第一章 直线与圆 单元测试（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

第一章直线与圆单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为.若，则点的坐标为（

）A．B．或C．D．或2．已知圆与圆，则两圆的公切线条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．43．过点且方向向量为的直线方程为（

）A． B． C． D．4．已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为（

）A． B． C． D．5．直线的一个方向向量是（

）A． B． C． D．6．已知圆过，，三点，则圆的方程是（

）A． B．C． D．二、多选题7．已知圆和圆，．点是圆上的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列说法正确的是（

）A．当时，圆和圆没有公切线B．当圆和圆有三条公切线时，其公切线的倾斜角的和为定值C．圆与轴交于，，若圆上存在点，使得，则D．圆和外离时，若存在点，使四边形面积为，则8．圆：，直线，点在圆上，点在直线l上，则下列结论正确的有（

）A．直线与圆相交B．的最小值是1C．若到直线的距离为2，则点有2个D．从点向圆引切线，则切线段的最小值是三、填空题9．若直线与圆相交于两点，则弦长的最小值为.10．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.已知圆：，点，平面内一定点（异于点），对于圆上任意动点，都有比值为定值，则定点的坐标为.11．小明家附近有一座圆拱桥，当水面跨度是40米时，拱顶离水面5米．当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为米．12．直线，其中，，符号相同，则直线不通过第象限．四、解答题13．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，动点P满足(1)求动点P的轨迹C的方程(2)若直线l过点且与轨迹C相切，求直线l的方程.14．已知圆心在x轴正半轴上的圆C，过点，．(1)求圆的标准方程；(2)过点的直线与圆C交于两点A，B，若，求直线l的方程．15．已知等腰直角（B为直角顶点）的两个顶点分别为，，求三边所在直线的方程.16．已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求：(1)所在直线的方程；(2)边上的高所在直线的方程.参考答案：题号12345678答案BCDCCBABDBCD1．B【分析】根据点在直线设为，结合题中条件可求得，利用两点间的距离公式建立方程，求解即可.【详解】因为点在直线上，可设，又是圆的两条切线，且，所以,,,所以,即，化为，解得或，所以点坐标为，故选：B.2．C【分析】根据圆的方程可确定两圆圆心和半径，易得圆心距等于两半径之和，即可得两圆外切，所以可得两圆有3条公切线.【详解】易知圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，易知两圆圆心距，两半径之和为，即满足，此时两圆外切，因此两圆有3条公切线.故选：C3．D【分析】根据方向向量确定出直线的斜率，然后可得到直线的点斜式方程，将其转化为一般式方程即可.【详解】因为直线的方向向量为，所以，所以直线方程为，即为，故选：D.4．C【分析】利用倾斜角求出，然后利用两点间距离公式即可得出答案.【详解】由题知，，解得，故，则两点间的距离为.故选：C5．C【分析】先由直线斜率得到直线的一个方向向量，再对选项逐一检验即可.【详解】因为直线可化为，所以直线的斜率为，则直线的一个方向向量为，对于A，与不平行，故A错误；对于B，与不平行，故B错误；对于C，，故与平行，则也是直线的一个方向向量，故C正确；对于D，与不平行，故D错误.故选：C.6．B【分析】假设圆的一般方程，将点的坐标代入，建立方程组，解之，即可得到圆的方程．【详解】设圆的方程为，由题意得圆的方程为．故选：B．7．ABD【分析】对于A：根据题分析可知圆和圆内含，即可得结果；对于B：根据题意可知两圆外切，进列式求得m得值即可分析判断；对于C：根据题意分析可知圆与圆相交，列式求解即可；对于D：根据两圆外离解得，根据面积关系可得，即可得，运算求解即可【详解】由题意可知：圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，可得，对于选项A：若，则，可知圆和圆内含，所以圆和圆没有公切线，故A正确；对于选项B：若圆和圆有三条公切线，则两圆外切，则，即，可得，此时两圆是确定的，则公切线方程也是确定的，所以公切线的倾斜角的和为定值，故B正确；对于选项C：若，则点的轨迹方程为圆，由此可知：圆存在点在圆内，且，可知圆与圆相交，可得，即，解得，故C错误；对于选项D：若圆和外离，可得，即，解得，因为四边形面积，解得，又因为，即，可得，解得，故D正确；故选：ABD.8．BCD【分析】确定圆心与半径，求圆心到直线的距离，根据直线与圆位置关系即可判断A；由圆心到直线的距离，即可得圆上的点到直线距离的最大和最小值，可判断B；设直线m与l平行，且m到l的距离为2，判断此时符合的直线与圆的位置关系，即可判断C；根据切线长的几何性质即可判断D.【详解】对于A，由圆：，得圆的标准方程为，圆心为，半径，又圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，故A错误；对于B，圆心到直线的距离，所以的最小值为，故B正确；对于C，设直线m与l平行，且m到l的距离为2.则可设，由，解得：或.当时，直线，圆心到直线的距离，所以直线m与圆C相交，有两个交点，且这两个点到直线l的距离为2；当时，直线，圆心到直线的距离，所以直线与圆相离，不合题意.综上所述，圆上到直线的距离为2的点有且只有2个，故C正确对于D，过作与圆相切于，连结.则切线长要使切线长最小，只需最小.又点到圆心的最小值为圆心到直线的距离，由勾股定理得切线长的最小值为，故D正确.故选：BCD.9．【分析】首先求出直线所过定点的坐标，当时，取得最小，再根据弦长公式计算可得；【详解】因为，所以，令，所以，故直线恒过定点，又因为，故点在圆内，设圆心为，半径为，当时，取得最小，因为，所以，故答案为：10．【分析】设的坐标为，动点，，然后列式化简,得到的轨迹方程,结合圆：,对应系数相等列方程组,即可求得点的坐标.【详解】设的坐标为，动点，，则，，，，可得，又点的轨迹方程，可得，解得（舍）或，则的坐标为.故答案为:.11．【分析】利用勾股定理求出圆的半径，然后再利用圆的弦长公式即可得解.【详解】设圆的半径为，则，解得，，，所以当水面上涨4米后，桥在水面的跨度为米．故答案为：．12．四【分析】依题意可得，，均不为，令、求出直线与坐标轴的交点坐标，即可判断.【详解】解：因为直线其中，，符号相同，显然，，均不为，令，解得，令，解得，即直线过点，，因为，，符号相同，所以，，所以直线与轴交于正半轴，与轴交于负半轴，故直线过一、二、三象限，不过第四象限.故答案为：四13．(1)；(2)或.【分析】（1）设，根据动点满足，再用两点间距离公式列式化简作答.（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.【详解】（1）设，由，得，化简得，所以P点的轨迹的方程为.（2）由（1）知，轨迹：表示圆心为，半径为2的圆，当直线l的斜率不存在时，方程为，圆心到直线l的距离为2，与相切；当直线l的斜率存在时，设，即，

于是，解得，因此直线的方程为，即，所以直线l的方程为或.

14．(1)；(2)或.【分析】（1）利用待定系数法即得；（2）由题可得圆心到直线的距离为1，利用点到直线的距离公式即得.【详解】（1）由题可设圆的标准方程为，则，解得，所以圆的标准方程为；（2）由可知圆心，半径为2，因为直线与圆交于两点，，所以圆心到直线的距离为1，当直线斜率不存在时，直线为，满足题意；当直线斜率存在时，可设直线的方程为，则，解得，所以直线的方程为，即，综上，直线的方程为或.15．答案见解析【分析】设，由题意得，得到的坐标，从而可求各直线的斜率，再利用点斜式即可得到直线方程.【详解】设，由题意得，解得或，当时，，，，则所在直线方程为，所在直线方程为，即，所在直线方程为，即；当时，，，，则所在直线方程