沪科版九年级数学重难点专项突破：相似三角形中的“手拉手”旋转模型（原卷版）

重难点专项突破09相似三角形中的“手拉手”旋转模型

O【知识梳理】

“手拉手”旋转型

模型展示：

如图，若则△ABOS/XACE.

例1、如图，。为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且/ABC=/DBE,/3=/4.求证:

⑴△ABDs^CBE；

(2)AABC^ADBE.

A

A

C

B21

E

例2.把两块全等的直角三角板ABC和DEB叠放在一起，使三角板。EF的锐角顶点D与三角板ABC的斜

边中点。重合，其中/4BC=NDEF=90。，ZC=ZF=45°,AB=DE=4,把三角板ABC固定不动，让

三角板O所绕点O旋转，设射线。E与射线AB相交于点尸，射线。尸与线段BC相交于点Q.

(1)如图1,当射线DF经过点2,即点。与点B重合时，易证AAPDsAc。。，则此时AP.CQ=

(2)将三角板。E尸由图1所示的位置绕点。沿逆时间方向旋转，设旋转角为其中0。＜夕＜90。，问

AP.CQ的值是否改变？请说明理由.

AAA

E.___P]_\D(0)\p(0)\p(0)

BQC

例3.如图，已知AABC和ADEF是两个全等的等腰直角三角形，且ZBAC=ZEDF=90°,ADEF的顶点

E与AASC的斜边BC的中点重合.将ADEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P,

线段EF与射线CA相交于点Q.

（1）如图1,当点。在线段AC上，且AP=A。时，求证：MPE/ACQE；

（2）如图2,当点。在线段CA的延长线上时，求证：ABPEsACEQ；并求当BP=a,CQ=^a时，P、

。两点间的距离（用含a的代数式表示）.

例4.在△ABC中，CA=CB,/ACB=a.点P是平面内不与点A,C重合的任意一点.连接AP,将线段

AP绕点P逆时针旋转a得到线段D尸，连接A。，BD,CP.

(1)观察猜想

如图1,当a=60。时,股的值是，直线3。与直线CP相交所成的较小角的度数是

CP

(2)类比探究

如图2,当a=90。时,请写出坨的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明

CP

理由.

(3)解决问题

当a=90。时，若点E,P分别是CA,的中点，点尸在直线EP上，请直接写出点C,P,。在同一直线

上时蚂_的值.

CP

图1

【过关检测】

一.选择题(共4小题)

1.（2020秋•霍邱县期末）如图，△ABCg^AOE且BC、OE交于点O,连接80、CE,则下列四个结论:

①BC=DE,®ZABC=ZADE,③/8A£）=NCAE,④BD=CE,其中一定成立的有（）

C.3个D.4个

（2023•合肥一模）已知：△ABC中，A。是中线，点E在上，且CE=C£>,ZBAD=ZACE.则感

2.

AC

的值为（）

D,3^5

Bc.与

342

3.（2022•瑶海区三模）如图，△ABC中，ZBAC=30°,ZACB=90°,且△ABCs△AFC,连接CC,

将CC'沿C'B'方向平移至E8,连接BE,若CC=遍，则BE的长为（）

c.aD.2

4.（2021秋•凤阳县期末）如图，点尸在△ABC的边AC上，若要判定△ABPSAACB,则下列添加的条件

不正确的是（）

c

A.ZABP=ZCB.ZAPB=ZABCC.空=胆D.胆=空.

ABACBPAB

二.填空题（共2小题）

5.（2020秋•蚌埠月考）如图，△ABC会△AOE且BC、DE交于点O,连接出入CE,则下列四个结论①BC

=DE-,②NABC=NADE；③NCAE；@BD=CE,其中一定成立的有.

6.（2022•安徽模拟）在数学探究活动中，小明进行了如下操作：如图，将两张等腰直角三角形纸片ABC和

CDE如图放置（其中NACB=NE=90°,AC=BC,CE=DE）.CD、CE分别与AB边相交于M、N两

点.请完成下列探究：

（1）若AC=2,则的值为；

（2）过M作MFUAC于R若£旦=❷，则空的值为

CM5AC

三.解答题（共6小题）

7.（2021•瑶海区校级开学）已知：如图，AABDS^ACE.求证：△DAEs^BAC.

D、

£

BC

8.如图，已知：==求证：AB・CE=AC・BD.

9.（2017秋•禹会区校级期中）如图，已知求证：

10.（2023•亳州二模）如图1,在△ABD和△ACE中，ZBAD=ZCAE，ZABD=Z

ACE.图1图2

(1)①求证:△ABCsAADE；

②若AB=AC,试判断△相＞£的形状,并说明理由;

(2)如图2,旋转△ADE,使点。落在边BC上，若/BAC=/D4E=90°，/B=/ADE.求证：CE

±BC.

11.(2021秋•当涂县校级期末)如图，RtZXABC中，ZACB=9O°,AC=BC,尸为△ABC内部一点，ZAPB

=ZBPC=135

(1)求证：△HBsAPBC；

(2)求证：AC=-^PC.

12.（2020•芜湖三模）（1）（问题发现）如图1,△ABC和△ADE均为等边三角形，点、B,D,E在同一条直

线上.填空：

①线段CE之间的数量关系为;

®ZBEC=°.

（2）（类比探究）如图2,ZVIBC和△ADE均为等腰直角三角形，ZACB=ZAED=90°,AC=BC,AE

=DE,点、B,D,E在同一条直线上，请判断线