《一次方程与方程组》全章复习与巩固（提高）知识讲解

《一次方程与方程组》全章复习与巩固（提高）知识讲解撰稿：吴婷婷审稿：常春芳【学习目标】1．理解方程，等式及一元一次方程、二元一次方程组的概念，并掌握它们的区别和联系；2．会解一元一次方程及二元一次方程组，并理解每步变形的依据；3．会根据实际问题列方程或方程组解应用题．【知识网络】【要点梳理】要点一、方程及方程组的相关概念1．方程：含有未知数的等式叫做方程．2．一元一次方程：只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，且等式两边都是整式的方程叫做一元一次方程．3．二元一次方程：方程中含有两个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．要点诠释：（1）在方程中“元”是指未知数，“一元”就是指方程中只含有一个未知数；“二元”就是指方程中有且只有两个未知数．（2）无论是一元一次方程还是二元一次方程，未知数的次数都为1，是指含有未知数的项（单项式）的次数是1．（3）未知数所在的式子是整式，即分母中不含未知数，二元一次方程的左边和右边都必须是整式．4．二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．要点诠释：二元一次方程的每一个解，都是一对数值，而不是一个数值，一般要用大括号联立起来，即二元一次方程的解通常表示为的形式．5．二元一次方程组：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组．此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数．例如，二元一次方程组．6．二元一次方程组的解：使二元一次方程组中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．要点诠释：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解．（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组无解，而方程组的解有无数个．7．三元一次方程组：由三个一次方程组成的含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组．要点诠释：（1）方程组中的每一个方程都是一次方程；（2）如果三个一元一次方程合起来共有三个未知数，它们就能组成一个三元一次方程组．要点二、等式的性质1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式．2．等式的性质：等式的性质1：等式两边加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式，即：如果，那么

等式的性质2：等式的两边都乘同或除以同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式，即：如果，那么；．等式的性质3：如果，那么．（对称性）等式的性质4：如果，，那么．（传递性）要点诠释：（1）根据等式的性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；（2）等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，如x＝0中，两边加上得x＋，这个等式不成立；（3）等式的性质4中一个量用与它相等的量代替，简称等量代换．3．移项：在解方程的过程中，等号的两边加上（或减去）方程中某一项的变形过程，相当于把方程中某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边．这种变形过程叫做移项．要点诠释：移项通常是指把含有未知数的项移到方程的一边，其他项移到方程的另一边，但无论是移含有未知数的项还是其他项都要改变符号，然后再进行移项．要点三、方程及方程组的解法1．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母：在方程两边同乘以各分母的最小公倍数．(2)去括号：依据乘法分配律和去括号法则，先去小括号，再去中括号，最后去大括号．(3)移项：把含有未知数的项移到方程一边，常数项移到方程另一边．(4)合并：逆用乘法分配律，分别合并含有未知数的项及常数项，把方程化为ax＝b(a≠0)的形式．(5)系数化为1：方程两边同除以未知数的系数得到方程的解(a≠0)．(6)检验：把方程的解代入原方程，若方程左右两边的值相等，则是方程的解；若方程左右两边的值不相等，则不是方程的解．2．解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解．要点诠释：(1)用代入法解二元一次方程组时，应先观察各项系数的特点，尽可能选择变形后比较简单或代入后化简比较容易的方程变形；(2)变形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程组中的另一个方程；(3)要善于分析方程的特点，寻找简便的解法．如将某个未知数连同它的系数作为一个整体用含另一个未知数的代数式来表示，代入另一个方程，或直接将某一方程代入另一个方程，这种方法叫做整体代入法．整体代入法是解二元一次方程组常用的方法之一，它的运用可使运算简便，提高运算速度及准确率．（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可．要点诠释：当方程组中有一个未知数的系数的绝对值相等或同一个未知数的系数成整数倍时，用加减消元法较简单．3．三元一次方程组的解法解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．要点四、方程及方程组的应用1．常见类型：行程问题：路程＝速度×时间和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数数字问题：多位数的表示方法：例如：2．实际问题与二元一次方程组要点诠释：（1）解实际应用问题必须写“答”，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理，不符合题意的解应该舍去；（2）“设”、“答”两步，都要写清单位名称；（3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组．【典型例题】类型一、方程及方程组的相关概念1．已知方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是关于x的一元一次方程，求m和x的值．【思路点拨】若一个整式方程经过化简变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，系数不为0，则这个方程是一元一次方程．【答案与解析】解：因为方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m是关于x的一元一次方程，所以3m-4＝0且5-3m≠0．由3m-4＝0解得，又能使5-3m≠0，所以m的值是．将代入原方程，则原方程变为，解得．所以，．【总结升华】解答这类问题，一定要严格按照一元一次方程的定义．方程(3m-4)x2-(5-3m)x-4m＝-2m2是关于x的一元一次方程，就是说x的二次项系数3m-4＝0，而x的一次项系数5-3m≠0，m的值必须同时符合这两个条件．举一反三：【变式】如果5(x+2)＝2a+3与的解相同，那么a的值是________．【答案】提示：由5(x+2)＝2a+3，解得．由，解得．所以，解得．2．在下列方程中，只有一个解的是（）A．B．C．D．【思路点拨】逐一求每个选项中方程组的解，便得出正确答案【答案】C．【解析】选项A、B、D中，将方程，两边同乘以3得，从而可以判断A、B选项中的两个二元一次方程矛盾，所以无解；而D中两个方程实际是一个二元一次方程，所以有无数组解，排除法得正确答案为C．【总结升华】在（其中，，，均不为零），（1）当时，方程组无解；（2）当，方程组有无数组解；（3）当，方程组有唯一解．举一反三：【变式】已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于．【答案】a＝﹣3，b＝﹣14．类型二、方程及方程组的解法3．解关于的方程：【思路点拨】这个方程化为标准形式后，未知数x的系数和常数都是以字母形式出现的，所以方程的解的情况与x的系数和常数的取值都有关系．【答案与解析】解：原方程可化为：当时，原方程有唯一解：；当时，原方程无数个解；当时，原方程无解；【总结升华】解含字母系数的方程时，一般化为最简形式，再分类讨论进行求解，注意最后的解不能合并，只能分情况说明．举一反三：【变式】若关于的方程无解，只有一个解，有两个解，则的大小关系为()A．B．C．D．【答案】A提示：方程无解m＞0，只有一个解n=0，有两个解k＜0.4．解方程：|x-1|+|x-3|=3【思路点拨】分别讨论①x＜1，②1＜x＜3，③x＞3，根据x的范围去掉绝对值符号，解方程即可．【答案与解析】解：当x＜1时，原方程就可化简为：1-x+3-x=3，解得：x=0．5；第二种：当1＜x＜3时，原方程就可化简为：x-1-x+3=3，不成立；第三种：当x＞3时，原方程就可化简为：x-1+x-3=3，解得：x=3．5；故x的解为0．5或3．5．【总结升华】解含绝对值的方程的关键，就是根据绝对值的定义或性质去掉绝对值符号，化它为一般的方程，从而解决问题，注意讨论x的取值．5．解方程组【思路点拨】本题结构比较复杂，一般应先化简，再消元．仔细观察题目，不难发现，方程组中的每一个方程都含有(x-y)，因此可以把(x-y)看作一个整体，消去(x-y)可得到一个关于y的一元一次方程．【答案与解析】解：由①×9得：6(x-y)+9y＝45③②×4得：6(x-y)-10y＝-12④③-④得：19y＝57，解得y＝3．把y＝3代入①，得x＝6．所以原方程组的解是．【总结升华】本题巧妙运用整体法求解方程组，显然比加减法或代入法要简单，在平时求方程组的解时，要善于发现方程组的特点，运用整体法求解会收到事半功倍的效果．举一反三：【变式】方程的整数解的个数是．【答案】2组提示：把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是1与0，于是一个方程裂变为多个方程组，通过解方程组来求解的个数．类型三、方程及方程组的应用6．李伟从家里骑摩托车到火车站，如果每小时行30千米，那么比火车开车时间早到15分钟；若每小时行18千米，则比火车开车时间迟到15分钟，现在李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站，求李伟此时骑摩托车的速度应是多少?【思路点拨】本题中的两个不变量为：火车开出的时间和李伟从家到火车站的路程不变．【答案与解析】解：设李伟从家到火车站的路程为y千米，则有：，解得：由此得到李伟从家出发到火车站正点开车的时间为(小时)．李伟打算在火车开车前10分钟到达火车站时，设李伟骑摩托车的速度为x千米/时,则有：(千米/时)答：李伟此时骑摩托车的速度应是27千米/时．【总结升华】在解决问题时，当发现某种方法不能解决问题时，应该及时变换思维角度，如本题直接设未知数较难时，应迅速变换思维的角度，合理地设置间接未知数以寻求新的解决问题的途径和方法．7．已知：用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物．

根据以上信息，解答下列问题：

（1）1辆A型车和1辆车B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？

（2）请你帮该物流公司设计租车方案；

（3）若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次．请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．【答案与解析】解：（1）设每辆A型车、B型车都装满货物一次可以分别运货x吨、y吨，

依题意列方程组得：解方程组，得：答：1辆A型车装满货物一次可运3吨，1辆B型车装满货物一次可运4吨．

（2）结合题意和（1）得：3a+4b=31，∴∵a、b都是正整数答：有3种租车方案：

方案一：A型车9辆，B型车1辆；

方案二：A型车5辆，B型车4辆；

方案三：A型车1辆，B型车7辆．

（3）∵A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次，

∴方案一需租金：9×100+1×120=1020（元）

方案二需租金：5×100+4×120=980（元）

方案三需租金：1×100+7×120=940（元）

∵1020＞980＞940

∴最省钱的租车方案是方案三：A型车1辆，B型车7辆，最少租车费