解答压轴题型：二次函数综合题（解析版）

专题20解答压轴题型：二次函数综合题

1.(2023•安徽)在平面直角坐标系中，点。是坐标原点，抛物线y=a/+bx(a70)经过点4(3,3),对称轴

为直线x=2.

(1)求a,b的值；

(2)已知点8,C在抛物线上，点3的横坐标为I,点C的横坐标为f+1.过点8作x轴的垂线交直线。4

于点。，过点C作x轴的垂线交直线。4于点E.

⑶当0<f<2时，求AOBD与\ACE的面积之和；

5)在抛物线对称轴右侧，是否存在点3,使得以3,C,D,E为顶点的四边形的面积为5?若存在，

请求出点2的横坐标t的值；若不存在，请说明理由.

【答案】见解析

【详解】(1)•.■抛物线>="2+云(030)经过点/(3,3),对称轴为直线x=2,

「9。+36=3

(2)由(1)得：y--x2+4x,

.,.当x=I时，y=-t2+4t,

当x=f+l时，y=-(t+1)2+4(r+1),即y=-d+2f+3,

+4f),C(t+1,—+2f+3),

设CM的解析式为y=fcc,将/(3,3)代入，得：3=3k,

.'.k=\J

:.OA的解析式为y=x,

D(t,E{t+1,f+1)，

⑺设8。与无轴交于点M,过点/作NN_LC£,如图,

则M(f,0),N(f+1,3),

：.S^OBD+SMCE=；处.0"+；4".砥=；（一/+4/_/）笃+3（—/+2/+3—/一1>（3—1—1）=；（一户+3*）+；（『一3/+4）=—；/+1/+；『一|『+2=2

（拓）①当2</<3时，过点。作QH_LCE于"，如图，

22

贝fjT/Q+1/）,BD=-t+4t-t=-t+3tfCE=£+1—（—/+2/+3）=*T—2,DH=t+l-t=l,

•*•S四边形DCEB=3（BD+CE）-DH'

31

^-=-（-t2+3t+t2-t-2）xl,

解得：％=*;

2

2

则5。=，—（—/+4。=/一3彳，CE=t-t-2f

S四边形OBCE=3（BD+CE）-DH,

31

即5=—2）x1,

解得："='^■+1（舍去），t2=...—+1（舍去）；

1222

综上所述，，的值为*.

2

2.（2022•安徽）如图1,隧道截面由抛物线的一部分4ED和矩形4BC。构成，矩形的一边为12米，另

一边为2米.以3c所在的直线为x轴，线段8c的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系尤切，规

定一个单位长度代表1米.E（0,8）是抛物线的顶点.

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）在隧道截面内（含边界）修建“E”型或“口”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点片，鸟在

x轴上，与矩形48A勺的一边平行且相等.栅栏总长/为图中粗线段,P2P3,P3P4,MV长度之和,

请解决以下问题：

（i）修建一个“E”型栅栏，如图2,点£在抛物线上.设点耳的横坐标为加（0＜加,,6）,求

栅栏总长/与加之间的函数表达式和/的最大值；

（ii）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“E”型和“口”型两种设计方案，请你从中选择

【答案】见解析

【详解】（1）由题意可得:A(-6,2),D(6,2),

又；£（0,8）是抛物线的顶点,

设抛物线对应的函数表达式为y=a/+8,将/（-6,2）代入,

(-6)2a+8=2,

解得：a=--

6

抛物线对应的函数表达式为7=-1x2+8；

(2)(i)•.•点耳的横坐标为加(0<肛,6),且四边形片鸟△鸟为矩形，点鸟，鸟在抛物线/ED上,

.1R的坐标为(m,--m2+^,

6

1-

P[P?=g鸟=MN=—m9+8,P2P3=2m,

6

:.l=3(--m2+8)+2m=--m2+2m+24=--(m-2)2+26,

622

2

二.当机=2时，/有最大值为26,

即栅栏总长/与加之间的函数表达式为I=--m2+2m+24,I的最大值为26；

2

(ii)方案一：设则84=18-3〃，

矩形PRP3P4面积为(18-3n)n=-3n2+18〃=-3(n-3)2+27,

-3<0,

.•.当〃=3时，矩形面积有最大值为27,

此时鸟耳=3,P2P3=9,

4--x2+8=3,

6

解得：x=±A/30,

此时耳的横坐标的取值范围为-V30+9,,X,,V30,

方案二：设£耳=〃，则£A=18『=9_",

9Q1

2

矩形PXP2P.P,面积为(9-n)n=一/+9n=一(〃--)+y,

v-1<0,

当〃=2时，矩形面积有最大值为配，

24

99

此时54=/，P2P3=7

令-"=2,

62

解得：x=±V21，

,—o,—

二.此时片的横坐标的取值范围为-历+5”/V21.

3.(2021•安徽)已知抛物线y=#-2x+l(aw0)的对称轴为直线x=1.

(1)求。的值；

(2)若点”(占，乂)，N(X2,%)都在此抛物线上，>-1<x；<0,1<x2<2.比较“与%的大小，并说

明理由；

(3)设直线y=加(加>0)与抛物线y=ax?-2x+l交于点N、B,与抛物线y=3(》-1月交于点C,D,求

线段与线段CD的长度之比.

【答案】见解析

【详解】(1)根据题意可知，抛物线"="2-2工+1(“二0)的对称轴为直线：x=--=-=1,

2aa

..Q=1.

(2)由(1)可知，抛物线的解析式为：y=x2-2x+l=(x-V)2,

<Q=1>0,

.,.当X>1时，y随X的增大而增大，当X<1时，y随X的增大而减小，

,「一1<玉<0,1<x2<2,

1<c1—玉<2,0<%2—1<1,

结合函数图象可知，当抛物线开口向上时，距离对称轴越远，值越大，

(3)联立y=加(加〉0)与y二12一21+1=(%-1)2,可得+,加)，5(1-Vm,加)，

/.AB=2y[m，

联立p=加(加>0)与y=3(I一1)2,可得。(1+/^,m),£)(1-,m),

.〜1,V3m、43m、

..C(1H——,冽),。(1——，加)

•八八_。_2Gr~

..CD=2x------=------7m,

33

，包=6

CD

4.(2020•安徽)在平面直角坐标系中，已知点2(2,3),C(2,l),直线y=x+机经过点工,抛物线

了=52+法+1恰好经过/,B,C三点中的两点.

(1)判断点2是否在直线y=x+7〃上，并说明理由；

(2)求6的值;

(3)平移抛物线y=加+1,使其顶点仍在直线y=x+7〃上，求平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标

的最大值.

【答案】见解析

【详解】(1)点2是在直线y=x+机上，理由如下：

直线y=x+m经过点4(1,2),

:.2=l+m,解得m=l,

直线为y=x+l,

把x=2代入y=x+l得y=3,

点8(2,3)在直线y=x+m上；

(2)•.■直线y=x+l经过点8(2,3),直线y=x+l与抛物线y=江+加+1都经过点(0,1),点(0,1),

N(l,2),8(2,3)在直线上，点(0,1),/(1,2)在抛物线上，直线与抛物线不可能有三个交点，

•.•3(2,3),C(2,l)两点的横坐标相同，

.•.抛物线只能经过N、C两点，

把C(2,l)代入＞+6x+l得+=2,

-[4。+26+1=1

解得a=-1,6=2；

(3)由(2)知，抛物线的解析式为＞=-》2+2》+1,

设平移后的抛物线的解析式为y=-x2+px+q,其顶点坐标为C|,"+q),

,/顶点仍在直线V=X+1上，

+1,

42

“上+K+1,

42

・・・抛物线＞=--+/+9与y轴的交点的纵坐标为q,

P2Pl1八25

.“=一++5+1=_:z初_1)+-,

.•.当〃=1时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为|.

(3)另解

••・平移抛物线y^-x2+2x+l,其顶点仍在直线为y=x+1上,

设平移后的抛物线的解析式为y=-(x-h)2+h+l,

y=—%2+2,hx—+7z+1,

设平移后所得抛物线与y轴交点的纵坐标为c,则。=一/+力+1=一(〃一;y+：

二当〃=；时，平移后所得抛物线与y轴交点纵坐标的最大值为j.

5.(2019•安徽)一次函数〉=履+4与二次函数了=°/+。的图象的一个交点坐标为(1,2),另一个交点是该

二次函数图象的顶点.

(1)求左，a,c的值；

(2)过点N(0,加)(0(加<4)且垂直于y轴的直线与二次函数y=办2+c的图象相交于8,C两点，点。

为坐标原点，记少=。/2+8。2,求水关于加的函数解析式，并求少的最小值.

【答案】见解析

【详解】(1)由题意得，上+4=2,解得上=-2,

一次函数为y=-2x+4,

又•.•二次函数图象的顶点为(0,c),且该顶点是另一个交点，代入y=-2x+4得：c=4,

把(1,2)代入二次函数表达式得a+c=2,解得a=-2.

(2)由(1)得二次函数解析式为y=-2/+4,令y=m,得2x?+m-4=0

x=,设3,C两点的坐标分别为(西，m)(x2,m),则BC=|r—x?|=2j42m,

:.W=OA2+BC2=m2+4x^^=m2-2m+8=(m-I)2+~/

二.当加=1时,W取得最小值7.

6.(2023•瑶海区一模)在平面直角坐标系中，点/(I,加)，点3(3,〃)在抛物线y=-(x-〃)2+左上，设抛物线

与y轴的交点坐标为C(0,c).

(1)当C=2,7"="时，求抛物线的表达式；

(2)若求〃的取值范围；

(3)连接CM,OB,AB,当左=4,-2</z<2时，A4O8的面积是否有最大值，若有请求出最大值；若

没有请说明理由.

【答案】见解析

【详解】(1)当c=2时，C的坐标为(0,2),

—h2+左二2①，

•・,点，点B(3,n)在抛物线y=-(x-hf+k上，m=n,

抛物线y=-(x-h)2+k的对称轴为直线x=*=2,

h=2,

把〃=2代入①得上=6,

y——(x-2)2+6=—+4x+2,

.,.当c=2,冽=〃时，抛物线的表达式为y=-工2+4%+2；

(2)•••点4(1,加)，点5(3/)在抛物线尸-(x-4+左上，抛物线与歹轴的交点坐标为C(O,c),

m——(1-/i)2+左，〃=—(3—+左，c——+k,

*:c<n<m,

-h2+k<-(3-h)2+k<-(1一〃)2+左，

变形整理得。<-9+6〃<-1+2〃，

解得—<h<2；

2

(3)A4O5的面积有最大值，理由如下：

过/作4)//»轴交05于。，如图：

•・•点4(1，冽)，点5(3〃)在抛物线歹=—(x—%>+左上，左=4,

.•.加=一(1—%)2+4=—/+2〃+3,n=-(3-/?)2+4=-//2+6/z-5,

.•.4(1,-肥+2人+3),5(3,-肥+6/z-5),

'：-2<h<2,

.•.3在/下方,

设直线OB解析式为y=px,将B(3-h2+6Z/-5)代入得:

3p=-h2+6h-5,

施毕得p=——h2+2/z——,

33

「•直线08解析式为>=(一;"2+2/z--1)x,

在y=(―j/z2+2h—g)x中，令］=］得，=-g"+2/z-j,

105

£)(1,--/z2+2//--),

•・・B在/下方,

。在/下方，

15214

AD=-h2+2A+3-(——h2+2h——)=——h2+—，

3333

22

SM0B=—AD-1xB|=-x(-—A+—)x3=-h+7,

.•.当〃=0时，取最大值，最大值为7,

ZUO8的面积有最大值，最大值是7.

7.(2023•合肥一模)如图，抛物线V=G2+6X+3与x轴的两个交点坐标为/(-1,0)、5(3,0).

(1)求抛物线y=+bx+3的函数表达式；

(2)矩形尸QMN的顶点尸，。在x轴上(P,。不与工、3重合)，另两个顶点M,N在抛物线上(如

图).

①当点尸在什么位置时，矩形尸的周长最大？求这个最大值并写出点尸的坐标；

②判断命题“当矩形尸QMN周长最大时，其面积最大”的真假，并说明理由.

【答案】见解析

【详解】(1)设抛物线的表达式为：y=a(x-xj(x-x2),

贝！Jy=a(x+l)(x-3)=a(x2-2x-3)，

则-3a=3,

解得：a=-l,

故抛物线的表达式为：y=-f+2x+3；

(2)抛物线y=-x?+2x+3的对称轴为x=l,

设点尸(x,0),则N(x,-/+2x+3),

①尸、0关于x=l对称，

Q(2-x,0),则M(2-a--+2x+3),

矩形尸QACV的周长为/=2(2-X-X-X2+2工+3)=-2犬+10,

当x=0时，/的值最大，最大值为10,

即尸在(0,0)时，矩形尸的周长最大，最大值为10；

②假命题.由①可知，当矩形周长最大时，长为3,宽为2,面积为6,

当尸。ACV为正方形时，PQ=2-x-x=PN=-x2+2.X+3,

解得：x=2±V5,

.•.点P的坐标为(2-石,0),点0的坐标为(右,0),

贝1］夕0=逐-2+右=2退-2,

正方形PQMN的面积=Q亚-2)2=24-875>6；

故命题是假命题.

8.(2023•庐阳区校级一模)已知抛物线y=Y-(加+l)x+"/-2.

(1)当7"=1时，求此抛物线的对称轴和顶点坐标；

(2)若该抛物线y-x2-(m+l)x+m2-2与直线乂=x+2〃z+1的一个交点P在y轴正半轴上.

①求此抛物线的解析式；

②当〃+1时，求y的最小值(用含"的式子表示).

【答案】见解析

【详解】(1)当冽=1时，y=x2-2x-i=(x-i)2-2,

••・抛物线的对称轴为直线x=l,顶点坐标为(1,-2)；

(2)①将x=0代入%=%+2m+1得%=2m+1,

二.点尸坐标为(0,2冽+1),

将(0,2m+1)代入歹=—(加+l)x+加之一2得2机+1=加？一2,

解得机=3或加=-1,

当机=—1时，2加+1=-1,点尸在y轴负半轴，不符合题意，

当机=3时，2冽+1=7,点尸在y轴正半轴，符合题意.

二.抛物线的解析式为y=x2-4x+l.

22

@VJ；=X_4X+7=(X-2)+3,

抛物线开口向上，顶点坐标为(2,3),

将x=〃代入y=x2-4x+7得y=/-4〃+7,

将x=几+1代入y=x2-4、+7得〉二〃2一2〃+4,

当〃+1<2时，n<\,y=/—2〃+4为函数最小值；

当〃〉2时，y=n2-4n+l为函数最小值；

当L,&2时，歹=3为函数最小值.

9.(2023•庐阳区一模)如图1,抛物线歹=办2+乐+。与％轴相交于点/，点与y轴相交于点。，

AO=BO=2,C(0,-4).

(1)求抛物线的解析式；

(2)如图2,点尸为CO上一点(不与C,。重合)，过点P作CO的垂线，与抛物线相交于点点产

(点E在点尸的左侧)，设PF=m,PC=d,求d与机的函数解析式.

图1图2

【答案】见解析

【详解】(1)OA=OB=2,

A(-2,0),5(2,0),

将N(-2,0),8(2,0),C(0,-4)代入抛物线y=ox2+6x+c,

4a-2b-l-c=0

<4Q+26+。=0,

c=-4

a-\

解得<b=0,

c=-4

••・抛物线的解析式为y=4；

(2)•・・点尸的横坐标为加，且点尸在抛物线歹=/—4上，

/.F(m,m2-4),

P(0,m2-4),

•/C(0,-4),

PC=m2-4-(-4)=m2(0<m<2),

d与机的函数解析式d=m2(0<m<2).

10.(2023•合肥模拟)如图，抛物线歹=4=2+桁+0经过4-1,0),8(3,0),。(0,3)三点，。为直线5。上

方抛物线上一动点，过点。作。。，工轴于点。，。。与5C相交于点M.DE上BC于E.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)求线段DE长度的最大值；

(3)连接NC,是否存在点。，使得ACD£中有一个角与NC/O相等？若存在，请直接写出点。的坐标;

若不存在，请说明理由.

y

一

【答案】见解析

【详解】(1)•.,抛物线y=o？+6x+c经过Z(-1,O),2(3,0),C(0,3)三点,

设抛物线解析式为y=a(x+l)(x-3),

将C(0,3)代入，得：ax(O+l)x(O-3)=3,

解得a=-\,

y——(x+l)(x—3)——x~+2x+3,

抛物线解析式为y=-x2+2x+3；

(2)设。(加，-加2+2加+3),且0<"7<3,

在RtABOC中，BO=3,OC=3,BC=732+32=372,

设直线8C的解析式为y=+将8(3,0),C(0,3)代入,

\3k+n=Q

得4~，

解得｛：：；，

直线BC的解析式为y=-x+3,

+3),

/.DM=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m，

DE1BC,

ADEM=NBOC=90°,

•・•00_Lx轴，

AD0//y轴，

/.ADME=ABCO,

:.\DMEs\BCO,

DEBOnnDE3

DMBC?/+3加3A/2

,noV2,372行3.,972

..DE=------mH-------m=!----(m!9—)H-------,

22228

，当机=3时，DE取得最大值，最大值是皿I；

28

(3)存在点。，使得ACQE中有一个角与NC4O相等.

:.OA=1,OC=OB=3,

/OBC=/OCB=45。，

•/DQ_Lx轴，

ZBMQ=/DME=45°,

DE1BC,

:.ME=DE,

设。(加，一加2+2加+3),且0(冽＜3,则M(私一加+3),

CM=y]m2+(―m+3-3)2=41m,

由(2)知DE=一4^冽2+3五m，

22

」.CEfm十也4晅2立向-互m,

2222

①若NDCE=NCAO，

oc

tanADCE=tanACAO=——=3,

OA

DF

vtanZDCE=——=3,

CE

DE=3CE,

,V2.3V24242

..------mH-------m=3（----m2-------m）,

2222

解得加=3或0（舍去），

2

.•.点D的坐标为g,?）；

②若ZCDE=ZCAO，

贝UtanZCDE=tanZCAO=3,

CF

•・•tanZCDE=——=3，

DE

CE=3DE,

。,母23历、近2枝

3（------m-\-------m）=-----m---------机,

2222

解得加=3或0（舍去），

2

57

.•.点。的坐标为（万，-）；

综上，存在，点。的坐标为,）或（：，!）■

11.（2023•蜀山区二模）在一次竖直向上抛球游戏中，小球上升的高度〃（⑼与小球抛出后经过的时间*s）

满足表达式：h=10t-5t2,其图象如图1所示.

hth

x=vt

图1图2

(1)求小球上升的最大高度；

(2)若竖直向上抛出小球时再给小球一个水平向前的均匀速度v(〃?/s),发现小球上升高度〃(加)与小球抛

出后水平距离满足如图2所示的抛物线，其中x=W,而小球上升高度力(加)与时间/(s)仍满足

①当v=6相/s时，求小球上升到最高点时的水平距离x；

②在小球正前方处的挡板上有一空隙加，其上沿〃的高度为3.75〃？，下沿N的高度的为3.2机，

若小球下落过程恰好从空隙中穿过(不包括恰好击中点M,N,挡板厚度不计)，请求出此时v的取值范

围.

【答案】见解析

【详解】(1)A=10z-5r=-502-2z+l-l)=-50-l)2+5,

*/-5<0,

.•.当时，〃有最大值，最大值为5,

答：小球上升的最大高度为5冽；

⑵①o%且当％=1时，小球上到最高点，

.,.当v=6时，x=6xl=6,

.•.当v=6加/s时，小球上升到最高点时的水平距离x=6；

②根据题意知，M(8,3.75),N(8,3.2),

当小球刚好击中M点时，-5»+10/=3.75,

尚率得％=1.5或£=0.5,

•・”>1,

.,.t=1.5，

rLLn-+X816

t1.53

当小球刚好击中0点时，-5»+10/=3.2,

解得％=2或％=

55

•.”>1,

8

t=一,

5

此时v=—==5，

t8

5

，v的取值范围为：5<v<—.

3

12.(2023•蜀山区校级一模)已知抛物线C:y=/-2bx+c；

(1)若抛物线C的顶点坐标为(1,-3),求b、c的值；

(2)当c=Z)+2,0,,X,,2时，抛物线C的最小值是-4,求b的值；

(3)当c=〃+l,3”x”加时，工2—2bx+c”x—2恒成立，则机的最大值为

【答案】见解析

【详解】(1)•••抛物线C的顶点坐标为(1,-3),

y-(x-1)2_3=f_2x_29

-2b=—2,6=1,c=—2；

(2)'：c=b+2

y=x2-2bx+c=x2-2bx+b+2,对称轴为x=b,

①当6<0时，由题意可知b+2=-4,解得6=-6,符合题意；

②当0,,6,,2时，—+2)-44=_4,解得4=3,&=-2,不合题意舍去；

4

③当6>2时，根据题意可知22—4b+6+2=-4,解得6=W,符合题意；

3

综上所述，所求b的值为-6或3.

3

(3)当c=〃+l时，抛物线。的解析式为y=(x-b>+l,

如图所示，抛物线C的顶点在直线>=1上移动，

当3„x„三时,x2-2bx+c”x-2恒成立,

则可知抛物线C的顶点坐标为(3,1),

设抛物线C与直线y=x-2除顶点外的另一个交点为M,

此时点M的横坐标即为优的最大值，

由卜=(x-3y+l解得占=3,-4,

[y=x-2

m的最大值为4.

13.(2023•瑶海区二模)已知：抛物线y=x2-2办与x轴交于点/、B(点3在x轴正半轴)，顶点为C,

且/8=4.

(1)求°的值；

(2)求A42c的面积；

4

(3)若点尸为抛物线上一点，尸M7/〉轴交直线y=-于点求9的最小值.

【答案】见解析

【详解】(1)令>=0,则--2ax=0,

解得玉=0,/=2。，

.,.4(0,0),5(0,2a),

・・•点5在x轴正半轴，

:.a>0,

2a=4,

解得。=2；

(2)由(1)知，y=x2-4x=(x-2)2-4,

C(2,-4),

SAB

-MBC=^'\yc|=；x4x4=8；

4,

(3)设P(加，加2-4加)，则"(加，一]冽-4),如图所示：

y

c

M

苏-4加-(-和-4)=疗-|〃，+4=(〃，-y+小

贝1)9

•/1>0,

4on

.•.当加二—时，尸M有最小值,.

39

,尸河的最小值为型.

9

14.(2023•包河区二模)如图，已知抛物线。:了=办2+法+3与x轴交于N(-3,0),8(1,0)两点，与y轴交

于点C,抛物线的顶点为。.

(1)求抛物线c的解析式及。点的坐标；

(2)将抛物线c向右平移机(加>0)个单位，设平移后的抛物线d中y随x增大而增大的部分记为图象G,

若图象G与直线NC只有一个交点，求m的取值范围.

【详解】(1)把4(-3,0)、8(1,0)代入丁="2+6x+3得:

0=9。一3b+3

0=〃+b+3

6Z=-1

解得:

b=-2

y=-%?—2x+3=-(x+1)2+4,

即抛物线顶点D的坐标为(-1,4)；

(2)•.•抛物线>=-/一2*+3与y轴交于点C,

当x=0时，y=3,

C(0,3),

设直线/C的解析式为：y=kx+n(k0),

把/(-3,0)、C(0,3)代入得，

JO=-3k+n

[3=0+n

解r;

[n=3

即"c=1+3,

由题意设平移后的抛物线的解析式为：%=-(x+1-加『+4,

顶点力的坐标为(加-1,4),

若图象G与直线4。只有一个交点，

①当％=加一1时，y>yAC,

即4>加一1+3,

解得m<2；

(2)y=y9Bp—(x+1—加y+4=x+3,

整理得x2+(3-2m)x+m2-2m=0,

△=(3-2m)2-4(m2-2m)=0,

.o

解得m=—.

4

o

综上所述，若图象G与直线ZC只有一个交点，羽的取值范围为0<冽<2或加=—.

4

15.(2023•庐阳区二模)某公司调研了历年市场行情和生产情况以后，对今年某种商品的销售价格和成本

价格进行预测，提供了两方面的信息，如图所示.图1的图象是线段，图2的图象是部分抛物线.

M(元)每件商品的销售价格Q(元)每件商品的成本价格

(1)在3月份和6月份出售这种商品，哪个月商品的单件利润更大？

(2)从3月份到8月份，哪个月商品的单件利润最大？最大利润是多少？

【答案】见解析

【详解】(1)由题意可知：

3月份的单件利润为：6-1=5(元)，

6月份的单件利润为：8-4=4(元)，

.•.在3月份和6月份出售这种商品，3月商品的单件利润更大；

(2)设线段的解析式为乃=9+=左力0),代入(3,6),(6,8),得：

\3k+b=6

16左+6二8'

k=-

解得：3，

b=4

线段的解析式为必=§£+4(3”t„8),

由图可知：抛物线的顶点坐标为(6,4),

设抛物线的解析式为8=6)2+4,代入(3,1)得:

QX(3—6p+4=l,

解得：a=--,

3

抛物线的解析式为％一6)2+4(3,",,8),

设单件利润为w元，

由题意可得：w=-x+4-[--(t-6)2]=-t2/+12=-(?-5)2+—,

333333

抛物线的对称轴为x=5,

•••|8-5|>|3-5|,

.•.当x=8时，.有最大值，最大值为3x(8-5y+1=?，

.•.从3月份到8月份，8月商品的单件利润最大，最大利润是型元.

3

16.(2023•庐阳区校级二模)某公园要在小广场建造一个喷泉景观.在小广场中央O处垂直于地面安装一

个高为1.25米的花形柱子安置在柱子顶端/处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛

物线路径落下，且在过。4的任一平面上抛物线路径如图1所示，为使水流形状较为美观，设计成水流在距

OA的水平距离为1米时达到最大高度，此时离地面2.25米.

(1)以点。为原点建立如图2所示的平面直角坐标系，水流到ON水平距离为x米，水流喷出的高度为y

米，求出在第一象限内的抛物线解析式(不要求写出自变量的取值范围)；

(2)张师傅正在喷泉景观内维修设备期间，喷水管意外喷水，但是身高1.76米的张师傅却没有被水淋到,

此时他离花形柱子。/的距离为4米，求d的取值范围；

(3)为了美观，在离花形柱子4米处的地面8、C处安装射灯，射灯射出的光线与地面成45。角，如图3

所示，光线交汇点尸在花形柱子。4的正上方，其中光线所在的直线解析式为歹=-无+4,求光线与抛物

线水流之间的最小垂直距离.

【答案】见解析

【详解】(1)根据题意第一象限内的抛物线的顶点坐标为(1,2.25),/(0,1.25),

设第一象限内的抛物线解析式为y=a(x-r)2+2.25,

将点/(0,1.25)代入物线解析式，

1.25=。(0-+2.25,

解得二=-1,

二.第一象限内的抛物线解析式为y=-(x-1)2+2.25；

(2)根据题意，令y=1.76,

即-(1)2+2.25=1.76,

解得再=0.3,x2=1.7.

,抛物线开口向下，

.,.当0.3<x<1.7时，y>1.76,

.•"的取值范围为0.3<d<1.7；

(3)作直线8尸的平行线/,使它与抛物线相切于点D,分别交x轴，y轴于点E,F,过点作

EG±PB,垂足为G,如图所示，

IUPB,

设直线/的解析式为y=-x+加，

联立直线与抛物线解析式，

[y=-x+m

[y=_(x-Ip+2.25，

整理得/-3x+%-1.25=0,

•.•直线/与抛物线相切，

方程只有一个根，

2

.•.A=3-4X1X(WI-1.25)=0,

解得m=3.5,

.,.直线/的解析式为y=-x+3.5,

令了=0,则x=3.5,

£(3.5,0),

BE=4-3.5=0.5,

即防=L

2

•・•射灯射出的光线与地面成45°角,

N班G=45。，

•・•AEGB=90°,

sinZEBG=—

EB2

iV2

EG=-4-iX-=---

224

，光线与抛物线水流之间的最小垂直距离为注米.

4

17.（2023•庐江县模拟）对于一个函数，自变量x取。时，函数值y也等于0,则称。是这个函数的不动

点.已知抛物线y=-/+2x+m.

（1）若抛物线经过点/（-2,-1）,求该抛物线的顶点坐标;

（2）如图，在（1）的条件下，在x轴上方作平行于x轴的直线/,与抛物线交于8,C两点（点C在对称

轴的右侧），过点2,C作x轴的垂线，垂足分别为E,D.当矩形8cz为正方形时，求2点的坐标.

（3）若抛物线>=-/+2工+小有两个相异的不动点°、b,且a<2<6,求加的取值范围.

【答案】见解析

【详解】(1)把x=-2,y=-l代入y=-x2+2x+m.

贝!J-4-4+7〃=—1,

m=1,

y=-x~+2x+7=—(x—1)~+8,

抛物线的顶点为(1,8)；

(2)设点+2m+7),贝1|点C(2-m,-/n2+2m+7),

矩形BCDE为正方形，则BC=BE,

即2一机一加=—m2+2m+7,

解得：772=5(舍去)或-1,

当〃？=-1时,-m2+2m+7=4,

即点8(-1,4)；

（3）由题意知二次函数歹=-工2+2x+加有两个相异的不动点。，b是方程—-+2x+m=x的两个不相等实

数根，且〃<2<6,

2

整理得：x—x—m=Of

由一—工一加=o有两个不相等的实数根，且q<2<6,知△>（）,

令y=、2—%—加，画出该二次函数的草图如下：

即x=2时，><0,

贝!）4—2—机<0,

解得：m>2.

即m的取值范围为m>2.

18.（2023•合肥二模）如图，某数学兴趣小组以楼梯为场景设计的小球弹射实验示意图，楼梯平台48宽为

3,48前方有六个台阶北〜（（各拐点均为90。），每个台阶的高为2,宽为2,楼梯平台到％轴距离

04=14,从歹轴上的点。处向右上方弹射出一个小球尸（小球视为点），飞行路线为抛物线

L-.y=--x2+2x+16,当点尸落到台阶后立即弹起，其飞行路线是与/形状相同的抛物线.

2

（1）通过计算判断小球尸第一次会落在哪个台阶上；

（2）若小球尸第二次的落点在台阶月中点M上，求小球尸第二次飞行路线的解析式；

（3）若小球尸再次从点M处弹起后落入x轴上一圆柱形小球接收装置（小球落在圆柱形边沿也为接收），

接收装置最大截面为矩形EFG//,点E横坐标为16,EF=1,EX=1,求出小球第三次飞行路线的顶点到

x轴距离最小值.

【详解】(1)•.•楼梯平台N8宽为3,每个台阶的高为2,宽为2,OA=14,

.•.第二个台阶的左端点坐标为(5,10),右端点坐标为(7,10),

当x=5时，y=--x25+10+16=13.5>10；

2

当x=7时，y=--x49+14+16=5.5<10；

2

故与抛物线交点在(5,10),(7,10)之间，

当>=10时，-1_XX2+2X+16=10,

-2

解得x=6,x=—2(舍去)，

二.小球落在第二个台阶上，此时点?(6,10).

(2)根据(1)得到尸的起点坐标为(6,10),再次着地左端点横坐标为x=3+2x(5-1)=11,纵坐标为

"14-2x5=4,结合台阶宽为2,得到点。的落地点坐标为(12,4),

设解析式>+6x+c，

——x36+6b+c=10

曰

倚7j2，

」xl44+12b+c=4

[2

6=8

解得

。=一20

故解析式为＞=-$2+8x_20.

(3)根据(2)得到尸的起点坐标为(12,4),近地点坐标为(16,1),

设解析式》+6x+c,

--x256+16Z7+c=1

得：

——x144+12b+c=4

I2

b=—

解得4.

c=-83

故解析式为歹=-gx2+5x-83,

此时‘函数的最小值为胃153

32

根据(2)得到P的起点坐标为(12,4),远地点坐标为(17,1),

设解析式>,

——x289+17b+c=l

得1

」xl44+12b+c=4

I2

7139

b=-----

解得10

908

-10

痂冷刀+匚12139908

故解析式为歹=一-x+——x--------

21010

.z1xz7UO、/1"、2

4-b24X(-5)X(-R)-(R)-

此时，函数的最小值为ac=——z-----斗——^―=—1161

4。/、,/1、200

1531161

---<----,

32200

.•.小球第三次飞行路线的顶点到X轴距离最小值是"3.

32

19.(2023•庐阳区校级一模)如图，抛物线y=办2+bx-3过点幺(一1,0),8(3,0),且与y轴交于点C,

点E是抛物线对称轴与直线BC的交点

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：BE=2CE；

(3)若点尸是第四象限内抛物线上的一动点，设点尸的横坐标为X,以点5、E、尸为顶点的A8EP的

面积为S,求S关于光的函数关系式，并求S的最大值.

【详解】(1)将点4—1,0)、5(3,0)代入y=+乐—3,

u—b—3=0

得：＜

9a+3b—3=0

Q=1

解得：

b=—2,

则抛物线的解析式为y=X2-2X-3；

(2)y——2,x—3=(x-1)2—4，

抛物线的对称轴为直线x=l,

DEHOC,

—=—=2,即BE=2CE；

CEOD

(3)・・•点5(3,0)、C(0,-3),

・•・设直线BC解析式为y=mx+n,

3加+〃=0

贝l"r，

n=-3

m=l

解得：《

n=-3

y-x-3

当x=l时，y--2,

如图，作尸尸，y轴于点尸，£6，^轴于点6,

设点P(x,/-2x-3)(0<x<3),

则\BEP的面积为S-S梯形80尸尸—S梯形BOGE—S梯形EGFP

1,11,

=-X(X+3)(-X2+2X+3)--X(1+3)X2--X(1+X)(-X2+2X+3-2)

——x~+3x

・•.当x=±3时，S取得最大值，最大值为9二.

24

20.(2023•合肥一模)如图，已知抛物线y=-x?+4x+上与x轴的一个交点为3(5,0),与y轴交于点/.

(1)求抛物线的解析式;

(2)若点尸是抛物线上位于直线N5上方的动点，分别过点尸作无轴的平行线交抛物线于点0,作y轴的

平行线交直线于点。，以尸。、为边作矩形P0EO,求矩形尸。即周长的最大值，并求出此时点尸

的坐标；

(3)若点N是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点M,使得以/、N、B、M为顶点的四

边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标.

【答案】见解析

【详解】(1)把5(5,0)代入y=-f+4x+左得0=—25+20+左，

解得k=5.

，这个抛物线的解析式为：＞=*+4工+5；

(2)•.•抛物线的解析式为：j；=-%2+4%+5=-(%-2)2+9,

.•.4(0,5),对称轴为x=2,

设直线48的解析式为