湖北省2024-2025学年高三年级上册12月联考数学试题（含解析）

高三数学考试

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：高考全部内容（除解析几何外）.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.己知集合2={—3,—2,—1,0,1},8=<x」一<0）,则（）.

2x+3

A.{-3,-2,-1,0,1}B.{0,1}C.{-3,-2}D.{-3}

2.己知复数z=3-圭，亍为z的共轨复数，则彳的虚部为

().

111.1.

A.-B.——C.——iD.-1

2222

3.已知平面向量3=(1,-2),b=(2x,x-l),且.〃伍-可,则x=C).

...141

A.5B.—C.—D.一

554

4.黄州青云塔矗立在黄冈市宝塔公园的钵孟峰上，又名文峰塔，因高入青云而得名.该塔塔身由青灰色石

块砌成，共七层，假设该塔底层（第一层）的底面面积为16平方米，且每往上一层，底面面积都减少1平

方米，则该塔顶层（第七层）的底面面积为（）.

D.n平方米

).

1272272D,巫或一巫

-B.------C.--------

33333

6.已知（玉,必），（工2，%）是函数y=log2%图象上不同的两点，则（）•

七匹＞唾

A.A±2i<iOg2A±^B.2

1x+x?,X+x9

C.弘+72必+%>10g2士一

7.在四棱锥尸—48CD中，底面4BC。为正方形，48=4,PC=PD=3,ZPCA=45°,则四棱锥

尸―48CZ)的体积为().

16167232

A.—B.-------C.——D.16

333

8.已知函数/（X）=（机-sinx-掰在0，T上只有一个零点，则正实数优的取值范围为（）.

,1「4(兀+2)),1「4(兀+1)、

C.(0,1]u――~~~,+°°D,(0,1]u—~-,+oo

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.数据不，x2,x3,x4,X5的平均数、中位数都是》3，贝!）（）.

A.数据看,x2,x3,x4,X5与数据X],x2,X4,X5的平均数相等

B.数据X],x2,X3,x4,X5与数据占，x4,X5的方差相等

C.数据X],x2,X3,X4,X5与数据X],x2,x4,毛的极差相等

D.数据X],x2,x3,x4,X5与数据项，x2,x4,X5的中位数相等

10.已知函数/(x)的定义域为R,f(x+y)-f(x-y)=2f(y),且当x>0时，/(x)>0,则

().

A./(0)=0B./(22024)=22024/(l)

C./(x)=xD./(x)没有极值

11.已知函数/（》）=5由%（「05》|+1）,则下列结论正确的是（）.

A./（x）是偶函数

B./(x)的最小正周期是2兀

JT

C./(X)的图象关于直线x=,对称

27r2冗Ji2兀

D.若VX]w0,—,3X2G0,—,=/(9+〃)(°<QV兀)，则Q的取值范围是—

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知函数的图象在点(1,/。))处的切线过点(3,0),则口=.

X

13.某员工在开办公室里四位数的数字密码门时，发现按键“3”“6”“9”上有清晰的指纹印，若该密码确

实由数字“3”“6”“9”组成，则该密码有种可能.(用数字作答)

14.如图，平行六面体幺5。。一44。1。1的底面是菱形，AB=2,44]=6,

ZBAD=ABAAX=ADAAX=y,若非零向量成，为满足(应—葩)•应=0,n-AD=12,则同—司的最

小值为

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)在△48C中，角/,B,C的对边分别是a,b,c,且(a—b)(sin/+sin8)=0,

2A/3c_cosC

3bcos5

(1)求/；

(2)若△ABC的外接圆面积为9兀，角3的平分线交NC于。，求△48C的面积，及△48。与△8。

的面积之比.

16.(15分)已知函数/(x)=Zxlnx+x?-ax+3.

(1)若/(x)在[1,+00)上单调递增，求a的取值范围；

(2)若/(x)20恒成立，求a的取值范围.

17.（15分）如图，在三棱柱48C—OEE中，AD=DE=2,EF=BF=屈,DF=2出,

兀

ABAD=-.

3

（1）证明：平面C8EE，平面.

（2）求二面角E—48—C的正弦值.

18.（17分）设数列｛%｝的前“项和为S”，若耳=2,且对任意的〃eN*,均有S“=—1是常

数且左eN*）成立，则称｛4｝为“H⑴数列”.

（1）设｛4｝为“II（1）数列”.

①求｛%｝的通项公式；

②若4=〃%,数列｛〃｝的前〃项和为北，证明：|7；|>2.

（2）是否存在｛4｝既是“II"）数列"，又是“II（左+2）数列”？若存在，求出符合条件的｛4｝的通项

公式及对应的人的值；若不存在，请说明理由.

19.（17分）甲、乙两人玩一个纸牌游戏，先准备好写有数字1,2,…，N的纸牌各一张，由甲先随机抽取

一张纸牌，记纸牌上的数字为。，随后将纸牌放回（后面每次抽牌记录数字后都需将纸牌放回），接下来甲

有2种选择：

①再抽取一次纸牌，记纸牌上的数字为6,若a+b>N,则乙赢，游戏结束，否则，甲结束抽牌，换由乙

抽牌一次；

②直接结束抽牌，记6=0,换由乙抽牌一次.

记乙抽到的纸牌上的数字为c,^a+b+c<N,则乙赢，否则甲赢.游戏结束.

（1）若甲只抽牌1次，求甲赢的概率；

（2）若甲抽牌2次，求甲赢的概率；

（3）当甲抽取的第一张纸牌上的数字满足什么条件时，甲选择②赢得游戏的概率更大？（结果用含N的式

子表示）

参考公式：若数列｛%｝的通项公式为%=〃2,则｛%｝的前n项和Sn=++.

高三数学考试参考答案

133

1.C由------<0,得x<——，即5二xx<--L所以/c5={—3,—2}.

2x+32

工=

2.Az=3-3--—=3--i,F=3+-i.

2i3-2i22

3.Bb-a=(2x-l,x+l).

因为万〃（不一方），所以％+1=—2（2%—1）,解得x

4.C

由题意可得该塔第一层至第七层的底面面积依次成等差数列，且首项为16,公差为-1,

故该塔顶层的底面面积为16-1x6=10平方米.

5.C

(,8兀711c2\44兀兀曰\44兀兀1।272

cos2。+—=2cosa+一一1二一,解得cosa-\---=±

9999亍

〜I「「I।4兀4兀17兀

因为已为锐角，所以一＜a+—＜——，

9918

4兀4兀兀百〈2行2V2

cosa-\----<cos——<cos—cosa+如

99623I9亍

兀兀4兀4兀272

sin----a=smaH----=cosaH----

18299

6.A

由题意不妨设0＜玉＜X2，因为V=10g2%是增函数，所以log?』＜10g2X2，即必＜%•

2

X；+x

logo西+logx=log2(中2)<log22

222

玉+%,即%+%%1正确，错误.

贝5+必＜21幅<log2,AB

22

取%]=1,%=2,则％=0,y2=1,必+为>log2-,c错误.

]]XX

—

取％i=W，%2=5，则必=—2,y2—1,必+%<log2i2~工，D错误.

7.C

过点尸作P。，底面4BCD,垂足为O,

设自厂分别为48,C。的中点，连接EF,A0,则点。在EF上.

设OE=x,因为45=4,PC=PD=3,所以Pt=^PC?—CF?=#.

PO2=PF2-OF2=5-X2,AO2=OE2+EA2=（4-X）2+4,

AP2=PO2+AO2=-8x+25.

在△尸NC中，AP2=AC2+PC2-2AC-PCcosZPCA=17,

所以—8x+25=17,解得x=l,所以PO=j5——=2.

132

故四棱锥尸—/BC。的体积为一48・8。・。尸二一.

33

8.D

分别作出函数g(x)=(加x-l)2=m2卜一~—j与函数〃(x)=sinx+m的大致图象.

分两种情形：当0<加W1时，—>1,如图1,

m

图1图2

JT

当0,—时，g(x)与/z(x)的图象有一个交点，符合题意;

当加>1时，—<1,如图2,

m

7T

当xe0,-时，要使得g(x)与/z(x)的图象只有一个交点,

只需,即[春'—1]sin^+m,解得加24(兀：1)(冽<0舍去).

,1「4(兀+1))

综上，正实数加的取值范围为(0』。「'+8.

L71?

9.AC

设数据再，X2,X3,X4,X5的平均数为X,则亍=X3,数据%!,》2,X4,X5的平均数为

———=x,A正确.

44

所以数据玉，x2,x3,x4,X5与数据可，x2,x4,X5的方差不一定相等，B错误.

数据X],x2,x3,x4,x5与数据X],x2,x4,x5的极差相等，C正确.

数据X],x2,X3,x4,X5与数据X],x2,x4,X5的中位数不一定相等，如数据2,2,5,7,9的平均数、

中位数都是5,但数据2,2,7,9的中位数不是5,D错误.

10.ABD

令x=y=0,得/(0)=0,A正确.

令工=>得〃2x)=2/(x),所以/(22X)=2/(2X)=22/(X),/(23X)=2/(22X)=23/(x),

据此类推可得/(2"x)=2"/(x)(〃eN+),所以/Q2°24)=22°24/(1),B正确.

〃x)=2x也满足题意，C错误.

X>

令Xi=x+y,x2y=,则丁].

当Xi〉/时，九万迤>0.因为当x>0时，/(x)>0,所以/[幺干]〉0,

即/(石)一/(%)〉°，/(再)>/(%)，所以/(x)是增函数,〃x)没有极值,D正确.

11.BCD

因为f(-x)-sin(-x)(|cosx|+1)=-sinx(|cosx|+1)=-f(x),所以/(x)是奇函数，A错误.

当X£(0,兀)时，f(x)>0;当％£(兀,2兀)时，f(x)<0.

又因为/(X+2兀)=sin(x+2兀)0cos(x+2刈+1]=sinx(|cosx|+l)=f(x),

所以/(%)的最小正周期是2兀，B正确.

f(7t-x)=sin(7l-X)QcOS(兀-x)[+l]=sinxQcosx|+l)=f(x),

jr

所以/(%)的图象关于直线1=5对称，C正确.

当xe吟时,f(%)-sinx(cosx+1),/'(x)-(2cosx-l)(cosx+l)，

兀71

时，/Z(x)>0,当工£时，/z(x)<0,

当xe??2

兀71

所以/(X)在(0,1上单调递增，在上单调递减.

i?2

.兀兀.兀兀

sm—cos—+1sm—cos—+1=1.

3322)

结合对称性，得到/(%)的部分图象如图所示.

兀

当*0n,2y

27r

由题意可得，当々w0,——时，f(x+tz),VO,f(x+6Z)>

73J\z?/mimnin"\2z/max4

5兀

x+aea,y+l,0<x+a<

22T

/2兀

a<——

3,解得四Wa4生,

结合/(X)的图象可得，＜

2兀、33

-----卜a之71

[3

TT2.71

则Q的取值范围是一,——，D正确.

_33_

12.5

〃x)=2x-2，/⑴=2-4,/(l)=l+a.

X

/(x)的图象在点(1，/⑴)处的切线方程为j=(2-a)(x-l)+l+a.

因为该切线过点(3,0),所以0=(2—a)(3—l)+l+a,解得a=5.

13.36C4A3=36.

14.4-V13

设彳吊=万，则款•通=12.

I►!------------>->--------------*—(■—(■

因为=2,所以ZN在/£)上的投影向量NN】=AD=3AD,

西

则投影向量的模长|丽卜3|叫=6,

过点M作平面使得NN］，平面1（图略），则点N在平面1内.

设痴=应，贝U（应—珂）•应=0等价于（而一五瓦）•而=0,

即瓦历•而=0,则为所以点M在以Z5］为直径的球面上.

------*-----►------►兀

又AB{=AB+AAY,ABAAX=-

福『=（商+而『A8|2+2A5-14+|14|2=22+2x2x6x1+62=52,

所以以481为直径的球的半径R=5一=V13.

设幺用的中点为£,则存在而上的投影向量为

AB-AD一(AB+AAA-AD__

X-AD=--------------\--------AD=AD

2］可2画

所以球心E到平面a的距离d=|布卜|石卜6—2=4.

因为d>R,所以平面1在球£的外部.

m-n=AM-AN=NM的最小值表示球E上的点M到平面1内的点N的距离的最小值,

显然低—司,=d-R=4-y/13.

IImin

15.解：(1)在△48C中，sin4>0,sin5>0.

因为(q—b)(sin4+sin8)=0,sin^+sinB>0,

所以。一6=0,即Q=b,sin4=sinB.(2分)

因为汉3一二=四白，所以至一=(3分)

3bcosB3sin5cosB

nnsinCcosCsinCcosB+sinBcosCsin/12G/八、

即^——+-----=-----------------------=----------=------=-----，(5分)

sin5cos5si;n5cos5sinBcosBcos53

所以cosB=，^,B=A=—.

26

(2)因为△4BC的外接圆面积为9兀，所以△45。的外接圆半径为3.(7分)

因为二一=-=-=6,所以〃=b=3,c—3y/3.(9分)

sinAsinBsinC

_1一右」…V3_973…八、

Sc——cibsinC——x3x3x——---.(11%)

AARr2224

c—c-BDsinZABD

2^=2--------------，=C，

S4BCD-a-BDsinZCBDa

2

所以△ZB。与△BCD的面积之比为百.(3分)

16.解：(1)/'(x)=21nx+2x+2—q.(1分)

因为/(%)在[1,+8)上单调递增，所以当Xw[l,+8)时,/'(x)20.(3分)

因为/(%)是增函数，所以/'(1)=4—420,解得〃W4.

故Q的取值范围为(-8,-4].(5分)

3

(2)/(x)>0,即Q421nx+x+—.(7分)

JC

令g(x)=21nx+x+』，g>(x)=—+1--^-=(x+3)(x1)(9分)

JCXXX

由g'(%)<0，得0<x<l,由g'(x)>0,得x>l,

所以g（x）在（0,1）上单调递减，在（1,+00）上单调递增.（11分）

g（x）2g⑴=4.（13分）

因为/（x）20恒成立，所以aW4.

故a的取值范围为（一oo,4].（15分）

17.（1）证明：取BE的中点。，连接OD,OF,BD.

四边形为平行四边形，

71

又因为2。=。£=2,ABAD=-,所以为等边三角形,

3

所以OD=JL（1分）

在中，OF1BE,OF=ylEF2-OE2=3.

因为OE2+O£>2=。尸2,所以OELOD.（3分）

因为0Ec8£=0,所以平面CB£E.（4分）

因为0£>u平面，所以平面C跳户，平面48ED.（5分）

（2）解：以。为坐标原点，分别以OD,OE,OE所在直线为x,力z轴,

建立如图所示的空间直角坐标系，

C（0,-2,3）,/便,-2,0.5（0,-1,0）,F（0,0,3）.（7分）

IC=（-V3,0,3）.=（-73,1,0）,AF-（-V3,2,3）.（8分）

设平面FAB的法向量为比=,平面ABC的法向量为n=（x2,y2,z2J.

in-AF=0—"x/Sx,+2y+3Z]—01—

一，即〈111，令再=6得成（百,3,-1）.（10分）

m-AB-0-J3%]+必=0

n-AC=Q—y3xo+3z,—01—

_，即22,令、2=6,得力=（V3,3,l）.（12分）

n-AB=Q一y3%+%=0

m-n—,贝!Jsin（而,五）=皿3,（14分）

cos（欣万）

网同13、/13

故二面角尸—48—C的正弦值为二二.（15分）

13

18.（1）①解：因为｛%｝为“II⑴数列”，所以S“=—g%+]+l.

因为H=2,所以%=2.

当〃=1时，%=S]=-+1，得%=—2.（1分）

当“22时,S“_]=一；%+1,则%=S0—S,T=—；%+]+<%,

即（3分）

经检验，当〃=1时，满足%+i=-a“，

所以%+i=-%对任意的"eN*恒成立，｛4｝是首项为2,公比为-1的等比数列，

所以4=2x(—I)”、(5分)

-1

②证明：bn=nan=2«(-1)".

2

7；；=2x(-1)°+2x2x(-l)I+2X3X(-1)+L+2〃(—1广二(6分)

=2x(—+2x2x(—I?+2x3x(—以+L+2«(-1)\

两式相减得27；=2+2x(—l)+2x(—+L+2(-1)"-1-2M(-1)"=1+(1+2M)(-1)"1,(7分)

所以T△+(310)二」+(-广+2〃(-广

.（8分）

B222

1-12n

当〃为偶数时，\Tn\=-=n>2.

当〃为奇数时，圜=1+1；2〃=|1+"22.

故圜22.（10分）

（2）解：假设存在这样的数列，

由｛%｝是“II⑷数列”可得S“=—

由｛%｝是“11（左+2）数列”可得邑=-；%皿

+1,(11分)

+1=-a1=S

所以an+k=an+k+2,Sn=~~an+k-n+k+2+n+2，

即S“=S"+2,所以%+%+2=0・（13分）

由=—]〃"+左+1,令〃=1,得二—2,令〃=2,得。2+攵=一2—2%.

因为a”左+出+左=0，所以—2+（―2—22）=0，解得。2=—2,

所以｛%｝为2,—2,2,—2,2,—2,…，

｛4｝的通项公式为a“=2x（—I）”:（15分）

当〃为偶数时，S,=—；%+上+1=0,解得a也=2,左为奇数.

当〃为奇数时，Sfnl=--aHnT+/vk+1=2,解得。r“l+~rH尢=—2,左为奇数.（16分）

综上，存在应｝既是“n⑷数列”，又是“II（左+2）数列”，

此时｛4｝的通项公式为4=2x（—1广，左eN*且左为奇数.（17分）

19.解：（1）若甲只抽牌1次，甲赢的情况如下.

甲抽到的纸牌上的数字为1,乙抽到的纸牌上的数字为N,此时有1种情况；

甲抽到的纸牌上的数字为2,乙抽到的纸牌上的数字为N,N-1,此时有2种情况；

甲抽到的纸牌上的数字为3,乙抽到的纸牌上的数字为N,N—l,N-2,此时有3种情况;

依次类推，甲赢的情况共有1+2+3+L+N=；（1+N）N.（3分）

；0+N）N]N

故甲赢的概率为2——，——=-----.（4分）