6.1 平行四边形的性质 同步练习

第六章平行四边形第一节平行四边形的性质基础过关全练知识点1平行四边形的定义1.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=40°，四边形DEBF是平行四边形，则∠1=.

知识点2平行四边形的性质2.(2022北京西城期末)如图，BD是▱ABCD的对角线，如果∠ABC=80°，∠ADB=25°，则∠BDC等于()A.65° B.55° C.45° D.25° 第2题图 第3题图 第4题图3.(2022浙江杭州滨江期末)如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD的两条对角线AC，BD交于点O，点D的坐标是(2，1)，则点B的坐标是()A.(-2，-1) B.(-2，1) C.(-1，2) D.(1，2)4.(2020四川成都期末)如图，小斌用一根50m长的绳子围成了一个平行四边形ABCD，其中一边长为16m，则其邻边长为()A.34m B.18m C.16m D.9m5.(2022重庆渝中期末)在▱ABCD中，若∠A=130°，则∠B的度数为()A.50° B.70° C.130° D.150°6.(2022广东广州海珠期末)如图所示，在▱ABCD中，DE⊥BC，垂足为E，如果∠A=72°，则∠CDE的度数是()A.18° B.20° C.22° D.28°7.(2022福建泉州南安期末)如图，▱ABCD的周长为20，△BOC的周长比△AOB的周长多2，则BC的长为() 第7题图 第8题图 第9题图A.4 B.5 C.6 D.78.(2022河北石家庄藁城期末)如图，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是()A.∠1=∠2 B.∠1=∠3 C.AB=CD D.OB=OD9.(2022重庆万州期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠D=70°，CD边的垂直平分线与AD边交于点E，与CD边交于点F，连接CE，则∠BCE的度数为.

10.(2022云南昆明二模)四边形ABCD是平行四边形，∠A，∠D的平分线分别交BC边于点E和点F，若EF=3，AB=5，则四边形ABCD的周长为.

11.如图，E，F为▱ABCD的对角线AC所在直线上的两点，AE=CF.求证：∠E=∠F.12.(2022陕西西安未央期末)如图，在▱ABCD中，点E为BC上一点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，AD=DF，连接DE.(1)求证：AE平分∠BAD；(2)若点E为BC中点，∠B=60°，AD=4，求线段DE的长.能力提升全练13.(2022黑龙江大庆中考)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在E处.若∠1=56°，∠2=42°，则∠A的度数为() 第13题图 第14题图 第15题图A.108° B.109° C.110° D.111°14.(2022山东枣庄四十一中阶段测)如图，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F.下列结论：①OE=OF；②图中共有4对全等三角形；③若AB=4，AC=6，则2<BD<14；④S四边形ABFE=S△ABC.其中正确的有()A.①④ B.①②④ C.①③④ D.①②③15.(2022陕西渭南富平期末)如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，过点O作OE⊥AC交AD于E，若AE=4，DE=2，AB=25，则AC的长为()A.32 B.42 C.52 D.516.(2022湖北荆州中考)如图，点E，F分别在▱ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H.添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是.(只需写一种情况)

17.(2022山东泰安中考)如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为.

18.(2022山东烟台中考)如图，在▱ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E.若∠A=40°，求∠ABE的度数.19.(2022四川成都七中期中)在平行四边形ABCD中，AE⊥DC于点E，AE=AB.(1)如图1，若∠DAE=30°，DE=3，求平行四边形ABCD的周长；(2)如图2，作∠ABC的平分线交AE于点F，交AD于点M，求证：DE+AF=BC；(3)如图3，在(1)的条件下，将△ADE绕点E顺时针旋转一定的角度α(0°<α<90°)，得到△A'D'E，当∠D'A'E=∠A'EA时，停止旋转，此时边A'D'与边AE交于点P，点G是直线DC上一动点，连接GB，在线段GB右侧作等边△GBN，连接PN，求PN的最小值. 图1 图2 图3素养探究全练20.如图，长方形ABCD的面积为Scm2，对角线交于点O.以AB、AO为邻边作平行四边形AOC1B，连接AC1，交BD于O1，以AB、AO1为邻边作平行四边形AO1C2B，……，依此类推，则平行四边形AOnCn+1B(n为正整数)的面积为()A.12n−1Scm2 B.1C.12n+1Scm2 D.121.对于平面直角坐标系xOy中的图形M、N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“近距离”，记作d(M，N).在▱ABCD中，点A(4，8)，B(-4，0)，C(-4，-8)，D(4，0)，如图.(1)直接写出d(点O，▱ABCD)=；

(2)若点P在y轴正半轴上，d(点P，▱ABCD)=4，求点P坐标.

第六章平行四边形第一节平行四边形的性质答案全解全析基础过关全练1.答案40°解析∵四边形DEBF是平行四边形，∴AB∥DE，∴∠1=∠A=40°.2.B∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC=80°，∵∠ADB=25°，∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=80°-25°=55°，故选B.3.A∵四边形ABCD是平行四边形，O为对角线AC与BD的交点，∴B与D关于原点O对称，∵点D的坐标为(2，1)，∴点B的坐标为(-2，-1)，故选A.4.D∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC，∵平行四边形的周长为50m，一边长为16m，∴其邻边长为12×50-16=9m，5.A∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠A+∠B=180°，∵∠A=130°，∴∠B=50°，故选A.6.A∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C=72°，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠CDE+∠C=90°，∴∠CDE=90°-72°=18°.故选A.7.C由平行四边形的性质知AO=OC，∵△BOC的周长=BC+OB+OC，△AOB的周长=AB+OA+OB，△BOC的周长比△AOB的周长多2，∴BC-AB=2，即AB=BC-2，∵2AB+2BC=20，∴AB+BC=10，∴BC=6，故选C.8.B∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB=CD，OB=OD，∴∠1=∠2，故A，C，D中的结论正确；∠1与∠3不一定相等，故B中的结论错误，故选B.9.答案40°解析∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠D+∠BCD=180°，∵∠D=70°，∴∠BCD=110°，∵EF垂直平分CD，∴ED=EC，∴∠D=∠ECF=70°，∴∠BCE=∠BCD-∠ECD=110°-70°=40°.故答案为40°.10.答案24或36解析∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=5，AD=BC，AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB，∠ADF=∠DFC，∵∠BAD，∠ADC的平分线分别交BC边于点E和点F，∴∠BAE=∠DAE，∠ADF=∠CDF，∴∠BAE=∠AEB，∠CDF=∠DFC，∴BE=AB=5，CF=CD=5，如图1，当点F在点B、E之间时，BC=BE+CF-EF=5+5-3=7，∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=5+7+5+7=24；图1如图2，当点F在点C、E之间时，BC=BE+CF+EF=5+5+3=13，∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+DA=5+13+5+13=36.图2综上，四边形ABCD的周长为24或36.故答案为24或36.11.证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB=DC，∴∠BAC=∠DCA，∴∠BAE=∠DCF，在△ABE和△CDF中，AE∴△ABE≌△CDF(SAS)，∴∠E=∠F.12.解析(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DF，∴∠BAE=∠AFD，∵AD=DF，∴∠DAE=∠AFD，∴∠BAE=∠DAE，即AE平分∠BAD.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DF，AB=DC，AD=BC=4，∠B=∠ADF=60°，∴∠BAE=∠CFE，∠B=∠FCE，∵点E为BC中点，∴BE=EC=12BC=2∴△ABE≌△FCE(AAS)，∴AE=EF，∵AD=DF=4，∴DE⊥AF，∠ADE=∠FDE=30°，∴AE=12AD=2∴DE=AD2−AE能力提升全练13.C∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABE=∠1=56°，根据折叠可知，∠ABD=∠EBD，∴∠ABD=12∠ABE=12×56°=28∵∠2=42°，∴∠A=180°-∠ABD-∠2=110°，故选C.14.C∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO=12AC，AD∥BC∴∠DAO=∠BCA，∠AEO=∠CFO，∴△AEO≌△CFO(AAS)，∴OE=OF，故①正确；全等三角形有△AOB≌△COD，△AOD≌△COB，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF，△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA，共6对，故②错误；∵AC=6，∴AO=3，∴4-3<OB<4+3，∴2<BD<14，故③正确；∵△AEO≌△CFO，∴S△AEO=S△CFO，∴S四边形ABFE=S△ABC，故④正确.故选C.15.B连接CE，如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，CD=AB=25，∵OE⊥AC，∴OE垂直平分AC，∴CE=AE=4，∵DE=2，∴CE2+DE2=42+22=(25)2=CD2，∴∠CED=90°，∴∠AEC=90°，∴AC=42+42=416.答案AE=CF(答案不唯一)解析∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∠A=∠C，∴∠E=∠F，∵AE=CF，∴△AEG≌△CFH(ASA)，故答案为AE=CF(答案不唯一).17.答案(-2，-1)解析∵四边形ABCD为平行四边形，∴DA∥CB，DA=BC，∵D(3，2)，A(-1，2)，C(2，-1)，∴B(2-4，-1)，即B(-2，-1).故答案为(-2，-1).18.解析∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A+∠ADC=180°，∠AFD=∠CDF，∵∠A=40°，∴∠ADC=140°，∵DF平分∠ADC，∴∠CDF=12∠ADC=70°∴∠AFD=∠CDF=70°，∵DF∥BE，∴∠ABE=∠AFD=70°.19.解析(1)在Rt△AED中，∠AED=90°，∠DAE=30°，DE=3，∴AD=23，∴AE=3，∵AE=AB，∴AB=3.∴平行四边形ABCD的周长为2(AB+AD)=43+6.(2)证明：如图，延长FA至H，使AH=DE，连接BH，∵AB∥CD，AE⊥DC，∴∠AED=∠EAB=∠HAB=90°，又∵DE=AH，AE=AB，∴△HAB≌△DEA(SAS)，∴HB=AD=BC，∠3=∠4.∵AD∥BC，BM平分∠ABC，∴∠1=∠MBC=∠2，∵∠5=∠1+∠4，∠HBF=∠2+∠3，∴∠5=∠HBF，∴HB=HF，∴HF=BC，∴AF+DE=BC.(3)补全图形如图，延长DC至M，使CM=CB，连接BM，作直线MN，过P作PH⊥直线MN于点H，交EM于Q，∵∠DAE=30°，∠AED=90°，∴∠D=60°，∴∠DCB=120°，∠BCM=60°.∴△BCM是等边三角形，∴BC=BM，∵△BGN为等边三角形，∴BG=BN，∠GBN=∠CBM，∴∠GBC=∠NBM，∴△BMN≌△BCG(SAS)，∴∠BMN=∠BCG=120°，∴点N在直线MN上运动.∴当点N与点H重合时，PN取得最小值，∵∠D'A'E=∠A'EP，∴A'P=PE，由旋转可知∠D'A'E=∠DAE=30°，∠A'D'E=∠D=60°，A'D'=AD=23，∴∠D'A'E=∠A'EP=30°，∴∠D'PE=60°，∴△PED'为等边三角形，∴PE=PD'，∴PE=12A'D'=3∵∠BMC=60°，∴∠EMN=60°，∴∠MQH=∠PQE=30°，∴PQ=2PE=23，∴EQ=3，∵EC=3-3，CM=CB=23，∴EM=3+3，∴QM=3.在Rt△QMH中，∠MQH=30°，∴MH=32，∴QH=3∴PN的最小值为23+32素养探究全练20.C∵O为长方形ABCD的对角线的交点，∴平行四边形AOC1B的边AB上的高等于BC的一半，∴平行四边形AOC1B的面积=12Scm2∵平行四边形AOC1B的对角线交于点O1，∴平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOC1B的边AB上的高的一半，∴平行四边形AO1C2B的面积=12×12S=122……依此类推，平行四边形AOnCn+1B(n为正整数)的面积为12n+1Scm221.解析(1)由点A，B，C，D的坐标可知O为▱ABCD对角线的交点，∴点O到BC