八年级数学下册 第二学期 期中综合测试卷（沪科版 2025年春）

八年级数学下册第二学期期中综合测试卷（沪科版2025年春）一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)题序12345678910答案1.要使eq\f(\r(,x＋1),5)有意义，则x的取值范围为()A．x≤0 B．x≥－1 C．x≥0 D．x≤－12．下列计算结果正确的是()A.eq\r(3)＋eq\r(4)＝eq\r(7) B．3eq\r(5)－eq\r(5)＝3C.eq\r(2)×eq\r(5)＝10 D.eq\r(18)÷eq\r(2)＝33．若关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋a2－1＝0的一个根为x＝0，则a＝()A．0 B．±1 C．1 D．－14．我们给“△”一个实际意义，规定a△b＝eq\r(a)·eq\r(b)－eq\r(\f(a,b))，则2△3的值为()A.eq\f(\r(6),3) B.eq\f(2\r(6),3) C.eq\r(6) D.eq\f(4\r(6),3)5．如图，网格中的每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，则△ABC为()A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．无法确定6．某款发卡在某电商平台上7月24日的销量为5000个，7月25日和7月26日的总销量是30000个．若7月25日和7月26日较前一天的增长率均为x，则可列方程为()A．5000(1＋x)2＝30000B．5000(1－x)2＝30000C．5000＋5000(1＋x)＋5000(1＋x)2＝30000D．5000(1＋x)＋5000(1＋x)2＝300007．若a、b是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个不相等的根，则a2－3b的值是()A．3 B．－15 C．－3 D．158．等腰三角形的一边长为2，它的另外两条边的长是关于x的一元二次方程x2－6x＋k＝0的两个实数根，则k的值是()A．8 B．9 C．8或9 D．129．如图，圆柱的轴截面ABCD是边长为4的正方形，动点P从A点出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S的最短距离的平方为()A．4＋4π2 B．4＋16π2C．16＋16π2 D．64＋16π210．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边DE上，若AE＝eq\r(2)，AD＝eq\r(6)，则两个三角形重叠部分的面积为()A.eq\r(2)B．3－eq\r(2)C.eq\r(3)－1D．3－eq\r(3)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．如果最简二次根式eq\r(3a－8)与eq\r(7)可以合并成一个二次根式，则a＝________．12．如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为________．(第12题)(第14题)13．飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为s＝eq\f(1,2)at2，如果飞机起飞前滑行距离s为750m，其中a＝15m/s2，则飞机起飞的时间t＝________s.14．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形和1个正方形拼接而成，将图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别记为S1、S2、S3.(1)若S1＝25，S3＝1，则S2＝________；(2)若S1＋S2＋S3＝24，则S2＝________．三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)15．计算：(1)2eq\r(12)－6eq\r(\f(1,3))＋3eq\r(48)；(2)eq\r(27)÷eq\r(3)－2eq\r(\f(1,5))×eq\r(10)＋eq\r(8).16．解方程：(1)2x2－4x－1＝0；(2)(x＋1)2＝6x＋6.四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)17．我校要对如图所示的一块地进行绿化，已知AD＝4m，CD＝3m，AD⊥DC，AB＝13m，BC＝12m，求这块地的面积．18．已知x＝eq\f(\r(3)－1,2)，y＝eq\f(\r(3)＋1,2)，求下列各式的值：(1)x2－xy＋y2；(2)eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＋2.五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)19．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺测算出学校旗杆的高度．小明发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，请你帮小明求出旗杆的高度．20．关于x的一元二次方程x2＋mx＋m－2＝0.(1)求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；(2)设该方程两个同号的实数根为x1，x2，试问是否存在m使x12＋x22＋m(x1＋x2)＝m2＋1成立，若存在，求出m的值，若不存在，请说明理由．六、(本题满分12分)21．某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过40本时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．(1)如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是________元；(2)如果该校共购买图书100本，用去购书款4750元，则该校购买古典诗词类图书多少本？七、(本题满分12分)22．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D为AC边上的动点，点D从点C出发，沿边CA向点A运动，当运动到点A时停止，若设点D运动的时间为t秒，点D运动的速度为每秒1个单位．(1)当t＝2时，CD＝________；(2)求当t为何值时，△CBD是直角三角形(D不能与A，C重合)；(3)求当t为何值时，△CBD是等腰三角形(D不能与A，C重合)．八、(本题满分14分)23．定义：我们把关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0与cx2＋bx＋a＝0(ac≠0，a≠c)称为一对“和谐方程”．如2x2－5x＋3＝0的“和谐方程”是3x2－5x＋2＝0.(1)写出一元二次方程x2＋2x－15＝0的“和谐方程”：_____________________________________；(2)已知一元二次方程x2＋2x－15＝0的两根为x1＝3，x2＝－5，它的“和谐方程”的两根为x3＝－eq\f(1,5)，x4＝____________．根据以上结论，猜想ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2与其“和谐方程”cx2＋bx＋a＝0的两根x3，x4之间存在的一种特殊关系为__________，证明你的猜想；(3)已知关于x的方程2024x2＋bx－1＝0的两根是x1＝－1，x2＝eq\f(1,2024).请利用(2)中的结论，求出关于x的方程(x－1)2－bx＋b＝2024的两根．

答案一、1.B2.D3.D4.B5.A6.D7．D点拨：因为a、b是一元二次方程x2＋3x－6＝0的两个不相等的根，所以a＋b＝－3，a2＋3a－6＝0，即a2＝－3a＋6，则a2－3b＝－3a＋6－3b＝－3(a＋b)＋6＝－3×(－3)＋6＝9＋6＝15.8．B9.A10.D二、11.512.6413.1014.(1)13(2)8三、15.解：(1)原式＝4eq\r(3)－2eq\r(3)＋12eq\r(3)＝14eq\r(3).(2)原式＝3－2eq\r(2)＋2eq\r(2)＝3.16．解：(1)因为a＝2，b＝－4，c＝－1，所以Δ＝b2－4ac＝16－4×2×(－1)＝24，所以x＝eq\f(－（－4）±\r(24),2×2)＝eq\f(2±\r(6),2)，所以x1＝eq\f(2＋\r(6),2)，x2＝eq\f(2－\r(6),2).(2)原方程可变形为(x＋1)2－6(x＋1)＝0，分解因式，得(x＋1)(x＋1－6)＝0，所以x＋1＝0或x＋1－6＝0.所以x1＝－1，x2＝5.四、17.解：如图，连接AC.∵AD⊥DC，∴AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(42＋32)＝5(m)，∴AC2＋BC2＝52＋122＝132＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∴这块地的面积为S△ABC－S△ACD＝eq\f(1,2)×5×12－eq\f(1,2)×3×4＝24(m2)．18．解：因为x＝eq\f(\r(3)－1,2)，y＝eq\f(\r(3)＋1,2)，所以x＋y＝eq\r(3)，xy＝eq\f(1,2).(1)x2－xy＋y2＝(x＋y)2－3xy＝(eq\r(3))2－3×eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).(2)eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)＋2＝eq\f(y2＋x2＋2xy,xy)＝eq\f(（x＋y）2,xy)＝eq\f(（\r(3)）2,\f(1,2))＝6.五、19.解：设旗杆的高度是xm，则绳子的长度是(x＋1)m.根据题意得x2＋52＝(x＋1)2，解得x＝12.答：旗杆的高度是12m.20．(1)证明：因为Δ＝m2－4(m－2)＝m2－4m＋8＝(m－2)2＋4>0，所以无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根．(2)解：不存在．理由：由根与系数的关系可得x1＋x2＝－m，x1x2＝m－2,因为x12＋x22＋m(x1＋x2)＝m2＋1，所以(x1＋x2)2－2x1x2＋m(x1＋x2)＝m2＋1，所以m2－2(m－2)－m2＝m2＋1，整理得m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1，由方程有两个同号的实数根可得x1x2>0，即m－2>0，所以m>2，所以不存在m使x12＋x22＋m(x1＋x2)＝m2＋1成立．六、21.解：(1)57(2)设该校购买古典诗词类图书x本，①若x≤40，由题意得60x＋40(100－x)＝4750，解得x＝37.5，不是整数，舍去；②若x>40，由题意得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(60－\f(x－40,2)))x＋40(100－x)＝4750，解得x1＝30，x2＝50，因为x>40，所以x＝50.答：该校购买古典诗词类图书50本．七、22.解：(1)2(2)根据题意，得∠C≠90°且当∠CBD＝90°时，点D与点A重合，不符合题意，∴若△CBD是直角三角形，则∠CDB＝90°.此时BD⊥AC，即BD为AC边上的高．在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(82＋62)＝10，S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)AB·BC，即eq\f(1,2)×10·BD＝eq\f(1,2)×8×6，解得BD＝4.8，∴CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(62－4.82)＝3.6.∵3.6÷1＝3.6(秒)，∴t＝3.6.(3)①当CD＝BC时，CD＝6.6÷1＝6(秒)．②当BD＝BC时，如图，过点B作BF⊥AC于点F，则CF＝FD＝eq\f(1,2)CD.由(2)易得CF＝3.6，∴CD＝2CF＝2×3.6＝7.2.7．2÷1＝7.2(秒)．③当CD＝BD时，∠C＝∠CBD.∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠A＝90°，∠CBD＋∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠A，∴BD＝AD，∴BD＝AD＝CD.∵AC＝10，∴CD＝5.5÷1＝5(秒)．综上所述，当t＝6或7.2或5时，△CBD是等腰三角形．八、23.解：(1)－15x2＋2x＋1＝0(2)eq\f(1,3)；互为倒数证明：因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，x2＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)，cx2＋bx＋a＝0的两根为x3＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2c)，x4＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2c)，所以x1·x4＝eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)·eq\f(－b－\r(b2－4ac),2c)＝eq\f(b2－（b2－4ac）,4ac)＝eq\f(4ac,4ac)＝1，x2·x3＝eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)·eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2c)＝