福建省漳州市长泰第二中学2024-2025学年高三上学期第三次月考数学试题

第1页/共1页长泰二中2024-2025学年上学期月考3数学科考卷2024-12-19考试范围：高中课程；考试时间：120分钟注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2.请将答案正确填写在答题卡上.一、单选题：本题共8题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合，若，则所有整数的取值构成的集合为（）A.{1，2} B.{1} C. D.【答案】C【解析】【分析】对进行分类讨论，根据来求得正确答案.详解】当时，，满足.当时，，由于且，所以或.综上所述，整数的取值构成的集合为.故选：C2.在复平面内，一个正方形的3个顶点对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，则第4个顶点对应的复数为（）A.－1＋2i B.－1＋3i C.3i D.【答案】B【解析】【分析】由复数的几何意义及向量的坐标运算可求解.【详解】复数1＋2i，－2＋i，0所对应的点分别是A（1，2），B（－2，1），O（0，0），由题意可知，正方形以为邻边，设另一点为D（x，y），所以则，解得，∴.故选：B．3.已知各项均为正数的等比数列中，若，则（）A.2 B.3 C.4 D.9【答案】C【解析】【分析】根据等比数列的性质得到，计算出答案.【详解】∵各项均为正数的等比数列中，，∴.故选：C.4.算盘是我国一类重要的计算工具．下图是一把算盘的初始状态，自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值，例如，个位拨动一粒上珠至梁上，十位未拨动，百位拨动一粒下珠至梁上，表示数字105．现将算盘的千位拨动一粒珠子至梁上，个位、十位、百位至多拨动一粒珠子至梁上，其它位置珠子不拨动．设事件“表示的四位数为偶数”，事件“表示的四位数大于5050”，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】结合题目条件，分别算出，，然后代入公式，即可得到本题答案.【详解】千位有1、5两种选择，百位、十位、个位有0、1、5三种选择，事件“表示的四位数为偶数”，要使得表示的四位数为偶数，则末位应该是0，可得，事件“表示的四位数大于5050”，要使得表示的四位数为偶数且四位数大于5050，则千位是5，百位应该是1或5，个位是0，可得，故.故选：A5.已知，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性、正弦函数的单调性、对数函数的单调性进行求解即可/【详解】因为，所以，因为，所以，因为，所以，因此，故选：B6.如图是函数的大致图象，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由图确定是的极小值点，求得，即可求解.【详解】由图可知，是的极小值点，由已知得，令，得，得，经验证符合题意，所以，由，，可得，解得.故选：D7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由两角和与差的正弦和半角公式，二倍角余弦公式，结合拆角计算即可.【详解】由，可得，即，可得，所以.故选：B.8.若函数在上恰有两个零点，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】化简函数，再根据在上恰有两个零点得，，化简即可得到答案.【详解】在上恰有两个零点，故故选：D.二、多选题：本题共3题，每小题6分，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，则下列说法正确的是（）A. B.C.与同向的单位向量为 D.与的夹角余弦值为【答案】BC【解析】【分析】根据向量坐标表示平行，垂直，夹角，以及单位向量，即可判断选项.【详解】A.，故A错误；B.，，所以，故B正确；C.，所以与向量同方向的单位向量为，故C正确；D.，故D错误.故选：BC10.为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP的数据y（单位：百亿元）建立了线性回归模型，得到的经验回归方程为，其中自变量x指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示：时间2023年1月2023年2月2023年3月2023年4月2023年5月2023年6月编号x123456y/百亿元11.107参考数据：．则下列说法正确的是（）A.经验回归直线经过点B.C.根据该模型，该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元D.相应于点的残差为0.103【答案】AC【解析】【分析】求得数据的样本中心点，即可判断A；结合回归直线方程求出可判断B；将代入回归直线方程求得预测值，可判断C；根据残差的计算可判断D.【详解】选项A：由题意得：，因为，，所以，得，因此该经验回归直线经过样本点的中心，故A正确；选项B：由A知，，得，故B错误；选项C：由B得，则当时，，故该地2023年12月的GDP的预测值为14.57百亿元，故C正确；选项D：当时，，相应于点的残差为，（相应于点的残差），故D错误，故选：AC11.已知函数的定义域为为奇函数，则（）A.函数的图象关于对称B.函数是周期函数C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据函数的对称性可得的图象关于对称，结合函数变换可推出函数是周期为的函数，结合对称性与周期性逐项判断即可得答案.【详解】因为为奇函数，则，所以，则函数的图象关于对称，故A正确；因为①，②，则①+②得：，即③，②-①得：，即④，由③得代入④得，所以，则，则函数是周期为的函数，故B正确；由于的图象关于对称，是周期为的函数，无法确定是否关于点对称，故C不正确；将③代入①可得，所以，，，，，，，，累加得：，故可得，所以，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.函数的图象恒过定点_____________.【答案】（1,3）【解析】【分析】根据指数函数的性质，即可得答案.【详解】令，可得，所以，即图象恒过定点（1,3）.故答案为：（1,3）13.若（，为有理数），则______．【答案】【解析】【分析】根据幂的运算法则计算可得；【详解】解：因为（，为有理数）所以故答案为：14.设双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，过点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，若，且，则双曲线的离心率为________．【答案】【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程和点到直线的距离公式得到，再由双曲线的定义和向量的数量积为零得到，最后结合三角形的面积公式求出离心率即可.【详解】设，则，即，双曲线C的渐近线方程为，则，又，则，在中，由，得，则，于是，，而，因此，解得，所以双曲线离心率为.故答案：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量，，函数.（1）求的最小正周期和单调递减区间；（2）在锐角中，，，为的内角，，的对边，BC边上的中线，且，求面积的最大值.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用平面向量坐标运算的性质得到，再利用三角函数的性质求解最小正周期和单调减区间即可.（2）法一利用向量中线定理得到，再结合基本不等式求解最值，法二利用多次余弦定理得到，再结合基本不等式求解最值即可.【小问1详解】依题意得，，因此函数的最小正周期，由，解得，所以的单调递减区间是.【小问2详解】由（1）知，，即，在锐角中，，则，即，法一：由向量中线定理得，所以，所以，化简得，由重要不等式得，当且仅当时取等，所以，解得，故，当且仅当时取等，故面积的最大值为.法二：在中，由余弦定理得，即，在中，由余弦定理得，即，因为，所以，两式子相加得，在中，由余弦定理得，化简得到，代入中，整理得，由重要不等式得，当且仅当时取等，所以，解得，故，当且仅当时取等，故面积的最大值为.16.如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，【解析】【详解】试题分析：（1）由面面垂直性质定理知AB⊥平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面；（2）取的中点，连结，，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值.试题解析：（1）因为平面平面，，所以平面，所以，又因为，所以平面；（2）取的中点，连结，，因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因平面，所以.因，所以.如图建立空间直角坐标系，由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上存在点使得平面，此时.考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.17.对于数列，，的前n项和，在学习完“错位相减法”后，善于观察的小周同学发现对于此类“等差×等比数列”，也可以使用“裂项相消法”求解，以下是她的思考过程：①为什么可以裂项相消？是因为此数列的第n，n＋1项有一定关系，即第n项的后一部分与第n＋1项的前一部分和为零②不妨将，也转化成第n，n＋1项有一定关系的数列，因为系数不确定，所以运用待定系数法可得，通过化简左侧并与右侧系数对应相等即可确定系数③将数列，表示成形式，然后运用“裂项相消法”即可！聪明的小周将这一方法告诉了老师，老师赞扬了她的创新意识，但也同时强调一定要将基础的“错位相减法”掌握．（1）（巩固基础）请你帮助小周同学，用“错位相减法”求的前n项和；（2）（创新意识）请你参考小周同学的思考过程，运用“裂项相消法”求的前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接根据错位相减法的解题步骤求解求的前n项和即可；（2）根据裂项法，设，结合已知比较系数求得，再代入，即可求得.【小问1详解】因为所以①则②所以①-②得：所以；【小问2详解】因为，设，比较系数得：，得，所以，所以18.已知函数.（1）当时，讨论f（x）的单调性.（2）设，当时，有，求a的取值范围.【答案】（1）f（x）在上单调递增，在上单调递减（2）【解析】【分析】(1)先求导函数,因为在上递增，因为,则在上单调递增，在上单调递减；(2)移项构造函数，分情况讨论证明最大值小于等于0即可.【小问1详解】当时，，，设，因为，得h（x）在上递增，即在上递增，因为，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减.【小问2详解】由得，，整理得，设，则1°当时，即，t（x）在单调递增，单调递减，则，得，不存在；2°当时，即，在单调递减，单调递增，单调递减，t（0）=0，只要即可，得，即；3°当，即，在（0，2）单调递减，单调递增，单调递减，此时由2°得，所以成立；综上所述，符合题意.19.已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，直线的倾斜角为.（1）求椭圆的方程；（2）若椭圆上的两动点，均在轴上方，且，求证：的值为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆长轴以及直线的倾斜角即可得椭圆方程；