《老高考文科数学二轮复习》小题满分练

2/8小题满分练(二)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A＝{x|y＝eq\r(8－4x)}，B＝{x|(3x＋5)(2x－7)≤0}，则A∩B＝()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，2)) B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(5,3)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2，\f(7,2))) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，2))D[∵A＝{x|8－4x≥0}＝{x|x≤2}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)≤x≤\f(7,2)))))，A∩B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5,3)，2)).故选D．]2．在复数范围内，已知p，q为实数，1－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q＝()A．2 B．1C．0 D．－1C[因为1－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则1＋i是方程x2＋px＋q＝0的另一个根，由根与系数的关系可得1＋i＋(1－i)＝－p，(1＋i)(1－i)＝q，解得p＝－2，q＝2，所以p＋q＝0.故选C．]3．雅言传承文明，经典浸润人生，某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某班级三人参赛，则三人参加项目均不相同的概率为()A．eq\f(3,4) B．eq\f(8,9)C．eq\f(3,8) D．eq\f(8,27)C[某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛．某班级三人参赛，基本事件总数n＝43＝64(种)，三人参加项目均不相同的基本事件数为m＝4×3×2＝24(种),∴三人参加项目均不相同的概率为P＝eq\f(m,n)＝eq\f(24,64)＝eq\f(3,8).故选C．]4．《张丘建算经》是我国古代的一部数学著作，现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算、各种等差数列问题的解决、某些不定方程问题求解等．书中记载如下问题：“今有女子善织，日增等尺，初日织五尺，三十日共织390尺，问日增几何？”那么此女子每日织布增长()A．eq\f(4,7)尺 B．eq\f(16,31)尺C．eq\f(16,29)尺 D．eq\f(8,15)尺C[由题意可得：女子每日织布数成等差数列{an}，公差为d，其前n项和为Sn.其中：a1＝5，S30＝390，化为：30×5＋eq\f(30×29,2)d＝390，解得d＝eq\f(16,29)(尺)，故选C．]5．已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，则下列结论中正确的是()A．eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)有最小值4 B．xy有最小值eq\f(1,4)C．2x＋2y有最大值eq\r(2) D．eq\r(x)＋eq\r(y)有最大值2A[∵x＞0，y＞0，且x＋y＝1，对于A，eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(1,y)))(x＋y)＝2＋eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥4，故A正确；对于B，∵x＋y≥2eq\r(xy)，∴xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，故B错误；对于C,2x＋2y≥2eq\r(2x·2y)＝2eq\r(2)，故C错误；对于D，(eq\r(x)＋eq\r(y))2＝x＋y＋2eq\r(xy)＝1＋2eq\r(xy)，∵xy有最大值eq\f(1,4)，故(eq\r(x)＋eq\r(y))2有最大值2，故D错误，故选A．]6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为()A．eq\f(9,19) B．eq\f(10,21)C．eq\f(18,19) D．eq\f(20,21)B[∵eq\f(1,4i2－1)＝eq\f(1,(\a\vs4\al\co1(2i－1))(\a\vs4\al\co1(2i＋1)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2i－1)－\f(1,2i＋1)))，由程序框图可知，输出的S的值为S＝eq\f(1,4×12－1)＋eq\f(1,4×22－1)＋…＋eq\f(1,4×102－1)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)＋\f(1,3)－\f(1,5)＋…＋\f(1,19)－\f(1,21)))＝eq\f(10,21).故选B．]7．设m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则“α∥β”是“m∥β且n∥α”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A[m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，且m⊂α，n⊂β，则“α∥β”⇒“m∥β且n∥α”，反之不成立．∴“α∥β”是“m∥β且n∥α”的充分不必要条件．故选A．]8．在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，AB＝BD＝2，E为CD的中点，若异面直线AC与BE所成的角为60°，则BC＝()A．eq\r(2) B．2C．2eq\r(2) D．4B[如图所示，取AD的中点F，连接EF，BF，则EF∥AC．所以∠BEF为异面直线AC与BE所成的角，∴∠BEF＝60°.设BC＝x，则BE＝EF＝eq\f(\r(x2＋4),2)，BF＝eq\r(2).∴△BEF为等边三角形，则eq\f(\r(x2＋4),2)＝eq\r(2)，解得x＝2.故选B．]9．若将函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))的图象向右平移a(a＞0)个单位长度，所得图象关于坐标原点对称，则a的最小值为()A．eq\f(π,4) B．eq\f(5π,4)C．eq\f(π,12) D．eq\f(5π,12)C[将函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(π,4)))的图象向右平移a(a＞0)个单位长度，可得y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－3a＋\f(π,4)))的图象，根据所得图象关于坐标原点对称，可得－3a＋eq\f(π,4)＝kπ，k∈Z，则a的最小值为eq\f(π,12)，故选C．]10．已知三棱锥A­BCD的四个顶点A、B、C、D都在半径为eq\r(3)的球O的表面上，AC⊥平面BCD，BD＝3，BC＝2，CD＝eq\r(5)，则该三棱锥的体积为()A．eq\f(\r(15),3) B．eq\f(2\r(15),3)C．eq\f(\r(15),6) D．eq\r(15)A[由题意，AC⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AC⊥BC，∵BD＝3，BC＝2，CD＝eq\r(5)，∴BC2＋CD2＝BD2，∴BC⊥CD，∵AC∩CD＝C，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，∴BC⊥平面ACD，∴三棱锥A­BCD可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，∴4R2＝AC2＋BC2＋CD2＝AC2＋4＋5＝12，∴AC＝eq\r(3)，∴该三棱锥的体积为：VA­BCD＝eq\f(1,3)×AC×S△BCD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝eq\f(\r(15),3).故选A．]11．已知函数f(x)＝eq\f(x4－tanx＋2,x4＋2)的最大值为M，最小值为m，则M＋m的值为()A．0 B．2C．4 D．6B[f(x)＝eq\f(x4－tanx＋2,x4＋2)＝eq\f(x4＋2,x4＋2)－eq\f(tanx,x4＋2)＝1－eq\f(tanx,x4＋2)，令g(x)＝－eq\f(tanx,x4＋2)，函数的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))，且g(－x)＝－eq\f(tan－x,－x4＋2)＝eq\f(tanx,x4＋2)，则g(x)为定义域中的奇函数，设其最大值为S，则有最小值为－S，∴f(x)的最大值M＝S＋1，最小值为m＝1－S，∴M＋m＝1＋S＋1－S＝2.故选B．]12．瑞典人科赫提出了著名的“雪花”曲线，这是一种分形曲线，它的分形过程是：从一个正三角形(如图①)开始，把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段，这样就得到一个六角形(如图②)，所得六角形共有12条边．再把每条边分成三等份，以各边的中间部分的长度为底边，分别向外作正三角形后，抹掉“底边”线段．反复进行这一分形，就会得到一个“雪花”样子的曲线，这样的曲线叫作科赫曲线或“雪花”曲线．已知点O是六角形的对称中心，A，B是六角形的两个顶点，动点P在六角形上(内部以及边界)．若eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))，则x＋y的取值范围是()图①图②A．[－3,3] B．[－4,4]C．[－5,5] D．[－6,6]C[设eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，求x＋y的最大值，只需考虑图中以O为起点，6个顶点分别为终点的向量即可，讨论如下：当点P在A处时，x＝1，y＝0，故x＋y＝1；当P在B处时，x＝0，y＝1，故x＋y＝1；当P在C处时，eq\o(OC,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AC,\s\up7(→))＝a＋2b，故x＋y＝3；当P在D处时，eq\o(OD,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(CD,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up7(→))＋eq\o(BC,\s\up7(→))＝2eq\o(OC,\s\up7(→))－eq\o(OB,\s\up7(→))＝2a＋3b，故x＋y＝5；当P在E处时，eq\o(OE,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AE,\s\up7(→))＝a＋b，故x＋y＝2；当P在F处时，eq\o(OF,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋eq\o(AF,\s\up7(→))＝a＋3b，故x＋y＝4.于是x＋y的最大值为5.根据对称性，可得x＋y的最小值为－5，故x＋y的取值范围是[－5,5]，故选C．]二、填空题：本题共4小题，满分20分，每小题5分．13．某校高二(4)班统计全班同学中午在食堂用餐时间，有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，则高二(4)班全体同学用餐平均用时为________分钟．7.5[因为有7人用时为6分钟，有14人用时为7分钟，有15人用时为8分钟，还有4人用时为10分钟，所以平均用时为eq\f(7×6＋14×7＋15×8＋4×10,7＋14＋15＋4)＝7.5.]14．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，直线x＝eq\f(a,2)与C交于A，B两点，若∠AFB＝120°，则椭圆C的离心率为________．eq\f(4,5)[如图，F可能在直线x＝eq\f(a,2)的左侧，也可能在x＝eq\f(a,2)的右侧，把x＝eq\f(a,2)代入椭圆方程，可得y2＝eq\f(3,4)b2，即|AB|＝2|y|＝eq\r(3)b，由∠AFB＝120°，得|AB|＝2eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c－\f(a,2)))·tan60°＝2eq\r(3)|c－eq\f(a,2)|，则eq\r(3)b＝2eq\r(3)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(c－\f(a,2)))，两边平方得4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－\f(a,2)))eq\s\up12(2)＝b2，又b2＝a2－c2，∴5c2＝4ac，得e＝eq\f(c,a)＝eq\f(4,5)