立体几何必考经典解答题全归类【十大题型】原卷版-2025年新高考数学一轮复习

立体几何必考经典解答题全归类【十大题型】

►题型归纳

【题型1立体几何中的体积问题】..............................................................4

【题型2立体几何中的线段长度问题】..........................................................5

【题型3空间角问题】.........................................................................7

【题型4空间点、线、面的距离问题】..........................................................9

【题型5立体几何中的作图问题】..............................................................11

【题型6立体几何中的折叠问题】..............................................................14

【题型7立体几何中的轨迹问题】..............................................................16

【题型8立体几何中的探索性问题】...........................................................17

【题型9立体几何建系繁琐问题(几何法)】...................................................20

【题型10新情景、新定义下的立体几何问题】..................................................21

►命题规律

1、立体几何必考经典解答题全归类

空间向量与立体几何是高考的重点、热点内容，空间向量是将空间几何问题坐标化的工具，属于高考

的必考内容之一.从近几年的高考情况来看，立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个

空间几何体为依托，分步设问，逐层加深；第一小问主要考察空间线面位置关系的证明，难度较易；第二、

三小问一般考察空间角、空间距离与几何体的体积等，难度中等偏难；空间向量作为求解空间角的有力工

具，通常在解答题中进行考查，解题时需要灵活建系.

►方法技巧总结

【知识点1空间几何体表面积与体积的常见求法】

1.求几何体体积的常用方法

(1)公式法：直接代入公式求解.

(2)等体积法：四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面面积和高都易求出的形式即可.

(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等.

(4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积.

2.求组合体的表面积与体积的一般方法

求组合体的表面积的问题，首先应弄清它的组成部分，其表面有哪些底面和侧面，各个面的面积应该

怎样求，然后根据公式求出各个面的面积，最后相加或相减.求体积时也要先弄清各组成部分，求出各简单

几何体的体积，再相加或相减.

【知识点2几何法与向量法求空间角】

1.几何法求异面直线所成的角

(1)求异面直线所成角一般步骤：

①平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线；

②证明：证明所作的角是异面直线所成的角；

③寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之；

④取舍：因为异面直线所成角。的取值范围是(0,5],所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面

直线所成的角.

2.用向量法求异面直线所成角的一般步骤：

(1)建立空间直角坐标系；

(2)用坐标表示两异面直线的方向向量；

(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；

(4)注意两异面直线所成角的范围是(0,f],即两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角的余弦值的

绝对值.

3.几何法求线面角

(1)垂线法求线面角(也称直接法)：

①先确定斜线与平面，找到线面的交点8为斜足；找线在面外的一点/,过点/向平面a做垂线，确定

垂足。；

②连结斜足与垂足为斜线AB在面a上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角；

③把投影3。与斜线归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者直角三角形.

(2)公式法求线面角(也称等体积法)：

用等体积法，求出斜线尸/在面外的一点尸到面的距离，利用三角形的正弦公式进行求解.

公式为：sin6=4,其中。是斜线与平面所成的角，〃是垂线段的长，/是斜线段的长.

4.向量法求直线与平面所成角的主要方法：

(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，将题目转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);

(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角，取其余

角就是斜线和平面所成的角.

5.几何法求二面角

作二面角的平面角的方法：

作二面角的平面角可以用定义法，也可以用垂面法，即在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线,

再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角.

6.向量法求二面角的解题思路：

用法向量求两平面的夹角：分别求出两个法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到两平面夹角

的大小.

【知识点3空间距离的求解策略】

1.向量法求点到直线距离的步骤：

(1)根据图形求出直线的单位方向向量；.

(2)在直线上任取一点M■(可选择特殊便于计算的点).计算点M与直线外的点N的方向向量加.

(3)垂线段长度1=.而2—(加.丁.

2.求点到平面的距离的常用方法

(1)直接法：过尸点作平面a的垂线，垂足为。,把尸。放在某个三角形中，解三角形求出尸0的长度就

是点P到平面a的距离.

②转化法：若点P所在的直线/平行于平面a,则转化为直线I上某一个点到平面a的距离来求.

③等体积法.

庖

④向量法：设平面a的一个法向量为〃，/是a内任意点，则点P到a的距离为〃=

【知识点4立体几何中的轨迹问题的解题策略】

1.动点轨迹的判断方法

动点轨迹的判断一般根据线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断

出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程.

2.立体几何中的轨迹问题的常见解法

(1)定义法：根据圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，进而求解轨迹问题.

(2)交轨法：若动点满足的几何条件是两动曲线(曲线方程中含有参数)的交点，此时，要首先分析两动曲

线的变化，依赖于哪一个变量?设出这个变量为3求出两动曲线的方程，然后由这两动曲线方程着力消去

参数3化简整理即得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法我们称为交轨法.

(3)几何法：从几何视角人手，结合立体几何中的线面平行、线面垂直的判定定理和性质定理，找到动

点的轨迹，再进行求解.

(4)坐标法：坐标法就是通过建立空间直角坐标系，将立体几何中的轨迹问题转化为坐标运算问题，进

行求解.

(5)向量法：不通过建系，而是利用空间向量的运算、空间向量基本定理等来研究立体几何中的轨迹问

题，进行求解.

【知识点5立体几何中的探索性问题的求解策略】

1.与空间向量有关的探索性问题的求解策略：

在立体几何中，与空间向量有关的探究性问题主要有两类：一类是探究线面的位置关系；另一类是探

究线面角、二面角或点线面距离满足特定要求时的存在性问题.

解决这两类探索性问题的解题策略是：先建立空间直角坐标系，引入参数(有些是题中己给出)，设

出关键点的坐标，然后探究这样的点是否存在，或参数是否满足要求，从而作出判断.

►举一反三

【题型1立体几何中的体积问题】

【例1】(2024•陕西咸阳・模拟预测)已知三棱柱48C—&a的，如图所示，P是公的，上一动点，点0、D

分另1］是AC、PC的中点，ABIBC,AA!=AB=BC=2.

⑴求证：。川平面P4B；

(2)当44i1平面4BC,且&P=3PCi时，求三棱锥为—4PC的体积.

【变式1-1](2024•山东日照•二模)在三棱锥P—ABC中，BA1BC,平面48C,点E在平面4BC内,

且满足平面PAE1平面PBE,AB=BC=BP=1.

(1)求证：AE1BE；

(2)当二面角E-PA-B的余弦值为手时，求三棱锥E-PCB的体积.

【变式1-2](2024•河南•模拟预测)如图，几何体ABCDEF中，底面48CD为边长为2的菱形，平面CDEF，

平面A8CD,平面平面ABC。，Z.DAB=

(1)证明：CT1平面/BCD；

(2)若DE=孚，平面ADE与平面BCF的夹角为也求四棱锥E—48CD的体积.

【变式1-3](2024•黑龙江双鸭山•模拟预测)如图，四棱锥P—4BCD的底面4BCD是矩形，PD1平面

48C2PD=回。;短时为PD的中点，Q为尸/上一点，S.AM1DQ.

汆-------V

⑴证明：PC〃平面5D。；

(2)若二面角B-DQ-C为45°,求三棱锥Q—BCD的体积.

【题型2立体几何中的线段长度问题】

【例2】(2024•江苏南京•二模)如图,AD//BC,AD1AB,点E、F在平面力BCD的同侧，CF//AE,

AD=1,AB=BC=2,平面4CFEJ.平面4BCD,EA=EC=V3.

⑴求证：BF〃平面2DE；

(2)若直线EC与平面FBD所成角的正弦值为需，求线段CF的长.

【变式2-1](2024•重庆•模拟预测)如图，在四棱锥E—ABC。中，EC1^ABCD.AB||DC,AACD^HL

三角形，DC=24B=2,CB=CE,点尸为棱BE上的动点.

E

/B

(1)证明：DC1平面BCE；

(2)当二面角F-AC-8的大小为45。时，求线段CF的长度.

【变式2-2]（2024・湖北•模拟预测）如图,AE1平面力BCD,E,9在平面力BCD的同侧，AE//DF,AD//BC,

AD1AB,AD=AB^^BC=1.

££F

(1)若四点在同一平面内，求线段EF的长;

(2)若DF=24E,平面BEF与平面BCF的夹角为30°,求线段2E的长.

【变式2-3](2024•湖南•模拟预测)如图1,在五边形力BCDP中，连接对角线AD,AD//BC,AD1DC,

PA=PD=2®AD=2BC=2DC=4,将三角形PAD沿2。折起，连接PC,PB,得四棱锥P—4BCD（如图

2),且PB=2VlE为2D的中点，M为BC的中点，点N在线段PE上.

图1图2

(1)求证：平面PAD_L平面力BCD；

(2)若平面4MN和平面P4B的夹角的余弦值为嚼，求线段EN的长.

【题型3空间角问题】

【例3】(2024・青海•二模)如图，在三棱柱4BC—4m也1中，所有棱长均相等,CB^CBCL0,/.ABB1

=60°,CB1BB「

(1)证明；4。1平面BBiCiC.

(2)若二面角Ci-—B的正弦值.

【变式3-1](2024•福建龙岩•三模)如图，在四棱台ABCD—4中停以1中，底面四边形/BCD为菱形,

Z.ABC=60°,AB=2A=2AxB^,AAi_L平面ABCD.

(1)证明：BDICC

⑵若M是棱BC上的点，且满足等=I，求二面角M—A%—D的余弦值.

【变式3-2](2024•黑龙江大庆•三模)如图，在四棱锥P—ABCD中，AD//

BQBAD=90。/。=2BC=4,48=2,PA=2®乙PAO=45°,且。是2。的中点.

⑴求证：平面POC1平面ABC；

(2)若二面角P—AD—B的大小为120。，求直线PB与平面PAD所成角的余弦值.

【变式3-3](2024•河南濮阳•模拟预测)如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,AD=AB=BC=2,

CD=4,E为CD中点，/E与2。相交于点O,将△4DE沿NE折起，使点。到达点尸的位置(P学平面

ABCE).

(1)求证：平面P081平面P8C；

(2)若PB=V^,试判断线段依上是否存在一点。(不含端点)，使得直线尸C与平面4EQ所成角的正弦值

为等若存在，求。在线段网上的位置；若不存在，说明理由.

【题型4空间点、线、面的距离问题】

【例4】(2024•天津和平•二模)如图，三棱台48。一4道1射中，△4BC为等边三角形，AB=2A1B1=4,

4%1平面/2C,点N,。分别为AC,8c的中点，&B14cl.

⑴证明："ill平面&MN；

(2)求直线与平面4MN所成角的正弦值;

(3)求点D到平面&MN的距离.

【变式4-1](2024•广东•三模)如图，边长为4的两个正三角形力BC,BCD所在平面互相垂直，E,F分别

为BC,CD的中点，点G在棱4。上，AG=2GD,直线48与平面EFG相交于点H.

⑴证明：BD//GH；

(2)求直线BD与平面EFG的距离.

【变式4-2](2024・上海•三模)如图，在直三棱柱ABC—ZiBiCi中，AAr^AB=2,AC1,

乙4c8=90。，。是棱N8上的一点.

(1)若=DB,求异面直线BiD与41射所成的角的大小;

(2)若CDlBrD,求点8到平面aCD的距离.

【变式4-3](2024•海南•模拟预测)如图，在直四棱柱ABC。—&B1C1D1中，底面四边形4BCC为梯形,

(1)证明：

(2)若直线4B与平面BiCOi所成角的正弦值为半，点M为线段BD上一点，求点M到平面⑶道小的距离.

【题型5立体几何中的作图问题】

[例5](2024・贵州贵阳•模拟预测)如图，正三棱柱4BC—力道10中，AB=4,44】=遮.设点D为

上的一点，过。，N作平面BCC1%的垂面a,

B

(1)画出平面a与正三棱柱ABC—41B1G表面的交线(保留作图痕迹，不需证明)；

⑵若占到平面a的距离为孚，求AC与平面a所成角的正弦值.

【变式5-1](2024•广东广州•模拟预测)在四棱锥P-4BCD中,底面4BCD为直角梯形,CD〃4B,

乙48。=9(T,4B=2CD,三棱锥8-PCD的体积为竽，平面P2D与平面PBC的交线为Z.

(1)求四棱锥P—48C。的体积，并在答卷上画出交线I(注意保留作图痕迹)；

(2)若4B=28C=4,PA=PD,且平面24。1平面&BCD,在I上是否存在点N,使平面PDC与平面DCN所成

角的余弦值为半？若存在，求PN的长度；若不存在，请说明理由.

【变式5-2](2023•广西•模拟预测)已知四棱锥P—4BCD中，底面4BCD为直角梯形，P41平面4BCD,

AD||BC,AB1AD,PA=AD4,BA=BC=2,M为P4中点，过C,D,M的平面截四棱锥P—4BCD

所得的截面为a.

(1)若a与棱PB交于点尸，画出截面a,保留作图痕迹(不用说明理由)，求点尸的位置;

(2)求平面CDM与平面PBC所成锐二面角的余弦值.

【变式5-3](2024•广西河池•模拟预测)已知四棱锥P—ABCD中，底面2BCD为直角梯形，P41平面

ABCD,ADWBC,ABLAD,PA=AD4,BA=BC=2,M为P4中点，过C,D,M的平面截四棱锥P—ABC。

所得的截面为a.

B"-------------r

(1)若a与棱交于点尸，画出截面a,保留作图痕迹(不用说明理由)，并证明黑=3.

(2)求多面体4BCDMF的体积.

【题型6立体几何中的折叠问题】

【例6】(2024•四川南充•三模)已知如图，在矩形48CD中，AB=2,AD=25将△4BD沿8。折起,

得到三棱锥M—BCD,其中△MBD是折叠前的△ABD,过加作BD的垂线，垂足为X,MC=V10.

(1)求证：MH1CD-,

(2)过发■作MB的垂线，垂足为N,求点N到平面MCD的距离.

【变式6-1](202式甘肃•一模)如图甲所示的正方形4441&中，AAi=12,AB=A1B1=3,BC=

=4,对角线44'i分别交BBi，CCi于点P,Q,将正方形4471/1沿BBRCi折叠使得力4与44、重合，构成如

图乙所示的三棱柱4BC—公名的.点M在棱"上，且4M=31R.

⑴证明：BM||平面APQ；

(2)求三棱锥M—4PQ的体积.

【变式6-2](2024•全国•模拟预测)如图，在梯形力BCD中，AB||CD,/.BAD=90°,CD=2AD=2,AB=3.E

为线段AB上靠近点力的三等分点，将△ADE沿着OE折叠，得到四棱锥A—BCDE,使平面ADE1平面BCDE,P

为线段CE上的点.

⑴求证：AD1AP；

(2)是否存在点P,使得直线2P与平面4BE所成角的正弦值为平?若存在，求出线段EP的长；若不存在，请说

明理由.

【变式6-3]（2024•安徽合肥•三模）如图一：等腰直角448。中力（7143且47=2,分别沿三角形三边向

夕卜作等腰梯形4BB242,BCC2B3,CA43c3使得4^2=BB2=CC2=1,^CAA3=z.BAA2=p沿三边48,BC,C4折

叠,使得C2c3,重合于Ai,Bi,Ci，如图二

图二

(1)求证：AAr1B1C1.

（2）求直线CCi与平面44/18所成角8的正弦值.

【题型7立体几何中的轨迹问题】

【例7】（2024•安徽芜湖•二模）在三棱锥P—48C中，PB1平面ABC,A8=8C=BP=2,点E在平面4BC

内，且满足平面P4E1平面PBE,B4垂直于BC.

⑴当乙4BEC《,1时，求点E的轨迹长度;

（2）当二面角E-PA-B的余弦值为苧时，求三棱锥E-PCB的体积.

【变式7-1］（2024•全国•模拟预测）如图，在直三棱柱2BC—4&C1中，AB=4C=441=3,BC=3近万

是侧面441g（?内的动点（包括边界），。为BCi的中点，BiEl&D.

（1）求证：点E的轨迹为线段4Ci；

（2）求平面4DE与平面ABC夹角的大小.

【变式7-2］（2024•全国•模拟预测）如图，四边形4BDC为圆台。1。2的轴截面，AC=2BD,圆台的母线与

底面所成的角为45。，母线长为VLE是丽的中点.

（1）已知圆。2内存在点G,使得DE1平面BEG,作出点G的轨迹（写出解题过程）；

（2）点K是圆。2上的一点（不同于力，C）,2CK=AC,求平面2BK与平面CDK所成角的正弦值.

【变式7-3](2024•云南曲靖・模拟预测)如图，四面体2BCD的每条棱长都等于2,M,G,N分别是棱4B,

BC,CD的中点，。，E,F分别为面BCD,面4BC,面4CD的重心.

A

(1)求证：面。£77/面AB。；

(2)求平面OEF与平面4BN的夹角的余弦值；

(3)保持点E,F位置不变，在△BCD内(包括边界)拖动点0,使直线MN与平面OEF平行，求点。轨迹长度;

【题型8立体几何中的探索性问题】

【例8】(2024•内蒙古呼和浩特•二模)如图，已知4B1平面BCE,CDWAB,△8CE是等腰直角三角形，其

中NEBC=且AB=BC=2CD=4.

(1)设线段BE中点为F,证明：CFII平面4DE；

(2)在线段上是否存在点M,使得点B到平面CEM的距离等于苧，如果存在，求MB的长.

【变式8-1](2024•贵州黔西一模)如图所示为直四棱柱4BC。一4再也1。1/8=力。=2vleB=CD=4,A

必=4,ABCD=60°,M,Mi分别是线段的中点.

(1)证明:8C_L平面MMi。；

(2)求直线2C与平面BZMi所成角的正弦值，并判断线段2C上是否存在点P,使得PBi〃平面BD&,若存在,

求出8P的值，若不存在，请说明理由.

【变式8-2](2024•黑龙江哈尔滨•一模)如图1,在平行四边形ABCD中，。=60。,。。=24。=2,将△力DC

沿4C折起，使点。到达点P位置，S.PCA.BC,连接PB得三棱锥P—4BC,如图2.

P

(1)证明：平面PA81平面A8C；

(2)在线段PC上是否存在点使平面4MB与平面M8C的夹角的余弦值为[若存在，求出器的值，若不存

o

在，请说明理由.

【变式8-3](2024・天津・一模)已知底面4BCD是正方形，PA1平面4BCD,PA//DQ,

PA^AD=3DQ=3,点E、尸分别为线段PB、CQ的中点.

B"-----------------------C

(1)求证：EF〃平面PADQ；

(2)求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；

(3)线段PC上是否存在点M,使得直线4M与平面PCQ所成角的正弦值是券，若存在求出螺的值，若不存在,

说明理由.

【题型9立体几何建系繁琐问题(几何法)】

【例9】(2024・山东•二模)如图所示，直三棱柱4BC—A/iG，各棱长均相等刀，E,尸分别为棱4B,BC,

&Ci的中点

(1)证明：平面AiCD1平面414BB1；

(2)求直线EF与所成角的正弦值.

【变式9-1](2024•陕西铜川•模拟预测)如图，在四棱锥P—4BCD中，底面4BCD是平行四边形,

^ABC=120°,AB=1,BC=4,PB=2®PDVCD,点£是BC的中点，且PEIED.

AB

⑴求证：PELAD；

(2)求点E到平面P2D的距离.

【变式9-2](2024•全国•模拟预测)如图，在四棱锥P—4BCD中，AB||CD,且2B14P,CD1DP.

(1)证明：平面PCD_L平面PAD；

(2)若P4=PD=AB,PA1PD,求P8与平面28CD所成角的大小.

【变式9-3](2024•浙江•模拟预测).如图，底面公当的小固定在底面a上的盛水容器口为正方形力BCD,

侧棱力公，BBi，CCi，ODi相互平行.

D

A/T

/a4B、/

(1)证明：底面四边形A/iCiDi是平行四边形；

(2)若已知四条侧棱垂直于面4BCD,且44i=DD]=4,BBi=CC1-AB=2.现往该容器中注水，求该容器

最大盛水体积U及此时侧面BBiQC与底面a所成角。的余弦值(水面平行于底面a).

【题型10新情景、新定义下的立体几何问题】

【例10】(23-24高一下•四川成都•期末)类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理;

如图1,由射线P4PB,PC构成的三面角P—ABC,乙4PC=a,乙BPC=8,乙4P8=y,二面角2—PC—B

的大小为仇则cosy=cosacos/?+sinasin8cos6.

(1)当a、。€(0,以时，证明以上三面角余弦定理；

(2)如图2,平行六面体ABCD—AiBiCiDi中，平面AAiQC1平面ABCD,NA遇C=60。，ABAC=45°,

①求乙41aB的余弦值；

②在直线CCi上是否存在点P,使BP〃平面。4母1?若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由.

【变式10-1](24-25高三上•浙江•开学考试)已知。是棱长为四的正四面体4BCD,设。的四个顶点到平面

a的距离所构成的集合为M,若M中元素的个数为m则称a为。的k阶等距平面，M为。的k阶等距集.

(1)若a为。的1阶等距平面且1阶等距集为｛研，求a的所有可能值以及相应的a的个数；

(2)已知/?为。的4阶等距平面，且点4与点BCD分别位于夕的两侧.若。的4阶等距集为｛b,2b,3瓦4打，其中点2

到£的距离为6,求平面BCD与0夹角的余弦值.

【变式10-2](23-24高一下•福建三明•期末)阅读数学材料：“设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M

1

在点P处的离散曲率为1—五(NQlPQ2+NQ2PQ3+NQ3PQ4+-“+NQk_lPQk+NQkPQD，其中Qt

(i=l,2,k,kN3)为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面Q1PQ2，平面Q2PQ3，…,平面

QjiPQk和平面QkPQi为多面体M的所有以P为公共点的面.”已知在直四棱柱力BCD—41%的。1中，底面

ABCD为菱形.441=AB.(角的运算均采用弧度制)

(1)若AC=BD,求四棱柱ABC。一公8停1。1在顶点4处的离散曲率；

⑵若四棱柱ABCD—公历的£»1在顶点4处的离散曲率为g,求8的与平面ACQ的夹角的正弦值；

(3)截取四面体&-48。，若该四面体在点4处的离散曲率为卷7，4Ci与平面&BD交于点G,证明：—A(T1

【变式10-3](23-24高一下•湖南长沙•期末)空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯

曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2n与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面

体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为去故其各个顶点的曲率均

为如一3*m=正如图，在直三棱柱4BC—&8心中，点4的曲率为g,N,M分别为4B,的中点，且

AB=AC.

(1)证明：CN1平面4BB遇1；

⑵若441=V2AB,求二面角%-AM-Q的余弦值；

(3)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理：设简单多面

体的顶点数为D，棱数为3面数为M,则有：D—L+M=2.利用此定理试证明：简单多面体的总曲率(多

面体有顶点的曲率之和)是常数.

►过关测试

一、单选题

1.（2024•内蒙古包头•三模）如图，已知正方形ABCD为圆柱的轴截面，AB=BC=2,E,尸为上底面圆

周上的两个动点，且E尸过上底面的圆心G,若则三棱锥2—8EF的体积为（）

2.（2024•全国•模拟预测）已知正方体A8CD—4/传1。1的棱长为4,点MC平面4/CD1，且翳=,则

点〃的轨迹的长度为（）

A.V341IB.V17TTC.等D.学

3.（2024•山东济南•三模）如图所示，正方体2BCD—4/1射。1的棱长为1,点E,F,G分别为BC,CCi,8Bi的

中点，则下列说法正确的是（）

A.直线。道与直线力/垂直B.直线4第与平面4EF平行

C.三棱锥F—4BE的体积为!D.直线3c与平面4EF所成的角为45°

O

4.（2024•全国•模拟预测）已知△4BC中，AC=1,AB=2,SC=V3,在线段AB上取一点M,连接CM,如

图①所示.将△ACM沿直线CM折起，使得点4到达4的位置，止匕时△BCM内部存在一点N,使得4N1平

面BCM,NC=字，如图②所示，则4M的值可能为（）

A

D.1

5.（2024•湖北•模拟预测）如图所示的多面体是由底面为ABC。的长方体被截面AECiF所截得到的，其中

48=4,BC=2,CCr=3,BE=1,则点C到平面AECF的距离为（）

C4后D.等

6.（2024•广西南宁•一模）在边长为4的菱形4BCD中，^ABC=120°.将菱形沿对角线AC折叠成大小为30。

的二面角夕一2C—0.若点E为3£的中点，F为三棱锥所一4CD表面上的动点，且总满足2C1EF,则点F轨

迹的长度为（）

A.B.C.4+V6-V2D.4+V6+V2

7.（2024•黑龙江哈尔滨•三模）已知四棱锥P—4BCD的底面为正方形，PD，底面&BCDPD=4。，点E是

线段PB上的动点，则直线OE与平面PBC所成角的最大值为（）

nnHn

A.NB.aC.1D.5

8.（2024•青海•模拟预测）如图，在正方体48。。一4再停1。1中，E,F,M,N,G,"分别为棱48,BC,

AD,CD,&Bi，Ci外的中点，P为的中点，连接E”，FG.对于空间任意两点/,/,若线段〃上不存在

也在线段E”，FG上的点，则称/,/两点“可视”，则与点为“可视”的点为（）

二、多选题

9.（2024・湖北襄阳•模拟预测）如图，已知正方体4BCD—4i&CiDi的棱长为2,E,F,G分别为2D,

AB,无品的中点，以下说法正确的是（）

A.三棱锥J—EFG的体积为!B.4C1平面EFG

C.BCil呼面EFGD.二面角G—EF—C的余弦值为哼

10.（2024・广东佛山・模拟预测）如图，在三棱锥P—48C中，平面P4C1平面力BC,且和△4BC土匀

是边长为2的等边三角形，2&F分别为A8/aBC的中点，G为PB上的动点（不含端点）,平面EFG交直线P4

于H,则下列说法正确的是（）

P

A.当G运动时，总有HG〃2B

B.当G运动时，点G到直线4