2024-2025学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.1.1-2.2空间中直线与直线之间的位置关系课时作业含解析新人教A版必修2

PAGE1-2.1.1-2.2空间中直线与直线之间的位置关系[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．一条直线与两条异面直线中的一条相交，则它与另一条的位置关系是()A．异面B．平行C．相交D．可能相交、平行、也可能异面解析：一条直线与两条异面直线中的一条相交，它与另一条的位置关系有三种：平行、相交、异面，如下图所示．答案：D2．空间两个角α，β的两边分别对应平行且方向相同，若α＝50°，则β等于()A．50°B．130°C．40°D．50°或130°解析：由等角定理知β与α相等，故选A.答案：A3.如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，G，H分别在边CD，DA上，且满意CG＝eq\f(1,2)GD，DH＝2HA，则四边形EFGH为()A．平行四边形B．矩形C．菱形D．梯形解析：因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF綊eq\f(1,2)AC，又eq\f(DH,HA)＝eq\f(2,1)，eq\f(DG,GC)＝eq\f(2,1)，所以eq\f(DH,HA)＝eq\f(DG,GC)，所以HG綊eq\f(2,3)AC，所以EF∥HG且EF≠HG，所以四边形EFGH为梯形．答案：D4．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是()A．l与l1，l2都不相交B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交D．l至少与l1，l2中的一条相交解析：由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．答案：D5．在正方体ABCD－A1B1C1D1的全部面对角线中，与AB1成异面直线且与AB1成60°的有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：如图，△AB1C是等边三角形，所以每个内角都为60°，所以面对角线中，全部与B1C平行或与AC平行的直线都与AB1成60°角．所以异面的有2条．又△AB1D1也是等边三角形，同理满意条件的又有2条，共4条，故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分)6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线．其中正确的结论为________．(注：把你认为正确的结论的序号都填上)解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，所以①②错误．点B，B1，N在平面BB1C1C中，点M在此平面外，所以BN，MB1是异面直线．同理AM，DD1也是异面直线．答案：③④7．已知正方体ABCD－A′B′C′D′中：(1)BC′与CD′所成的角为__________________________；(2)AD与BC′所成的角为__________________________．解析：连结BA′，则BA′∥CD′，连结A′C′，则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．由△A′BC′为正三角形．∴∠A′BC′＝60°，由AD∥BC，∴AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.答案：(1)60°(2)45°8．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是________(填序号)．解析：①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．答案：③三、解答题(每小题10分，共20分)9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱A1A，C1C的中点，求证：四边形MBND1为平行四边形．证明：取B1B的中点P，连接C1P，MP.因为N为C1C的中点，由正方体性质知C1N綊PB，所以四边形C1PBN为平行四边形，所以C1P綊BN，(*)又因为M，P分别为A1A，B1B的中点，有MP綊A1B1.又由正方体性质知A1B1綊C1D1，所以MP綊C1D1，所以四边形D1MPC1为平行四边形，所以C1P綊MD1.由(*)知MD1綊BN，所以四边形MBND1为平行四边形．10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)求AC与A1D所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．解析：(1)如图所示，连接B1C，AB1，由ABCD－A1B1C1D1是正方体，易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角(或其补角)．∵AB1＝AC＝B1C，∴∠B1CA＝60°.即A1D与AC所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC⊥BD，AC∥A1C1，∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD，∴EF⊥AC.∴EF⊥A1C1.即A1C1与EF所成的角为90°.[实力提升](20分钟，40分)11．[2024·江西师大附中月考]已知a和b是成60°角的两条异面直线，则过空间一点且与a、b都成60°角的直线共有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：把a平移至a′与b相交，其夹角为60°.60°角的补角的平分线c与a、b成60°角．过空间这一点作直线c的平行线即满意条件．又在60°角的“平分面”上还有两条满意条件，故选C.答案：C12.[2024·江西新余一中月考]如图所示，在空间四边形ABCD中，E，H分别为AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且eq\f(CF,CB)＝eq\f(CG,CD)＝eq\f(2,3)，若BD＝6cm，梯形EFGH的面积为28cm2，则平行线EH，FG间的距离为________．解析：EH＝3，FG＝6×eq\f(2,3)＝4，设EH，FG间的距离为h，则S梯形EFGH＝eq\f(EH＋FGh,2)＝28，得h＝8(cm)．答案：8cm13.已知棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：∠DNM＝∠D1A1C1.证明：如图，连接AC，在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点，所以MN是△ADC的中位线，所以MN∥AC，由正方体的性质得AC∥A1C1，所以MN∥A1C1.又因为ND∥A1D1，所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1.14．如图，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB、CD的中点，若EF＝eq\r(3)，求异面直线AD、BC所成角的大小．解析：如图，取BD的中点M，连接EM，FM.因为E、F分别是AB、CD的中点，所以EM綊eq\f(1,2)AD，FM綊eq\f(1,2)BC，则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，在等腰△MEF中，过