甘肃省天水市第三中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题

第1页/共1页天水三中2024年秋季学期高二年级第一次月考数学试题考试时间：120分钟；满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共计40分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据集合的交运算法则可直接得到结果.【详解】因为，，所以，故选：2.复数的虚部是（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用复数的除法运算可得答案.【详解】，则其虚部为.故选：B.3.在等比数列中，若，则的公比（）A. B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根据等比数列的性质求得正确答案.【详解】是等比数列，依题意，，所以.故选：B4.已知递增的等比数列中，前3项的和为7，前3项的积为8，则的值为（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】首先由前3项的和为7，得出，再由前3项的积为8，根据下标和定理得出，则代入求值，结合为递增的等比数列，得出的值，根据等比数列通项公式即可得出．【详解】由前3项的和为7，得前3项的积为8，得，即，则，代入，得，即，解得或，因为为递增的等比数列，所以，则，所以，故选：D．5.在等差数列中，首项为，公差为，则（）A.2 B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式，即可求解.【详解】由等差数列中，首项为，公差为，则.故选：D.6.数1与4的等差中项，等比中项分别是（）A.， B.，2 C.，2 D.，【答案】D【解析】【分析】利用等差中项与等比中项定义分别进行求解即可.【详解】根据等差中项的定义可知，1与4的等差中项为；根据等比中项的定义可得，1与4的等比中项G满足G2＝1×4＝4，G＝±2.故选：D.7.明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n，和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则该问题中老人的长子的岁数为（）A.35 B.32 C.29 D.26【答案】A【解析】【分析】由题意可得九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，然后根据等差数的求和公式列方程求解即可.【详解】根据题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为的等差数列，设长子的岁数为，则，解得．故选：A8.在等比数列中，若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析】由下标和性质求出，再由下标和性质计算可得.【详解】由，得，则.故选：B二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，有选错的得0分.）9.下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（）．A.1，，，，…，，…B.，，，，…，，…C.，，，…，，…D.1，，，…，，…【答案】BD【解析】【分析】按已知条件逐一分析各个选项即可得解.【详解】对于A，1，，，，…，，…为递减数列，故A错误；对于B，，，，，…，，…为递增数列，且是无穷数列，故B正确；对于C，，，，…，，…中，故不是递增数列，故C错误；对于D，1，，，…，，…既是无穷数列又是递增数列的，故D正确.故选：BD.10.已知数列的前项为、、、、，则的通项公式可能为（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用观察法可得出数列的通项公式.【详解】观察数列的前项可知，的通项公式可能为，因为，故，若，则，不合乎题意.故选：ABC.11.已知a，b，c为非零实数，则下列说法正确的是（）A.是a，b，c成等差数列的充要条件B.是a，b，c成等比数列的充要条件C.若a，b，c成等比数列，则，，成等比数列D.若a，b，c成等差数列，则，，成等差数列【答案】AC【解析】【分析】根据等差中项与等比中项对选项一一验证即可得出答案.【详解】对于选项A：根据等差中项即可得出是a，b，c成等差数列的充要条件，故A正确；对于选项B：，即，又a，b，c为非零实数，所以根据等比中项即可证明a，b，c成等比数列，a，b，c成等比数列，只能证明，即是a，b，c成等比数列的充分不必要条件，故B错误；对于选项C：若a，b，c成等比数列，则，则，则，，成等比数列，故C正确；对于选项D：若a，b，c成等差数列，则，无法得到，故D错误；故选：AC.12.设等差数列前n项和为，公差为d，且满足，则对描述正确的有（）A.是唯一最大值 B.是最大值C. D.是最小值【答案】BC【解析】【分析】根据等差数列的性质、前项和公式等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由得，而则，所以是的最大值，A选项错误，B选项正确.，C选项正确.由于，是单调递减数列，所以没有最小值，D选项错误.故选：BC第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共计20分）13.在等差数列中，是其前n项和，已知，，则___________.【答案】15【解析】【分析】利用等差数列前n项和公式列出方程组，求出，，由此能求出.【详解】在等差数列中，是其前n项和，，，∴，解得，，故答案为：15.14.已知数列满足，，则________.【答案】##【解析】【分析】根据题意可得，结合题意运算求解.【详解】因为，可得，可知，且，所以.故答案为：.15.已知点，则直线的倾斜角为________．【答案】【解析】【分析】先由两点间斜率公式可得，再由斜率与倾斜角的关系求解即可.【详解】因为直线过点，所以．设直线的倾斜角为，则，所以．故答案为：．16.数列中，，则数列{an}的前2024项和________.【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用裂项相消法求和作答.【详解】依题意，，所以故答案为：四、解答题（本题共6小题，17题10分，其余每题12分，共70分.解题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2=2，a5=16，求：（1）a1与公比q的值；（2）数列前6项的和S6.【答案】（1）；（2）63.【解析】【分析】（1）由已知得，解方程组可得；（2）把所求与代入等比数列的求和公式化简可得．【详解】（1）由已知得，解得（2）由求和公式可得18.根据下列条件写出直线方程，并化为一般式：（1）斜率是且经过点；（2）经过两点；（3）在轴上的截距分别为，.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）利用直线的点斜式方程进行求解即可；（2）利用直线的两点式方程进行求解即可；（3）利用直线的截距式方程进行求解即可.【小问1详解】由直线的点斜式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为；【小问2详解】由直线的两点式方程可知，所求直线方程为，化为一般式方程为；【小问3详解】由直线的截距式方程可知，所求直线方程，化为一般式方程为.19.已知数列的前n项和公式为：（1）求出数列的通项公式，并判断这个数列是否是等差数列；（2）求的最小值，并求取得最小值时n的值.【答案】（1），是等差数列（2）最小值，【解析】【分析】（1）根据计算，然后验证即可；（2）结合二次函数性质求解取得最小值时n的值.【小问1详解】当时，有.当时，有.又因为，所以时也成立，因此数列的通项公式为：.因为，所以是等差数列.【小问2详解】（方法一）因为，又因为n是正整数，所以当或8时，最小，最小值是.（方法二）由可知数列是递增的等差数列，而且首项.令，可得，解得，而且0.由此可知，或8时，最小，最小值是.20.某中学为研究本校高三学生在市联考中的语文成绩，随机抽取了100位同学的语文成绩作为样本，得到以分组的样本频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）请估计本次联考该校语文成绩的中位数和平均数；（3）样本内语文分数在的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出2人，求选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率．【答案】（1）0.01；（2）中位数是，平均数是；（3）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图直接列式计算作答.（2）利用频率分布直方图求中位数、平均数的方法列式计算作答.（3）求出分数在的人数，再用列举法结合古典概率公式计算作答.【小问1详解】由频率分布直方图得：.【小问2详解】由频率分布直方图知，分数在区间、的频率分别为0.34，0.62，因此，该校语文成绩的中位数，则，解得，语文成绩的平均数为，所以该校语文成绩的中位数是，语文成绩的平均数是.小问3详解】由频率分布直方图知，分数在内分别有8人和2人，因此抽取的5人中，分数在内有人，在内有1人，记内的4人为a，b，c，d，在内的1人为F，从5人中任取2人的结果有：，共10个不同结果，它们等可能，选出的2人中恰有一人成绩在中的结果是：，所以选出的两名学生中恰有一人成绩在中的概率是.21.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A，B，C成等差数列，a＝2．（1）若c＝1，求b；（2）若△ABC的面积为，求c．【答案】（1）；（2）2．【解析】【分析】（1）由A，B，C成等差数列及三角形内角和为π可得B的值，在三角形中由余弦定理可得b的值；（2）由三角形的面积公式求出c边．【详解】（1）∵A，B，C成等差数列，∴2B＝A+C，而