2025年沪科新版高一数学上册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年沪科新版高一数学上册月考试卷819考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、一枚硬币连掷3次；恰有两次正面朝上的概率是（）

A.

B.

C.

D.

2、已知f（）=则f（x）的解析式为（）

A.f（x）=

B.f（x）=

C.（x）=1+xf

D.f（x）=

3、已知定义域为的函数满足：且当时，则等于A.B.C.D.4、下列函数中既是奇函数，又是在上为增函数的是A.B.C.D.5、已知tan=则的值为（）A.B.-C.7D.-6、已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U（A∪B）=（）A.{1，3，4}B.{3，4}C.{3}D.{4}7、若sinθ＞cosθ，且tanθ＜0，则角θ的终边位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8、已知且cosα＜0，tanα＜0，则sinα等于（）A.B.C.D.评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)9、直线x-y+3=0被圆（x-a）2+（y-2）2=4（a＞0）所截得的弦长为则实数a=____．10、集合{23，-34，57，86，-75，-1}每一个非空子集的元素乘积（单元素集取元素本身）之和为____．11、已知a，b，c是两两不等的实数，则经过两点A（a，c）和B（b，c）的直线的倾斜角是____．12、方程有个根。13、【题文】设命题命题那么是的____条件(选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)．14、已知函数f（x）=a2015x2015+a2013x2013+a2011x2011++a3x3+a1x+1，且f（1）=2，则f（﹣1）=____．评卷人得分三、证明题(共6题，共12分)15、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．16、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．17、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．18、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．19、已知D是锐角△ABC外接圆劣弧的中点；弦AD与边BC相交于点E，而且AB：AC=2：1，AB：EC=3：1．求：

（1）EC：CB的值；

（2）cosC的值；

（3）tan的值．20、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．评卷人得分四、作图题(共2题，共18分)21、画出计算1++++的程序框图．22、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．评卷人得分五、解答题(共3题，共24分)23、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c且cosA=-a=4，b=3

（1）求：边c；

（2）求：的值；

（3）求：△ABC内切圆的半径．

24、如图，在△ABC中，∠C=90°，一个边长为2的正方形由位置Ⅰ沿AB平行移动到位置Ⅱ停止，若移动的距离为x，正方形和△ABC的公共部分的面积为f（x），试求出f（x）的解析式，并求出最大值．

25、已知点点为直线上的一个动点.（1）求证：恒为锐角；（2）若四边形为菱形，求的值.评卷人得分六、综合题(共2题，共6分)26、已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴．一次函数y=kx+1的图象与二次函数的图象交于A，B两点（A在B的左侧）；且A点坐标为（-4，4）．平行于x轴的直线l过（0，-1）点．

（1）求一次函数与二次函数的解析式；

（2）判断以线段AB为直径的圆与直线l的位置关系；并给出证明；

（3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？27、已知△ABC的一边AC为关于x的一元二次方程x2+mx+4=0的两个正整数根之一，且另两边长为BC=4，AB=6，求cosA．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】

画树状图得：共有8种等可能的结果；

恰有两次正面朝上的有正正反；正反正，反正正，共有3种结果；

所以恰有两次正面朝上的概率是．

故选D．

【解析】【答案】首先根据题意画出树状图；然后由树状图求得所有等可能的结果与其中有两次正面朝上的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

2、D【分析】

由可知；函数的定义域为{x|x≠0，x≠-1}；

取x=代入上式得：f（x）==

故选D．

【解析】【答案】函数对定义域内任何变量恒成立，故可以用x代即可求出f（x）解析式．

3、A【分析】【解析】试题分析：根据已知条件，定义域为的函数满足：且可知该函数是周期为4，且为偶函数，同时当时，那么故选A.考点：本试题考查了抽象函数的性质。【解析】【答案】A4、D【分析】试题分析：对于A，函数在区间上是减函数，在是增函数，故A不正确；对于B，函数的定义域是不是奇函数，故B不正确；对于C，由函数在R上是增函数，知在R上是减函数，故C不正确；对于D，可变形为是关于x的一次函数，根据奇函数的定义和函数单调性的定义知是奇函数，在R上是增函数，故D正确.考点：函数的单调性；函数的奇偶性【解析】【答案】D5、C【分析】【解答】解：

=

=

=7

故答案选：C

【分析】对分子分母同时除以cosθ，把正弦转成正切的问题，进而求出答案．6、D【分析】【分析】根据A与B求出两集合的并集；由全集U，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合．

【解答】解：∵A={1；2}，B={2，3}；

∴A∪B={1；2，3}；

∵全集U={1；2，3，4}；

∴∁U（A∪B）={4}．

故选D7、B【分析】解：∵sinθ＞cosθ；

∴θ一定不再第四象限；

又tanθ＜0；

∴θ是第二或第四象限角；

可得θ是第二象限角；

故选B．

因为sinθ＞cosθ；可判断θ一定不是第四象限，又tanθ＜0，可得判断θ是第二或第四象限角，问题得以解决．

本题考查象限角的定义，熟练掌握三角函数在各个象限中的符号是解决问题的关键，属于基础题．【解析】【答案】B8、B【分析】解：∵已知且cosα＜0；tanα＜0，∴α为第二象限角，则sinα＞0．

∵cos2α=1-2sin2α=∴sinα=

故选：B．

由条件利用同角三角函数的基本关系；二倍角的余弦公式，求得sinα的值．

本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．【解析】【答案】B二、填空题(共6题，共12分)9、略

【分析】

由于圆心坐标为（a，2），a＞0，半径r=2，弦长为2故圆心到直线的距离为d==1．

再由点到直线的距离公式可得=1，解得a=-1-（舍去），或a=-1+

故答案为-1．

【解析】【答案】由弦长公式求得圆心到直线的距离d的值；再由点到直线的距离公式可得d的值，再由这两个d值相等，求得a的值．

10、略

【分析】

记集合中的8个元素分别为：x1，x2，，x8；

只有一个元素的子集的元素乘积之和为：x1+x2++x8；

含有两个元素的元素乘积之和为：x1x2+x1x3++x7x8；

含有八个元素的子集的元素乘积为：x1x2x8；

把以上8组和式作和得：集合中每一个非空子集的元素乘积（单元素集取元素本身）之和为：

（1+x1）（1+x2）（1+x8）-1；

因为1+x8=1-1=0；

所以集合{23，-34，57，86，-75，-1}每一个非空子集的元素乘积（单元素集取元素本身）

之和为-1．

故答案为-1．

【解析】【答案】集合{23，-34，57，86，-75，-1}每一个非空子集的元素乘积应该是8个元素自身取一次，每2个元素乘积一次，每3个元素乘积一次，等等，8个元素还要乘积一次，记集合中的8个元素分别为：x1，x2，，x8，最后的和相当于（1+x1）（1+x2）（1+x8）-1，因为x8=-1，所以（1+x1）（1+x2）（1+x8）=0；则结果可求．

11、略

【分析】

设两直线的斜率为k，则k==0；

设直线的倾斜角为θ；则tanθ=0；

又0°≤θ＜180°；

∴θ=0°；

故答案为0°．

【解析】【答案】先根据斜率公式求出直线的斜率；再根据倾斜角与斜率的关系以及倾斜角的范围，求出倾斜角的大小．

12、略

【分析】【解析】【答案】713、略

【分析】【解析】

试题分析：不等式的解集是因为所以是的充分不必要条件.

考点：充分条件和必要条件.【解析】【答案】充分不必要14、0【分析】【解答】解：f（x）=a2015x2015+a2013x2013+a2011x2011++a3x3+a1x+1；且f（1）=2；

则a2015+a2013+a2011++a3+a1=1，所以f（﹣1）=﹣a2015﹣a2013﹣a2011﹣﹣a3﹣a1+1=﹣1+1=0；

故答案为：0．

【分析】观察多项式的各项，分别令x=1和﹣1，得到系数化为相反数，得到所求．三、证明题(共6题，共12分)15、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．16、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．17、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．18、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．19、略

【分析】【分析】（1）求出∠BAD=∠CAD，根据角平分线性质推出=；代入求出即可；

（2）作BF⊥AC于F；求出AB=BC，根据等腰三角形性质求出AF=CF，根据三角函数的定义求出即可；

（3）BF过圆心O，作OM⊥BC于M，求出BF，根据锐角三角函数的定义求出即可．【解析】【解答】解：（1）∵弧BD=弧DC；

∴∠BAD=∠CAD；

∴；

∴．

答：EC：CB的值是．

（2）作BF⊥AC于F；

∵=，=；

∴BA=BC；

∴F为AC中点；

∴cosC==．

答：cosC的值是．

（3）BF过圆心O；作OM⊥BC于M；

由勾股定理得：BF==CF；

∴tan．

答：tan的值是．20、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．四、作图题(共2题，共18分)21、解：程序框图如下：

【分析】【分析】根据题意，设计的程序框图时需要分别设置一个累加变量S和一个计数变量i，以及判断项数的判断框．22、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。五、解答题(共3题，共24分)23、略

【分析】

（1）由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA

即42=32+c2-6c•（-）；

化简得2c2+3c-14=0；解之得c=2（舍负）（4分）

（2）sinA==

由正弦定理得。

==（8分）

（3）由正弦定理的面积公式；得。

S△ABC=bcsinA==

另一方面，S△ABC=（a+b+c）r

∴△ABC内切圆的半径r===（12分）

【解析】【答案】（1）根据余弦定理a2=b2+c2-2bccosA的式子；结合题意得到关于边c的方程，解之即可得到边c的值；

（2）由同角三角函数的关系算出sinA=结合正弦定理代入题中数据，即可算出的值；

（3）根据正弦定理的面积公式，算出S△ABC=bcsinA=再由三角形面积关于内切圆半径r的公式加以计算，即可得到△ABC内切圆的半径r的值．

24、略

【分析】

当x∈[0；2]时，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形。

∴f（x）=

当x∈（2；4]时，正方形和△ABC的公共部分是两个直角梯形。

f（x）=4-

当x∈（4；6]时，正方形和△ABC的公共部分是等腰直角三角形。

f（x）=

综上所述：

分析可得当x=3时；f（x）的最大值为3．

【解析】【答案】将一个边长为2的正方形由位置Ⅰ沿AB平行移动到位置Ⅱ停止；若移动的距离为x，此时正方形和△ABC的公共部分分为三种情况，然后分别求出公共部分的面积为f（x），最后根据分段函数求最值的方法求出最值即可．

25、略

【分析】试题分析：（1）已知一个角的两边的向量,可以求出这个角的大小,由题,可以求出向量PA,PB,由向量内积公式可求得角的范围;（2）菱形的对边平行且四边相等,向量相等,横纵坐标相等,由题,向量AP=BP,可以求得x=1,由向量PQ=BA,可以求得Q点坐标,即可求出向量的内积.试题解析：（1）∵点在直线上，∴点∴∴∴若三点在一条直线上，则得到方程无解，∴∴恒为锐角.（2）∵四边形为菱形，∴即化简得到∴∴设∵∴∴∴考点：1.用向量的内积求角;2.菱形.【解析】【答案】（1）证明见解析;（2）2.六、综合题(共2题，共6分)26、略

【分析】【分析】（1）设二次函数的解析式是y=ax2；把A（-4，4）代入求出a代入一次函数求出k，即可得到答案；

（2）求出B；O的坐标；求出OA和O到直线y=-1的距离即可得出答案；

（3）作MN的垂直平分线，△FMN外接圆的圆心O在直线上，求出MN、DN，根据勾股定理求出O'F=O'N的圆心坐标的纵坐标Y，求出y取何值时r最小，即可求出答案．【解析】【解答】解：（1）设二次函数的解析式是y=ax2（a≠0）；

把A（-4；4）代入得：4=16a；

a