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八年级数学下册第16章单元综合测试卷(人教版2025年春)限时:90分钟满分:120分一、选择题(每小题3分,共30分)1.计算eq\r((-3)2)所得的结果是()A.2eq\r(3) B.3 C.eq\r(3) D.-eq\r(3)2.要使二次根式eq\r(x-1)在实数范围内有意义,则x的取值范围在数轴上表示正确的是()3.如果最简二次根式eq\r(a+1)与eq\r(8)能够合并,那么a的值可能为()A.1 B.2 C.4 D.104.[2024保定期中]如图,这是嘉嘉的一次作业,若每道题25分,则该次作业嘉嘉的得分为()成绩:________①eq\r(5)-eq\r(3)=eq\r(2);②(2eq\r(2))2=8;③eq\f(5,\r(5))=eq\r(5);④2eq\r(2)×3eq\r(2)=12.A.25分 B.50分 C.75分 D.100分5.如图,数轴上的点可以近似地表示(eq\r(20)-5)÷eq\r(5)的值的是()A.点A B.点B C.点C D.点D6.若x=eq\f(\r(3)-\r(2),2),y=eq\f(\r(3)+\r(2),2),则x2+y2的值是()A.eq\f(5,2) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\r(3) D.eq\f(1,4)7.按如图所示的程序计算,若开始输入的n值为eq\r(2),则最后输出的结果是()A.14 B.16 C.8+5eq\r(2) D.14+eq\r(2)8.在将式子eq\f(m,\r(m))(m>0)化简时,小明的方法是eq\f(m,\r(m))=eq\f(m·\r(m),\r(m)·\r(m))=eq\f(m\r(m),m)=eq\r(m);小亮的方法是eq\f(m,\r(m))=eq\f((\r(m))2,\r(m))=eq\r(m);小丽的方法是eq\f(m,\r(m))=eq\f(\r(m2),\r(m))=eq\r(\f(m2,m))=eq\r(m),则下列说法正确的是()A.小明、小亮的方法正确,小丽的方法不正确B.小明、小丽的方法正确,小亮的方法不正确C.小明、小亮、小丽的方法都正确D.小明、小亮、小丽的方法都不正确9.用※定义一种新运算:对于任意实数m和n,规定m※n=m2n-mn-3n,如:1※2=12×2-1×2-3×2=-6,则(-2)※eq\r(3)的结果为()A.3eq\r(3) B.-2eq\r(3) C.3eq\r(2) D.2eq\r(3)10.如果f(x)=eq\f(x2,1+x2),并且f(eq\r(1))表示当x=eq\r(1)时的值,即f(eq\r(1))=eq\f((\r(1))2,1+(\r(1))2)=eq\f(1,2),feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))表示当x=eq\r(\f(1,2))时的值,即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))=eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))\s\up12(2),1+\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))\s\up12(2))=eq\f(1,3),那么f(eq\r(1))+f(eq\r(2))+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))+f(eq\r(3))+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,3))))+…+f(eq\r(n))+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,n))))的值是()A.n-eq\f(1,2) B.n-eq\f(3,2) C.n-eq\f(5,2) D.n+eq\f(1,2)二、填空题(每小题3分,共15分)11.若eq\r(x-1)是最简二次根式,则x的值为________.(写出一个即可)12.[2024阳泉三模]某商店销售一种品牌的电冰箱,其中某一型号的电冰箱每台标价为a元,在实际销售中,电冰箱一律按标价的八折销售,张先生购买该型号的电冰箱时又用了一张200元的代金券,则张先生实际支付的费用是________元.13.[2023潍坊]从-eq\r(2),eq\r(3),eq\r(6)中任意选择两个数,分别填在算式(□+〇)2÷eq\r(2)里面的“□”与“〇”中,计算该算式的结果是________.(只需写出一种结果)14.[2024马鞍山期末]如果(2-eq\r(3))2=a+beq\r(3),其中a,b为有理数,那么a+b等于________.15.对于X,Y定义一种新运算“*”:X*Y=aX+bY,其中a,b为常数,等式右边是通常的加法和乘法运算.若eq\r(a-2)-eq\r(2-a)+b=1成立,则2*3=________.三、解答题(共75分)16.(10分)计算:(1)(3eq\r(27)-2eq\r(12))÷eq\r(3);(2)(2-eq\r(3))2+(3+eq\r(6))(3-eq\r(6)).17.(8分)[2024岳阳期末]已知m=eq\r(5)+1,n=eq\r(5)-1.求下列各式的值:(1)m2+n2;(2)eq\f(n,m)+eq\f(m,n).18.(9分)已知实数a,b在数轴上如图所示,M=|a+b|-eq\r(b2)-eq\r((a-b)2).(1)化简M;(2)当a=eq\r(3)-eq\r(2),b=-eq\r(3)时,求M的值.19.(9分)当a=2025时,求a+eq\r(a2-2a+1)的值.如图是小亮和小芳的解答过程:(1)________的解法是错误的;(2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质:________;(3)当a>3时,求eq\r(a2-6a+9)-|1-a|的值.20.(11分)已知x=eq\f(1,2+\r(3)),y=eq\f(1,2-\r(3)).(1)求x2+y2-xy的值;(2)若x的整数部分是a,y的小数部分是b,求5a2025+(x-b)2-y的值.21.(14分)观察、思考、应用:(eq\r(2)+1)2=(eq\r(2))2+2×1×eq\r(2)+12=2+2eq\r(2)+1=3+2eq\r(2),反之,3+2eq\r(2)=2+2eq\r(2)+1=(eq\r(2)+1)2,∴eq\r(3+2\r(2))=eq\r(2)+1.(1)仿照上例,化简:①eq\r(8+4\r(3));②eq\r(\r(2025)-\r(2024));③eq\r(14+5\r(3)).(2)若eq\r(a+2\r(b))=eq\r(m)+eq\r(n),则m,n与a,b的关系是什么?并说明理由.(3)已知x=eq\r(1-\f(\r(3),2)),求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x-2)+\f(1,x+2)))·eq\f(x2-4,2(x-1))的值.22.(14分)[2023张家界]阅读下面材料:将边长分别为a,a+eq\r(b),a+2eq\r(b),a+3eq\r(b)的正方形面积分别记为S1,S2,S3,S4,则S2-S1=(a+eq\r(b))2-a2=[(a+eq\r(b))+a]·[(a+eq\r(b))-a]=(2a+eq\r(b))·eq\r(b)=b+2aeq\r(b).例如:当a=1,b=3时,S2-S1=3+2eq\r(3).根据以上材料解答下列问题:(1)当a=1,b=3时,S3-S2=________,S4-S3=________;(2)当a=1,b=3时,把边长为a+neq\r(b)的正方形面积记作Sn+1,其中n是正整数,从(1)中的计算结果,你能猜出Sn+1-Sn等于多少吗?并证明你的猜想;(3)当a=1,b=3时,令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,…,tn=Sn+1-Sn,且T=t1+t2+t3+…+t50,求T的值.

答案一、1.B2.D3.A4.C5.B【点拨】原式=eq\r(20)÷eq\r(5)-5÷eq\r(5)=2-eq\r(5).∵2<eq\r(5)<3,∴-1<2-eq\r(5)<0.∴数轴上的点可以近似地表示(eq\r(20)-5)÷eq\r(5)的值的是点B.6.A【点拨】∵x+y=eq\r(3),xy=eq\f(1,4),∴x2+y2=(x+y)2-2xy=(eq\r(3))2-2×eq\f(1,4)=eq\f(5,2).7.C【点拨】当n=eq\r(2)时,n(n+1)=2+eq\r(2)<15,当n=2+eq\r(2)时,n(n+1)=8+5eq\r(2)>15.∴最后输出的结果是8+5eq\r(2).8.C9.A【点拨】原式=(-2)2×eq\r(3)-(-2)×eq\r(3)-3eq\r(3)=4eq\r(3)+2eq\r(3)-3eq\r(3)=3eq\r(3).10.A【点拨】代入计算可得f(eq\r(2))+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,2))))=1,f(eq\r(3))+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,3))))=1,…,f(eq\r(n))+feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(1,n))))=1,所以原式=eq\f(1,2)+(n-1)×1=n-eq\f(1,2).二、11.3(答案不唯一)12.(0.8a-200)13.eq\f(5\r(2),2)-2eq\r(3)(答案不唯一)【点拨】若“□”中填-eq\r(2),“〇”中填eq\r(3),则(-eq\r(2)+eq\r(3))2÷eq\r(2)=(5-2eq\r(6))÷eq\r(2)=eq\f(5\r(2),2)-2eq\r(3);若“□”中填-eq\r(2),“〇”中填eq\r(6),则(-eq\r(2)+eq\r(6))2÷eq\r(2)=(8-2eq\r(12))÷eq\r(2)=4eq\r(2)-2eq\r(6);若“□”中填eq\r(3),“〇”中填eq\r(6),则(eq\r(3)+eq\r(6))2÷eq\r(2)=(9+2eq\r(18))÷eq\r(2)=eq\f(9\r(2),2)+6.14.3【点拨】∵(2-eq\r(3))2=7-4eq\r(3),(2-eq\r(3))2=a+beq\r(3),其中a,b为有理数,∴a=7,b=-4,∴a+b=7+(-4)=3.15.7【点拨】∵eq\r(a-2)-eq\r(2-a)+b=1,∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a-2≥0,,2-a≥0,))∴a=2,∴eq\r(2-2)-eq\r(2-2)+b=1,∴b=1,∴X*Y=2X+Y,∴2*3=2×2+3=7.三、16.【解】(1)原式=(9eq\r(3)-4eq\r(3))÷eq\r(3)=5eq\r(3)÷eq\r(3)=5.(2)原式=4-4eq\r(3)+3+9-6=10-4eq\r(3).17.【解】(1)∵m=eq\r(5)+1,n=eq\r(5)-1,∴m2+n2=(eq\r(5)+1)2+(eq\r(5)-1)2=5+2eq\r(5)+1+5-2eq\r(5)+1=12.(2)∵m=eq\r(5)+1,n=eq\r(5)-1,∴mn=(eq\r(5)+1)×(eq\r(5)-1)=5-1=4,∴eq\f(n,m)+eq\f(m,n)=eq\f(n2+m2,mn)=eq\f(12,4)=3.18.【解】(1)由图可知:b<0,a>0,|b|>|a|,∴a+b<0,a-b>0,∴M=|a+b|-eq\r(b2)-eq\r((a-b)2)=-a-b-(-b)-(a-b)=-a-b+b-a+b=-2a+b.(2)当a=eq\r(3)-eq\r(2),b=-eq\r(3)时,则M=-2×(eq\r(3)-eq\r(2))-eq\r(3)=-2eq\r(3)+2eq\r(2)-eq\r(3)=-3eq\r(3)+2eq\r(2).19.【解】(1)小亮(2)eq\r(a2)=|a|(3)∵a>3,∴a-3>0,1-a<0,∴原式=eq\r((a-3)2)-|1-a|=|a-3|-|1-a|=a-3+(1-a)=a-3+1-a=-2.20.【解】(1)∵x=eq\f(1,2+\r(3))=eq\f(2-\r(3),(2+\r(3))(2-\r(3)))=2-eq\r(3),y=eq\f(1,2-\r(3))=eq\f(2+\r(3),(2-\r(3))(2+\r(3)))=2+eq\r(3),∴x2+y2-xy=(x+y)2-3xy=(2-eq\r(3)+2+eq\r(3))2-3×(2-eq\r(3))×(2+eq\r(3))=16-3=13.(2)∵1<eq\r(3)<2,∴0<2-eq\r(3)<1,3<2+eq\r(3)<4,∴a=0,b=2+eq\r(3)-3=eq\r(3)-1,∴5a2025+(x-b)2-y=5×0+(2-eq\r(3)-eq\r(3)+1)2-(2+eq\r(3))=(3-2eq\r(3))2-2-eq\r(3)=9-12eq\r(3)+12-2-eq\r(3)=19-13eq\r(3).21.【解】(1)①eq\r(8+4\r(3))=eq\r(8+2\r(12))=eq\r((\r(6)+\r(2))2)=eq\r(6)+eq\r(2).②eq\r(\r(2025)-\r(2024))=eq\r(45-2\r(506))=eq\r((\r(23)-\r(22))2)=eq\r(23)-eq\r(22).③eq\r(14+5\r(3))=eq\r(\f(1,2)(28+10\r(3)))=eq\r(\f(1,2)(5+\r(3))2)=eq\f(5\r(2)+\r(6),2).(2)a=m+n,b=mn,理由如下:∵eq\r(a+2\r(b))=eq\r(m)+eq\r(n),∴a+2eq\r(b)=m+2eq\r(mn)+n,∴a=m+n,b=mn.(3)∵x=eq\r(1-\f(\r(3),2))=eq\r(\f(1,4)(4-2\r(3)))=eq\

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