弧度制课件 高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

引例

为什么？你还知道哪些量有不同的度量制？举例说明.高中数学·必修第一册·湘教版学习目标问题1.在平面几何中研究角的度量，当时是用“度”做单位来度量角的，1°的角是怎样定义的？最早的人们是怎样定义1°的角？复习回顾与所取的圆的半径大小有关吗？1°周角的叫做1度的角。问题2.在平面几何中，扇形的面积和弧长公式是什么？n°RlRlnπR180l=———nπR2360S=———复习回顾问题探究一

弧度制的定义新知探究

如图，半径为r的圆的圆心与原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B.圆心角α所对的弧AB长为l.分别在下列条件下计算

的值：（1）

（2）

（3）

（4）更一般的

呢？问题探究一

弧度制的定义新知探究【结论】可以发现，圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关．也就是说，这个比值随α的确定而唯一确定．这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角．当时计算这个比值只刻画大小不考虑旋转方向，根据前面所学知识，逆时针旋转形成正角、顺时针方向是负角，因此公式应改变一下。

这样我们就有，依次类推，，这样我们在度数和实数间建立了一一对应的关系，发现了衡量角度大小的另一种方式。那么这种度量角的方式是怎么样的？思考：这样定义合理吗，这个角会不会随着圆的半径变化而变化呢？新知探究问题探究一

弧度制的定义新知

弧度制的定义1.1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.记作1弧度

，或1rad，或1.若l=r，则∠AOB=lr=1弧度rl=rArO1弧度B2.弧度制：这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制..问题探究二

弧度数的计算新知探究

试结合右图填写表格，并思考已知弧长l与半径r，如何求出α的弧度数？弧AB的长OB旋转的方向∠AOB的弧度数

顺时针方向逆时针方向逆时针方向顺时针方向不旋转顺时针方向归纳角的弧度数的绝对值由计算得到，正负由角的终边的旋转方向决定。正角零角负角正实数0负实数角的集合实数集

角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集

之间就建立起一一对应关系：每个角都对应唯一的一个实数；反过来，每一个实数也都对应唯一的一个角.问题探究三弧度与角度的换算思考：既然弧度与度都是角的度量单位，那么它们之间如何换算？新知探究例1.（教材例3）利用单位圆，写出360o，180o，90o，1o的圆心角所对应的弧度数。一般地，只需根据

两边同除以180两边同除以π就可以进行角度和弧度的换算了．提醒：1.用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”二字通常省略不写，但用“度”（°）为单位不能省。不能“混和”使用。2.用弧度为单位表示角时，通常写成“多少π”的形式。如无特别要求，不用将π化成小数。精讲点拨例2.（教材例4）把下列各角从度转化为弧度：（1）120o；（2）25o30.例3.（教材例5）把下列各角从弧度转化为度：（1）rad；（2）5rad.精讲点拨例4.（教材例6）如图，设扇形的圆心角，半径为,弧长为，扇形面积为.（1）用与表示扇形的面积；（2）用与表示扇形的面积.精讲点拨角度制

弧度制

扇形面积

弧长弧度制建立之后简化了有关公式及运算.1.将下表中的角度和弧度互化：角度

弧度

角度

弧度

达标检测

2.求出下列条件中扇形的弧长与面积.

(1)扇形的圆心角是

，半径是8；

(2)扇形的圆心角是75°，半径是6.课堂小结弧度制角度制度量单位弧度(10进制)度(60制,1

=60＇,1′=60

)单位规定把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。周角的1/360叫做1度的角。弧长公式

换算关