几何最值问题4种类型（费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理）（原卷版）

重难点突破14几何最值问题4种类型

（费马点、胡不归模型、阿氏圆模型、瓜豆原理）

重难点题型突破

证明过程及结论

与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论

费马点

加权费马点常见题型解读（5种）

几

何

模型解读

最胡不归模型

值

问

两点在圆外

题令

两点在圆内

4阿氏圆模型

当轨迹为直线时，运用"胡不归模型"求解

种求PA+kPB的最小值问题时

类当轨迹为圆形时，运用"阿氏圆模型"求解

型

【条件】瓜豆原理运用满足的三个条件（”一定两动、定角、定比"）;

瓜豆原理结论证明

重难点题型突破

题型01费马点

【基础】费马点概念：三角形内部满足到三个顶点距离之和最小的点，称为费马点.

结论:

1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于

2）有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点.

（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°）

【解题思路】运用旋转的方法，以AABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最短,

得出最短长度.

结论证明过程：

情况一：当aABC各角不超过120°时，

将AAPB绕着点B逆时针旋转60°得到AAPB

贝!JAAPBeAA'P'BBP=BP'AP=AP'NA'P'B=/APB

而NP，BP=60°贝ijAP'BP为等边三角形

NBPP'=/P'BP=NBP'P=60°

：PA+PB+PC=P'A'+PP'+PCWA'C

.,.当A，、P\P、C四点共线时，PA+PB+PC的最小值为AC

此时NBPC=180°-ZBPP'=12O°

NAPB=NAPB=180°-ZBPZP=120°

NAPC=360°-ZAPB-ZBPC=120°

情况二（仅需理解）：当△ABC有一个内角不小于120°时,

延长BA至C使得AC=AC,做NC'AP'=NCAP,

并且使得AP'=AP,PC'=PC,则△APC之△APC

VZBAC^120°

ZPAP'=180°-ZBAP-ZC'AP'=1800-ZBAP-ZCAP=180°-NBACW

2/32P'

B

60°

等腰三角形PAP中，AP2PP

...PA+PB+PC》PP'+PB+PC>BC'=AB+AC（（只有当P、A重合时取等号））

所以，当有一内角大于或等于120。时，所求的P点就是钝角的顶点.

【费马点的作法】（当^ABC各角不超过120。）

D

A

/\X-x

*

F

作法：1）如图，分另Ij以AABC中的AB、AC为边，作等边AADB、等边AAEC

2）连接CD、BE,则AADC经AABE（手拉手模型）

3）记CD、BE交点为P,点P为费马点.

4）以BC为边作等边ABCF,连接AF,必定经过点P,且BE=AF=CD.

【扩展】与等腰三角形、等边三角形、直角三角形常见的费马点结论

如图所示，以边AB、AC分别向△ABC外侧作等边三角形，连接DC、EB,交点为点P,点P为费马点.

图形结论

等腰三角形A①NAPB=/BPC=NAPC=120°；

②4ABP与4ACP全等；

③4BCP为等腰三角形；

©△ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

为费马点时和最小.

等边三角形①AP=BP=CP；

②NAPB=NBPC=/APC=120°；

③AABP、AACP,Z\BCP全等；

W④点P是垂心，是aABC各边的高线的交点；

⑤点P是4ABC各边的中线的交点；

3/32

⑥点p是内心，是在三角形三个内角的角平分线的

交点；

⑦AABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

为费马点时和最小.

直角三角形A______E①4ABC的三顶点的距离之和为AP+BP+CP,且点P

V

为费马点时和最小；

②NAPB=NBPC=/APC=120°

Bc

【进阶】

加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是1,如果现在求

mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1,那么此类题目就叫做“加权费马点”.

【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变，依然考的是旋转.

已知：在RtZ^ABC中，ZACB=30°,BC=6,AC=5,ZkABC内部有一点P,连接PA,PB,PC

A

4/32

△CAP绕点C顺时针旋转90°得ACDE

此时4PCE为等腰直角三角形，即PE=V2PC

因止匕原式=PA+PB+&PC=ED+PB+PE,则当B、P、E、D

四点共线时取得最小值，BD长度即为所求，在Rt^BFD

中有勾股定理可得BD=V5F*2+FD2=V91

△CAP绕点C顺时针旋转120°得4CDE

此时4PCE为等腰三角形且NPCE=120°,即

PE=V3PC,因此原式=PA+PB+V5PC=ED+PB+PE,则当

B、P、E、D四点共线时取得最小值，BD长度即为所求,

在RtABFD中有勾股定理可得BD=VBF2+FD2=

760+30V3

思路：原式=2(PA+知B+遗PC)

22

1)将PC边绕点C旋转60°,然后过点P作PFLCE于

点F,则PF=遑PC2)利用三角形中位线来处理；3)

PA前的系数是1,不需要转化，所以旋转APCB.

过程：ABCP绕点C顺时针旋转60°得ACDE,然后过

点P作PFLCE于点F,此时4PCE为等边三角形，即

PF=^pc,过点F作FG〃DE,贝！］FG=-PB,则当A、P、

22

F、G四点共线时取得最小值，AG长度即为所求，在Rt

△ACG中有勾股定理可得AG=VCG+AC2=V341原式

=2(PA+|PB+^PC)=2734

过程：AACP绕点C顺时针旋转60°得ACDE,然后过

点P作PFLCE于点F,此时4PCE为等边三角形，即

PF+gpc,过点F作FG〃DE,贝ijFG=-AP,则当B、P、

22

F、G四点共线时取得最小值，BG长度即为所求，在Rt

△BCG中有勾股定理可得BG=JCG+AC?=7.5,原式=4

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（工PA+PB+避PC）=26

22

备注：若变形后的系数不是特殊值，则可借助位似的相关知识进行求解.

【费马点专项训练】

1.（2022・广东广州•统考一模）如图，在ABC中，ZBAC=90°,AB^AC,点P是A3边上一动点，作PDLBC

于点。，线段上存在一点。，当Q4+Q3+QC的值取得最小值，且4。=2时，贝U9=.

2.（2021・全国•九年级专题练习）如图，已知矩形48C。，AB=4,BC=6,点M为矩形内一点，点E为BC

边上任意一点，则MA+MO+ME的最小值为.

3.（2021•辽宁丹东•统考中考真题）已知：到三角形3个顶点距离之和最小的点称为该三角形的费马点.如

果ATIBC是锐角（或直角）三角形，则其费马点尸是三角形内一点,且满足NAPB=乙BPC=1PA=120。.（例

如：等边三角形的费马点是其三条高的交点）.若AB=AC=小,BC=2W,尸为△ABC的费马点，贝UP4+

PB+PC=；若48=2旧,8。=2,4C=4,尸为△ABC的费马点，则P2+PB+PC=.

4.（2022下•福建三明•八年级统考期中）【问题背景】17世纪有着“业余数学家之王”美誉的法国律师皮耶•德・费

马，提出一个问题：求作三角形内的一个点，使它到三角形三个顶点的距离之和最小后来这点被称之为“费

马点”.

如图，点P是△ABC内的一点，将AAPC绕点2逆时针旋转60。到则可以构造出等边△APP'得4P=

PP',CP=CP',所以P4+PB+PC的值转化为「「'+「8+「£，的值，当B,P,P',C四点共线时，线段BC

的长为所求的最小值，即点P为△4BC的“费马点”.

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c'

(1)【拓展应用】

如图i,点p是等边AaBC内的一点，连接pa,PB,PC,将APAC绕点a逆时针旋转60。得到△ap'c'.

①若尸4=3,则点P与点P'之间的距离是；

②当P4=3,PB=5,PC=4时，求NAP，C，的大小；

(2)如图2,点P是A4BC内的一点，且NB4c=90。，AB=6,AC=2V3,求24+PB+PC的最小值.

5.(2023・湖北随州•统考中考真题)1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条

直线上的三个点A,B,C,求平面上到这二个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托

里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题.

(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：(其中①处从“直角”和“等边”中选择填空,

②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角

形的某个顶点)

当小4BC的三个内角均小于120。时，

如图1,将AAPC绕，点C顺时针旋转60。得到△A得C,连接PP，，

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由PC=P'C,LPCP'=60°,可知APCP'为①三角形,故PP'=PC,y.P'A'=PA,i^PA+PB+PC=

PA'+PB+PP'>A'B,

由②可知,当B,P,P',A在同一条直线上时，P4+P8+PC取最小值，如图2,最小值为4B,此时的

P点为该三角形的“费马点”，且有N4PC=乙BPC=乙4PB=③；

已知当△力BC有一个内角大于或等于120。时，“费马点”为该三角形的某个顶点.如图3,若N84C2120。,

则该三角形的“费马点，为④点.

(2)如图4,在AaBC中，三个内角均小于120。，且AC=3,BC=4,41c8=30。，已知点尸为△ABC的“费

马点”，求P4+PB+PC的值；

(3)如图5,设村庄A,B,C的连线构成一个三角形，且已知4C=4km,BC=2V3km,乙4cB=60。.现欲

建一中转站尸沿直线向A,B,C三个村庄铺设电缆，已知由中转站尸到村庄A,B,C的铺设成本分别为。

元/km,。元/km,&a元/km,选取合适的尸的位置，可以使总的铺设成本最低为元.(结果用

含a的式子表示)

6.(2021上•江苏苏州•八年级苏州工业园区星湾学校校考期中)背景资料：在已知A/IBC所在平面上求一点

P,使它到三角形的三个顶点的距离之和最小.这个问题是法国数学家费马1640年前后向意大利物理学家托

里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.如图1,当△ABC三个内角均小于120。时，费马点P在AABC

内部，当41PB=NAPC=乙CPB=120。时，则PA+PB+PC取得最小值.

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(1)如图2,等边△ABC内有一点P,若点尸到顶点A、B、C的距离分别为3,4,5,求乙4PB的度数，为了

解决本题，我们可以将AABP绕顶点A旋转到AACP，处，此时AACP，三AABP这样就可以利用旋转变换，

将三条线段P4PB、PC转化到一个三角形中，从而求出乙4PB=；

知识生成：怎样找三个内角均小于120。的三角形的费马点呢？为此我们只要以三角形一边在外侧作等边三

角形并连接等边三角形的顶点与△ABC的另一顶点，则连线通过三角形内部的费马点.请同学们探索以下问

题.

(2)如图3,△ABC三个内角均小于120。，在AaBC外侧作等边三角形△ABB1连接CB，,求证：CB'^AABC

的费马点.

(3)如图4,在RTA2BC中，ZC=90°,AC=1,Z.ABC=30°,点尸为A4BC的费马点，连接2P、BP、CP,求

P4+PB+PC的值.

(4)如图5,在正方形ABCD中，点E为内部任意一点，连接4E、BE、CE,且边长4B=2；求4E+BE+CE的

最小值.

7.(2022•山东德州・统考一模)若一个三角形的最大内角小于120。，则在其内部有一点所对三角形三边的张

角均为120。，此时该点叫做这个三角形的费马点.如图1,当△ABC三个内角均小于120。时，费马点尸在

△ABC内部，此时N4PB=乙BPC=NCPA=120°,PA+PB+PC的值最小.

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(1)如图2,等边三角形ABC内有一点P,若点尸到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求乙4PB的度数.为

了解决本题，小林利用“转化”思想，将△绕顶点A旋转到处，连接PP',此时AZCP'三△4BP,

这样就可以通过旋转变换，将三条线段出，PB,PC转化到一个三角形中，从而求出N4PB=.

(2)如图3,在图1的基础上延长BP,在射线8尸上取点D,E,连接AE,AD.使AD=AP,乙DAE=APAC,

求证：BE=PA+PB+PC.

(3)如图4,在直角三角形ABC中，^ABC=90°,AACB=30°,4B=1,点P为直角三角形ABC的费马

点，连接AP,BP,CP,请直接写出24+PB+PC的值.

8.(2021•河南郑州•郑州外国语中学校考模拟预测)阅读材料：平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学

家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔・德・费马提出的一个著名的几何问题.1643年，在一封写给意大利数学

家和物理学家托里拆利的私人信件中，费马提出了下面这个极富挑战性和趣味性的几何难题，请求托里拆

利帮忙解答：给定不在一条直线上的三个点A,B,C,求平面上到这三个点的距离之和最短的点尸的位置.托

里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们就把平面上到一个三角形的三个顶点A,B,C距离之和最小的

点称为的费马-托里拆利点，也简称为费马点或托里拆利点.问题解决：

(1)费马问题有多种不同的解法，最简单快捷的还是几何解法.如图1,我们可以将A8PC绕点8顺时针

旋转60。得到连接P。，可得ABP。为等边三角形，故PD=PB,由旋转可得。E=PC,因

PA+PB+PC=PA+PD+DE,由_可知，B4+P2+PC的最小值与线段_的长度相等；

(2)如图2,在直角三角形内部有一动点P,/BAC=90°,ZACB=30°,连接B4,PB,PC,若AB=2,

求PA+PB+PC的最小值；

(3)如图3,菱形ABCD的边长为4,ZABC=60°,平面内有一动点E,在点E运动过程中，始终有/BEC=90。，

连接AE、DE,在△&£>£内部是否存在一点P,使得P4+PD+PE最小，若存在，请直接写出E4+PD+PE的

最小值；若不存在，请说明理由.

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A

9.（2020.江苏南通・南通市新桥中学校考一模）（1）【操作发现】

如图1,将△ABC绕点A顺时针旋转50。，得到AAOE,连接则NA8O=度.

（2）【解决问题】

①如图2,在边长为近的等边三角形ABC内有一点P,ZAPC=90°,ZBPC=120°,求AAPC的面积.

②如图3,在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点，若PB=1,B4=3,ZBPC=135°,

则PC=.

（3）【拓展应用】

如图4是A,B,C三个村子位置的平面图，经测量4B=4,BC=3V2,ZABC=75°,P为△ABC内的一个

动点，连接E4,PB,PC.求E4+P3+PC的最小值.

【加权费马点专项训练】

1.（2021.全国•九年级专题练习）如图，在△ABC中，乙4c8=30。,3。=6,4。=5,在△ABC内部有一点P,

连接P4PB、PC.（加权费马点）求：

(2)PA+PB+鱼PC的最小值

(3)P2+PB+V5PC的最小值;

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(4)2P4+PB+gPC的最小值

(5)工PA+PB+且PC的最小值;

(6)2P4+4PB+2百PC的最小值

(7)4P4+2PB+2gPC的最小值;

(8)3P4+4PB+5PC的最小值

题型02胡不归模型

【模型介绍】从前有一位姓胡的小伙外出学习，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即决定回家.小伙子

略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，虽然他所在求学的地方与家之间布满了砂石，但他

还是义无反顾的踏上了归途.当他赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，

老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”之后的岁月，小伙子不断的反思：如果我当时先沿着驿

道走一段距离，再通过砂石区域回家，是否能见到父亲最后一面呢？如果可以，他应该沿着驿道走多远再

通过砂石区域回家呢？这就是流传千百年的“胡不归问题.

如图，A是出发点，B是目的地，直线m是一条驿道，而驿道靠目的地一侧全是砂石，为了选择合适的

路线，假设通过驿道速度为vl米/秒，通过砂石区域速度为v2米/秒(vl>v2),小伙子需要在直线m上

选取一点C,再折往至B,求点C在何处时，用时最短(A-C-B)?

由题目可知A、B为定点，点C在直线m上运动，求tAC+tBC的最小值.

^、=tAC+tBC，+叱+因为vl,v2为定值，所以只需求BC+岂"的最小值即可，因此需

要在图中构造出长度为恐AC的替换线段.因为vl>v2,所以设"=sina,则在AC外侧作/CAM=a,过点C

%%

作CELAM,则崂=^=sina,所以CE="4C,原问题转化为工(BC+CE)的最小值，显然垂线段最短，即

过点B作AM的垂线，与直线m的交点C即为所求点.

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【解题关键】在求形如“PA+KPB”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB相等的线段，将“PA+KPB”

型问题转化为“PA+PC”型.（若k>1,则提取系数，转化为小于1的形式解决即可）.

【胡不归模型专项训练】

1.（2023上•四川乐山・九年级统考期末）如图，在△ABC中，Z.BAC=90°,ZS=60°,AB=4,若。是BC边

上的动点，则24。+DC的最小值是（）

A.6B.8C.10D.12

2.（2022•辽宁鞍山•统考二模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+3的图像与无轴交于A、

C两点，与无轴交于点C（3,0）,若P是无轴上一动点，点。的坐标为（0,-1）,连接尸。，则/PD+PC的最

A.4B.2+2V2C.2V2D.|+|企

3.（2022.内蒙古鄂尔多斯.统考中考真题）如图，在AABC中，AB=AC=4,ZCAB=30°,ADLBC,垂足

为D,P为线段上的一动点，连接尸8、PC.则以+2PB的最小值为.

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4.（2023・辽宁锦州•统考中考真题）如图，在RtAABC中,^ACB=90°,^ABC=30°,AC=4,按下列步

骤作图：①在AC和上分别截取45、AE,使力。=AE.②分别以点。和点E为圆心，以大于抄E的长为

半径作弧，两弧在NB4C内交于点M.③作射线力M交BC于点E若点尸是线段4F上的一个动点，连接CP,

则CP+的最小值是

5.（2020・陕西•模拟预测）如图，四边形48CD是菱形，42=8,且乙43c=60。，M为对角线BD（不含8

点）上任意一点，则AM+抑/的最小值为

6.（2023・湖南湘西•统考中考真题）如图，O。是等边三角形A8C的外接圆，其半径为4.过点B作

于点E,点P为线段BE上一动点（点P不与8,E重合），贝UCP+：8P的最小值为

7.（2023下•全国•九年级专题练习）在平面直角坐标系，力（1,1）,直线/:y=[x+l经过点H在直

线，上运动，求最小值.

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8.(2022・四川成都•四川省成都市七中育才学校校考模拟预测)抛物线y="+bx+百分别交无轴于点

4(1,0),8(-3,0),交y轴于点C,抛物线的对称轴与无轴相交于点。，点M为线段OC上的动点，点N为

(1)求抛物线的表达式；

(2)线段MN,NC在数量上有何关系，请写出你的理由;

(3)在N移动的过程中，OM+//C是否有最小值，如果有，请写出理由.

9.(2022下•重庆•八年级统考期末)已知，在正方形A8C。中，点E,歹分别为上的两点，连接BE、CF,

并延长交于点G,连接。G,H为CF上一点、,连接88、DH,4GBH+乙GED=90°

(1)如图1,若以为CF的中点，且4F=2DF,DH=当,求线段A8的长;

(2)如图2,若BH=BC,过点2作B/1CH于点/,求证：BI+^-DG=CG；

(3)如图2,在(1)的条件下，尸为线段(包含端点A、D)上一动点，连接CP,过点B作BQ1CP于点

Q,将ABCQ沿8C翻折得△BCM,N为直线AB上一动点，连接MN,当ABCM面积最大时，直接写出彳AN+

MN的最小值.

10.(2021・四川绵阳•统考三模)如图，在平面直角坐标系中，直线y=|尤+2与无轴交于点A,与y轴交于点

C.抛物线y=a/+b尤+c的对称轴是尤=—|且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点8.

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(1)求二次函数>=加+法+。的表达式；

⑵点尸为线段A2上的动点，求AP+2PC的最小值；

(3)抛物线上是否存在点过点M作MN垂直x轴于点N,使得以点A,M,N为顶点的二角形与△ABC

相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

11.(2021・全国•九年级专题练习)如图，在平面直角坐标系中，直线"：y=Rx+百和直线8y=

+b相交于y轴上的点8，且分别交x轴于点A和点C.

(1)求△ABC的面积；

(2)点E坐标为(5,0),点尸为直线。上一个动点，点尸为y轴上一个动点，求当EF+CF最小时，点/

的坐标，并求出此时PF+^OP的最小值.

12.(2019•四川绵阳・统考中考真题)在平面直角坐标系中，将二次函数y=a/(a>0)的图象向右平移1个

单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线,该抛物线与％轴交于点48(点2在点8的左侧),。4=1,

经过点4的一次函数y=kx+b(k丰0)的图象与y轴正半轴交于点C,且与抛物线的另一个交点为D,A4BD的

面积为5.

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(1)求抛物线和一次函数的解析式；

(2)抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求/4CE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；

(3)若点P为无轴上任意一点，在(2)的结论下，求+的最小值.

13.(2019・湖南张家界•统考中考真题)已知抛物线y=a/+c(a40)过点力(1,0)，B(3,0)两点，与y

轴交于点C,OC=3.

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

(2)过点A作AM18C,垂足为求证：四边形为正方形；

(3)点尸为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当4PBe面积最大时，求点P的坐标；

(4)若点。为线段OC上的一动点，问：力Q+：QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在,

请说明理由.

题型03阿氏圆模型

【模型由来】已知平面上两点A、B,则所有满足PA=k・PB(kWl)的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最

先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”，又称阿波罗尼斯圆.

【模型解读1】如图1所示，。。的半径为r,点A、B都在。0外，P为。0上的动点，已知r=k・OB.连

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接PA、PB,则当PA+kPB的值最小时，P点的位置如何确定?

思路：如图2,在线段0B上截取0C,使OC=k・r（即吆=k=匕）且NBOP=NCOP,则可说明△BPO

OP0B

与△PCO相似，即署=k.故本题求PA+kPB的最小值可以转化为PA+PC的最小值，其中A与C为定点，P

为动点，故当A、P\C三点共线时，PA+kPB的最小值为线段AC的长.

具体步骤：

1：连接动点至圆心0（将系数不为1的线段两端点分别与圆心相连接），即连接OP、0B；

2：计算连接线段OP、OB长度；

3：计算两线段长度的比值OP/OB="k"；

4：在0B上截取一点C,使得OC/OP=OP/OB构建母子型相似：

5：连接AC,与圆0交点为P,即AC线段长为PA+K*PB的最小值.

【模型解读2】如图点A,B在。。上，。41OB,OA=0B=12,点C是。4的中点，D在。B上，0D=10,

点尸是。。上一动点，则2尸。+尸。的最小值______,PC+3产。的最小值________.

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A

【详解】解：如图1,延长04到E,使。4=AE,连接PE、0P,

・・CAny—«、1.八.[p.・OP10C1.OP0C1

.0A=0P,。为0A中点，.•・一=—=—,

0E20P2OE0P2

ZC0P=ZP0E,:.△OCPs^OPE,—=

OEPE2

：.PE=2PC,...ZPC+PD=PE+P瓦即当E、尸、。三点共线时，2PC+PD有最小值,

最小值为j。方2+。02=V242+102=26；

如图2,延长。3到R使0F==,连接PROP,

"：OD=lO,OP==OA=n,=

-ZD0P=ZP0F,:.△ODPS△OPF,.琮=箓=|,沙,

...PC+^PD=PC+PF,即当C、P、P三点共线时，PC+^PD有最小值,

最小值为力。62+。尸2==15.6.

【模型总结】

对于阿氏圆而言：当系数kVl的时候，一般情况下，考虑向内构造。

19/32

当系数k>l的时候，一般情况下，考虑向外构造。

【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；

当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.

【阿氏圆模型专项训练】

1.（2021•全国•九年级专题练习）如图，在昭AASC中，ZACB=90°,CB=1,AC=9,以C为圆心、3为

半径作。C,尸为。C上一动点，连接AP、BP,则:AP+BP的最小值为（）

2.（2023•陕西咸阳•校考三模）如图，在菱形ABC。中，对角线47、BD相交于点。，点E、P分别是。£»、OC

上的两个动点，且EF=4,尸是EF的中点，连接。P、PC、PD,若AC=12,BD=16,贝IPC+^PD的最小

4

值为.

3.（2022・四川泸州•四川省泸县第一中学校考一模）如图，A8为。。的直径，AB=2,点C与点D在4B的

同侧，且4D14B,BC1AB,AD=1,BC=3,点P是。。上的一动点，则乎PD+PC的最小值为.

20/32

C

D

4.（2022上•浙江.九年级专题练习）如图所示的平面直角坐标系中，2（0,4）,B（4,0）,P是第一象限内一动

点，OP=2,连接4P、BP,则BP+^aP的最小值是.

5.（2020・江苏常州・统考一模）如图，在O。中，点A、点B在。。上，AAOB=90°,。4=6,点C在。力上,

且。C=24C,点。是。8的中点，点M是劣弧48上的动点，贝UCM+2DM的最小值为.

6.（2021.全国.九年级专题练习）如图，边长为4的正方形，内切圆记为。O,尸是。。上一动点，则鱼出

+PB的最小值为.

7.（2021.全国•九年级专题练习）如图，已知正方ABC。的边长为6,圆B的半径为3,点尸是圆B上的一

个动点，贝UP。—的最大值为.

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AD

IB）C

8.（2020・全国•九年级专题练习）如图，在△ABC中，乙B=90。,AB=CE=2,以点8为圆心作圆8与4C相

切，点P为圆8上任一动点，贝UPA+'PC的最小值是________.

C

9.（2018・甘肃天水•校联考一模）如图，已知正方形ABCD的边长为4,。：8的半径为2,点P是。B上的

一个动点，则PD-|PC的最大值为____.

.D

二

Aco

10.（2023下•江苏宿迁•九年级校考开学考试）图1图2图3

JX

图4图5

22/32

【问题呈现】如图1,ZAOB=90°,。4=4,。8=5,点P在半径为2的。。上，求|4P+BP的最小值.

【问题解决】小明是这样做的：如图2,在0A上取一点C使得OC=1,这样可得箓=[=:，又因为

ZCOP=ZPOA,所以可得△COPSAPOA,所以生="=工，得CP=工2「所以工+BP=CP+BP.

APOA222

又因为CP+BP>CB70c2+OB2,所以〃P+BP最小值为.

2-

【思路点拨】小明通过构造相似形（图3）,将同P转化成”，再利用"两点之间线段“最短“求出CP+8P的

最小值.

【尝试应用】如图4,ZAOB=6Q°,OA=10,。8=9,点P是半径为6的。。上一动点，求4P+；BP的最小

值.

【能力提升】如图5,ZABC=120°,BA=BC=8,点。为平面内一点且切9=3CD,连接AD,则△A8O面

积的最大值为

11.（2022•广东惠州・统考一模）如图1,抛物线y=a/+bx-4与％轴交于人、B两点，与y轴交于点C,其

中点a的坐标为（-1,。），抛物线的对称轴是直线x=|.

图1图2

⑴求抛物线的解析式；

（2）若点P是直线BC下方的抛物线上一个动点，是否存在点P使四边形2BPC的面积为16,若存在，求出点P的

坐标若不存在，请说明理由；

（3）如图2,过点B作BF1BC交抛物线的对称轴于点F,以点C为圆心，2为半径作OC,点Q为OC上的一个

动点，求字BQ+FQ的最小值.

4

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12.(2021.全国.九年级专题练习)如图，RtAABC,NACB=90。，AC=BC=2,以C为顶点的正方形CDEP

(C、D、E、尸四个顶点按逆时针方向排列)可以绕点C自由转动，且8=/，连接ARBD

(1)求证：△BDCWXAFC

(2)当正方形。跖有顶点在线段AB上时，直接写出80+争⑦的值；

(3)直接写出正方形。£尸旋转过程中，8。+也。的最小值.

13.(2017下•江苏盐城•九年级阶段练习)如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a*0)与无轴交于点力(4,0),

与y轴交于点8,在无轴上有一动点E(zn,0)(0＜小＜4),过点E作x轴的垂线交直线于点N,交抛物

线于点P,过点P作PM±AB于点M.

(2)设APMN的周长为G，AAEN的周长为。2，若篙=，求机的值.

(3)如图2,在(2)的条件下，将线段OE绕点。逆时针旋转得到。E',旋转角为a(0。＜a＜90。)，连接E%、

E'B,求E2+|OB的最小值.

14.(2021•全国•九年级专题练习)如图1,在R72A8C中，ZACB=90°,CB=4,CA=6,圆C的半径为

2,点P为圆上一动点，连接AP,BP,求：

@AP+^BP,

24/32

@2AP+BP,

®^AP+BP,

④4P+3BP的最小值.

15.（2021上.江苏宿迁.九年级校考期末）问题提出：如图①，在RtA4BC中，4。=90。，C8=4,C4=6,

0c的半径为2,P为圆上一动点，连接AP、BP,求的最小值.

（1）尝试解决:为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:如图①，连接CP,在CB上取一点D,使CD=1,

则啜=S=3又乙PCD=&BCP,所以APCDS^BCP.所以段=（="

CrCDZDrCr2

所以PD=|PB,所以4P+：BP=4P+PD.

请你完成余下的思考，并直接写出答案：NP+[BP的最小值为________；

（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求]4P+BP的最小值

（3）拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，Z.COD=90°,0c=6,0A=3,0B=5,P是CB上一点，

求2P4+PB的最小值.

AC

k

Bu

图①图①备用图图②

16.（2019・山东・统考中考真题）如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴,y轴分别交于A,

C两点，抛物线y=x?+bx+c经过A,C两点，与x轴的另一交点为B

图1图2

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（1）求抛物线解析式及B点坐标；

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接MA、MB、BC,当点M运动到某一位置时，四边形AMBC

面积最大，求此时点M的坐标及四边形AMBC的面积；

（3）如图2,若P点是半径为2的。B上一动点，连接PC、PA,当点P运动到某一位置时，PC+^PA的值

最小，请求出这个最小值，并说明理由.

题型04瓜豆原理

【模型介绍】在几何双动点问题中，当两个动点与定点满足一定条件时，这两动点的运动规律会出现“种

线得线、种圆得圆”的关联性，这种关联性，形象地用中国一句俗语“种瓜得瓜、种豆得豆”来形容，取

名为“瓜豆原理”.

【条件】瓜豆原理运用满足的三个条件（”一定两动、定角、定比”）；

①有一个定点、两个动点，且一个动点（从动点）因另一个动点（主动点）的运动而随之运动；

②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角；

③两个动点到定点的距离的比值是定值.

【模型一】如图，点O是定点，点A、B是动点，NAOB=a且"=k,如果A点的运动轨迹是直线，那么

证明过程：如下图，假设此时点A运动到点A，，点B运动到点B，,且满足NA，OB=a,=k

所以/AOA=/BOB\—=—,=k因此△AOA，S/^BOB'.../CtAA=/OBB，，—,=k

...点B在运动过程中，BB5与OB5的夹角始终保持不变，且夹角与/OAA，相等，所以点B的运动轨迹是一

条直线.

直线BB，与直线AA，的夹角为a（8字模型自行证明）