解三角形（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第32讲解三角形

知识梳理

知识点一：基本定理公式

(1)正余弦定理：在△48。中，角B,。所对的边分别是a,b,c,R为AABC外

接圆半径，则

定理正弦定理余弦定理

a2=b2+c2-2bccosA；

abcf

公式.—2Rb2=c2+a2-2QCCOSB；

sinAsinBsinC

c2=a2+b2-2abcosC.

b1+C1-a

cosA=---------------；

(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；2bc

222

//、.Aa.b.人。nc+a-b

常见变形(2)smA—，sinB=，sinC—；cosB=---------------；

2R2R2R2ac

「a2+b2-c2

cosC=---------------.

lab

(2)面积公式：

S.ABC=—absinC=—bcsmA=—acsmB

A222

S,ABC=^=^a+b+c)-r(r是三角形内切圆的半径，并可由此计算凡几)

知识点二：相关应用

(1)正弦定理的应用

①边化角，角化边=。:6:c=sin4:sin5:sinC

②大边对大角大角对大边

。>bo4>8=sin4>sin8=cosA<cosB

③合分比

a+b+ca+bb+ca+cabc

————■———2x\

sin^4+sin5+sinCsinZ+sinBsin5+sinCsinA+sinCsin/sinBsinC

(2)△45。内角和定理：A+B+C=7i

®sinC=sin(4+8)=sinAcosB+cos/sin8=c=acosB+bcosA

同理有：a=bcosC+ccosB,b=ccosA+acosC.

②-cosC=cos(A+5)=cosAcosB-sinAsinB；

1

③斜三角形中

—tanC=tan（A+B）=-------------------=tanA+tanB+tanC=tanA•tanB-tanC

l-tan^-tan5

z-x.+B、C,4+B、.C

（4）sin（--一）=cos—；cos（---）=smy

⑤在A4BC中，内角4B,C成等差数列03=工,/+。=也.

33

知识点三：实际应用

（1）仰角和俯角

在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角

（如图①）.

视线

图①图②图③图④

（2）方位角

从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如3点的方位角为a（如图②）.

（3）方向角：相对于某一正方向的水平角.

（1）北偏东a,即由指北方向顺时针旋转a到达目标方向（如图③）.

（2）北偏西a,即由指北方向逆时针旋转a到达目标方向.

（3）南偏西等其他方向角类似.

（4）坡角与坡度

（1）坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角。为坡角）.

（2）坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比（如图④，z,为坡度）.坡度又称为坡比.

【解题方法总结】

1、方法技巧：解三角形多解情况

在中，已知a,b和/时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角

C

ccc

X

图形

A…“BA'"--……-B八B

AB

bsinA<aa>b

关系式a=bsinAa>ba<b

解的个

一解两解一解一解无解

数

2、在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦

2

定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：

（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”；

（2）若式子含有6,c的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；

（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；

（4）代数变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到/+3+C=〃.

3、三角形中的射影定理

在A/BC中，a=bcosC+ccosB；b=acosC+ccosA；c=bcosA+acosB.

必考题型全归纳

题型一：正弦定理的应用

例1.（2024•福建龙岩•高三校联考期中）在“5c中，角4丛C所对的边分别为a,ac,

若。=4,4=q,。=空，则6=（）

412

A.2^/3B.275C.276D.6

例2.（2024•全国•高三专题练习）在AABC中，设命题p：—————二——，命题g

sinCsirUsinB

是等边三角形，那么命题?是命题q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

例3.（2024•河南•襄城高中校联考三模）在中，角4,B,。的对边分别为b,

c,若sinZ=sinBcosC且0=26,A=—,贝!一c+a---=()

6sinC+sinA

A.8>/3B.473C.8D.4

变式L（2024•全国•高三专题练习）在“BC中，内角4民。的对边分别是。力,。，若

兀

acosB-bcosA=c,且C=1，则=（）

3

变式2.（2024•河南郑州•高三郑州外国语中学校考阶段练习）a,b,。分别为“BC内

角A,B,。的对边.已知。=4,Qbsin/sinC=csinB,则外接圆的面积为（）

A.16»B.647rC.128万D.256%

变式3.（2024•甘肃兰州•高三兰州五H^一中校考期中）A45C的三个内角4,B,。所对

的边分别为b,c,若Qsin/sinB+bcos?4：JJQ,则°=（）

a

A.V2B.V3C.2V2D.273

变式4.（2024•宁夏•高三六盘山高级中学校考期中）在中，内角4,B,。所对的

边分别是。，b,C.若。=26,贝I]2Sin?8；sin：/的值为（）

sin2^

111

A.—B.—C.1D.—

242

变式5.（2024•河南•洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）△N3C的内角/,B,C的对

边分别为a,b,c,已知6cosN=a（6-cos8）,a=2,贝!]c=（）

A.4B.6C.2V2D.273

【解题方法总结】

（1）已知两角及一边求解三角形；

（2）已知两边一对角；.

'大角求小角一解（锐）

[两解一sinZ<l（一锐角、一钝角）

‘小角求大角一〈一解一sinZ=l（直角）

无解一sinZ〉1

、I

（3）两边一对角，求第三边.

题型二：余弦定理的应用

例4.（2024•全国•高三专题练习）已知△/BC的内角45。所对的边分别为满足

〃/=儿且则b=（）

sin5

4

D.273

例5.（2024•河南•高三统考阶段练习）在A45c中，角4'C的对边分别为a,6,c,若

sinBsinC

例6.（2024•全国•高三专题练习）设A45C中，角/,B,。所对的边分别为〃，b,c,

若sinZ=sin8,且/=2/（1+sinC）,则0=（）

7171-兀3»

A.-B.-C.—D.—

6434

变式6.（2024•重庆渝中•高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）在A48c中，角4B,。的

对边分另！J为a,b,c,a1+b2=3c2>则---+—---（）

tanAtanBtanC

变式7.（2024•全国•高三专题练习）在A4BC中，角4B,C的对边分别为。，b,c,且

cos5cosCsin/

,则6的值为（

B.V3

【解题方法总结】

（1）已知两边一夹角或两边及一对角，求第三边.

（2）已知三边求角或已知三边判断三角形的形状，先求最大角的余弦值，

〉0,则AABC为锐角三角形

若余弦值<=0,则AABC为直角三角形.

<0,则AABC为钝角三角形

题型三：判断三角形的形状

例7.（2024•甘肃酒泉•统考三模）在A/5C中内角4民。的对边分别为。，“c,若

5

二=sinAcosB,则属4BC的形状为（）

bsin5cos4

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

例8.（2024•全国•高三专题练习）在一台。中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,

且c-6cos/<0,则形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰直角三角形

例9.（2024•全国•高三专题练习）在“BC中，若勺”=,则△45。的形状

c•cosB1-cos2C

为（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

变式8.（2024•全国•高三专题练习）设A48C的内角/,B,C的对边分别为a,b,c,

若b?=/+/，且sin/=2sinC,则AA8C的形状为（）

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等腰三角形

变式9.（2024•河南周口•高三校考阶段练习）已知“2C的三个内角48,C所对的边分

别为。也c.若sin?N+csin/=sinNsin_B+6sinC,则该三角形的形状一定是（）

A.钝角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.锐角三角形

变式10.（2024•全国•高三专题练习）设的内角/,B,C所对的边分别为a,b,c,

若a2cosZsin8=Z^sin/cosB,则“5C的形状为（）

A.等腰三角形B.等腰三角形或直角三角形

C.直角三角形D.锐角三角形

6

变式11.（2024•北京•高三101中学校考阶段练习）设A/2C的内角A,B,C所对的边

分别为。，b,c,若02cos/sinB=6?sin/cosB，则AA8C的形状为（）

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等腰三角形或直角三角形D.等边三角形

【解题方法总结】

（1）求最大角的余弦，判断ZU5C是锐角、直角还是钝角三角形.

（2）用正弦定理或余弦定理把条件的边和角都统一成边或角，判断是等腰、等边还是

直角三角形.

题型四：正、余弦定理与的综合

例10.（2024•河南南阳•统考二模）锐角是单位圆的内接三角形，角48,C的对边

分别为c,且刀2+/—=4a2cos2accosB，则。等于（）

A.2B.2忘C.V3D.1

例11.（2024•河北唐山•高三开滦第二中学校考阶段练习）在A/8C中，角A,B,。所

absinAabsinB,22

对的边分别为“，b,c,—；——+——；——=a2+b-c.

2sinS2siib4

jr

⑴求证：0<C<-；

(2)若一--=--—+—--，求cosA.

tanBtanAtanC

例12.（2024•重庆•统考三模）已知的内角A、B、C的对边分别为。、b、c,

sin(4-B)tanC=sin/sinB.

22

/1P-a+。

(1)求H；

2

(2)若cosB=§求sinZ.

7

变式12.（2024•山东滨州•统考二模）已知“8C的三个角A,B,C的对边分别为。，b,

c,且2cos(8-C)cos/+cos2/=1+2cos/cos(2+C).

(1)若8=<7,求A；

A2+「2

⑵求空幺的值.

a

变式13.（2024•全国•高三专题练习）在△45。中，（〃+c）（sin/—sinC）=6（sin力—sinB）,

则NC=()

71兀2兀5兀

A.B.-C.—D.

633~6

变式14.（2024•青海•校联考模拟预测）在AJBC中，内角/,B,C所对应的边分别是a,

b,c,若—C的面积是C+c-Y

,则/=(

4

712兀715兀

A.—B.—c.一D.——

3366

变式15.（2024•全国•校联考三模）已知q,b,c分别为“5C的内角4,B,。的对边,

22(与2B.2B

a+c=ac\3cos-----sm—

[22

⑴求证:a,b,c成等比数列;

⑵若,SilB=2,求cos8的值.

sin2^+sin2C4

8

变式16.（2024•天津武清•天津市武清区杨村第一中学校考模拟预测）在“8C中，角A,

B,C所对的边分别为。，b,c,已知csin'+C=asinC

2

（1）求角A的大小；

（2）若6=1,sinB=上，求边。及cos（2B+/）的值.

7

【解题方法总结】

先利用平面向量的有关知识如向量数量积将向量问题转化为三角函数形式，再利用三角

函数转化求解.

题型五：解三角形的实际应用

方向1：距离问题

例13.（2024•全国•高三专题练习）山东省科技馆新馆目前成为济南科教新地标（如图1）,

其主体建筑采用与地形吻合的矩形设计，将数学符号“8”完美嵌入其中，寓意无限未知、无

限发展、无限可能和无限的科技创新.如图2,为了测量科技馆最高点/与其附近一建筑物楼

顶2之间的距离，无人机在点C测得点/和点3的俯角分别为75。，30°,随后无人机沿水

平方向飞行600米到点。，此时测得点N和点8的俯角分别为45。和60°（48,C,。在

同一铅垂面内），则3两点之间的距离为米.

例14.（2024•安徽阜阳•高三安徽省临泉第一中学校考期中）一游客在A处望见在正北方

向有一塔3,在北偏西45。方向的C处有一寺庙，此游客骑车向西行1km后到达。处，这时

塔和寺庙分别在北偏东30。和北偏西15°,则塔B与寺庙C的距离为km.

9

例15.（2024•河南郑州•高三统考期末）如图，为了测量4c两点间的距离，选取同一平

面上的3,。两点，测出四边形48co各边的长度（单位：km）：48=5,BC=8,CD=3,

D4=5,且42,C,。四点共圆，则/C的长为km.

变式17.（2024•山东东营•高三广饶一中校考阶段练习）如图，一条巡逻船由南向北行驶,

在/处测得灯塔底部C在北偏东15。方向上，匀速向北航行20分钟到达8处，此时测得灯

塔底部C在北偏东60。方向上，测得塔顶P的仰角为60°,已知灯塔高为26km.则巡逻

船的航行速度为km/h.

P

方向2：高度问题

例16.（2024•重庆•统考模拟预测）如图，某中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座

山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60。，又利用无人机在离地面高300m的

M处（即"L>=300m）,观测到山顶C处的仰角为15。，山脚A处的俯角为45。，则山高

BC=m.

例17.（2024•河南•校联考模拟预测）中国古代数学名著《海岛算经》记录了一个计算山

高的问题（如图1）：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直.

10

从前表却行一百二十三步，人目着地取望岛峰，与表末参合.从后表却行百二十七步，人目

着地取望岛峰，亦与表末参合.问岛高及去表各几何?假设古代有类似的一个问题，如图2,

要测量海岛上一座山峰的高度立两根高48丈的标杆3C和。£,两竿相距8ZA800步,

D,B,〃三点共线且在同一水平面上，从点2退行100步到点R此时/,C,尸三点共线,

从点。退行120步到点G,此时4E,G三点也共线，则山峰的高度/"=步.（古

制单位:180丈=300步）

例18.（2024•全国•高三专题练习）为了培养学生的数学建模和应用能力，某校数学兴趣

小组对学校雕像“月亮上的读书女孩”进行测量，在正北方向一点测得雕塑最高点仰角为30。,

在正东方向一点测得雕塑最高点仰角为45。，两个测量点之间距离约为40米，则雕塑高为

变式18.（2024•全国•模拟预测）山西应县木塔（如图1）是世界上现存最古老、最高大

的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范.如图2,某校数学兴趣小组为

测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物高为7百米，塔顶尸在地面上的射影为

D,在地面上再确定一点C（B,C,。三点共线），测得BC约为57米，在点4c处测得

塔顶尸的仰角分别为30。和60。，则该小组估算的木塔的高度为米.

11

■

**>»-

图1图2

方向3：角度问题

例19.（2024•福建厦门•高三厦门一中校考期中）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，

某标准足球场的8底线宽=72码，球门宽跖=8码，球门位于底线的正中位置.在比赛

过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点尸，使得/EPF最大,这时候点P就是最

佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的点。处（3=/瓦。4,43）时，根据场上形势判断,

有。4、08两条进攻线路可供选择.若选择线路08,则甲带球_____码时，到达最佳射门

位置.

例20.（2024•全国•高三专题练习）当太阳光线与水平面的倾斜角为60。时，一根长为2m

的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角。=.

例21.（2024全国•高三专题练习）游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路.线

路1是从/沿直线步行到C,线路2是先从/沿直线步行到景点3处，然后从3沿直线步

行到C现有甲、乙两位游客从4处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速度的弓■倍，甲

12

走线路2,乙走线路1,最后他们同时到达C处.经测量，AB=]040w,BC=50Qm,则sin

ABAC等于.

变式19.（2024•全国•高三专题练习）最大视角问题是1471年德国数学家米勒提出的几

何极值问题，故最大视角问题一般称为“米勒问题”.如图，树顶/离地面。米，树上另一点8

离地面6米，在离地面c（c<6）米的。处看此树,离此树的水平距离为米时看

B的视角最大.

【解题方法总结】

根据题意画出图形，将题设已知、未知显示在图形中，建立己知、未知关系，利用三角

知识求解.

题型六：倍角关系

例22.（2024•全国•高三专题练习）记的内角的对边分别为a/,c,已知

acosB=/)(!+cos/).

(1)证明：A=2B；

(2)若c=26,a=6,求AA8C的面积.

13

例23.(2024•全国•模拟预测)在A^8C中，角/,B,C的对边分别为a,b,c(a,b,

c互不相等)，且满足6cosc=(26-c)cos瓦

(1)求证：4=2B；

(2)右c=,求cos8.

例24.(2024•江苏•高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习)在ANBC中，角A、B、

C的对边分别为。、6、c,若4=23.

⑴求证：a2-b2^bc;

23

(2)若cosB=§,点。为边48上一点，AD=-DB,CD=276,求边长6.

变式20.(2024•陕西咸阳•武功县普集高级中学校考模拟预测)已知a/,c分别是的

角Z,B,C的对边，^siitS-asiivl=sinC(26cos22-c).

(1)求证：A=2B；

(2)求二的取值范围.

a

变式21.(2024•四川•成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考三模)已知。，上。分别为锐

角"BC内角的对边，b-2acosC=a.

(1)证明：C=24；

14

⑵求的取值范围.

变式22.（2024•福建三明•高三统考期末）非等腰A/8C的内角A、B、C的对应边分别

a-cos5sin5

为。、6、c,且

a-cosCsinC

⑴证明：a2=b+c;

2

(2)若B=2C,证明：b>~.

题型七：三角形解的个数

例25.（2024•贵州•统考模拟预测）A4BC中，角4瓦C的对边分别是。，考c,A=60°,

a=&.若这个三角形有两解，贝防的取值范围是（）

A.V3<Z><2B.6<b<2

C.1<6<26D.l<b<2

例26.（2024•全国•高三专题练习）在△A5C中，a=18,b=24,ZA=45°,此三角形解的

情况为（）

A.一个解B.二个解C.无解D.无法确定

例27.（2024•河南南阳•高三统考期中）在A4BC中，C=30°,b=0，。=龙.若满足

条件的有且只有一个，贝口的可能取值是（）

D.V3

15

变式23.（2024•全国•高三专题练习）在A45C中，内角4民。所对的边分别为，

则下列条件能确定三角形有两解的是（）

71

A.a=5,b=4,A=一

6

B.a==5,A=—

5%

C.a=5,b=4,A=—

6

,,7C

D.a==5,A=一

3

变式24.（2024•北京朝阳•高三专题练习）在下列关于“台。的四个条件中选择一个，能

够使角A被唯一确定的是：（）

,1

（1）S1IL4=—

2

②cos/=一；；

③cosB=/=3〃；

4

④4=45。/=2,‘=A

A.①②B.②③C.②④D.②③④

变式25.（2024•全国•高三专题练习）设在A4BC中，角/、B、C所对的边分别为a,b,

c,若满足。=6,6=='的A/5C不唯一，则小的取值范围为（）

6

A.百B.（0,-73）

变式26.（2024•全国•高三专题练习）在“2C中，。=2,B*,若该三角形有两个解,

O

则6边范围是（）

A.（2,4）B.（A/3,4）C.（百，2）D.（1,2）

16

TT

变式27.（2024•全国•高三专题练习）若满足NABC=—,/C=6,8C=4的A/3C恰有一个,

则实数人的取值范围是（

A.(0,6]B.(0,6]U{6V2}

【解题方法总结】

三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；己知两

边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理

进行判断.

题型八：三角形中的面积与周长问题

例28.（2024•全国•高三对口高考）在“8C中，若方.而=-2，且N8=60°,则ANBC

的面积为（）

A.2cB.V3C.—D.V6

2

例29.（2024•河南•襄城高中校联考三模）在“2C中，内角4,B,C所对的边分别为。，

b,c,ZBAC=-,D为BC上一点、,BD=2DC,AD=BD^—,则A/8C的面积为（）