八年级数学下册 第1章 单元综合测试卷（北师山西版 2025年春）

八年级数学下册第1章单元综合测试卷（北师山西版2025年春）一、选择题(每题3分，共30分)题序12345678910答案1.P3随堂练习T1变式已知等腰三角形的顶角为70°，则它的底角为()A．70°B．55°C．40°D．110°2．木工师傅想利用木条制作一个直角三角形的工具，那么下列各组数据(单位：米)不符合直角三角形的三边长的是()A．3，4，5B．7，24，25C．9，12，15D．1，2，33．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，BC＝8cm，点D到AB的距离为3cm，则DB的长是()A．3cmB．8cmC．6cmD．5cm4．如图，在△ABC中，若DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则对于∠1和∠2的大小关系，下列说法正确的是()A．一定相等B．当BD＝CD时相等C．一定不相等D．当DE＝DF时相等5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，∠B＝30°，P是线段BC上的一动点，连接AP，则AP的长不可能是()A．4.5B．5.5C．6.5D．9.56．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD是BC边上的中线，BE是∠ABC的平分线，AD与BE交于点O，则∠AOB的度数为()A．130°B．125°C．120°D．115°7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，小丽进行如下步骤的尺规作图：(1)分别以点B，C为圆心，大于eq\f(1,2)BC的长为半径作圆弧，两弧相交于点E，F，连接EF分别交BC，AB于点D，G；(2)连接AD，CG.根据操作，有下列判断：①AD平分∠BAC；②AD是△ABC的中线；③CG⊥AB；④S△ADC＝S△ABD.其中正确的序号是()A．①②③④B．②④C．③D．②③④8.某社区为了让居民享受更多“开窗见景，推门见绿”的空间，决定将一块四边形区域改造为儿童游乐场．如图是该四边形区域的几何示意图，AB＝25m，BC＝9m，CD＝12m，DA＝20m，∠C＝90°，按照计划要先在该区域铺设塑胶，已知铺设1m2塑胶需要花费200元，则铺满该区域需要的费用是()A．40800元B．91600元C．60800元D．48000元9．如图，在螳螂的示意图中，AB∥DE，△ABC是等腰三角形，∠ABC＝126°，∠CDE＝72°，则∠ACD的度数是()A．36°B．45°C．46°D．48°10．[2024大同多校联考]如图①，在△ABC中，∠ABC＝60°.动点P从点A出发沿折线A→B→C匀速运动至点C后停止．设点P的运动路程为x，线段AP的长度为y，图②是y随x变化的关系图，其中M为曲线DE的最低点，则△ABC的面积为()A.eq\f(3\r(3),2)B.eq\f(5\r(3),2)C.eq\f(7\r(3),2)D.eq\f(9\r(3),2)二、填空题(每题3分，共15分)11．命题“如果a＝b，那么a2＝b2”的逆命题是________________________________________________________________________，该逆命题是________命题(填“真”或“假”)．12．[2024临汾期末]用反证法证明“在△ABC中，若AB≠AC，则∠B≠∠C”时，首先应假设________．13．如图，在△ABC中，AC＝BC，过点A,B分别作过点C的直线的垂线AE，BF，垂足分别为E，F.若AE＝CF＝3,BF＝4.5，则EF的长度为________．14．如图，E是等边三角形ABC中AC边上的点，∠1＝∠2，BE＝CD，则△ADE是________三角形．15．如图，△ABC为等边三角形，在△ABC内部作△MAC，使得MA＝MC，且MA⊥MC，连接BM，再以BM为一边作等边三角形MBN，点M，N分别在BC的两侧，连接CN，若CN＝6，则BM＝________．三、解答题(共75分)16．(6分)如图，为改善一线环卫工人的工作环境，某社区服务中心计划修建一个“爱心驿站”，请你帮忙确定“爱心驿站P”所在的位置，要求：①“爱心驿站P”到公路AB和BC的距离相等；②“爱心驿站P”到两个小区M，N的距离相等；③尺规作图，保留作图痕迹，不写作法．17．(7分)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BM平分∠ABC交AC于点M，求证：AM＝BM.18．(8分)如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2.求线段CP的长．19．(9分)P23习题T1变式如图，直线l与m分别是△ABC的边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB于点D和点E，连接CD，CE.(1)若AB＝10，则△CDE的周长是多少？(2)若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．20．(10分)[2024吕梁期末]观察与绘图如图，已知正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点都叫做格点．(1)如图①，A，B，C三点都在格点上，则AB＝________，∠ABC＝________；(2)在图②中，以格点为顶点画一个面积为10的正方形；(3)在图③中，以格点为顶点画一个三角形，使该三角形的三边长分别为2，eq\r(5)，eq\r(13).21．(10分)如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BD＝CD，延长BC至E，使CE＝CA，连接AE.(1)求证：∠B＝∠ACB；(2)若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周长和面积．22．(12分)阅读与思考阅读下列材料，并解决相应的问题．定义：如图①，线段BE把等腰三角形ABC分成△ABE与△BCE，如果△ABE与△BCE均为等腰三角形，那么线段BE叫做△ABC的完美分割线．(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，BE为△ABC的完美分割线，则∠A＝________°，∠BEC＝________°；(2)如图②，在△ABC中，AB＝AC，AD为△ABC的完美分割线，BD<CD，求∠B的度数；(3)如图③，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC，AD是它的一条完美分割线，BD<CD，将△ABD沿AD折叠，使点B落在点B1处，AB1交CD于点E，请直接写出图中所有以AD为边的等腰三角形．23．(13分)综合与探究已知△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点(点D不与点B，C重合)．连接AD，以AD为边向逆时针方向作等边三角形ADE，连接CE.(1)如图①，当点D在线段BC上时：①求证：△ABD≌△ACE；②AC，CD，CE之间的数量关系是____________________．(2)如图②，当点D在BC的延长线上时，其他条件不变，判断AC，CD，CE之间的数量关系，并证明．(3)如图③，当点D在BC的反向延长线上时，其他条件不变，则AC，CD，CE之间的数量关系为____________________．

答案一、1.B2.D3.D4.D5.A6.D7.B8．A点拨：连接BD，如图所示，∵∠C＝90°，BC＝9m，CD＝12m，∴BD＝eq\r(BC2＋CD2)＝eq\r(92＋122)＝15(m)，∵AD2＋BD2＝202＋152＝625，AB2＝252＝625，∴AD2＋BD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，∴S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD＝eq\f(1,2)AD·BD＋eq\f(1,2)BC·CD＝eq\f(1,2)×20×15＋eq\f(1,2)×9×12＝204(m2)，∴铺满该区域需要的费用为204×200＝40800(元)．9．B思路点睛：延长ED交AC于点F，先根据等腰三角形的性质得出∠A＝∠ACB＝27°，再根据平行线的性质得出∠CFD＝∠A＝27°，最后由三角形外角的性质即可求得∠ACD的度数．10．D点拨：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，当点P在BC上时，动点P运动到点D时，线段AP的长度最短，此时点P运动的路程为3eq\r(3)，即AB＋BD＝3eq\r(3)，当动点P运动到点C时，运动结束，线段AP的长度就是AC的长度，∴AC＝eq\r(21)，∵∠ABC＝60°，∴∠BAD＝30°，∴AB＝2BD，∴AB＋BD＝3BD＝3eq\r(3)，∴BD＝eq\r(3)，∴AB＝2eq\r(3)，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝3，在Rt△ACD中，AC＝eq\r(21)，∴CD＝eq\r(AC2－AD2)＝2eq\r(3)，∴BC＝BD＋CD＝3eq\r(3)，∴△ABC的面积为eq\f(1,2)BC·AD＝eq\f(1,2)×3eq\r(3)×3＝eq\f(9\r(3),2).二、11.如果a2＝b2，那么a＝b；假12．∠B＝∠C13.7.514．等边点拨：由题意易证得△ABE≌△ACD，∴AD＝AE，∠CAD＝∠BAC＝60°，∴△ADE是等边三角形．15．3eq\r(6)－3eq\r(2)三、16.解：如图，点P即为所求．17．证明：∵在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝eq\f(1,2)×(180°－36°)＝72°.∵BM平分∠ABC，∴∠ABM＝eq\f(1,2)∠ABC＝36°.∴∠A＝∠ABM.∴AM＝BM.18．解：如图，过点P作PE⊥OB于点E.∵点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA，∴∠BOP＝eq\f(1,2)∠AOB＝15°，PC＝PE.∵OD＝DP，∴∠BOP＝∠DPO＝15°，∴∠PDE＝∠BOP＋∠DPO＝30°.又∵∠PEO＝90°，DP＝2，∴PE＝eq\f(1,2)DP＝1，∴PC＝1.19．解：(1)∵直线l与m分别是△ABC的边AC和BC的垂直平分线，∴AD＝CD，BE＝CE.∴△CDE的周长＝CD＋DE＋CE＝AD＋DE＋BE＝AB＝10.(2)∵AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE.∵∠ACB＝125°，∴∠A＋∠B＝180°－125°＝55°，∴∠ACD＋∠BCE＝55°.∴∠DCE＝∠ACB－(∠ACD＋∠BCE)＝125°－55°＝70°.20．解：(1)2eq\r(5)；45°点拨：连接AC，如图①，∵正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，∴由勾股定理得AC＝eq\r(10)，BC＝eq\r(10)，AB＝2eq\r(5)，∴AC2＋BC2＝10＋10＝20＝AB2，∴△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，又∵AC＝BC，∴∠ABC＝∠CAB＝45°.(2)如图②所示．(画法不唯一)(3)如图③所示．(画法不唯一)21．(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°.在△ADB和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BD＝CD，,∠ADB＝∠ADC，,AD＝AD，))∴△ADB≌△ADC，∴∠B＝∠ACB.(2)解：∵△ADB≌△ADC，∴AB＝AC.∵AC＝CE，∴AB＝AC＝CE＝5.在Rt△ADB中，BD＝eq\r(AB2－AD2)＝eq\r(52－42)＝3，∴BD＝CD＝3，∴DE＝DC＋CE＝8，BE＝2BD＋CE＝2×3＋5＝11.在Rt△ADE中，AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\r(42＋82)＝4eq\r(5)，∴△ABE的周长＝AB＋BE＋AE＝5＋11＋4eq\r(5)＝16＋4eq\r(5)，S△ABE＝eq\f(1,2)BE·AD＝eq\f(1,2)×11×4＝22.22．解：(1)36；72点拨：∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠C＝∠ABC＝72°，∴∠A＝180°－∠C－∠ABC＝36°，∵BE为△ABC的完美分割线，∴△BCE为等腰三角形，∴BC＝BE，∴∠BEC＝∠C＝72°.(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵AD为△ABC的完美分割线，BD<CD，∴△ABD和△ACD均为等腰三角形．∴AD＝BD，CD＝AC，∴∠B＝∠BAD，∠CAD＝∠ADC.∴∠CAD＝∠ADC＝2∠B.∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∴∠BAD＋∠CAD＋∠B＋∠C＝180°.∴5∠B＝180°.∴∠B＝36°.(3)以AD为边的等腰三角形有△ADE，△ADB，△ADB1和△ACD.点拨：由