几何变换之旋转模型（解析版）-2023年中考数学几何模型重点突破训练

专题32几何变换之旋转模型

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【理论基础】

L旋转的概念：将一个图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，定点称为旋转中

心，旋转的角度称为旋转角.

2.旋转三要素：旋转中心、旋转方形和旋转角度.

3.旋转的性质

⑴对应点到旋转中心的距离相等；

⑵两组对应点分别与旋转中心连线所成的角度相等.

注：图形在绕着某一个点进行旋转的时候，既可以顺时针旋转，也可以逆时针旋转.

4.旋转作图：在画旋转图形时，首先要确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方

向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形.

具体步骤如下：

⑴连接图形中的每一个关键点与旋转中心；

（2）把连线按要求（顺/逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；

⑶在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；

⑷连接所得到的对应点.

5.旋转中的全等变换.

⑴等腰直角三角形中的半角模型

(2)正方形中的半角模型

6.自旋转模型：有一组相邻的线段相等，可以通过构造旋转全等.

(1)60°自旋转模型

⑶等腰旋转模型

A

⑷中点旋转模型(倍长中线模型)

(2)正方形共顶点旋转模型

E

【例1】如图，在RtA48c中，AB=AC,D,E是斜边BC上两点，且。4E=45。，将入4。。绕点/顺时

针旋转90。后，得到A4尸8,连接E尸.下列结论：①AAEDm&iEF；②H1。=90。，③BE+DC=DE；

@AADC+^4FE=180°.其中结论正确的序号为（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【答案】C

【分析】根据旋转的性质可得，^FAD=90°,AF=AD,BF=DC,UBF=y,从而证明△E4E三△£）/£•,

乙EBE=90。，进而可得斯=DE,然后在RtABFE中,利用勾股定理，进行计算即可判断①②④正确.

【解析】解：由旋转得：

/.FAD=90°,AF=AD,BF=DC,乙ABF=^C,

vrD^E=45°,

•••^FAE—FAD-乙DAE=45。,

-'-Z.FAE—Z-DAE,

♦：AE=AE,

.­•AFAE=ADAE(SAS)f

；.EF=DE,AAFE=^ADE,

-Z-ADC+Z.ADE=\^Q,

・・・zJZ)C+乙4FE=180。，

・••上列结论，一定正确的是：①②④，

故选：C.

【例2】如图，点E为正方形4BCD外一点，乙4£2=90。，将用442E绕/点逆时针方向旋转90。得到

【答案】17

【分析】根据旋转的性质得出有关相等的角、相等的边，从而证明四边形/丽为正方形，再根据勾股定

理求出EH的长，就可得到。

【解析】解：••・将RtA48E绕/点逆时针方向旋转90。得到AWF,^AEB=9Q°,

：.AF=AE,BE=DF,/LDFA=^E=^AFH=90°,/LEAF=90°,

••・四边形ZEHF为正方形，

：.AF=EH,

设EH=x,

,:BH=1,

-'-BE=l+x,AF=EF=x,

在正方形4BCD中，AD=BC=13,

在RtzMFD中，

根据勾股定理，M（7+X）2+X2=132,

解得再=-12（舍去），X2—5,

；.DH=17.

故答案为：17.

【例3】如图，由△/BC绕点N按逆时针方向旋转90。得到，且点8的对应点。恰好落在8C的延长

线上，AD,EC相交于点P.

（1）求乙助£的度数；

（2）尸是EC延长线上的点，且。尸=尸尸.

①判断ZCDF和ZDAC的数量关系，并证明;

…#.、〒EPPC

②求证：=

JPFCF

【答案】WZBDE=90°

⑵①NCDF=NDAC,理由见详解；②证明见详解

【分析】（1）由旋转的性质得出ZBAD=9Q°,AABC出AADE,得出/4DE=/B=45。,可求出

/ADE的度数;

（2）①由旋转的性质得出/C=/E,ZCAE=9Q°,证得/FPD=/FDP,由三角形外角的性质可得出结论

②过点尸作交D尸于点“，得出NHPF=/DEP,祟喻,证明AHP尸会ACDF,由全等三角形

的性质得出则可得出结论.

【解析】（1）解：•・•以。石由A43c绕点/按逆时针方向旋转90。得到,

,-.AB=AD,ZBAD=90°,KABCaAADE,

在RtA/48。中，NB=/ADB=45°,

.:/ADE=/B=45°,

/BDE=NADB+N4DE=90°.

(2)①《DF=NDAC.

证明：由旋转的性质可知，AC=AE,ZCAE=90°,

在RtZUCE中，NACE=/AEC=45。,

DF=PF,

；・NFPD=NFDP,

/.NADB+NCDF=NACE+NCAD,

•・•NACE=NADB=45。,

・•.ZCDF=ZDAC.

②证明：过点尸作尸交。厂于点〃，

・・•NDPF=NADE+NDEP=45。*/DEP,

NDPF=NACE+NDAC=45o+/DAC,

.:NDEP=NDAC,

又丁NCDF=NDAC,

.•.NDEP=NCDF,

.:NHPF=NCDF,

又•：FD=FP,NF=NF,

.△HPFQACDF(ASA),

HF=CF,

.:DH=PC,

「EPDH

又•~PF=HF'

,EPPC

"PF-CF*

一、单选题

1.如图，尸是等边三角形/3C内一点，将A4C尸绕点/顺时针旋转60。得到A48Q,若尸4=2,尸3=4,

PC=2y[3,则四边形NP8。的面积为（）

A.26B.373C.4GD.如

【答案】B

【分析】如图，连接尸。.由题意△2以是等边三角形，禾佣勾股定理的逆定理证明"。3=90唧可解决问

题.

【解析】解：如图，连接尸。.

■■-AACP绕点A顺时针旋转60。得到4130,

■■.AP=AQ=2,PC=BQ=26APAQ=60°,

・・・△/MQ是等边三角形，

：.PQ=PA=2,

”8=4,

：.PB2=BQ2+PQ2,

.•zPQ5=90°,

•"四边形"%=%2+加2=；・尸028+亭尸/2=1x2x273+^x4=373，

故选：B.

2.如图，在A/BC中，AB=AC,若M是2c边上任意一点，将绕点/逆时针旋转得到△4CN,点

M的对应点为点N,连接MN,则下列结论不一定成立的是（）

A.AMANB.ZAMN=ZANM

C.CA平分ZBCND.MN1AC

【答案】D

【分析】根据旋转的性质，对每个选项逐一判断即可.

【解析】解：••・将绕点/逆时针旋转得到A4CN,

■■.AB=AC,UCN=/Ji,AM=AN,故选项A不符合题意;

.­.NAMN=ZANM,故选项B不符合题意;

AB=AC,

■-Z3=Z-ACB,

•.Z-ACN=Z-B,

:&CN=UCB,

CN平分ZBCN,故选项C不符合题意；

■:CN与CM不一定相等,

.•.MN_L/C不一成立，故故选项D符合题意;

故选：D.

3.如图，在平面直角坐标系中，A43C中点/的坐标是（3,4）,把绕原点。逆时针旋转90。得到

AA'BC,则点，的坐标为（）

A.(4,-3)B.(-4,3)C.(—3,4)D.(—3,-4)

【答案】B

【分析】连接0A,,过点/作轴于E,过点4作轴于/，根据旋转的性质可得

0A=OA',利用同角的余角相等求出=N40F,然后利用“角角边”证明A4OE和A。//全等，根据

全等三角形对应边相等可得。尸=/£,A'F=0E,然后写出点H的坐标即可.

［解析】解如图，连接04,,过点/作AElx轴于E,过点4作4厂，x轴于尸，则ZAEO=ZOFA'=90°,

点/的坐标是(3,4),

AE=4,0E=3.

-OA绕坐标原点。逆时针旋转90。至。H,

.•.CU=OH,/4OH=90。，

vAAOF+ZAOE=90°,ZAOE+ZOAE=90°,

•,"OAE=NAOF,

在△4OE和尸中，

ZOAE=/AOF

<ZAEO=ZOFAf,

OA=OA

MAOE%OA'F(.AAS),

OF=AE=4,ArF=OE=3,

二点4的坐标为(-4,3).

故选：B

4.如图，。是边长为1的等边A48c的中心，将/8、BC、C4分别绕点/、点8、点C顺时针旋转

6Z(0°<a<180°),得到48、BC'、CA',连接4®、B,C'、、0A\OB,.当V/29的周长取得最大

值时，此时旋转角1的度数为()

A.60°B.90°C.120°D.150°

【答案】D

【分析】连接。4、OB、OC、OC.由△0/8'三△OC/'推出N/'OC'=NC'O8'=120。，则有

AOC'=^C'OB',A'B'=A'C'=B'C,△H8'C'是等边三角形，当O、C、/共线时，OA'=OC+CA'=

0C+G4=O+l时，04最长，此时/夕(―+1)=1+百，a=150°.

33

【解析】解：如图，连接。/、OB、OC、OC.

-：O是等边三角形—BC是中心，

."/O=zJCO=30°,OA=OC,

“BAB'=^ACA'=a,

.-.AOAB'^^OCA',

在△(?/夕和△OC4中,

OA=OC

<NOAB'=ZOCAf,

ABr=CA

••△OABWAOCA'("S),

二乙40B'—COA',OA'=0B'，

••2405'=乙400=120。，

f

同理可证4Hoe=4。'。5'=120。，OA=OCf

则有△©。"三△HOCC。9，

・•.HB'=AC=BfC,

・•・△/3,C是等边三角形，

在△HOQ中，

•・24。5'=120。，OB'=04,

・•・当OH最长时，A'B'最长，

-OA'^OC+CA',

・•・当。、C、H共线时，OH=OC+CH=OC+C4=Y^+1时，OH最长,

3

此时/'8'=百・(―+1)=1+73,a=150°,

3

；・△©B'C的周长的最大值为3+3G.

故选：D

5.如图，正方形/8C。的边长为4,Z8CM=30。，点E是直线CM上一个动点，连接8£,线段8E绕点3

顺时针旋转45。得到BF,连接DF,则线段。厂长度的最小值等于（）

A.472-4B.272-2C.276-273D.2V6-V3

【答案】B

【分析】连接AD,在2。上截取BG=5C,连接尸G,过点。作ZV/LGF于点/利用正方形的性质、勾

股定理得出。G=AD-8G=4也-4，利用旋转的性质得出/即尸=45。，BE=BF,再证明

ACBE=AGSF(SAS),彳导出NBCE=NBGF=30°,可知点尸在直线G尸上运动，点厂与点〃重合时，DF

的值最小，进而求出D"的值即可.

【解析】解：如图，连接AD,在AD上截取2G=3C,连接尸G,过点。作_LGF于点H

••・四边形/BCD是正方形，边长为4,

ZCBD=45°,CD=CB=4,ZDCB=90°,

•••BD=VsC2+CD-=472，BG=BC=4,

:.DG=BD-BG=4亚-4,

••・线段BE绕点B顺时针旋转45。得到BF,

：.AEBF=45°,BE=BF,

ZCBG=ZEBF,

ZCBE=ZGBF,

在AC2E和AGBF中，

CB=GB

<ZCBE=ZGBF,

BE=BF

NCBE=\GBF(SAS),

NBCE=ZBGF=30°,

二点尸在直线G尸上运动，点尸与点〃重合时，的值最小,

DH±FH,ADGH=2BGF=30°,

.-.DH=-DG=2yj2-2,

2

尸的最小值为2夜-2.

故选B.

6.如图，在A/8C中，ZC<90°,/B=30。，/8=10,AC=1,。为NC的中点，”为BC边上一动点,

将4/3。绕点/逆时针旋转角研0°<々<360。）得到428'。'，点〃的对应点为〃"，连接（W',在旋转过

程中，线段。河'的长度的最小值是（）

A.1B.1.5C.2D.3

【答案】B

【分析】如图：由题意知当旋转到AT点在/C的延长线上且NC与B'C"垂直时，0M"的长度最小；旋转

的性质可得3"C"=2C=10,再根据直角三角形的性质可求得NAT,由中点的定义可求得04最后

。〃〃=/"'-/0计算即可.

【解析】解：由题意知当旋转到M〃点在NC的延长线上且/C与5〃C〃垂直时，0AT的长度最小;

•••将A/BC绕点A逆时针旋转角«（0°<«<360°）

B"C"=BC=IO

■■ACLB"C",ZB=30°

.-.AM"=-BC"=5

2

•・•。为/C的中点

.-.AO=~AC=3.5

2

■.OM"=AM"-AO=5-3.5=1.5.

故选B.

B

CB

7.如图，矩形4BCD中，AB=43,BC=3,P为矩形内一点，连接P4,PB,PC,则尸/+P2+PC的最

小值是（）

A.273+3B.2#>C.2肉3D.在

【答案】D

【分析】将△2PC绕点C逆时针旋转60。，得到AEFC,连接尸RAE、AC,则ZE的长即为所求.

【解析】解：将45尸C绕点C逆时针旋转60。，得到△）《，连接尸尸、AE、AC,则4E的长即为所求.

由旋转的性质可知：是等边三角形，

：.PC=PF,

，:PB=EF,

：,PA+PB+PC=PA+PF+EF,

・••当4、尸、F、E共线时，尸4+尸5+PC的值最小,

•・•四边形/BCD是矩形，

山5C=90。，

•••AC=yjAB2+BC2=2百，

：.AC=2AB,

“CB=30。，AC=2AB=26

vz5CE=60°,

.-.zUCE=90°,

•••AE=7(273)2+32=后，

故选：D.

8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△048位置如图，^OBA=90°,点2的坐标为(1,0),每一次将

△0/8绕点。逆时针旋转90。，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转得到△。小耳，第二次旋转得到

△。/苏2，…，以此类推，则点儿期的坐标是()

20212021

A.(22022,22022)B.(-2,2)C.(22021,.22021)D.(.22022；.22022)

【答案】D

【分析】是等腰直角三角形，OA=1,根据等腰直角三角形的性质，可得点/(I,1)逆时针旋转90。后

可得4(-2,2),同理4(-4,-4),依次类推可求得，4(8,-8),4(16,16),这些点所位于的象限为每4次一循

环，根据规律即可求出4022的坐标.

【解析】是等腰直角三角形，点8的坐标为(1,0),

AB=OB=1,

.•*点坐标为(1,1).

将AO/2绕原点。逆时针旋转90。得到等腰直角三角形，且=2AB,

再将AO/E绕原点。顺时针旋转90°得到等腰直角二角形OA,B2,且《与=2/蜴,

依此规律，

•••点A旋转后的点所位于的象限为每4次一循环，

即4(-2,2),4(-4,-4),4(8,-8),4(16,16).

•••2022=505x4+2,

二点^2022与4同在一个象限内.

-4=-22，8=23,16=24,

2O222022

•••^AO22(-2--2).

故选：D.

二、填空题

9.如图，在正方形4BCD中，点M是上一动点，点E是CN的中点，/£绕点E顺时针旋转90。得到

EF,连接。£,DF.给出结论：①DE=EF；②4CDF=45°；③若正方形的边长为2,则点M在射线48上

运动时，C尸有最小值近.其中结论正确的是.

【答案】①②③

【分析】延长/£交DC的延长线于点H,由“AAS”可证A4ME会MCE,可得4E=EH,由直角三角形的

性质可得4£=斯=£8,可判断①；由四边形内角和定理可求2//OE+2/瓦加=270。，可得

ZADF=135°,可判断②；连接尸C,过点C作CPID尸于/，由/CD尸=45。，知点尸在。尸上运动，即

得当C尸工。尸时，C尸有最小值为CF的长度，而CP=亚,即C户有最小值为血，可判断③正确.

【解析】解：如图，延长/E交。C的延长线于点“，

•・,点E是CM的中点，

:.ME=EC,

,：AB//CD,

.:NMAE=NH,NAME=NHCE,

也AHC£(AAS),

AE=EH,

又•.・ZADH=90°,

..DE=AE=EH,

•:AE绕点E顺时针旋转90°得至UEF,

AE=EF,ZAEF=90°,

AE=DE=EF,故①正确；

AE=DE=EF,

.•.NDAE=NADE,NEDF=NEFD,

•.・/AEF+/DAE+/ADE+NEDF+/EFD=360。,

.:2/ADE+2/EDF=270。,

.:NADF=135。,

ZCDF=ZADF-ZADC=\35°-90°=45°,故②正确;

如图，连接尸。，过点C作CP'/。尸于尸'，

•//CDF=45。,

.：点尸在。尸上运动，

.:当尸时，CF有最小值为CF的长度，

•;CD=2,/CDF=45°,

.•.CF=玉=6,即C尸有最小值为血，故③正确，

故答案为：①②③.

10.如图，四边形/8C。，4B=3,AC=2,把418。绕点。按顺时针方向旋转60。后得到△EC。，此时发

现点/、C、£恰好在一条直线上，则的长为.

【答案】5

【分析】根据旋转的性质得ZADE=6O。，DA=DE,乙BAD"=6Q°,则可判断为等边三角形，再利用

点、4、C、£在一条直线上得到NE=/C+CE,接着根据A48O绕着点。按顺时针方向旋转60。后得到△ECD

得至ljCE=AB,所以NE=NC+AB=5.

【解析】解：•.•点/、C、E在一条直线上，

而A4AD绕着点D按顺时针方向旋转60。后得到△ECO,

：.UDE=60°,DA=DE,乙BAD=^E,

：.AADE为等边三角形,

・・,点/、C、E在一条直线上，

■■AE=AC+CE,

■.AABD绕着点D按顺时针方向旋转60。后得到△ECD,

：.CE=AB,

.-.AE=AC+AB=2+3=5,

■.AD=AE=5.

故答案为：5

11.在A48C中，ZC=9O°,48=5,把A48C绕点C旋转，使点8落在射线胡上的点£处（点E不与点

A,3重合），此时点/落在点尸，联结E4,若△/£尸是直角三角形，且/尸=4,则2C=.

【答案】指或2石

【分析】分两种情况讨论，由勾股定理可求NE的长，通过证明可求C”的长，由勾股定

理可求解.

【解析】解：如图，当点E在线段N5上时，过点。作SUB于〃，

•■•z£L4F=90°,

■■AE=y/EF2-AF2=752-42=3,

••.BE=2,

♦；BC=CE,CHLAB,

；.EH=BH=\,

:.AH=4,

ZACB=90°,

:.乙B+乙BAC=9Q°=乙B+乙BCH,

:.乙BCH=LBAC,

又；HC=LBHC=9Q°,

■■.AAHC-ACHB,

AHCH

：.CH2=AHBH=4,

■-CH=2（负值舍去）

BC=4BH2+CH2=V5；

当点E在线段A4的延长线上时，过点C作CHL42于H,

同理可求，AE=3,BE=S,EH=BH=4,CH=2,

BC=A/22+42=2也，

综上所述：BC=E或2亚.

故答案为：石或2逐.

12.如图，在四边形23CD中，AADC=60°,乙42c=30。，且/D=CD,连接8。，若4B=2,

BD=布,则3C的长为.

AB

【答案】V3

【分析】将A4O8以。为旋转中心，逆时针旋转60。，使/与C点重合，8与E点重合，连接BE,可得到

△DBE为等边三角形,从而得到。再由ZADC=60。，ZABC=30°,可得乙比片外。，然后可得

BD2=AB1+BC1,即可求解.

【解析】解：如图，将A4O8以。为旋转中心，逆时针旋转60。，使z与C点重合，8与£点重合，连接

BE,

；.UBD=〃JED,乙仁乙ECD,AB=CE,DB=DE,

又山。C=60。，

；/BDE=6Q°,

.•.△D2E为等边三角形，

••DB=BE,

■.^ECB=360o-^BCD-^DCE=360o-/.BCD-^A=36Q0-(360°-^4DC-^ABC)=90°,

••.△EC3为直角三角形，

■-EC2+BC2=BE2,

■■.BD2=AB2+BC2,

BC=SIBD2-AB2=V3，

故答案为:V3

13.已知，O。的直径BC=2收，点/为。。上一动点，AD、AD分别平分的外角，AD与。。交

于点E.若将NO绕。点逆时针旋转270。，则点。所经历的路径长为.(提示：在半径为尺的圆中,

“。圆心角所对弧长为恐)

D

E

A,

飞O

3

【答案】4

【分析】如图，设乙4c8=a,由BC是。。的直径，可得：ABAC=90°,根据角平分线定义可得：乙048=

45°,^ABD=45°+^a,进而可得出：ZLEDB=Z.EBD=90°-1a,得出：EB=ED,再由等弧所对的圆周角

相等，可得：4ECB=4E4B=45°,进而推出班=EC=E。，可得点。在半径为2的。£上逆时针旋转

135°,再利用弧长公式即可得出答案.

【解析】解：如图，连接CK,设乙4C8=a,

•••8C是O。的直径，

.•.AB/C=90O,

■■.Z.DEB=a,zA8C=90°-a,

-AD.BD分别平分A4BC的外角，

・・・乙。45=45。，U5D=450+^a,

2

/1、1

.・2即8=180。・〃/8-^43。=180。-45。・(45。+—a)=90。--a,

22

/LEBD=T8。。-3EB・AEDB=180。・a-(90°--a)=90°--a,

22

:,乙EDB=cEBD,

；.EB=ED,

♦♦

•；BE=BE，

•••乙ECB=^EAB=45。,

vzCE5=90°,

:.XBCE是等腰直角三角形，

：.EB=EC,

:,EB=EC=ED,

二点D在半径为2的OE上逆时针旋转135。,

•••点。所经历的路径长为：=T万，

14.如图，在正方形48co中，M,N分别是42,CD的中点，P是线段上的一点，2P的延长线交

4。于点£,连接尸。，PC,将ADEP绕点P顺时针旋转90。得AGEP,则下列结论：①CP=GP,

②tan/CG尸=1；③3C垂直平分FG；④若N8=4,点E在/。边上运动，则。，尸两点之间距离的最小

值是m应.其中结论正确的序号有.

【答案】①②③

【分析】延长G尸交AD于点b,连接FC,FB,FA,由已知可得九W为48,C。的垂直平分线，由垂直

平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可

得/BCG=45。，由四边形内角和定理通过计算可得=90。；利用平行线的性质可得，kG,贝lj

NCGF=45。，可说明②的结论正确；通过证明点A,B,E,尸在以点尸为圆心，尸/为半径的同一个圆

上，利用圆周角定理可得NE4B=45。，得到A,F,C三点共线，得到aCGB为等腰直角三角形，则③

的结论正确；由题意点尸在对角线/C上运动，当跖，/C时，E尸的值最小，连接4C,解直角三角形的

知识可得④的结论不正确.

【解析】解：延长G尸交4D于点“，连接尸C,FB,FA,如图，

•・,正方形中，M,N分别是45,的中点,

・•.AW是线段A4,。。的垂直平分线.

:.PD=PC,PA=PB.

・・・AFPG是YPED绕点P顺时针旋转90°得至U,

:AFPGKPED,

PD=PG.

PC=PG.

・•.①的结论正确;

•••PD=PC,

ZPDC=/PCD=1(180°-ZDPC).

・・•PC=PG,

ZPCG=ZPGC=1(180°-NCPG).

,/尸CQ+NPCG=；[360°—(/QPC+NCPG)].

•・•ZDPC+ZCPG=90°9

/PCD+/PCG=135。.

・・・NBC。=90。，

/.ZBCG=45°.

，：AFPGmYPED,

/DEP=NGFP.

•・•NHFP+/PFG=180。,

ZDEP+ZHFP=180°.

・・・ZDEP+ZHFP+/EHF+/EPF=360°,

/.NEHF+/EPF=18。。.

/EPF=90。,

/EHF=90。.

即GHLAD.

•・•AD!IBC,

GF1BC.

:.ZCGF=45°.

tanZCGF=1.

.•.②的结论正确；

PA=PB,PMLAB,

NAPM=ZBPM,

QPM//AE,

ZPEA=NBPM,NPAE=APM.

APEA=APAE.

:.PA=PE.

■：PE=PF,

PA=PB=PE=PF.

.•.点A,B,E,尸在以点尸为圆心，尸/为半径的同一个圆上.

ZFAB=-NFPB=1x90°=45°.

22

点尸在对角线NC上，

ZFCB=45°.

•：NBCG=NCGF=45°,

.•.△FCG为等腰直角三角形.

BC平分NFCG,

8c垂直平分尸G.

.♦.③的结论正确；

由以上可知：点尸在正方形的对角线“C上运动，

.•.当E尸，NC时，EF的值最小.

此时点E与点。重合，

DF=AD-sin45°=4x^=2后.

2

④的结论不正确.

综上，结论正确的序号有：①②③，

故答案为：①②③.

15.已知。。的半径为4,/为圆内一定点，AO=2.M为圆上一动点，以为边作等腰△^儿/MAM=

MN,乙4TW=108。，ON的最大值为

【答案】275+4

【分析】将线段绕点。顺时针旋转108。得到线段07,连接N7,NT,OM.延长到K,使得/K=

AT,根据旋转的性质有ZO=OT=2,先证明△K07saK",再证明A4。7sZUMN,接着证明

AOAM3AN,利用相似三角形的性质求出N7,再根据三角形的三边关系解决问题即可.

【解析】如图，将线段绕点。顺时针旋转108。得到线段OT,连接N7,NT,OM.延长NO到K,使得

AK=AT,即0〃=4,

根据旋转的性质有/O=O7=2,乙407=108。,

・••4。/T=4。口=/(180。〜。7)=36。，

:/KOT=40AT+^ATO=72°,

•：AK=AT,

：./-K=/.ATK=1(180°-^KA7)=72°,

:2K=LKOT,

：.KT=OT=2,

••ZKOT=^KTA=72°,4K=NK,

:.AKOTSAKTA,

KT_OKKT_OK

“西一丞，BAO+OK~~KT'

■■-OK=4S-\,（负值舍去），

.•.AT=AK=AO+OK=2-\-s[5-I=亚+1,

■.■AAOT,都是顶角为108。的等腰三角形，

：/OAT=^MAN=36°,乙4OT=UMN=108°,

.-.AAOT-AAMN,

AO_AT

“而一

-AOAT+zTAM=AOAM,AMAN+ATAM=ATAN,

：/OAM=LTAN,

...AOAT-

.・.结合——=—,可得△04W“Z\Z4N,

AMAN

AO_OM2_4

,・方一亓，V5+1TN，

TN=2yf5+2,

■：ON<OT+NT,

ON<2遥+4,

••.CW的最大值为26+4,

故答案为：26+4.

16.如图，在矩形N3C。中，AB=3,BC=4,将矩形48CD绕点C按顺时针方向旋转a角，得到矩形

A'B'CD',B'C与AD交于点E,AD的延长线与4少交于点F.当矩形NEC。的顶点H落在CD的延长线上

时，则斯=.

【答案】v

4

【分析】根据矩形的性质得乙D'=90。，根据勾股定理得002=4,。2+6,2,再证明尸”△©℃得

^=—,证明△CQEs/XCB'/'得纥=/，分别计算。尸和的长即可得解.

ADCDCBAB

【解析】解：•••四边形48co是矩形，矩形/8C。绕点C按顺时针方向旋转a角，得到矩形N5C。，

.•"'=90。，AD=A'D'=BC=4,CD'=CD=AB=3,

在RtzX/'CZ）'中，ZD'=9Q0,

-A'C2=A'D'2+CD'2,

.■.A'C=5,

/'D=2,

•••ADAF=ACAD',NA'DF=ND'=90°,

：.^A'DFA'D'C,

.A'DDF

"AD

.2_DF

••一，

43

3

:,DF=一,

2

同理可得Z\CDE-△C5W,

CDED

,••___i—-__，__，,

CBAB

3ED

——9

43

9

:.ED=—，

4

:.EF=ED+DF=*,

4

故答案为：.

三、解答题

17.如图，在平面直角坐标系中A45C的三个顶点都在格点上，点4的坐标为（2,2）,请解答下列问题:

(1)画出AIBC绕点B逆时针旋转90。后得到△^//G，并写出点4的坐标；

(2)画出和△N//G关于原点。成中心对称的△儿为。2，并写出点4的坐标;

(3)在(1)的条件下，求8c在旋转过程中扫过的面积.

【答案】⑴4(4,0),图见解析；

(2)4(-4,0),图见解析；

(3)T-

【分析】(1)根据旋转的性质作图，由图可得答案.

(2)根据中心对称的性质作图，由图可得答案.

(3)利用勾股定理求出2C的长，再结合扇形的面积公式求解即可.

【解析】(1)解：△444如图所示，由图可知：4(4,0).

y八

B2

(3)解：,.,8C='F+2?=—,

■.BC扫过的面积为9°4x(«)2=%.

3604

18.如图，在A48C中，点E在8c边上，AE=AB,将线段/C绕N点旋转到N尸的位置，使得乙。尸=

Z-BAE,连接EREF与AC交于点、G.

F

G

BE

(1)求证：EF=BC；

(2)若/4BC=63。，ZACB=25。,求"GC的度数.

【答案】(1)见解析；(2)79。

【分析】(1)由旋转的性质可得尸，利用"S证明△ZHCgAZ即，根据全等三角形的对应边相等即

可得出£F=8C；

(2)根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出加七=180。-63。'2=54。，那么Z7NG=54。.由

AABC=AAEFf得出乙4比=乙4cB=25。，再根据三角形外角的性质即可求出乙FGC=4E4G+乙4/G=79。.

【解析】(1)证明：

工乙BAC=cEAF.

•・•将线段4c绕4点旋转到AF的位置，

•-AC=AF.

在AABC与AAEF中,

AB=AE

<ABAC=ZEAF,

AC=AF

・•・AABC"AAEF("S),

：.EF=BC；

(2)解：・・弘5=4£,24BC=63。，

^Z.AEB=Z.ABC,

；./BAE=180°-63°x2=54°,

NFAG=NBAE=54。.

•・•/^ABC^/XAEF,

・,.NAFE=NACB=25。,

/.ZFGC=/FAG+NAFG=54。+25。=79。.

19.如图，正方形45CD中，NMAN=45。,/M4N绕点Z顺时针旋转，它的两边分别交8C、(或它

们的延长线)于点M、N.

(1)如图1,求证：MN=BM+DN-

⑵当48=6,ACV=5时，求ACW的面积；

(3)当/跖4N绕点/旋转到如图2位置时，线段BM、DN和九W之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想

并证明.

【答案】(1)见解析

⑵6

@DN=BM+MN,证明见解析

【分析】(1)将绕点/逆时针旋转90°得到A/DAT,证明A/MNgA/M可，即可得证；

MNA

(2)利用全等得出S.4A^=5..仪=$.4M,用正方形的面积减去ZS—即可求出C〃N的面积；

(3)将4BM绕点/逆时针旋转90°得到AADM',证明AAMN2AMN,即可得证.

【解析】(1)解：如图，将绕点月逆时针旋转9。°得到A/。“'，

贝lj："BM空AADM',

AM=AM',BM=DM',ZBAM=ZDAM'

•••四边形/BCD为正方形，

：.ZBAD=9Q°,

-.■^MAN=45°,

/MAB+/NAD=45。,

ZM'AD+ZNAD=ZM'AN=M°,

ZMAN=ZM'AN,

又「AM=AM；AN=AN,

；.xAMN知AMN(SAS),

MN=M'N=M'D+DN=BM+DN；

(2)解：•・・四边形43CQ为正方形，

・•.AD=AB=6,S正方形=6?=36,

vAAMN会AAMN

.,.MN'=MN=5,

；・S“MN=S“MN=gMN•AD=；X5X6=\5,

•••AABMAADM'

・•・SMBM+S“£)N—+SSDN=15,

SAC—S正方形—SAMN—S/ION—S"MB=36—15—15=6；

(3)解：DN=BM+MN,理由如下：

如图，将绕点4逆时针旋转90。得到“DVT,连接

则：ZMAM=90°,AABMWADM',

AM=AM',BM=DM：NBAM=NDAM'

•・•NMAN=45。,

・•.NM'AN=NM'AM-NMAN=90。-45°=45°,

:.NMAN=NM'AN,

又YAM=AM；AN=AN,

MAMN为AMN(SAS),

:,MN=MN,

20.阅读下面材料:

小岩遇到这样一个问题如图1,在正三角形N8C内有一点尸，且上4=1,

数;

小岩是这样思考的：如图2,利用旋转和全等的知识构造△NPC,连接尸P,得到两个特殊的三角形，从

而将问题解决.

(1)请你回答：图1中乙4功的度数等于—；(直接写答案)

参考小岩同学思考问题的方法，解决下列问题：

(2)如图3,在正方形/BCD内有一点尸，且尸/=加,尸8=1,尸。=遂.求乙4尸8的度数；

(3)如图4,在正六边形N3CDEF内有一点P,若乙4PB=120。，直接写出尸/,尸8和尸尸的数量关系.

【答案】⑴150。

(2)135°

G)PF?=PB?+3PAL

【分析】(1)把A4必绕点/逆时针旋转60。得到△NCP,由旋转的性质可得

PA=P'A=1,PB=P'C=&NPAP=60°,NAPB=NAP'C,证出^APP是等边三角形，由等边三角形的性质求

出尸P=P/=l,N/PP=60。，再由勾股定理逆定理求出NPPC=90。，求出/4P'C,即为乙4%的度数；

(2)把A4P8绕点/逆时针旋转90。得到△4)P,由旋转的性质可得P/=P4PO=PB,NP/P=90。，证

出A/PP是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质求出PP,4Pp=45。，再利用勾股定理逆定理求

出/尸尸'。=90°,然后求出N/P。，即为乙4依的度数；

(3)把A4P2绕点/逆时针旋转120。得到尸P,由旋转的性质，P'A=PA,P'F=PB,ZPAP'=120°,可

得NAPP=NAPP=30°,过点/作4W_LPP于设尸P与/尸相交于N,证明

P'P=CPA/PFF=90°,再利用勾股定理可得答案.

【解析】(1)解：如图2,把41PB绕点/逆时针旋转60°得到△NCP,

图2

由旋转的性质，PA=P'A=1,PB=P'C=V3,NPA*60°,ZAPB=ZAP'C,

・•・A/PP'是等边三角形，

PP'=PA=\,AAP'P=60°,

P'P2+P'C2=l2+^^=4=尸02,

...ZPP'C=90°,

ZAP'C=AAP'P+ZPP'C=150°,

故//P8=//PC=150。；

故答案为：150。.

(2)如图3,把△/必绕点A逆时针旋转90°得到△4DP,

由旋转的性质，P'A=PA=0P'D=PB=1,ZP'AP=90°,

・•・A/PP是等腰直角三角形，

AP'P=41PA=2,ZAP'P=45°,

2p尸£)2,

...pp+p'D2=2+=5=

ZPP'D=90°,

ZAP'D=ZAP'P+ZPP'D=45°+90°=135°,

故乙4PB=N4PD=135°.

-x（6-2）xl80°=120°

（3）如图4,•.•正六边形的内角为6

.•.把△NP8绕点A逆时针旋转120。得到&AFP,,

由旋转的性质，P'A=PA,P'F=PB,ZPAP'=120°,

ZAPP'=ZAP'P=30°,

过点/作于设PP与/尸相交于N,

=m，

则=^机，尸A/=PN=｛机2_（3加］^

PP=2PM=43m,

PP'=CPA,

由旋转的性质可得：ZAP'F=ZAPB=12Q0,

,

.".ZJPPF=120°-30°=90°,

：.PF2=P'P2+P'F2,

PF2=PB2+^PA^=PB2+3PA2.

21.在A/BC中，ZC=90°,/A4c=30。，点。是CB延长线上一点（N/DC>30。），连接ND,将线段

绕点。顺时针旋转60。，得到线段连接EC.

BCB

(1)依题意，补全图形；

⑵若BD=BC=2,求CE的长.

(3)延长EC交N5于尸，用等式表示线段C£,W之间的数量关系，并证明.

【答案】(1)答案见解析

⑵2

(3)CE=C尸，理由见解析

【分析】(1)按照题意进行画图即可；

(2)根据已知条件得到CD=48,/BAD=/EDB,然后得到△4D8三ADEC,从而求出CE=8O=2；

(3)作“BC关于AC所在直线的对称图形A/GC,并作点F关于AC所在直线的对称点为点H，连接CH,

EG,由题意可证得A/DE、A/8G是等边三角形，利用等边三角形的性质以及等量代换可证得ADNB三

△EAG、CGHmACGE,最后得到CE=CF.

【解析】(1)解：如图所示，

(2)解：如图所示，在中，

■■■ABAC=30°,

AB=2BC=4,

BD=BC=2,

：.CD=4=AB,

■：/BAD+ZBDA=ZABC=60°,ZEDB+ZBDA=60°,

■.ZBAD=ZEDB,

在AADB和ADEC中，

'AB=DC

</BAD=/CDE,

AD=DE

・•.△ADBdDEC,

则CE=BD=2.

(3)

解：CE=CF,理由如下，

如图所示，作△/BC关于力C所在直线的对称图形△4GC,并作点方关于4C所在直线的对称点为点〃，连接

CH,EG,

•・•AD=DE,ZADE=60°9

・•."DE是等边三角形,AD=AE,/DAE=60°,

-ZACB=90°fABAC=30°,

.•.△/5G是等边三角形，/BAG=NAGB=60。,

•・•/DAB+/BAE=NBAE+ZEAG=60°,

・•・/DAB=ZEAG,

在ADAB和ZiE/G中，

DA=EA

<ZDAB=EAG,

AB=AG

；,ADAB=AEAG,

ZAGE=ZABD=180。—60°=120_NCGE=AAGE-ZAGC=60°=ZCGH,

•・・ZBCF=ZGCE,ZGCH=ZBCF,

:"GCE=/GCH,

在KG〃和KGE中，

ZGCH=NGCE

<GC=GC,

ZCGH=ZCGE

GCGH三KGE,

:.CH=CE,

•：CH=CF,

CE=CF.

22.在AJBC中