高中数学讲义（人教B版2019必修四）第05讲专题9-1解三角形解答题中的多三角形问题

专题91解三角形解答题中的多三角形问题TOC\o"13"\h\u题型1角平分线问题 1题型2中线问题 13题型3高线问题 21题型4普通多三角形问题 26题型5四边形问题 40题型6外接圆相关问题 50题型7内切圆相关问题 54知识点.多三角形问题方法汇总：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.题型1角平分线问题【方法总结】1.角平分线“拆”面积：S△ABC=2.角平分线定理性质：ABBD=3.利用等角的余弦定理：cos∠BAD=cos∠CAD4.大三角形与小三角形同时使用余弦定理：cos∠BAC=cos2∠BAD.【例题1】（2015·全国·高考真题（文））△ABC中D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.（Ⅰ）求sin∠B（Ⅱ）若∠BAC=60∘,求【答案】（Ⅰ）12；（Ⅱ）30【详解】试题分析：（Ⅰ）利用正弦定理转化得：sin∠Bsin∠C=DC所以tan试题解析：（Ⅰ）由正弦定理得ADsin∠B=BDsin（Ⅱ）因为∠C=所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=所以tan考点：本题主要考查正弦定理及诱导公式的应用,意在考查考生的三角变换能力及运算能力.【变式11】1．（2022·江苏·华罗庚中学三模）在△ABC中，已知AB=4，(1)求sinA(2)若AD是∠BAC的角平分线，求AD的长．【答案】(1)2(2)8【分析】（1）先利用余弦定理求出边BC的长，再利用正弦定理求出sinA（2）利用三角形的面积公式及面积关系S△ABC=【详解】（1）在△ABC中，由余弦定理A整理得7B解得BC=7或BC=−9由于BC>0，所以BC=7因为B∈(0,π)，所以sinB>0，所以由正弦定理得：ACsinB（2）设∠BAD=θ，AD=x由S△ABC12整理得x=20在△ABC中，由余弦定理cosA=由cosA=cos则AD=x=【变式11】2．（2022·湖北·高三开学考试）在△ABC中，AB=2AC，点D在BC边上，AD平分∠BAC.(1)若cos∠ACB=155(2)若AD=AC，且△ABC的面积为372，求【答案】(1)2−3(2)3【分析】（1）在△ABC中，利用正弦定理可得sin∠ABC=1010，从而可得cos（2）利用三角形的面积公式可得12AC⋅AD⋅sinθ+1【详解】（1）由cos∠ACB=155在△ABC中，由正弦定理可得ABsin又AB=2AC，所以sin∠ABC=AB>AC，故cos∠ABC=所以cos∠CAB=即cos∠CAB=所以cos∠CAB=（2）由已知，设AB=2AC=2t，所以AD=AC=t，另设∠CAD=θ.由S△ABC=S所以2sin因为sinθ≠0，所以cosθ=3又0<2θ<π,sin又S△ABC=3所以BC所以BC=32【变式11】3．（2022·吉林·长春市第二实验中学高三阶段练习）设△ABC中角A，B，C的对边长分别为a，b，c，sinA−B(1)求角A；(2)若c=2，△ABC的面积S△ABC=32，∠ACB的平分线交AB于点【答案】(1)π(2)3【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和差的正弦公式化简可得cosA=（2）由面积公式b=1，在△ABC中，利用余弦定理，求出a=3，可得∠ACB=90°，进而知∠ACD=45°，再在△ACD（1）解：由正弦定理及sin(A−B)sin2A所以sin(A−B)=2所以sinA即sinA因为sinC≠0，所以cos又A∈0,π，所以A=（2）解：因为c=2，△ABC的面积S△ABC所以S△ABC=1在△ABC中，由余弦定理知，a2=b因为c2=a2+因为∠ACB的平分线交AB于点D，所以∠ACD=1所以sin∠ADC=在△ACD中，由正弦定理知，ACsin∠ADC=解得CD=3【变式11】4．（2022·湖北·高三开学考试）已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA(c(1)求角A;(2)若AD平分∠BAC交线段BC于点D，且AD=2,BD=2CD，求△ABC的周长.【答案】(1)A=(2)9+3【分析】（1）先利用余弦定理化简ccosB+bcos（2）由S△ABC=S△BAD+S△CAD结合AD平分∠BAC，A=23π可得bc=2b+2c，作AE⊥BC于【详解】（1）由余弦定理得c所以sinA(ccos再由正弦定理，得a2−cb=c所以cosA=因为A∈(0,π)，所以A=（2）因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=π由S△ABC得bc=2b+2c.作AE⊥BC于E，则S△ABD由bc=2b+2cc=2b，解得由余弦定理，得a2=故△ABC的周长为9+37【变式11】5．（2022·江苏·盐城中学高三开学考试）在①sinA−sinCa=b−csinB+sinC，②2a−ccosB=a2+b2−(1)求B(2)若b=13，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=43【答案】(1)B(2)3【分析】（1）若选条件①，先用正弦定理将角转化为边的关系，再利用余弦定理即可；若选条件②，先用余弦定理将边转化为角的关系，再利用正弦定理即可；若选条件③，先用三角形的内角之和为π，再利用正弦定理即可；（2）利用角平分线的性质得到S△ABC【详解】（1）选择条件①：根据正弦定理，可得：(a−c)a=(b−c)(b+c)可得：a根据余弦定理，可得：cos选择条件②：根据余弦定理，可得：(2a−c)根据正弦定理，可得：(2整理可得：2sin可得：cos选择条件③：易知：A+B+C=π可得：sin根据正弦定理，可得：sinA=可得：sin整理可得：tan（2）根据题意，可得：S可得：1整理可得：a+c=根据余弦定理，可得：b可得：13=a可得：25解得：ac=4或ac=−52故S【变式11】6．（2022·湖北·襄阳四中模拟预测）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：ABAC=DB(2)若AD=1，A=2π3，求【答案】(1)证明见解析(2)3【分析】（1）根据题意得到sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理得到ABsin∠ADB=（2）根据S△ABD+S△ACD=S△ABC【详解】（1）解：在△ABD和△BCD中，可得∠BAD=∠CAD，∠ADB+∠ADC=π，所以sin∠BAD=sin∠CAD由正弦定理，得ABsin∠ADB=两式相除得ABAC=DBDC，可得又由cos∠ABD=cos所以A代入可得A=AB⋅ACAB（2）解：由AD=1，A=2π3及S根据基本不等式得bc=b+c≥2bc，解得bc≥4，当且仅当b=c=2又由AD=1，AD2=AB⋅AC−DB⋅DC所以DB⋅DC的最小值是3.【变式11】7．（2022·山东日照·高三开学考试）如图，已知在△ABC中，M为BC上一点，AB=2AC≤BC，B∈0,π2(1)若AM=BM，求ACAM(2)若AM为∠BAC的平分线，且AC=1，求△ACM的面积．【答案】(1)7(2)15【分析】（1）由sinB=158求得cosB=78，由AB=2AC可得（2）由余弦定理求得BC=2，根据角平分线性质定理可求得CM=23，再求得【详解】（1）因为sinB=158所以cosB=因为AB=2AC，所以由正弦定理知sinCsinB因为AM=BM，所以∠AMC=2∠B，sin∠AMC=在△AMC中，ACAM（2）由题意知AB=2AC=2，设BC=x，由余弦定理得cosB=22+x因为2AC≤BC，所以BC=2，因为AM为∠BAC的平分线，∠BAM=∠CAM所以S△ABMS△ACM=1所以BMCM=AB而由（1）知sinC=2所以S△ACM【变式11】8．（2022·河南·模拟预测（文））在△ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c，已知b=2,c=4,2sin(1)求a；(2)设A的平分线与BC交于点D，求AD的长.【答案】(1)a=3(2)2【分析】（1）利用正弦定理和余弦定理可得答案；（2）利用余弦定理、角平分线性质可得答案.（1）由2sinA=3sin再由正弦定理和余弦定理得a=3c×把b=2,c=4代入a=3×4×a2所以a=32（2）由余弦定理可得cosC=因为AD是角A的平分线，ABBD=AC所以BD=2CD，所以CD=2在△ACD中，AD所以AD=2.【变式11】9．（2022·湖北·高三开学考试）已知△ABC的角A,B,C的对边分别为a,b,c，且sinA(c(1)求角A;(2)若AD平分∠BAC交线段BC于点D，且AD=2,BD=2CD，求△ABC的周长.【答案】(1)A=(2)9+3【分析】（1）先利用余弦定理化简ccosB+bcos（2）由S△ABC=S△BAD+S△CAD结合AD平分∠BAC，A=23π可得bc=2b+2c，作AE⊥BC于【详解】（1）由余弦定理得c所以sinA(ccos再由正弦定理，得a2−cb=c所以cosA=因为A∈(0,π)，所以A=（2）因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=π由S△ABC得bc=2b+2c.作AE⊥BC于E，则S△ABD由bc=2b+2cc=2b，解得由余弦定理，得a2=故△ABC的周长为9+37题型2中线问题【方法总结】中线的处理方法1.向量法：AD=12(2.双余弦定理法（补角法）：如图设BD=DC，在△ABD中，由余弦定理得AB在△ACD中，由余弦定理得AC因为∠AMB+∠AMC=π，所以所以①+②式即可3倍长中线法：如图所示，延伸中线，补形为平行四边形4.中线分割的俩三角形面积相等.【例题2】（2022·福建·三明一中模拟预测）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c=2b−2acos(1)求角A；(2)若M为BC的中点，AM=3，求△ABC【答案】(1)A=(2)3【分析】（1）解法一：根据正弦定理边化角求解即可；解法二：利用余弦定理将cosC（2）解法一：根据基底向量的方法得AM=12解法二：设BM=MC=m，再分别在△ABM，△ACM和△ABC中用余弦定理，结合cos∠AMB+cos∠AMC=0【详解】（1）解法一：因为c=2b−2acos由正弦定理得：sinC=2所以sinC=2sin(A+C)−2因为sinC≠0所以2cos为0<A<π所以A=π解法二：因为c=2b−2acos由余弦定理得：c=2b−2a⋅a整理得bc=b即a2又由余弦定理得a所以2cos因为0<A<π所以A=π（2）解法一：因为M为BC的中点，所以AM=所以AM2即3=1即b2而b2所以12−bc≥2bc即bc≤4，当且仅当b=c=2时等号成立所以△ABC的面积为S△ABC即△ABC的面积的最大值为3．解法二：设BM=MC=m，在△ABM中，由余弦定理得c2在△ACM中，由余弦定理得b2因为∠AMB+∠AMC=π，所以所以①+②式得b2在△ABC中，由余弦定理得4m而A=π3，所以联立③④得：2b2+2而b2所以12−bc≥2bc，即bc≤4，当且仅当b=c=2时等号成立．所以△ABC的面积为S△ABC即△ABC的面积的最大值为3．【变式21】1．（2022·河南·开封市东信学校模拟预测（理））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且bsin(1)求角A的大小；(2)若D为BC边中点，且AD=2，求a的最小值.【答案】(1)π(2)4【分析】（1）利用三角恒等变形及正弦定理即可求解；（2）利用余弦定理及基本不等式即可求解.【详解】（1）∵bsinB+C2=asin由正弦定理得sinB⋅∵sinB≠0，∴cos∵cosA2≠0又∵0<A2<π2,

（2）∵D为BC边中点，∴2AD=AB∵AD=2，∴16=c2+∴2bc≤b2+c2∵a2∴a2≥16−2×16故a的最小值为43【变式21】2．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）如图，在△ABC中，AB=2,AC=62,E,F分别是BC,AC的中点．从条件①∠BAC=π(1)求∠ACB的余弦值；(2)若AE,BF相交于点G，求∠EGF的余弦值．（注：若两个条件都选择作答，则按第一个条件作答内容给分）【答案】(1)条件选择见解析，5(2)条件选择见解析，13【分析】（1）若选择条件①：由余弦定理计算BC，再由余弦定理计算∠ACB的余弦值；若选择条件②：由余弦定理得出∠BAF=π4，BC，再由余弦定理计算（2）若选择条件①：由余弦定理得出BF，AE，再由△ABG∽△EFG得出GE=13AE=53，GF=13BF=103，最后由余弦定理得出∠EGF的余弦值；若选择条件②：由余弦定理得出【详解】（1）若选择条件①：在△ABC中，由余弦定理可求得BC=2cos∠ACB=若选择条件②：在△ABF中，AB=2,AF=32，BF=10，由余弦定理可求得cos所以∠BAF=π4，在△ABC中，由余弦定理可求得cos∠ACB=（2）若选择条件①：在△ABF中，由余弦定理可求得BF=2由于E，F分别是BC，AC的中点，所以EF||AB，，则∠EFA=3π4，EF=1在△AEF中，由余弦定理可得AE=(3连接EF，由EF∥AB，可得△ABG∽△EFG，则GEAG所以GE=13AE=在△EGF中，余弦定理求得cos∠EGF=若选择条件②：由于E，F分别是BC，AC的中点，所以EF||AB，则∠EFA=3π4，EF=1，AF=32，在连接EF，由EF∥AB，可得△ABG∽△EFG，则GEAG所以GE=13AE=在△EGF中，余弦定理求得cos∠EGF=【点睛】【变式21】3．（2023·全国·高三专题练习）在①2bsinC=3ccosB+csinB，②cosBcosC=b2a−c两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.在(1)求角B；(2)若a+c=3，点D是AC的中点，求线段BD【答案】(1)条件选择见解析，B=(2)3【分析】（1）选①，由正弦定理化简可得tanB的值，结合角B的取值范围可求得角B选②，由正弦定理结合两角和的正弦公式可求得cosB的值，结合角B的取值范围可求得角B（2）由平面向量的线性运算可出2BD=BA+BC，结合平面向量数量积的运算性质可得出4B【详解】（1）解：选①，由2bsinC=3所以，sinC因为B、C∈0,π，所以，sinC>0，则所以，tanB=3，选②，由cosBcosC所以，2sin∵A、B∈0,π，∴sinA>0，所以，cos（2）解：因为a+c=3，所以，0<a<由已知AD=DC，即BD−所以，4BD即4B=a所以，34题型3高线问题【方法总结】高的处理方法：1.等面积法：两种求面积公式如S=2.三角函数法：在ΔBCD.【例题3】（2022·安徽蚌埠·一模）记△ABC内角A,B,C的对边为a,b,c，已知sinC=sinA(1)证明：CD=c；(2)若a2+b【答案】(1)证明见解析(2)5【分析】（1）利用正弦定理边化角，再结合正弦值的计算公式列方程即可；（2）由面积公式得c2【详解】（1）根据正弦定理和题设可得sinB=又sinB=CDa（2）由三角形的面积公式可得S=1所以c又由余弦定理c因此absinC=其中θ为锐角，且tanθ=2，于是C+θ=所以sin【变式31】1．（2022·河南安阳·高三开学考试（理））已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a+bsin(1)求角B的大小；(2)若BC边上的高为b−c，求sinA【答案】(1)π(2)3【分析】（1）先根据式子形式采取角化边，然后利用余弦定理的推论即可解出；（2）先根据锐角三角函数的定义可知，b−c=csinπ6，得出b,c关系，再根据sinC=b−c【详解】（1）由a+bsinA−sinB+c−3asinC=0，得（2）∵B=π6，且BC边上的高为b−c，∴b−c=csin∴sinC=b−cb=13.∵∴sinA=【变式31】2．（2023·全国·高三专题练习）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos(1)求A的大小；(2)若BC边上的高为32，且A的角平分线交BC于点D，求AD【答案】(1)A=(2)3【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，结合三角恒等变换整理；（2）根据等面积可得bc=a，利用余弦定理得b2c2=b【详解】（1）由正弦定理得sinBcosC+因为A∈0,π，所以cosA=（2）因为S△ABC=1由余弦定理得a2=b2+c2因为S△ABC=1因为b2c2因为函数fx=31+3所以AD2≥34，即AD≥【变式31】3．（2018·北京·高考真题（理））在△ABC中，a=7,b=8,cos（1）求∠A；（2）求AC边上的高．【答案】（1）∠A=π3；（2）AC边上的高为3【分析】（1）方法一：先根据平方关系求sinB,再根据正弦定理求sinA，即得（2）方法一：利用诱导公式以及两角和正弦公式求sinC，即可解得AC【详解】（1）［方法一］：平方关系＋正弦定理在△ABC中,∵cosB=−

a［方法二］：余弦定理的应用由余弦定理知b2=a2+c2−2accosB．因为a=7,b=8,cos（2）［方法一］：两角和的正弦公式＋锐角三角函数的定义在△ABC中，∵sinC=sin(A+B)=sinA如图所示，在△ABC中，∵sinC=ℎBC，∴h=BC⋅sinC∴AC边上的高为33［方法二］：解直角三角形＋锐角三角函数的定义如图1，由（1）得AD=ACcos∠A=8×1作BE⊥AC，垂足为E，则BE=ABsin∠A=3×32=［方法三］:等面积法由（1）得∠A=60°，易求CD=43．如图1，作CD⊥AB，易得AD=4，即AB=3．所以根据等积法有12⋅AC⋅BE=所以AC边上的高为33【整体点评】（1）方法一：已知两边及一边对角，利用正弦定理求出；方法二：已知两边及一边对角，先利用余弦定理求出第三边，再根据余弦定理求出角；（2）方法一：利用两角和的正弦公式求出第三个角，再根据锐角三角函数的定义求出；方法二：利用初中平面几何知识，通过锐角三角函数定义解直角三角形求出；方法三：利用初中平面几何知识，通过等面积法求出．【变式31】4．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，且2S+3(1)求A的大小；(2)若a=7、b=1，D为直线BC上一点，且AD⊥AB，求△ABD【答案】(1)A=2π(2)10+23【分析】（1）利用三角形面积公式及向量数量积的定义可得tanA=−（2）利用余弦定理可得c=2，再利用正弦定理结合条件即得.（1）∵2S+3∴2×12b⋅c⋅∴sinA+3又A∈0,π∴A=2π（2）在△ABC中，由余弦定理得：a2又a=7、b=1，A=∴c2+c−6=0，又∴c=2，在△ABC中，由正弦定理得sinB=又a>b，∴B为锐角，∴cosB=在Rt△ABD中，AB∴BD=475∴△ABD的周长为2+2题型4普通多三角形问题【例题4】（2023·全国·高三专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且3(a−b(1)求角B的大小；(2)若a=3,c=2，D为BC边上一点，CD=15DB【答案】(1)B=(2)3【分析】（1）根据正弦定理，边化角即可求解.（2）在△ABD中由余弦定理和正弦定理求解.【详解】（1）因为3(a−bcosC)=c由正弦定理得3sin3sin化简得3cos又因为sinB≠0，sinC≠0，所以3cos因为B∈(0,π)，所以B=π（2）因为a=3，CD=15DB在△ABD中由余弦定理得AD2=由正弦定理得ADsinB=所以cos2【变式41】1．（2022·辽宁·高三期末）在①3b−3ccosA=asinC，②ab=12tanCtanB+1，③sinA−(1)求C；(2)若△ABC的面积为3，D在边AC上，且CD=13CA，求BD【答案】(1)C=(2)2【分析】（1）方案一：选条件①．结合正弦定理与两角和的正弦公式求解即可；方案二：选条件②．由正弦定理及同角三角函数的基本关系式化简求解即可；方案三：选条件③．由正弦余弦定理化简求解即可.（2）根据面积公式可得ab=4，再根据余弦定理结合基本不等式求解最值即可.（1）方案一：选条件①．由3b−3c由正弦定理得sinB−因为B=π−(A+C)，所以sinB=所以sinA故sinA又sinA≠0，于是sinC=3因为C∈(0,π)，所以C=π方案二：选条件②．因为ab=12tan因为A+B+C=π，所以B+C=π−A,sin又sin所以cosC=12，因为C∈(0,π)方案三：选条件③．sinA−sinC即a2−c2=ab−又C∈(0,π)，所以C=π（2）由题意知S△ABC=1由余弦定理得BD当且仅当a=13b且ab=4，即a=23【变式41】2．（2022·全国·高三专题练习）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ccos(1)求A；(2)设D是AB边上靠近A的三等分点，CD=5，求△ABC【答案】(1)A=π(2)92【分析】（1）根据给定条件，再利用正弦定理边化角，借助同角公式计算作答.（2）利用余弦定理求出b，再利用三角形面积公式计算作答.【详解】（1）在△ABC中，由ccosA=2asin而0<B<π，即sinB>0，则tanB=1所以A=π（2）依题意，AD=13AB=23即5=b2+所以△ABC的面积S△ABC【变式41】3．（2021·全国·高考真题）记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC上，（1）证明：BD=b；（2）若AD=2DC，求cos∠ABC【答案】（1）证明见解析；（2）cos∠ABC=【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有BD=ac（2）方法一：两次应用余弦定理，求得边a与c的关系，然后利用余弦定理即可求得cos∠ABC【详解】（1）设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sin∠ABC=因为BDsin∠ABC=asinC，所以又因为b2=ac，所以（2）[方法一]【最优解】：两次应用余弦定理因为AD=2DC，如图，在△ABC中，cosC=在△BCD中，cosC=由①②得a2+b又因为b2=ac，所以6a2−11ac+3当a=c3,当a=3c2,所以cos∠ABC=[方法二]：等面积法和三角形相似如图，已知AD=2DC，则S△ABD即12而b2=ac，即故有∠ADB=∠ABC，从而∠ABD=∠C．由b2=ac，即ba=c故ADAB=AB又b2=ac，所以则cos∠ABC=[方法三]：正弦定理、余弦定理相结合由（1）知BD=b=AC，再由AD=2DC得AD=2在△ADB中，由正弦定理得ADsin又∠ABD=∠C，所以23bsin在△ABC中，由正弦定理知c=23a，又由b在△ABC中，由余弦定理，得cos∠ABC=故cos∠ABC=[方法四]：构造辅助线利用相似的性质如图，作DE∥AB，交BC于点E，则由AD=2DC，得DE=c在△BED中，cos∠BED=在△ABC中cos∠ABC=因为cos∠ABC=−所以a2整理得6a又因为b2=ac，所以即a=c3或下同解法1．[方法五]：平面向量基本定理因为AD=2DC，所以AD=2以向量BA,BC为基底，有所以BD2即b2又因为b2=ac，所以由余弦定理得b2所以ac=a联立③④，得6a所以a=32c下同解法1．[方法六]：建系求解以D为坐标原点，AC所在直线为x轴，过点D垂直于AC的直线为y轴，DC长为单位长度建立直角坐标系，如图所示，则D0,0由（1）知，BD=b=AC=3，所以点B在以D为圆心，3为半径的圆上运动．设Bx,y−3<x<3，则由b2=ac知，即(x+2)2联立⑤⑥解得x=−74或x=7代入⑥式得a=|BC|=3由余弦定理得cos∠ABC=【变式41】4．（2020·江苏·高考真题）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=3,c=2（1）求sinC（2）在边BC上取一点D，使得cos∠ADC=−45【答案】（1）sinC=55【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC（2）方法一：根据cos∠ADC的值，求得sin∠ADC的值，由（1）求得cosC的值，从而求得sin【详解】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得b2=a由正弦定理得csin[方法二]【最优解】：几何法过点A作AE⊥BC，垂足为E．在Rt△ABE中，由c=2,B=45°，可得AE=BE=1，又a=3在Rt△ACE中，AC=AE（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于cos∠ADC=−45，∠ADC∈由于∠ADC∈π2,π，所以C∈所以sin∠DAC=sin=sin∠ADC⋅cos由于∠DAC∈0,π2所以tan∠DAC=[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法

在（1）的方法二的图中，由cos∠ADC=−45，可得cos又由（1）可得tan∠EAC=ECAE[方法三]：几何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=5在Rt△ADE中，AD=所以CD=CE−DE=2在△ACD中，由正弦定理可得sin∠DAC=由此可得tan∠DAC=[方法四]：构造直角三角形法

如图，作AE⊥BC，垂足为E，作DG⊥AC，垂足为点G．在（1）的方法二中可得AE=1,CE=2,AC=5由cos∠ADC=−45在Rt△ADE中，AD=AE由（1）知sinC=55，所以在Rt△CDG中，在Rt△ADG中，tan∠DAG=所以tan∠DAC=【整体点评】（1）方法一：使用余弦定理求得b=5，然后使用正弦定理求得sinC；方法二：抓住45°角的特点，作出辅助线，利用几何方法简单计算即得答案，运算尤其简洁，为最优解；（2）方法一：使用两角和的正弦公式求得∠DAC的正弦值，进而求解；方法二：适当作出辅助线，利用两角差的正切公式求解，运算更为简洁，为最优解；方法三：在几何法的基础上，使用正弦定理求得∠DAC的正弦值，进而得解；方法四：更多的使用几何的思维方式，直接作出含有【变式41】5．（·福建·高考真题（文））如图，在等腰直角ΔOPQ中，∠POQ=900，OP=22，点M(Ⅰ)若OM=5，求PM（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且∠MON=300，问：当∠POM取何值时，【答案】(Ⅰ)MP=1或MP=3（Ⅱ）当∠POM=30°时，ΔOMN的面积的最小值为8−4【详解】解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=5,OP=25,由余弦定理得,OM2=OP2+MP22OP·MP·cos45°,得MP24MP+3=0,解得MP=1或MP=3.(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP中,由正弦定理,得OMsin∠OPM=所以OM=OPsin同理ON=OPsin故S△OMN=12=12×=1=1=1=1=1=13因为0°≤α≤60°,30°≤2α+30°≤150°,所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,此时△OMN的面积取到最小值.即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为843.【变式41】6．（2017·全国·高考真题（理））ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinA+（1）求角A和边长c；（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC,求ΔABD的面积.【答案】（1）2π3，4；（2）3【详解】试题分析：（1）先根据同角的三角函数的关系求出tanA=−3从而可得A的值，再根据余弦定理列方程即可求出边长c的值；（2）先根据余弦定理求出cosC，求出CD的长，可得CD=试题解析：（1）∵sinA+3cosA=0,∴tanA=−3，∵0<A<π,∴A=2π3，由余弦定理可得a2(2)∵c2=b2+a2−2abcosC【变式41】7．如图，在△ABC中，BC=2，AC=2，A=π4，点M､N是边AB(1)求△ABC的面积；(2)当BN=3，求MN【答案】(1)3(2)3【分析】（1）利用正弦定理BCsinA=ACsinB，可求得B=16π，根据sin【详解】（1）在△ABC中，BC>AC，则A>B由正弦定理得：BCsinA=AC因为B∈(0,π)，则B=1则sin△ABC的面积为S（2）在△BCN中，BC=2，BN=3，由余弦定理可得CN=则有BC2在直角△CMN中，CN=1，∠MCN=MNCN=题型5四边形问题【例题5】（2021·山东·高三开学考试）在梯形ABCD中，AB//CD，BC=3AD，(1)求∠BCD；(2)若AB=AD=2，求梯形ABCD的面积．【答案】(1)∠BCD=30°(2)3【分析】（1）连接BD，在梯形ABCD中可得∠ABD=∠BDC，利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可得cos∠BCD的值，即可求解∠BCD（2）根据（1）的结论，结合已知条件可判断△ABD为等边三角形，进而得到BD的值，利用勾股定理求解CD的值，利用三角形面积公式求解△ABD,△BCD的面积，即可得到梯形的面积.【详解】（1）解：连接BD，在△ABD中，由正弦定理得BDsin在△BCD中，由正弦定理得BDsin因为∠ABD=∠BDC，所以sin∠BAD又BC=3AD，所以sin2∠BCDsin∠BCD因为0°<∠BCD<180°，所以∠BCD=30°．（2）解：因为∠BAD=2∠BCD=60°，AB=AD=2．所以△ABD为等边三角形，且BD=2，∠DBC=180°−60°−30°=90°，且CD=BD又BC=所以△ABD的面积为S△ABD△BCD的面积为S△BCD所以梯形ABCD的面积为S=S【变式51】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在四边形ABCD中，AB=4，AC=23，cos(1)求sin∠B(2)若AB=4AD，求【答案】(1)sin(2)3【分析】（1）先求出sin∠ACB，在△ABC（2）根据题中∠D=2∠B条件运用二倍角公式求出cos∠D的值，然后在△ADC【详解】（1）因为cos∠ACB=13所以sin∠ACB=在△ABC中，根据正弦定理知，ACsin即23解得sin∠B=（2）因为AB=4且AB所以AD=1因为∠D=2∠B，所以cos∠D=在△ADC中，由余弦定理知，cos∠D=即−1所以3CD2+2解得CD=3或CD所以CD的长为3.【变式51】2．（2022·湖南·永州市第一中学高三开学考试）如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B=120°，AB=2，AD=22，△ABC的面积为3(1)求AC；(2)求∠ACD.【答案】(1)2(2)45°【分析】（1）根据面积公式可得BC=2，再根据余弦定理求解可得AC=23（2）根据内接四边形可得∠D=60°，再根据正弦定理求解即可【详解】（1）因为△ABC的面积为3，所以12又因为∠B=120°，AB=2，所以BC=2.由余弦定理得，ACAC2=22（2）因为ABCD为圆内接四边形，且∠B=120°，所以∠D=60°.又AD=22，由正弦定理可得，ADsin∠ACD=ACsin∠D，故sin∠ACD=ADsin∠D【变式51】3．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2S=−3BA⋅BC，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足(1)求B；(2)设∠BAC=θ，BC=fθ，求函数f【答案】(1)B=(2)0,2【分析】（1）由三角形面积公式和向量数量积公式，代入2S=−3BA⋅（2）首先找到各个角之间的关系，∠CAD=π2−θ，∠CDA=θ+π6，再由正弦定理可得AC=所以BC=fθ【详解】（1）由2S=−3可得2×1即sinB=−3cos因为B∈0,π，所以B=（2）∵∠BAC=θ，则∠CAD=π2−θ在三角形ACD中，由正弦定理得ACsin可得AC=AD在三角形ABC中，由正弦定理得ACsin可得BC=f===1因为0<θ<π可得−π当2θ−π3=可得23当2θ−π3=−可得23所以fθ的值域为0,2【变式51】4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））如图，平面四边形ABCD中，AB=BD=DA，BC=1，CD=3，∠BCD=θ(1)若θ=π2，求(2)试问θ为何值时，平面四边形ABCD的面积最大？【答案】(1)2+(2)2【分析】(1)根据题意可知∠DBC=π3，在△ABC中利用余弦定理计算求得(2)在△BCD中根据余弦定理可得BD2=4−23cos【详解】（1）若θ=π2，BC=1，得AB=2，sin∠DBC=32得∠DBC=π3，所以∠ABC=2AC所以AC+BD=2+7（2）∠BCD=θ，在△BCD中，由余弦定理得BD所以S△ABDS△BCD所以S四边形当θ=5π6时，S【变式51】5．（2022·福建省厦门集美中学模拟预测）如图，在平面四边形ABCD中，AB=BC=CD=2,AD=23(1)证明：1+cos(2)记△ABD与△BCD的面积分别为S1和S2，求【答案】(1)证明见解析(2)14【分析】（1）分别在△ABD和△BCD中，利用余弦定理表示BD，然后联立求解；（2）结合（1）得到S12+【详解】（1）证明：在△ABD中，由余弦定理得BD在△BCD中，由余弦定理得BD∴16−83所以3cos即1+cos（2）S1S2则S由（1）知：3cos代入上式得S1=−24cos=−24cos∴当cosA=36【变式51】6．如图，在平面四边形ABCD中，已知BC＝2，cos∠BCD=−(1)若∠CBD=45°，求BD的长；(2)若cos∠ACD=55，且AB【答案】(1)8(2)2【分析】（1）由和角的正弦公式及正弦定理化简求解（2）由差角的余弦公式及余弦定理化简求解.【详解】（1）∵cos∠BCD=−35又∵∠CBD=45°，所以sin∠CDB=∴在△BCD中，由正弦定理BCsin∠CDB=BDsin∠BCD，可得（2）cos∠ACB=∴cos∠ACB=55.∵在△ABC中，BC∴AB可得16=4+AC2−2×2×AC×∴AC的长为25【变式51】7．（2022·湖北·模拟预测）在△ABC中，若2S(1)求∠B的值；(2)如图，若AB=AC，D为△ABC外一点，且DA=3，DC=2，∠ADC=θ，求S四边形ABCD【答案】(1)π3(2)θ=5【分析】（1）利用三角形面积公式及向量数量积的定义可得；（2）利用余弦定理及面积公式可得S四边形ABCD（1）∵2S由条件知2×1∴tanB=3，∴B=π（2）若AB=AC，∠B=60°，所以△ABC为等边三角形，在△ADC中，DA=3，DC=2，∠ADC=θ∴AC故AC2∴S△ABCS△ADC∴S≤7当且仅当θ−π3=所以θ=56π时，S题型6外接圆相关问题【方法总结】外接圆：1.外接圆的圆心到三角形的三个顶点的距离相等.锐角三角形外心在三角形内部.直角三角形外心在三角形斜边中点上.钝角三角形外心在三角形外.2.正弦定理：＝2R，其中R为外接圆半径.【例题6】（2022·湖南·麻阳苗族自治县第一中学高三开学考试）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知△ABC的外接圆半径R=2，且tan(1)求B和b的值；(2)求△ABC面积的最大值．【答案】(1)B=π4，(2)1+【分析】（1）利用同角三角函数间的关系切化弦得sinBcosB+sin（2）由余弦定理得4=a2+【详解】（1）解：因为tanB+tanC=sinBcosC+因为A+B+C=π，所以sinA=又sinA≠0，所以cosB=2又△ABC的外接圆半径R=2，所以由正弦定理bsinB（2）解：由余弦定理b2=a由基本不等式得4=a2+c2−2所以S△ABC=1故△ABC面积的最大值为1+2【变式61】1．（2022·山东聊城·高一期末）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3c(1)求角A；(2)若△ABC是钝角三角形，且b=c+2，求△ABC外接圆半径的取值范围.【答案】(1)π(2)2【分析】（1）先利用余弦定理化简已知条件得3csinA+acosC=b+c（2）由（1）知A=π3，利用余弦定理有a2=b2+c2−bc，又b=c+2，可得a2=c【详解】（1）解：由余弦定理得a2+b由正弦定理得3sin又sinB=sinA+C所以3sinA=cos因为−π6<A−π6（2）解：由（1）知A=π3，所以又b=c+2，所以a2因为△ABC是钝角三角形，由b=c+2，可知角B为钝角，所以a2+c2<由①②可得c2+2c+4<4c+4，解得c<2，所以由a2=c2+2c+4=设△ABC外接圆半径为R，由正弦定理知2R=a所以△ABC外接圆半径的取值范围是23【变式61】2．（2022·四川省绵阳南山中学阶段练习）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(2csin(1)求角B的大小；(2)若△ABC为钝角三角形，___________，求△ABC外接圆的半径R的取值范围.请在下列两个条件中选择一个作为条件补充在横线上，并解决问题.①a+c=3；②a−c=3.【答案】(1)π(2)答案见解析【分析】（1）由正弦定理的边角互化结合余弦定理得出角B的大小；（2）选择条件①：由正弦定理得出2R=3sinA+sinC，再结合三角函数的性质得出sinA+sinC∈(32,32【详解】（1）因为(2csin由正弦定理可得2acsin即2acsinB=3可得sinB=3cosB，即tanB=（2）若选择条件①由正弦定理，2R=a而sinA+因为△ABC为钝角三角形，则A∈(0,π6)∪(sin(A+π6△ABC外接圆的半径为R=3若选择条件②因为△ABC为钝角三角形，由a−c=3及B=π3知角即b2由余弦定理得b2代入(∗)式得2c2−ac<0，故a>2c.所以3=a−c>c故b2可得b∈(3,33)，由正弦定理得【变式61】3．（2022·江西九江·高一期末）在△ABC中，三内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，a＝6．(1)求bcosC＋ccosB的值；(2)若O是△ABC的外心，且3⋅OA→+【答案】(1)6；(2)32【分析】（1）直接利用余弦定理化简即得解；（2）把3⋅【详解】（1）解：b=a（2）解：设△ABC外接圆的半径是R．3⇒因此2R=题型7内切圆相关问题【方法总结】内切圆：等面积构造法求半径SΔ.【例题7】（2022·全国·模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a=3，b=2，sinA=m(1)若△ABC唯一确定，求m的值；(2)设I是△ABC的内切圆圆心，r是△ABC内切圆半径，证明：当c=2r+1时，IC=IA⋅IB．【答案】(1)1(2)证明见解析【分析】（1）若0<m<1，根据sinA=m，b<a，可知A可以为锐角，也可以为钝角，△ABC有两种情况，若m=1，则三角形为直角三角形，△ABC（2）由c=2r+1可推导出△ABC为直角三角形，故可计算出IC,IA,IB的值，