基本不等式及其应用（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第4讲基本不等式及其应用

知识梳理

1、基本不等式

如果0>0,6>0,那么而V*,当且仅当a=b时，等号成立.其中，"2叫作a"

22

的算术平均数，而叫作a"的几何平均数.即正数a"的算术平均数不小于它们的几何

平均数.

基本不等式1：若a,bwR,则仍，当且仅当。=6时取等号；

基本不等式2:若a,beR+,则“+”4^）（或a+bN2，石），当且仅当时取等

2

号.

注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求

最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件.（2）连续使用不等式要注意取得一

致.

【解题方法总结】

1、几个重要的不等式

（1）cr>0（（2e7?）,Va>0（a>0）,|a|>0（（2e7?）.

（2）基本不等式：如果则拓（当且仅当“a=b”时取

特例：a>0,a+—>2;—+—>2（a,6同号）.

aba

（3）其他变形：

①/+/2也土宜（沟通两和a+b与两平方和a2+b2的不等关系式）

2

②占廿（沟通两积而与两平方和/+/的不等关系式）

2

③必43-（沟通两积仍与两和a+b的不等关系式）

④重要不等式串：了工了4而4等wU（a,beR+）即

ab

调和平均值W几何平均值W算数平均值W平方平均值（注意等号成立的条件）.

2、均值定理

已知x,yeR+-

（x+y^S1

（1）如果x+y=S（定值），贝U"=—（当且仅当“X=>”时取"="）.即“和

为定值，积有最大值”.

（2）如果中=尸（定值），则x+y»2标=2#（当且仅当“x=y”时取即积

为定值，和有最小值

3、常见求最值模型

模型一：mx+—>2y/mn（m>0,n>0）,当且仅当x=«区时等号成立；

xvm

模型二：mx+---=m(x-a)+--——ma>2y[mn+ma(m>0,z?>0),当且仅当

x—ax-a

x—a巴时等号成立;

m

x

模型三：一一J-c」7(a>0,c>0),当且仅当[I时等号成立;

ax+bx+cax+b+-2，ac+bx=\a

x

西开iirm/、mx(n-mx)1,mx+n-mx不，八八八〃、山口

模型四：x(ji-mx)=---------<—•(---------)x2=一(m>0,w>0,0<x<—),当且

mm24mm

仅当x=」-时等号成立.

2m

必考题型全归纳

题型一：基本不等式及其应用

【解题方法总结】

熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是

否成立进行验证.

例1.（2024•辽宁•校联考二模）数学命题的证明方式有很多种.利用图形证明就是一种

方式.现有如图所示图形，在等腰直角三角形金。中，点O为斜边的中点，点。为斜

边N8上异于顶点的一个动点，设4D=a,BD=b,用该图形能证明的不等式为（）.

B.2ab44^)(a>Q,b>0)

a+b

a+b2

<(a>0,b>0)D.cT+Z>>2\[ab(a>0,/?>0)

2

例2.（2024•全国•高三专题练习）已知x,y都是正数，且XWN,则下列选项不恒成立的

是（）

A.x+y>4^yB.—+—>2

2yx

C.D.xy+—>2

x+yxy

例3.（2024•江苏•高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）

①已知而W0,求*2的最小值；解答过程：£+£3=2；

babaNba

%2+5_____]

②求函数歹=X—的最小值;解答过程：可化得y=J』+4+/2，22；

VX2+43+4

③设x>l,求y=x+2~的最小值；解答过程：、=尤+二一22、臣，

x-lx-1Vx-1

当且仅当x=3即》=2时等号成立，把x=2代入2、臣得最小值为4.

x-l\X-1

A.0个B.1个C.2个D.3个

题型二：直接法求最值

【解题方法总结】

直接利用基本不等式求解，注意取等条件.

例4.（2024•河北•高三学业考试）若x,yeR+,且x+2y=3,则中的最大值为______.

例5.（2024•重庆沙坪坝•高三重庆南开中学校考阶段练习）若。，b>0,且质=a+6+3,

则ab的最小值是.

例6.（2024•天津南开•统考一模）己知实数。>0,6>0,。+6=1,则2"+2"的最小值为

题型三：常规凑配法求最值

【解题方法总结】

1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式.

2、注意验证取得条件.

例7.（2024•全国•高三专题练习）若x>-2,则/（x）=x+—匚的最小值为___________.

x+2

4

例8.（2024•全国•高三专题练习）已知x>0,则2x+——的最小值为.

2x+l----------------

例9.（2024•全国•高三专题练习）若x>l,则*+2x+2的最小值为______

x-1

例10.（2024•上海浦东新•高三华师大二附中校考阶段练习）若关于X的不等式

1+26+4c

2

x+bx+c>O（b>1）的解集为R,则的最小值为__________.

0-1

题型四：消参法求最值

【解题方法总结】

消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式

进行求解.解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！

例11.（2024•全国•高三专题练习）已知正实数0,6满足必+%-2=0,则勿+6的最小值

是（）

A.2B.442-2C.473-2D.6

例12.（2024•全国•高三专题练习）若R+,（x-y）z=（xy）3,则'的最小值为

xy

例13.（2024•全国•高三专题练习）已知x>0,了>0,满足/+2盯-2=0,则2尤+了的最

小值是.

题型五：双换元求最值

【解题方法总结】

若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运

用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系.

1、代换变量，统一变量再处理.

2、注意验证取得条件.

例14.（2024•浙江省江山中学高三期中）设a>0,b>0,若6+b「£ab=\,则百/一仍

的最大值为（）

A.3+V3B.2A/3C.1+V3D.2+73

4ci-\-b

例15.（2024•天津南开•——模）若Q〉0,b>0,c〉0,a+b+c=2,贝1）-+------的最小

a+bc

值为.

例16.（2024・全国•高三专题练习）已知a>0,b>0,a+2b=\,则一取到最

3a+46a+3b

小值为•

题型六：“1”的代换求最值

【解题方法总结】

1的代换就是指凑出1,使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为

定值，凑的过程中要特别注意等价变形.

1、根据条件,凑出“1”,利用乘“1”法.

2、注意验证取得条件.

例17.（2024•安徽蚌埠•统考二模）若直线二+==1（。>0/>0）过点（2,3）,则2a+6的最

ab

小值为.

...一4-261

例18.（2024•河北•iW；二校联考阶段练习）己知。>0,6>0,。+2。=3,则------1----的最

a2b

小值为.

111

例19.（2024•湖南衡阳•高三校考期中）已知x>：,y>2,且3x+y=7,则^-+--

33x-ly-2

的最小值为.

例20.（2024•山东青岛•高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知正实数房6满

41

足—-=1,则a+2A的最小值为.

a+b6+1

题型七：齐次化求最值

【解题方法总结】

齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用

基本不等式进行求解.

nr3c

例21.（2024•全国•高三专题练习）已知正实数a,b,c,a+b=3,则竺+彳+上3的最小

babc+1

值为.

例22.（2024•全国•高三专题练习）已知a,6为正实数，S.2a+b=l,则冬+色的最小值

a2b

为.

例23.（2024・天津红桥•高三天津市复兴中学校考阶段练习）已知x>0）>0,则

2222+2孙2的最大值是.

x+4yX+y------------

题型八：利用基本不等式证明不等式

【解题方法总结】

类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得

证明.

例24.（2024•全国•高三专题练习）利用基本不等式证明：已知a,Ac都是正数，求证：

（a+Z?）（b+c）（c+a）>Sabc

例25,（2024•河南•高三校联考阶段练习）已知x,y,z为正数，证明:

八、什Crt,I11],—+y2+外

⑴右xyz—2,贝U—I--------1—<----------------------------

xyz2

(2)若2x+y+2z=9,贝ijY+产+z?29.

例26.（2024•四川广安•高三校考开学考试）已知函数/（X）=|2t+I"k+W，若〃x）v3

的解集为.

⑴求实数加，〃的值；

17

（2）己知兄6均为正数，且满足一++2加=0,求证：16/+6228.

2ab

题型九：利用基本不等式解决实际问题

【解题方法总结】

1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题.

2、注意定义域，验证取得条件.

3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等.

例27.（2024•全国•高三专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节

能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，

把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为

600吨，月处理成本V（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为

y=200X+80000,且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？

（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多

少元才能使单位不亏损？

例28.（2024•贵州安顺•高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化

碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，

月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为

1,

/（x）=-x2-200x+80000.

（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？

（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本

最低是多少元？

例29.（2024•湖北孝感•高一统考开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒

的感染人数突破44200000人•疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.

（1）我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段•

己知这种新药在注射停止后的血药含量c⑺（单位：mg/L）随着时间，（单位：h）.的变

化用指数模型c（，）=c0e-M描述，假定某药物的消除速率常数左=0.1（单位：仁），刚注射这

种新药后的初始血药含量4=2000mg/L,且这种新药在病人体内的血药含量不低于

1000mg/L时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有

疗效的时长大约为多少小时？（精确到0.01,参考数据：ln2«0.693,ln3«1.099）

（2）为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为物

平方米（。＞0）,侧面长为x米，且x不超过8,房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧

面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？

题型十：与。+6、平方和、而有关问题的最值

【解题方法总结】

利用基本不等式变形求解

例30.（多选题）（2024•重庆•统考模拟预测）若实数。，b满足/+/=浦+1，则（）

A.a-bN—lB.a—bW2y

3

C.ab>--D.ab<