江苏省南京市2024年中考数学模拟卷1（解析版）

江苏省•南京市2024年中考数学模拟01卷

（本卷共23小题，满分120分，考试用时120分钟）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.

3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

5.考试范围：中考全部内容.

第回卷（选择题，共12分）

一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是

符合题目要求的）

1.有理数;的相反数是（）

2332

A.——B.-C.——D.±-

3223

【答案】A

【分析】根据互为相反数的定义进行解答即可.

【详解】解：有理数彳7的相反数是-彳9，

故选A

【点睛】本题考查的是相反数，仅仅只有符号不同的两个数互为相反数，熟记定义是解本题的关键.

2.下列无理数，与3最接近的是（）

A.76B.V7C.710。.而

【答案】C

【分析】先比较各个数平方后的结果，进而即可得到答案.

【详解】解：回32=9,（G）2=6,（1）2=7,（亚）2=10,）2=11,

团与3最接近的是

故选C.

【点睛】本题主要考查无理数的估计，理解算术平方根与平方的关系，是解题的关键.

3.下列运算正确的是（）

A.2a-a-IB.a3-a2-a5C.(ab)~=D.„=a6

【答案】B

【分析】根据合并同类项法则、同底数塞的乘法、积的乘方与累的乘方法则逐项判断即可得.

【详解】解：A、2a-a=a,则此项错误，不符合题意；

B、则此项正确，符合题意；

C、(ab)』汨,则此项错误，不符合题意；

D、(«2)4=«\则此项错误，不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幕的乘法、积的乘方与幕的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关

键.

4.如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A、B对应的实数分别是服b,下列结论一定

成立的是()

AB

------*1-----------*---->■

a0b

A.a+b<0B.b-a<0C.2a>2bD.a+2<b+2

【答案】D

【分析】依据点在数轴上的位置，不等式的性质，绝对值的意义，有理数大小的比较法则对每个选项进行

逐一判断即可得出结论.

【详解】解：由题意得：a<O<b,且问(可，

回0+6>0,她选项的结论不成立；

b-a>0,回2选项的结论不成立；

2a<26,13c选项的结论不成立；

a+2<b+2,前选项的结论成立.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了不等式的性质，有理数大小的比较法则，利用点在数轴上的位置确定出a,b的取

值范围是解题的关键.

5.如图，四边形ABCD是矩形，分别以点8,。为圆心，线段BC,。。长为半径画弧，两弧相交于点E,

连接班1,DE,BD.若AB=4,BC=8,则/ABE1的正切值为()

【答案】C

【分析】设防，A。交于点尸，根据矩形的性质以及以点3,。为圆心，线段3C,QC长为半径画弧得

至卜3。石ga5DC(SSS),FB=FD,设EF=x,i^BF=DF=BE-EF=8-xf在Rt跖。中求出工的值，

从而得到,AB尸空EDF(SSS),从而得到ZAB£=ZADE,即可求得答案.

【详解】解：设鸵，AD交于点产，

由题意得BE=3C=8,DE=DC=AB=4,

...BDE空.BDC(SSS),

..ZEBD=NCBD,

四边形ABC。是矩形,

..AD//BC,

:.ZADB=NCBD,

:.ZADB=ZEBD,

:.FB=FD,

设EF=x,

^BF=DF=BE-EF=8-x,

在Rt跖D中，ED?+EF?=FD?，

即16+/=(8—x)2,

解得％=3,

:.EF=3,DF=BF=5,

AF=AD-DF=8-5=3f

ABFqEDF,

.".ZABE^ZADE,

故选：C.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，以及正切值的求法，本题中得到

ZABE=ZADE是解题的关键.

6.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=J3x+b的图象分别与x轴、，轴交于两点，且与反比例

函数丁=勺在第一象限内的图象交于点C.若点A坐标为（2,0）,黑=：,则上的值是（）.

AD2

A.6B.273C.3A/3D.4>/3

【答案】C

【分析】过点C作CO_Ly轴于点。，则CD〃Q4,可得，进而根据已知条件的CD=3,

求得直线AB的解析式，将x=3代入，得出点C的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解.

【详解】解：如图所示，过点C作轴于点D,则CD〃Q4

⑦△B0AS/\BDC

CDBC

团----二-----

AOBA

团——=9A(2,0)

AB

BC3

回一=

BA2

CD3

回一=

22

解得：CD=3

回点4(2,0)在>〃上,

025/3+/?=0

解得：b=-2y/3

回直线AB的解析式为y=y/3x-2y/3

当x=3时，y=\[3

即C（3,V3）

k

又反比例函数y二—在第一象限内的图象交于点c

X

回左=3y[3,

故选：C.

【点睛】本题考查了反比例函数的性质，待定系数法求一次函数解析式，相似三角形的性质与判定，求得

点C的坐标是解题的关键.

第回卷（非选择题，共108分）

二、填空题（本大题共1。小题，每小题2分，共20分）

7.港珠澳大桥被誉为"新世界七大奇迹”之一，全长55000米.将数字55000用科学记数法表示是.

【答案】5.5xlO4

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为。xlO",其中14忖＜10,〃为整数，按要求表示即

可.

【详解】解：55000共有5位数，从而用科学记数法表示为5.5x104,

故答案为:5.5xlO4.

【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定。与"的值是解决问题的关键.

8.使分式上有意义的x的取值范围是.

X-J

【答案】x/5

【分析】如果要使分式有意义，则分母不能为零，即可求得答案.

【详解】解：本题考查了分式有意义的条件，

即*-540,解得XH5,

故答案为：x丰5.

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义分母不为零是关键.

9.计算而-上的结果是.

【答案】显

2

【分析】分别化简次和JI,再利用法则计算即可.

【详解】解：原式=2应-3血=变；

22

故答案为：叵.

2

【点睛】本题考查了二次根式的减法运算，涉及到二次根式的化简等知识，解决本题的关键是牢记二次根

式的性质和计算法则等.

10.若a+2Z?-l=0,贝！|3。+66的值是.

【答案】3

【分析】根据已知得到。+26=1,再代值求解即可.

【详解】解：！3a+2b—l=0,

0o+2b=l,

回3a+66=3（a+2b）=3,

故答案为：3.

【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想求解是解答的关键.

11.若关于X的一元二次方程f—2x+7"=O有两个不相等的实数根，则加的取值范围是.

【答案】m<l

【分析】

此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键.根据方程有两

个不相等的实数根，得到根的判别式大于0,求出机的范围即可.

【详解】解：回关于X的一元二次方程V-2X+加=0有两个不相等的实数根,

0A=4-4m>0,

解得：m<1.

故答案为：m<l.

12.如图，在YABC。中，CA1AB,若ZB=50。，则/C4D的度数是

【答案】40740度

【分析】根据平行四边形对边平行可得AD〃3C,利用平行线的性质可得NC4D=NACB,因此利用直角

三角形两个锐角互余求出ZACB即可.

【详解】解：回四边形ABCZ）是平行四边形，

0AD/7BC,

BZCAD^ZACB,

0C41AB,

EZBAC=90°,

0ZB=5O°,

0ZACS=90°-ZB=40°,

0ZG4D=ZACB=4O°,

故答案为：40°.

【点睛】本题考查平行四边形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，难度较小，解题的关键是能够

综合运用上述知识.

13.二次函数y=d+3x+〃的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则”的值可以是（填一个值即可）

【答案】-3（答案不唯一）

【分析】根据根与系数的关系即可求解.

【详解】解：设二次函数y=f+3x+”的图象与x轴交点的横坐标为耳、巧,

即二元一次方程尤2+3尤+"=0的根为毛、演,

由根与系数的关系得：玉+尤2=-3,xl-x1=n,

一次函数y=—+3x+w的图象与x轴有一个交点在y轴右侧,

二苫，巧为异号，

〃v0,

故答案为：-3（答案不唯一）.

【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用.

14.如图，四边形ABCD内接于C。，点E在CD的延长线上.若NAZ）E=70。，则NAOC=度.

【答案】140

【分析】首先根据圆内接四边形的性质得NB=/ADE=70。，再根据圆心角与圆周角的关系即可得出/AOC

的度数.

【详解】解：回四边形ABC。内接于。，ZADE=70°,

0ZB+ZAZX7=18O°,

又回ZADE+ZADC=180°,

回/3=/4DE=70°,

0ZAOC=2ZB=14O".

故答案为：140.

【点睛】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角与圆周角之间的关系，熟练掌握圆内接四边形的对

角互补，理解圆心角与圆周角之间的关系是解答此题的关键.

15.如图，在正方形ABCD中，AB=12,点E,尸分别在边3C,CD上，AE与所相交于点G,若8E=CF=5,

则BG的长为.

【分析】根据题意证明△钻石丝均笛尸(SAS),EBGs-FBC,利用勾股定理即可求解.

【详解】解：•四边形ABCQ是正方形，

ZABE=ZC=90°fAB=BC,

BE=CFf

AABE^ABCF(SAS),

:"BAE=/CBF,

ZCBF^ZABG=90°,

:.ZBAE+ZABG=9Q0,

:.ZBGE=90°,

:./BGE=NC,

又ZEBG=ZFBCf

EBG^,FBC,

.BGBE

,,'BC~~BF'

BC=AB=12,CF=BE=5,

:.BF=y/BC2+CF2=7122+52=13，

.BG_5

•.•*ijv6j=0—.

13

故答案为：.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握这些性质

是解题的关键.

16.已知，△OA4，^A3A都是边长为2的等边三角形，按下图所示摆放•点4,4,&,•

都在X轴正半轴上，且&A3=AA=4A=,'=1，则点4)23的坐标是.

【答案】（2023,若）

【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可.

【详解】解：由图形可得：4（2,0）,解（3,0）,4（5,0）,4（6,0）,4（8,0）,4（9,0）,

o

0OB=cos60°x(24,=l,/l1B=sin60xCl4i=A/3,

同理：4（4,一A）,4（7,A）,Ao（10,--），

团点4的横坐标为1,点4的横坐标为2,点&3的横坐标为3,......纵坐标三个一循环,

团4）23的横坐标为2023,

回2023+3=6741,674为偶数，

团点4023在第一象限，

1aAM23（2023,右）.

故答案为（2023,6b

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、解直角三角形、坐标规律等知识点，先求出几个点、发现规

律是解答本题的关键.

三、解答题（本大题共11小题,17,18每小题7分,19,20,21,22,23,24,25每小题8分，26,27每小

题9分，共88分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.先化简，再求值：［匕+其中E

【答案】二，

【分析】先计算括号内的加法，再计算除法运算得到最简结果，代入数值计算即可.

【详解】解:

1+%—1(%—I)2

x-1

xx-1

-------------

x-1X+1

X

X+1

当x=3时，原式=三3==3.

3+14

【点睛】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键.

18.(1)计算：|75-3|+A/20+A/3COS30°

-3(x-2)>4-.x

(2)解不等式组：l+2x,

-------->x-1

I3

【答案】(1)——3-\/5；(2)x<1

【分析】（1）先去绝对值，计算负整数指数幕，化最简二次根式，计算特殊角的三角函数值，再根据实数

的混合运算法则计算即可;

（2）分别解出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不至『'的原

则求出其公共解即可.

【详解】解：⑴2-3|+出-A/20+^COS30°

=3一有+2-26+信1

=5-375+-

2

=—-3A/5；

2

-3（X-2）＞4-^D

（2）{l+2x，否，

-----＞尤-4②

I3

解不等式①，得：x＜L

解不等式②，得：尤＜4

回原不等式组的解集为xWl.

【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及去绝对值，负整数指数第，化最简二次根式，特殊角的三角函数

值.还考查解一元一次不等式组.掌握实数的混合运算法则和解一元一次不等式组的步骤是解题关键.

19.2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射

成功.为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习.已知该校租用甲、乙两

种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元.问甲、

乙两种型号客车各租多少辆？

【答案】甲型号客车租5辆，乙型号客车租10辆

【分析】设甲型号客车租x辆，乙型号客车租y辆，根据题意列二元一次方程组求解，即可得到答案.

【详解】解：设甲型号客车租x辆，乙型号客车租y辆,

x+y=15

由题意得:

600%+500^=8000

尤=5

解得:

y=io

答：甲型号客车租5辆，乙型号客车租10辆.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题关键.

20.随着盐城交通的快速发展，城乡居民出行更加便捷.如图，从甲镇到乙镇有乡村公路A和省级公路8两

条路线；从乙镇到盐城南洋国际机场，有省级公路C、高速公路。和城市高架E三条路线.小华驾车从甲镇

到盐城南洋国际机场接人（不考虑其他因素）.

⑴从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为.

⑵用列表或画树状图的方法，求小华两段路程都选省级公路的概率.

【答案】⑴

【分析】

(1)根据概率公式计算即可；

(2)列表表示出所有的可能性，再根据概率公式计算即可.

【详解】(1)从甲镇到乙镇，小华所选路线是乡村公路A的概率为

故答案为：­.

(2)列表如下:

共有6种等可能的结果，其中两段路程都选省级公路只有BC,共1种，

回小华两段路程都选省级公路的概率，,

0

【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有〃种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现机

种结果，那么事件A的概率RA)='.

n

21.香醋中有一种物质，其含量不同，风味就不同，各风味香醋中该种物质的含量如下表.

风味偏甜适中偏酸

含量/(mg/100mL)71.289.8110.9

某超市销售不同包装(塑料瓶装和玻璃瓶装)的以上三种风味的香醋，小明将该超市1-5月份售出的香醋

数量绘制成如下条形统计图.

14月份仰出的不到包装的各风味香酣数R的条形统计图

⑴求出a,。的值.

(2)售出的玻璃瓶装香醋中该种物质的含量的众数为mg/lOOmL,中位数为mg/lOOmL.

⑶根据小明绘制的条形统计图，你能获得哪些信息？（写出一条即可）

【答案】（1）0=18,6=20

（2）110.9,89.8

（3）见解析

【分析】（1）根据1-5月份共售出香醋的总量和"偏酸”的香醋占比，可求出。的值，进而求出》的值；

（2）分别计算出玻璃瓶装香醋三种风味各自的数量，数量最多和数量居中的那种风味对应的含量即为答案;

（3）根据条形统计图，任写一条合理的信息即可，答案不唯一.

【详解】（1）町-5月份共售出150瓶香醋，其中"偏酸"的香醋占比40%,

团售出"偏酸"的香醋的数量为150x40%=60（瓶）.

回a+42=60,解得a=18.

Ell5+b+17+38+a+42=150,即130+6=150,

解得b=20.

综上，。=18,6=20.

（2）售出的玻璃瓶装香醋的数量为20+38+42=100（瓶）.

其中：风味偏甜的有20瓶，风味适中的有38瓶，风味偏酸的有42瓶，

团售出的风味偏酸的数量最多，风味适中的数量居中，

团售出的玻璃瓶装香醋中的该种物质的含量的众数为H0.9mg/100mL,中位数为89.8mg/100mL,

故答案为:110.9,89.8.

（3）根据小明绘制的条形统计图可知，人们更喜欢风味偏酸的香醋（答案不唯一，合理即可）.

【点睛】本题考查条形统计图、中位数和众数，理解和掌握这些概念并能够灵活地运用它们是本题的关键.

22.如图，矩形ABCD的对角线AC与相交于点。，CD//OE,直线CE是线段。。的垂直平分线，CE

分别交ODAD于点FG,连接DE.

⑴判断四边形OCDE的形状，并说明理由;

⑵当CD=4时，求EG的长.

【答案】⑴四边形OCDE是菱形，理由见解析

(2)EG=晅.

3

【分析】(1)证明△(%)£＞和△£»乃是等边三角形，即可推出四边形OCDE是菱形；

(2)利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得O尸和C/的长，利用菱形的性质得到

EF=CF=273,在RtaCGF中，解直角三角形求得GP的长，据此求解即可.

【详解】(1)证明：四边形OCDE是菱形，理由如下，

团矩形ABCD的对角线AC与80相交于点O,

SOC=OD=-AC=-BD,

22

团直线CE是线段。。的垂直平分线，

回CO=CD,EO=ED,

^\CO=CD=OD,即△CQD是等边三角形，

0ZOCD=NDCO=ZDOC=60°,ZOCF=NDCF=-ZOCD=30°,

2

QCD〃OE,

0NEOD=Z.EDO=Z.CDO=60°,

EIAEO。是等边三角形，

回CO=CD=EO=ED,

团四边形OCD石是菱形；

(2)解：团直线CE是线段0。的垂直平分线，且ZDCF=30。，

17-厂

0DF=-CD=2,CF=^3DF=25/3,

由(1)得四边形。CDE是菱形，

0£F=CF=2A/3,

在RtDGP中，ZGDF=900-ZODC=30°,

0GF=DFtan30°=2x^=^l,

33

4J3

^EG=EF-GF=^-.

3

【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性

质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

23.如图，点A的坐标是(-3,0),点8的坐标是(0,4),点C为0?中点，将ABC绕着点B逆时针旋转90。

得到AA'BC.

k

⑴反比例函数y=—的图像经过点C,求该反比例函数的表达式;

(2)一次函数图像经过A、A两点，求该一次函数的表达式.

Q

【答案】⑴1

X

c13

(2)y=-x+-

77

【分析】

(1)由点2的坐标是(。，4),点C为。8中点，可得C(0,2),OC=BC=2,由旋转可得：BC'=BC=2,

ZCBC'=90°,可得C'(2,4),可得％=2x4=8,从而可得答案；

(2)如图，过A作，3c于H,则ZAOB=ZAHB=90。，而ZABA=90。，钻=A3,证明ABCRBA'H,

可得AO=B"=3,OB=AH=4,A(4,l),设直线4V为y=必+〃，再建立方程组求解即可.

【详解】(1)解：回点8的坐标是(0,4),点C为08中点，

0C(O,2),OC=BC=2,

由旋转可得：BC'=BC=2,ZCBC=90°,

0C(2,4),

回左=2x4=8,

Q

团反比例函数的表达式为y二—；

X

(2)如图，过A作于H,

则NAQB=ZA7ffi=90。，而ZABA'=90。，AB=AB,

0ZABO+ZBAO=90°=ZABO+ZABO,

BAO?岫"，

0ABO^BAH,

回AO=B”=3,OB=AH=4,

回。耳=4-3=1,

I3A'（4,1）,

设直线AA'^y=mx+n，

1

m=—

-3m+n=07

回,I，解得：

4m+n=l3

n=—

7

13

团直线AA'为y=.

【点睛】本题考查的是旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，全等三角形的

判定与性质，熟练的求解4(4,1)是解本题的关键.

24.如图，一艘轮船在A处测得灯塔M位于A的北偏东30。方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达8

处，测得灯塔以位于8的北偏东60°方向上，测得港口C位于8的北偏东45。方向上.已知港口C在灯塔M

的正北方向上.

⑴填空：度，/BCW=_度；

⑵求灯塔”到轮船航线AB的距离（结果保留根号）;

⑶求港口C与灯塔〃的距离（结果保留根号）.

【答案】（1）30,45

⑵灯塔M到轮船航线AB的距离为10岔海里

⑶港口C与灯塔M的距离为10（73-1）海里

【分析】（1）作8,48交42于。，作加石，神交42于£,由三角形外角的定义与性质可得NAA但=30。，

再由平行线的性质可得N3CM=45。，即可得解；

（2）作CD_LAB交A2于。，作ME_LAB交于E,由（1）可得：ZA=ZBMA=30°,从而得到

3M=AB=20海里，再由=进行计算即可；

（3）作CD_LAB交AB于£）,作ME_LAB交A8于E,证明四边形CDEM是矩形，得到CD=EM=106海

里，DE=CM,由3E=aW-cos/EBM计算出的的长度，证明△CDB是等腰直角三角形，得到

CD=BD=10g海里,即可得到答案.

【详解】（1）解：如图，作CD_LAB交于。，作交48于E,

=ZA+ZAAffi=30°+ZAMB=60°,

:.ZAMB=30°,

AB,C似都是正北方向,

:.AB//CM,

/D3c=45°,

.-.ZBCM=45°,

故答案为：30,45；

(2)解：如图，作CD_LAB交A3于。，作Affi_LAB交AB于E,

.•.BM=AB=20海里,

在RtBEM中,ZEBM=60°,〃0=20海里,

:.EM=BM-sinZEBM=20xsin60。=20x1=10/海里

••灯塔M到轮船航线AB的距离为106海里;

(3)解：如图，作CD_L/1B交A8于D,作ME_LAB交A3于E,

CD1.AB,MELAB,AB.CM都是正北方向，

二四边形CDEM是矩形，

:.CD=EM=I0g海里,DE=CM,

在Rt3EM中，ZEBM=60°,3M=20海里，

BE=BMcosZEBM=20xcos60°=20xL10海里，

2

在RtZXCDB中，ZDBC=45°,

：.CZ)B是等腰直角三角形，

：.CD=BD=10y/3海里，

;.CM=上=8。-8后=104-10=10(道-1)海里，

港口C与灯塔M的距离为10(8-1)海里.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性

质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键.

25.如图，在菱形ABCD中，对角线AG即相交于点0,AB=10cm,BD=4小cm.动点尸从点A出发，

沿AB方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，动点。从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s.以

AP,A。为邻边的平行四边形的边PM与AC交于点E.设运动时间为r(s)(O<f<5),解答下列问题:

⑴当点M在3。上时，求f的值；

⑵连接BE.设△尸£B的面积为S(cn?),求S与t的函数关系式和S的最大值；

⑶是否存在某一时刻使点8在NPEC的平分线上？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴

2

(2)S=--r2+4r(0<t<5)；S的最大值为10

{3U=^Jl

2

【分析】(1)证明OQMSAMPB,贝u=小，即可求解；

2t10-r

(2)由即可求解；

BR

(3)当点8在NPEC的平分线上时，贝!|BR=OB=2非,在RtPBR中,sinZEPB=sinZDAB=

=巫，即可求解.

10—

【详解】(1)回平行四边形APMQ,

团AQPM,AQ=PM,QM//AP,QM=AP

由题意得回■DQ=10-2r,PM=2r,尸8=1。一乙QM=AP=t,

如下图，点”在3D上时，

0Z.DQM=NDAB=AMPQ,ZDMQ=NMBP,

回.DQMs^MPB,

则器笔即10—2/t

2t-10"

10

解得:

T

(2)如上图,

团AQPM,

0ZAEP=ZEAQ,

回四边形ABC。是菱形，

则NQA£=NE4P,

SZAEP=ZEAP,

回Y4PE为等腰三角形，则PE="=f

过点。作于点H,

则SABD=^ABDH=^xAODB

即10DH=Jl()2-(2用x4后解得回DH=8,

DH24

则sinZDAH=-----=—=—,

AD105

设VP£B中PB边上的高为/?,则

111Af2

S=-PBh=-(10-t)-sinZDHAAE=~(10-t)--=--t2+4t

2,

即：S=--(r-5/+10(0<f<5)

9

--<0,故S有最大值，

当t=5时，S的最大值为10；

(3)存在，理由回

如下图，过点8作于点R,

当点8在ZPEC的平分线上时，则

BR=OB=245,

在Rt..P8R中,

sinZEPB=sinZDAB=-=—=

5PB10-?

【点睛】本题为四边形综合题，涉及到特殊四边形性质、三角形相似、解直角三角形、函数的表达式确定

等，综合性强，难度适中.

26.已知：A、8为圆上两定点，点C在该圆上NC为AB所对的圆周角.

C

知识回顾

⑴如图①，。中，B、C位于直线A0异侧，ZAOB+ZC=135°.

①求/C的度数；

②若。的半径为5,AC=8,求3c的长；

逆向思考

⑵如图②，P为圆内一点，且NAP3<120。，PA=PB,ZAPB=2ZC.求证：尸为该圆的圆心；

拓展应用

⑶如图③，在（2）的条件下，若/AP3=90。，点C在P位于直线AP上方部分的圆弧上运动.点。在P

上，满足cr）=0CB-C4的所有点。中，必有一个点的位置始终不变.请证明.

【答案】⑴①45。；②7后；

⑵见解析；

⑶见解析

【分析】（1）①根据/AO8+/C=135。，结合圆周角定理求/C的度数；②构造直角三角形；

（2）只要说明点尸到圆上A、B和另一点的距离相等即可；

（3）根据00=血08-。4，构造一条线段等于血。8-。4,利用三角形全等来说明此线段和C£>相等.

【详解】（1）解：①ZAOB+ZC=135°,ZAOB=2ZC,

，3NC=135。，

ZC=45°.

②连接A3,过A作AWLBC,垂足为V,

c

ZC=45°,AC=8,

ACM是等腰直角三角形，且AW=CN=40，

,ZAOB=2ZC=90°,OA=OB,

：.AC®是等腰直角三角形，

:.AB=y/2OA=5y/2，

在直角三角形ABM中，BM=-JAB2-AM2=372>

BC=CM+BM=40+372=70.

(2)证明：延长AP交圆于点N,则/C=/N,

:.ZAPB=2ZN,

ZAPB=ZN+NPBN,

:.ZN=NPBN,

:.PN=PB,

PA=PB,

：.PA=PB=PN,

为该圆的圆心.

(3)证明：过8作BC的垂线交C4的延长线于点E,连接AB,延长AP交圆于点尸，连接C/,FB,

ZAPB=9。。,

.-.ZC=45°,

.•.△3CE是等腰直角三角形,

:.BE=BC,

BP±AF,PA=PF,

:.BA=BF,

AF是直径，

NAB尸=90°,

:.NEBC=ZABF=90。,

:.NEBA=NCBF,

.•.△EA4丝△C3尸(SAS),

■■■AE=CF,

CD=6CB-CA=CE-CA=AE,

:.CD=CF,

,必有一个点。的位置始终不变，点厂即为所求.

【点睛】本题考查了圆周角定理，还考查了勾股定理和三角形全等的知识，对于(3)构造一条线段等于

血C8-CA是关键.

27.【问题情境】

在综合实践活动课上，李老师让同桌两位同学用相同的两块含30。的三角板开展数学探究活动，两块三角板

分别记作tADB和AA'D'C,ZADB=ZA'D'C=90°,ZB=ZC=30°,设AB=2.

【操作探究】

如图1,先将ADB和_A'£>'C的边AD、AD重合，再将以万'C绕着点A按飒町笆方向旋转，旋转角为

a(O0<a<36O°),旋转过程中.ADB保持不动，连接BC.

⑵当々=90。时，画出图形，并求两块三角板重叠部分图形的面积；

(3)如图2,取BC的中点R将aA力'C绕着点A旋转一周，点尸的运动路径长为

【答案】⑴2；