福建省部分学校2024-2025学年高三上学期第三次联考数学试题

高三数学高三数学试卷第=page11页，共=sectionpages33页2024-2025学年度第一学期福建省部分学校高中毕业班第三次联考数学试卷（考试时间：120分钟；满分：150分）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个选项是符合题意的。）1．已知集合A={−2,−1,0,1,2}，B=x|2x≤12A．{−1}B．{−2,−1}C．{1}D．{−1,0,1}2．已知非零向量a,b满足3a→=b→，向量a在向量b方向上的投影向量是−3A．33B．13C．−333．(2−x)5展开式中x3项的系数是（

A．−40B．40C．−80D．804．如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，以顶点AA．36B．32C．335．若一个圆锥底面半径为1，高为22，则该圆锥表面积为（

A．π B．2π C．4π 6．已知sin(α+β)=7210，sin(α−β)=2A．625 B．1225 C．457．把液体A放在冷空气中冷却，如果液体A原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后液体A的温度θ℃可由公式θ=θ0+θ1−θ0e−0.3t求得.现把温度是60℃的液体A放在13℃的空气中冷却，液体A的温度冷却到37℃和25℃所用的时间分别为tA．2.3 B．2.7 C．3.7 D．4.78．对于函数y=fx，若存在x0，使fx0=−f−x0，则称点x0,fx0A．0,4−22B．4−22,+∞C．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题有多个选项是符合题意的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的不得分。）9．若复数z=−2+i，则下列说法正确的是（

A．z的虚部是−2B．z的共轭复数是−2−C．z的模是5D．z210．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个命题中正确的是（

）A．若△ABC为锐角三角形，则sinB．若B=60°，b2=ac，则△ABC是C．若bcosC+ccosD．若△ABC为钝角三角形，且AB=3，AC=5，cosC=1314，则11．已知椭圆E:x2a2+y2=1（a>1）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与椭圆E交于A，B两点（A点位于B点上方），且cos∠AF2B=35，延长AF2，BFA．椭圆E的离心率为22 B．△ABFC．PF2=25 D．直线l三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）12．某校四个植树小队，在植树节这天种下柏树的棵数分别为10,x,10,8，若这组数据的中位数和平均数相等，那么x=.13．已知函数fx=tan2x+φ（0<φ<π2）的图象关于点−π14．在四面体P−ABC中，BP⊥PC，∠BAC=60°，BC=2，若四面体P−ABC的体积最大时，则四面体P−ABC的外接球的表面积为.四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。）15．（13分）已知数列an为等比数列，数列bn满足bn(1)求数列an(2)数列cn满足cn=n2an，记数列c16．（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=PB=5，点M、N为分别为PD、BC的中点．(1)证明：CM//平面PAN；(2)若PC=3，求平面PAN与平面MAC夹角的余弦值．17．（15分）某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是34,3(1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为X，求X的分布列；(2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是1318．（17分）已知F为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，O为坐标原点，过焦点F作一条直线l0交C于A，B两点，点M在C的准线l上，且直线(1)求抛物线C的方程；(2)试问在l上是否存在定点N，使得直线NA与NB的斜率之和等于直线NF斜率的平方？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；(3)过焦点F且与x轴垂直的直线l1与抛物线C交于P，Q两点，求证：直线AP与BQ19．（17分）已知函数fx及其导函数f′x的定义域都为R，设直线l：y=kx+m是曲线y=kx+m的任意一条切线，切点横坐标为x0，若fx≥kx+m，当且仅当(1)判断y=x2是否满足“性质(2)若f′x是单调增函数，证明：fx(3)若函数gx=ex+高三数学学科参考答案高三数学学科参考答案第页共5页2024-2025学年度第一学期福建省部分学校高中毕业班第三次联考数学参考答案一、客观题（1~8题为单选题，每题5分；9~11题为多选题，每题6分，其中第9题选对一个选项得3分，10~11题选对一个选项得2分，如果有选错或没选均不得分。）题号1234567891011答案BCAACDACBCABCACD二、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。）12．12或813．−3π8+三、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。）15.（13分）解：（1）因为bn=2又an所以a1因为an为等比数列，所以a即7−5λ2=5−λ因为λ>0，得λ=2.因此an=b所以，a（2）由（1）知，cnT9（15分）（1）证明：取PA的中点E，连接EM,EN，因为点M、E分别为PD、PA的中点，所以ME是△PAD的中位线所以EM//AD且EM=1又因为N为BC的中点，可得CN//AD且CN=1所以EM//CN且EM=CN，所以四边形EMCN为平行四边形，所以CM//EN，又因为CM⊄平面PAN，且EN⊂平面PAN，所以CM//平面PAN．（2）解：取AB的中点S，连结PS,CS，因为PA=PB=5，可得PS⊥AB，且PS=又因为SC=BC2所以PC2=PS又因为AB∩SC=S，且AB,SC⊂平面ABCD，所以PS⊥平面ABCD，以S为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系S−xyz，可得A−1,0,0因为M为PD的中点，N为BC的中点，可得M−则AP=设m=x1,y取x=2，可得y=−4,z=−1，所以m=设n=x2,y取x=2，可得y=−2,z=1，所以n=设平面PAN与平面MAC的夹角为θ，则cosθ=即平面PAN与平面MAC的夹角的余弦值为1121（15分）解：（1）设甲､乙通过两轮制的初赛分别为事件A1则P(A由题意可得，X的取值有0,1,2，PX=0PX=1X012P6136PX=2分布列如右表：（2）依题意甲､乙抢到并答对一题的概率分别为PB1=乙已得100分，甲若想获胜情况有：甲得200分：其概率为15②甲得100分，乙再得−100分，其概率为C2③甲得0分，乙再得−200分，其概率为23故乙先得100分后甲获胜的概率为12518.（17分）解：（1）由题意得，MF直线方程为：y=−(x−p令x=−p2，则y=p，故于是S△OFM=1故抛物线方程为y2（2）设l0的方程为x=ty+1，A(x1由题意得，kNA+kNB可得y1−nt联立x=ty+1和抛物线，得到y2−4ty−4=0，由y1+y整理可得(t2+1)(n2故N(−1,0)，N(−1,−4)满足题意.（3）由题意，P(1,2),Q(1,−2)，则直线AP:y−2=y1−2x1−1两直线方程相减得到：−4=y由（2）知，x1=ty即−4=−2即2t=1即2t=y于是2t=4t解得x=−1，即直线AP与BQ的交点在一条定直线x=−1上19.（17分）

解：（1）y=x2满足“性质因为y′=2x，设曲线的一条切线l切点为则直线l的方程为：y=2x因为x2当且仅当x=x0时“由x0的任意性可知，y=x2（2）设直线l是曲线y=fx的任意一条切线，切点为C则直线l的方程为：y=f设gx=fx因为f′则当x∈−∞,x0时，g当x∈x0,+∞时，g′即对任意x≠x0，都有由x0的任意性可知，函数fx满足“性质（3）①当a≤1时，因为g′x=因为ℎx所以ℎx在R上单调递增，即g′x由（2）可知，函数fx满足“性质P②下证当a>1时，函数fx不满足“性质P方法一：设直线l与曲线y=gx切于点D则直线l的方程为：y=g设Fx=gx−g′x只要证存在Fx因为F′设Gx=F设Hx=G′x所以当x∈−∞,0时，H当x∈0,+∞时，H′因为G′0=2所以存在x2∈0