广东省广州市奥林匹克中学2024-2025学年高二上学期12月月考数学试卷

第1页/共1页广州奥林匹克中学高二数学12月月考试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知直线经过点和，则的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据两点求斜率，再结合斜率和倾斜角的关系求出倾斜角即可.【详解】直线经过点和，则的斜率为，设的倾斜角为，,所以.故选：C.2.直线与圆的位置关系为（）A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定【答案】A【解析】【分析】求圆心到直线的距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系.【详解】由题意知，圆心，半径，所以圆心到直线的距离，故圆与直线相离.故选：A.3.如图，在三棱柱中，，分别是，的中点，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的数乘及加、减运算求解即可.【详解】由题意，.故选：B4.已知空间三点、、，则以、为邻边的平行四边形的面积为（）A. B.7 C. D.【答案】D【解析】【分析】由点、、，求得及，再利用三角形面积公式求解.【详解】因为点,,，所以，，，则，所以，所以以,为邻边的平行四边形的面积为，故选：D5.直线与双曲线相交于，两点，且，两点的横坐标之积，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由对称性设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出离心率.【详解】由A，B两点在直线上，设，由对称性可知，两点关于原点对称，所以，由A，B两点的横坐标之积为，得，解得，所以，代入双曲线方程得，解得，所以，所以离心率为.故选：C.6.将边长为的正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论不正确的是（）A. B.是等边三角形C.点与平面的距离为 D.与所成的角为【答案】C【解析】【分析】设的中点为，证明平面，再根据线面垂直的性质即可判断A；根据直二面角可得，利用勾股定理求出即可判断B；以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求点到面的距离即可判断C；利用向量法求线线夹角即可判断D.【详解】对于选项A：设的中点为，则，且，平面，可得平面，又因为平面，所以，故A正确；对于选项B：由A的分析知即为二面角的平面角，故，即，可知，则，所以是等边三角形，故B正确；对于选项CD：以点为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量为，则，令，则，可得，所以点与平面的距离，故C错误；又因为，且与所成的角取值范围为，可知与所成的角的余弦值为，所以与所成的角为，故D正确.故选：C.【点睛】方法点睛：1．利用空间向量求空间角一般步骤（1）建立恰当的空间直角坐标系．（2）求出相关点的坐标，写出相关向量的坐标．（3）结合公式进行论证、计算．（4）转化为几何结论．2．利用空间向量求点到平面距离的方法如图，设A为平面内的一点，B为平面外的一点，为平面α的法向量，则B到平面α的距离.7.已知抛物线的焦点为，斜率为的直线经过点，并且与抛物线交于、两点，与轴交于点，与抛物线的准线交于点，若，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为，，根据抛物线的定义以及三角形的性质可得，根据含角的直角三角形的性质可得答案.【详解】当在第一象限时，设准线与轴的交点为，过作准线的垂线，垂足为，因为，且为的中点，所以为三角形的中位线，即，所以，又根据抛物线的定义，所以，所以在直角三角形中，，所以，此时，根据对称性，当在第四象限时，，故选：D.8.高8m和4m的两根旗杆笔直地竖立在水平地面上，且相距6m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为（）A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线【答案】A【解析】【分析】如图，设高8m和4m的两根旗杆分别为，观测点为点，则，再在平面中，以点的中点为原点建立平面直角坐标系，进而可求出点的轨迹方程，即可得解.【详解】如图，设高8m和4m的两根旗杆分别为，观测点为点，则，故，所以，所以，如图，在平面中，以点的中点为原点建立平面直角坐标系，则，设Px,y，则，化简得，为圆，所以地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为圆.故选：A.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点的坐标、表示相关点的坐标、，然后代入点的坐标所满足的曲线方程，整理化简可得出动点的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标、之间的直接关系难以找到时，往往先寻找、与某一参数得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.圆和圆的交点为，，点在圆上，点在圆上，则（）A.直线的方程为B.线段的中垂线方程为C.D.点与点之间的距离的最大值为9【答案】AB【解析】【分析】将两圆的方程作差可得A正确；由圆的一般方程变成标准方程，求出圆心，再由线段的中垂线经过和的圆心可得B正确；由几何法求出弦长可得C错误；由最大距离等于两半径之和加圆心距可得D错误；【详解】对于A，将两圆的方程作差，可得，即直线的方程为，A正确.对于B，圆，圆，圆的圆心为，半径，圆的圆心为，，线段的中垂线经过和的圆心，故线段的中垂线方程为，故B正确.对于C，圆的圆心到直线的距离为，故，C错误.对于D，点与点之间的距离的最大值为，D错误.故选：AB.10.下列结论正确的是（）A.若直线与直线平行，则它们的距离为B.点关于直线的对称点的坐标为C.原点到直线的距离的最大值为D.直线与坐标轴围成的三角形的面积为【答案】BC【解析】【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果判断A；利用对称知识求出对称点判断选项B；求出直线系经过的定点，利用两点间距离公式求解最大值即可判断C；求解三角形的面积判断D．【详解】对于A，直线与直线平行，显然，所以，且，解得，故两条平行直线即为直线与直线，则它们之间的距离为，所以A不正确；对于B，假设点关于直线的对称点的坐标为，则，解得，，即点关于直线的对称点的坐标为，故B正确；对于C，由，得，由，得，故直线过定点，所以原点到直线的距离的最大值为，故C正确；对于D，令，得，令，得，所以直线与坐标轴围成的三角形的面积为，故D不正确.故选：BC．11.如图，，为双曲线的左右焦点，，为该双曲线的两条渐近线，到一条渐近线的距离为，过的直线与双曲线左右两支分别交于点，，．则下列说法正确的是（）A. B.C.的内切圆半径是 D.【答案】BD【解析】【分析】根据点到直线的距离求解判断A；根据双曲线的定义结合勾股定理求解判断B；根据曲线的弦长公式和双曲线定义以及直角三角形内切圆半径公式求解判断C；在直角三角形中，利用角的正切定义即可判断D.【详解】由可知，F1−c,0，，不妨设到渐近线的距离为2，即，故选项A错误；所以，设，，，又，所以，解得，即，，选项B正确；因为，所以点在以线段为直径的圆上，且圆的方程为，结合已知条件，不妨设在第二象限，设Mx1,y1，由，解得，即，又，所以，直线的方程为，设Nx2,由，消元整理得：，所以，，所以，所以，，因，所以的内切圆半径为，故选项C错误；由，所以在直角中，，故选项D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：在双曲线结合几何关系解题的问题中，若涉及到直线与双曲线的公共点，需要及时写出其与双曲线两个焦点的距离之差，即定义表达式，再与其他已知条件结合，转变为解三角形或求弦长等问题求解；直角三角形内切圆的直径，等于三角形两直角边的和减去斜边.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知直线与直线互相垂直，则实数的值为________．【答案】或【解析】【分析】利用斜率是否存在进行讨论分析，再由斜率之积为列方程求参数.【详解】当时，直线化为：，直线化为，此时两直线垂直，满足题意；当时，直线化为：，直线化为，此时两直线不垂直，不满足题意；当且时，直线的斜率为，直线的斜率为，因为两直线垂直，所以，解得，综上可得：实数的值为或，故答案为:或.13.如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水面下降0.5米后，水面宽______米．【答案】【解析】【分析】先建立直角坐标系，将点代入抛物线方程求得，得到抛物线方程，再把代入抛物线方程求得进而得到答案．【详解】如图建立直角坐标系，设抛物线方程为，将代入，得，，代入，得，故水面宽为．故答案为：14.已知椭圆的左，右焦点分别是，，下顶点为点，直线交椭圆于点，设的内切圆与相切于点，若，则的长为________．【答案】##【解析】【分析】根据切线长定理与椭圆性质可得，从而可结合椭圆定义得到的值，即可得，，根据余弦定理即可求解.【详解】设的内切圆与、相切于点，，由切线长定理可得，，，又，则，故，由椭圆定义可知，即，故，又，则，故，设，则，，则，则有，解得，所以的长为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知圆关于直线对称，且在圆上.（1）求圆C的标准方程；（2）若直线与圆C交于点A，B，求面积的最大值，并求此时直线l的方程.【答案】（1）；（2），或.【解析】【分析】（1）根据题意，圆心在直线，得到，再由在圆上，列出方程组，求得的值，即可求解；（2）根据题意，得到过定点，求得，结合，当时，面积最大，求得面积的最大值，再利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.小问1详解】解：由圆关于直线对称，即圆心在直线，满足，即圆，又因在圆上，所以，解得，所以圆的方程为.【小问2详解】解：由，可得，联立方程组，解得，即直线过定点，又由由（1）圆心为，可得，因为，所以当时，面积最大，此时为等腰直角三角形，面积最大值为，其中为圆的半径，此时点C到直线l的距离，，所以可以取到，所以，解得或，故所求直线l的方程为或.16.如图，在四棱锥中，平面，四边形为平行四边形，其中，，为棱上一动点．（1）若为中点，求证：平面；（2）若是棱上靠近的三等分点，求直线和平面夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）根据余弦定理可得长度，即可根据勾股定理求证，进而根据线面垂直的性质以及判定，即可求解，（2）根据为中点时平面，即可根据余弦定理求解是棱上靠近的三等分点时的长度，即可根据锐角三角函数求解.【小问1详解】因为，，所以余弦定理可得，所以，即，又平面，平面，故，平面，故平面，又平面，故,是中点，故，又平面，故平面.【小问2详解】由（1）知，为中点时，平面，此时，所以当是棱上靠近的三等分点时，是直线和平面的夹角，且，所以由余弦定理可得，所以直线和平面夹角正弦值为.17.如图，是过抛物线焦点F的弦，M是的中点，是抛物线的准线，为垂足，点N坐标为.（1）求抛物线的方程；（2）求的面积（O为坐标系原点）.【答案】（1）.（2）.【解析】【分析】（1）由已知得准线方程为：，由此可求得抛物线的方程；（2）设，代入抛物线的方程作差得，再由M是的中点，求得，由此求得直线的方程，与抛物线的方程联立可求得弦长AB，由三角形的面积公式可求得答案.【小问1详解】解：点在准线上，所以准线方程为：，则，解得，所以抛物线的方程为：；【小问2详解】解：设，由在抛物线上，所以，则，又，所以点M纵坐标为是的中点，所以，所以，即，又知焦点F坐标为，则直线的方程为：，联立抛物线的方程，得，解得或，所以，所以.18.如图，在以为顶点的五面体中，四边形与四边形均为等腰梯形，，对的中点.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成角的正弦值；（3）设点是内一动点，，当线段的长最小时，求直线与直线所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）.【解析】【分析】（1）取的中点，证明，然后得线面垂直，再得面面垂直；（2）以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；（3）由向量的数量积为0，确定的轨迹，再由最小值确定其位置，得其坐标，然后由空间向量法求线面角．【小问1详解】取的中点，连结，由已知得，是边长为2的等边三角形，是以为腰的等腰三角形，则，故,故平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小问2详解】以为坐标原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为n=x,y,z则，即，取，则，设平面的一个法向量为，由，取，得，所以，因为，故平面与平面所成角的正弦值为.【小问3详解】点是内一动点且，则点在以为直径的圆上，当线段的长最小时，点在与圆的交点处，此时，，设直线与直线所成角为，所以，所以直线与直线所成角得余弦值为.19.已知椭圆的左､右焦点分别为，，且椭圆过点，离心率，为坐标原点，过且不平行于坐标轴的动直线与有两个交点，，线段的中点为.（1）求标准方程；（2）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明：为定值；（3）轴上是否存在点，使得为等边三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（