北京市东城区东直门中学2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市东城区东直门中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题2分，共16分）1．（2分）随着国民经济快速发展，我国涌现出一批规模大、效益高的企业，如大疆、国家核电、华为、凤凰光学等，以上四个企业的标志是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（2分）若x＝3是关于x的方程x2﹣2x﹣m＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣15 B．﹣3 C．3 D．153．（2分）抛物线y＝3（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣2） C．（1，2） D．（2，1）4．（2分）将一元二次方程x2﹣8x+10＝0通过配方转化为（x+a）2＝b的形式，下列结果中正确的是（）A．（x﹣4）2＝6 B．（x﹣8）2＝6 C．（x﹣4）2＝﹣6 D．（x﹣8）2＝545．（2分）已知点A（1，y1），B（﹣4，y2）都在二次函数y＝﹣x2+3图象上，则y1，y2大小关系为（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．无法确定6．（2分）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是（）A．120° B．100° C．80° D．60°7．（2分）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是（）A． B．3 C．6 D．8．（2分）我们将满足等式x2+y2＝1+|x|y的每组x，y的值在平面直角坐标系中画出，便会得到如图所示的“心形”图形．下面三个结论中，①“心形”图形是轴对称图形；②“心形”图形所围成的面积一定大于2；③“心形”图形上任意一点到原点的距离都小于．其中正确结论有（）A．① B．①② C．①③ D．①②③二、填空题（每题2分，共16分）9．（2分）已知⊙O的半径为2，点A到圆心O距离是4，则点A在⊙O.（填“内”、“上”或“外”）10．（2分）请写出一个开口向下，且经过点（0，1）的二次函数的表达式．11．（2分）二次函数y＝2（x﹣1）2的图象可以由函数y＝2x2向平移个单位得到．12．（2分）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转40°得到△DEC，若∠A＝30°，则∠EFC的度数为°．13．（2分）如图，在△ABC中，若DE∥BC，，AE＝4cm，则AC的长为cm．14．（2分）如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，PA＝6，则BC的长为．15．（2分）下列关于抛物线y＝x2+bx﹣2．①抛物线的开口方向向下；②抛物线与y轴交点的坐标为（0，﹣2）；③当b＞0时，抛物线的对称轴在y轴右侧；④对于任意的实数b，抛物线与x轴总有两个公共点．其中正确的说法是．（填写正确的序号）16．（2分）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，点G为⊙C上一动点，点P为AG的中点，则DP的最大值为．三、解答题（共68分：17题至22题，每题5分；23题至26题，每题6分；27、28题每题7分）17．（5分）解方程：x2﹣4x﹣2＝0．18．（5分）如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求解答下列问题：（1）△A1B1C1与△ABC关于原点O中心对称，则B1的坐标为；（2）画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°的△A2B2C2；（3）△ABC外接圆圆心的坐标为．19．（5分）圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1m的圆，如图所示，若水面宽AB＝0.8m，求水的最大深度．20．（5分）下面是小立设计的“过圆上一点作这个圆的切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及圆上一点A．求作：直线AB，使得AB为⊙O的切线，A为切点．作法：如图2，①连接OA并延长到点C；②分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D（点D在直线OA上方）；③以点D为圆心，DA长为半径作⊙D；④连接CD并延长，交⊙D于点B，作直线AB．直线AB就是所求作的直线．根据小立设计的尺规作图过程，完成下面的证明．（说明：括号里填推理的依据）证明：连接AD．∵＝AD∴点C在⊙D上，∴CB是⊙D的直径．∴＝90°．（）∴AB⊥．∵OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．（）21．（5分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根．22．（5分）在美化校园的活动中，某兴趣小组借助如图所示的直角墙角（墙角两边DC和DA足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB和BC两边），设AB＝xm，则S矩形ABCD＝ym2．（1）求y与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当AB多长时，矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？23．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：x…﹣3﹣2﹣101…y…0﹣3﹣4﹣30…（1）求这个二次函数的表达式；（2）当y＞﹣3时，直接写出x的取值范围；（3）当﹣3≤x＜2时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣t＝0有实根，则t的取值范围是．24．（6分）如图，AB是⊙O的直径，直线PQ经过⊙O上的点E，AC⊥PQ于点C，交⊙O于D，AE平分∠BAC．（1）求证：直线PQ是⊙O的切线；（2）若AD＝6，EC＝2，求CD的长．25．（6分）广场修建了一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为x米，距地面的高度为y米．测量得到如表数值：x/米012344.4y/米2.53.33.32.50.90小庆根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小庆的探究过程，请补充完整：（1）在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出函数的图象；（2）结合函数图象，出水口距地面的高度为米，水达到最高点时与池中心的水平距离约为米；（3）若圆形喷水池半径为5米，为了使水柱落地点在池内且与水池边水平距离不小于1.5米，若只调整水管高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要（填“升高”或“降低”）米（结果保留小数点后一位）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2tx+t2﹣t．（1）求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）；（2）点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，其中t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t．①若y1的最小值是﹣2，求y2的值；②若对于x1，x2，都有y1＜y2，求t的取值范围．27．（7分）已知：△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直线AC上取一点D，连接BD，线段BD绕点B逆时针旋转90°，得到线段BD′，连接CD′交直线AB于G．（1）喜欢思考问题的小捷同学，想探索图中线段CG和线段D′G的数量关系．于是他画了图1所示当D在AC边上时的图形，并通过测量得到了线段CG与D′G的数量关系．你认为小捷的猜想是CGD′G（填“＞”，“＝”或“＜”）；（2）当D在AC边的延长线上时请你根据题目要求补全图2，①在补全的图2中找出与∠BDC相等的角②在图2中探索（1）中小捷的猜想是否成立，若成立证明你的结论，若不成立，请你说明理由；（3）如图3，当D在边AC的反向延长线上时，直接写出CA，CD，CD′的数量关系（用等式表示）．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W，给出如下定义：点P是图形W上任意一点，若存在点Q，使得∠OQP是直角，则称点Q是图形W的“直角点”．（1）已知点A（6，8），在点Q1（3，9），Q2（﹣4，2），Q3（0，8）中，是点A的“直角点”；（2）已知点B（﹣4，3），C（3，3），若点Q是线段BC的“直角点”，求点Q的横坐标n的取值范围；（3）在（2）的条件下，已知点D（t，0），E（t+1，0），以线段DE为边在x轴上方作正方形DEFG．若正方形DEFG上的所有点均为线段BC的“直角点”，直接写出t的取值范围．

参考答案一、选择题（每题2分，共16分）1．选：B．2．选：C．3．选：C．4．选：A．5．选：A．6．选：A．7．选：C．8．选：B．二、填空题（每题2分，共16分）9．答案为：外．10．答案为：y＝﹣x2+1（答案不唯一）．11．答案为：右，1．12．答案为：70．13．答案为：12．14．答案为：2．15．答案为：②④．16．答案为：3.5．三、解答题（共68分：17题至22题，每题5分；23题至26题，每题6分；27、28题每题7分）17．解：∵a＝1，b＝﹣4，c＝﹣2，∴△＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）＝4×6＞0，∴x＝＝＝2±，∴x1＝2+，x2＝2﹣．18．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，B1的坐标为（1，4）；故答案为：（1，4）；（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．（3）如图所示，△ABC外接圆圆心的坐标为（﹣3，﹣3）．19．解：如图，作OC⊥AB于点C，连接OA，∵∠ACO＝90°，，∵AB＝0.8，∴AC＝0.4，在Rt△ACO中，根据勾股定理，得，∴0.3+0.5＝0.8，∴水的最大深度为0.8m．20．证明：如图：连接AD，∵CD＝AD∴点C在⊙D上，∴CB是⊙D的直径．∴∠BAC＝90°（直径所对的圆周角是90°），∴AB⊥AC，∵OA是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线，（过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线），故答案为：CD，∠BAC，直径所对的圆周角是90°，OA，过半径的外端且垂线于半径的直线是圆的切线．21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x+2m﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4（2m﹣1）＝20﹣8m＞0，解得m＜．（2）∵m＜，∴m的最大整数为2，此时方程变形为x2﹣4x+3＝0，（x﹣1）（x﹣3）＝0，解得x1＝1，x2＝3．22．解：（1）∵AB＝xm，∴BC＝（28﹣x）m，∴y＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x，∵28﹣x＞0，∴x＜28，∴y与x的关系式为y＝﹣x2+28x（0＜x＜28）；（2）y＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，∵﹣1＜0，0＜x＜28，∴当x＝14时，y有最大值，最大值为196，答：当AB＝14m时，矩形ABCD的面积最大，最大面积是196m2．23．解：（1）∵二次函数的图象过点（﹣3，0）和（1，0），∴设二次函数的解析式为：y＝a（x+3）（x﹣1），将（0，﹣3）代入得：﹣3＝a（0+3）（0﹣1），解得：a＝1，∴二次函数的解析式为y＝（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3；（2）函数图象如图所示：观察图象可知，当y＞﹣3时，x＜﹣2或x＞0；（3）观察图象可知，当﹣3≤x＜2时，﹣4≤t＜5．故答案为：﹣4≤t＜524．（1）证明：连接OE，则OE＝OA，∴∠BAE＝∠OEA，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠CAE，∴∠OEA＝∠CAE，∴OE∥AC，∵AC⊥PQ于点C，∴∠OEP＝∠ACP＝90°，∵OC是⊙O的直径，且PQ⊥OC，∴直线PQ是⊙O的切线．（2）解：连接BE、CE，则∠B+∠ADE＝180°，∵∠EDC+∠ADE＝180°，∴∠B＝∠EDC，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝∠ACE＝90°，∴∠BAE＝∠CAE，∵∠B＝90°﹣∠BAE＝90°﹣∠CAE＝∠AEC，∴∠EDC＝∠AEC，∵∠ECD＝∠ACE，∴△ECD∽△ACE，∴＝，∴CD•AC＝EC2，∵AD＝6，EC＝2，∴CD（CD+6）＝22，解得CD＝﹣3或CD＝﹣﹣3（不符合题意，舍去），∴CD的长是﹣3．25．解：（1）画出函数的图象如下：（2）由已知可得，x＝0时，y＝2.5，∴出水口距地面的高度为2.5米，由图象可得，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.5米，故答案为：2.5，1.5；（3）设y＝ax2+bx+c，把（0，2.5）（1，3.3）（2，3.3）代入可得，，解得，∴y与x的关系式为y＝﹣0.4x2+1.2x+2.5，∵5﹣1.5＝3.5，∴当x＝3.5时，y＝﹣0.4×3.52+1.2×3.5+2.5＝1.8，∴估计出水口至少需要降低1.8米，故答案为：降低，1.8．26．解：（1）∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴抛物线的顶点坐标为（t，﹣t）；（2）①∵y＝x2﹣2tx+t2﹣t＝（x﹣t）2﹣t，∴抛物线的对称轴为x＝t，∵1＞0，∴抛物线开口向上，∵t﹣2≤x1≤t+1，∴当x＝t时，y1的最小值为﹣t，∵y1的最小值是﹣2，∴t＝2，∴x2＝1﹣t＝﹣1，抛物线表达式为y＝x2﹣4x+2，∴y2＝12﹣4×（﹣1）+2＝7；②∵点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线y＝（x﹣t）2﹣t上，∴y1＝（x1﹣t）2﹣t，y2＝（x2﹣t）2﹣t，∵对于x1，x2，都有y1＜y2，∴y2﹣y1＝（x2﹣t）2﹣t﹣（x1﹣t）2+t＝（x2﹣t）2﹣（x1﹣t）2＝（x2﹣x1）（x2+x1﹣2t）＞0，∴或，Ⅰ、当时，∵x2﹣x1＞0，∴x2＞x1，∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，∴1﹣t≥t+1，∴t≤0，∵x2+x﹣2t＞0，∴x2+x1＞2t，∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，∴﹣1＜x2+x1＜2，∴2t≤﹣1，∴t≤﹣，即t≤﹣；Ⅱ、当时，由x2﹣x1＜0得：x2＜x1，∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，∴1﹣t≤t﹣2，∴t≥，由x2+x1﹣2t＜0知，x2+x1＜2t，∵t﹣2＜x1＜t+1，x2＝1﹣t，∴﹣1＜x2+x1＜2，∴2t≥2，∴t≥1，即t；即满足条件的t的取值范围为t≤﹣或t≥．27．解：（1）CG＝D'G，理由如下：如图1，过D′作D'E⊥AB于点E，∴∠D'EB＝∠BAD＝90°，∴∠D'BE+∠BD'E＝90°，∵∠DBD′＝90°，∴∠ABD+∠D'BE＝90°，∴∠BD'E＝∠ABD，∵D'B＝DB，∴△EBD′≌△ADB（AAS），∴D'E＝AB，∵AB＝AC，∴D'E＝AC，∵∠A＝∠D'EG，∠D'GE＝∠AGC，∴△AGC≌△D'GE（AAS），∴CG＝D'G，故答案为：＝；（2）①补全的图2如下：与∠BDC相等的角是∠ABD′，理由如下：∵∠DBD'＝90°，∴∠DBA+∠ABD'＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DBA+∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠ABD′，故答案为：∠ABD′；②成立，CG＝D′G，理由如下：如图2，过D′作D'H⊥AB，交BA延长线于点H，∴∠D′HG＝∠BAC＝90°，∵D'B＝DB，∠BDC＝∠ABD′，∴△ABD≌△HD'B（AAS），∴AB＝HD'＝AC，∵∠D′HG＝∠BAC＝90°，∠D′GH＝∠AGC，∴△D'HG≌△CAG（AAS），∴CG＝D'G；（3）4CA2+CD2＝CD′2，理由如下：如图3，过D′作D'M⊥AB，交AB延长线于点M，∴∠D'MB＝∠BAD＝90°，∵∠D'BD＝90°，∴∠D'BM+∠ABD＝90°，∵∠D'BM+∠BD'M＝90°，∴∠BD′M＝∠ABD，∵D′B＝DB，∴△D'BM≌△BDA（AAS），∴D'M＝AB＝AC，BM＝AD，∴AM＝AB+BM＝AC+AD＝CD，过点C作CN⊥D'M，交D'M的延长线于N，∴∠NMA＝∠MAC＝∠N＝90°，∴四边形AMNC是矩形，∴CN＝AM＝CD，MN＝AC＝D′M，∵D'N2+CN2＝CD′2，∴（2CA）2+CD2＝CD′2，∴4CA2+CD2＝CD′2．28．解：（1）∵＝32+92＝90，＝12+32＝10，OA2＝62+82＝100，∴，∴∠OQ1A＝90°，∴Q1是点A的“直角点”；∵＝20，＝136，OA2＝62+82＝100，∴，∴∠OQ2A＞90°，∴Q2不是点A的“直角点”；∵∠OQ3A＝90°，∴Q3是点A的“直角点”．综上，Q1，Q3是点A的“直角点”．故答案为：Q1，Q3；（2）∵点Q是线段BC的“直角点”，P为线段BC上的点，∴∠OQP＝90°，