40名读书者中年龄分布在的人数；（2）求40名读书者年龄的平均数和中位数；（3）若从年龄在的读书者中任取2名，求这两名读书者年龄在的人数的分布列及数学期望.19.（12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，．（1）求证：；（2）若E，F分别为PC，AB的中点，EF⊥平面PCD，求直线PB与平面PCD所成角的大小．20.（12分）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过作两条直线与圆相切且分别交椭圆于M，N两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．21.（12分）已知函数在上不具有单调性.（1）求实数的取值范围；（2）若是的导函数，设，试证明：对任意两个不相等正数，不等式恒成立.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修44，坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以为极点，以轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程；（2）设直线与曲线相交于两点，求的值.23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数.（1）若对任意的恒成立，求实数的最小值；（2）若函数，求函数的值域.参考答案：1.【答案】B【解析】集合，故.2.【答案】C【解析】∵△ABC中，，，，由正弦定理得：，∴，解得，∴，，∴△ABC的面积，故选C.3.【答案】D4.【答案】A5.【答案】A【解析】三视图所对应的空间几何体为一个半圆锥拼接一个三棱锥所得，故其体积，故选A.6.【答案】C【解析】当i=1时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=1，i=2；当i=2时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=2，i=3；当i=3时，满足进行循环的条件，执行循环体后，S=4，i=4；不满足进行循环的条件，故输出结果为4，故选C.7.【答案】【解析】由题意可得.8.【答案】A9.【答案】C【解析】，.又.显然，所以.则，令，则，当时，，故C项正确.10.【答案】C11.【答案】D12.【答案】C【解析】作出可行域，如图，则直线扫过的面积为故选C．13.【答案】114.【答案】12015.【答案】416.【答案】【解析】，，即，即，解得，又，.17.【答案】（1）由得：，，即，，；由，令，原式，当且仅当时，上式的最大值为．（2），即，当且仅当等号成立；，周长．18.【答案】（1）由频率分布直方图知年龄在的频率为，所以40名读书者中年龄分布在的人数为.（2）40名读书者年龄的平均数为.设中位数为，则解得，即40名读书者年龄的中位数为55.（3）年龄在的读书者有人，年龄在的读书者有人，所以的所有可能取值是0,1,2，，，，的分布列如下：012数学期望.19.【答案】（1）连接交于点，连接，∵底面是正方形，∴，又平面平面，∴平面，∵平面，∴，又，∴；（2）设的中点为，连接，则，又，∴，∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，∴平面，∴，∵是的中点，∴，∵平面，∴，又，∴平面，∴，又，∴平面，以为坐标原点，以为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴，∵平面，∴为平面的一个法向量．∴，设直线与平面所成角为，则，∴直线与平面所成角为．20.【答案】（1）由，设椭圆的半焦距为，所以，因为C过点，所以，又，解得，所以椭圆方程为．（2）①显然两直线的斜率存在，设为，，由于直线与圆相切，则有，直线的方程为，联立方程组消去，得，因为为直线与椭圆的交点，所以，同理，当与椭圆相交时，，所以，而，所以直线的斜率．②设直线的方程为，联立方程组消去得，所以，原点到直线的距离，得面积为，当且仅当时取得等号．经检验，存在（），使得过点的两条直线与圆相切，且与椭圆有两个交点M，N．所以面积的最大值为．21.【答案】（1）在上不具有单调性，在上有正也有负也有，即二次函数在上有零点是对称轴是，开口向上的抛物线，的实数的取值范围（2）由（1），方法1：，，设在是减函数，在增函数，当时，取最小值从而，函数是增函数，是两个不相等正数，不妨设，则，即方法2：是曲线上任意两相异点，设，令，由，得，由得，在上是减函数，在上是