河南省多校2024-2025学年高二（上）期中数学试卷（含答案）

河南省多校2024-2025学年高二(上)期中数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.曲线卷+3=1与曲线三+若=l(k<4)的()

A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等

2.已知数列｛an｝的通项公式为c1n=泳+6,且2和7是｛an｝中的两项，则6=()

A.-3B.-2C.1D.3

3.已知中心在原点的双曲线C的一条渐近线的斜率为2,且一个焦点的坐标为(0,回)，则C的方程为()

u,)

4设p为an+an+3=an+1+a„+2,q为”｛an｝是等差数列”，则p是4的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.若直线/:a久一by—4=0与圆。:/+/=4相离，则点P(a力)()

A.在圆。外B.在圆。内C.在圆。上D.位置不确定

6.设P为椭圆装+卷=1上一动点，Fi，F2分别为椭圆的左、右焦点，Q(T,0)，则四2|+IPQI的最小值

为()

A.8B.7C.6D.4

7.设等差数列｛总和也｝的前n项和分别为5.和T”若含=翟|，则言韩£=()

7924

A.gB.7C.岩D.2

34iz

8.已知F为抛物线E:久2=2py(p>0)的焦点，△ABC的三个顶点都在E上，且F为△力BC的重心.若

\FA\+|FB|的最大值为10,则p=()

A.1B.2C.3D.4

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.记等差数列｛an｝的前几项和为Sn，59=27,a2+a10=10,则()

A.cii——5B.S6=2C.Sn>S3D.S7=a7

10.已知直线的勺方程为ax—y—a=0,N(3,3),则下列结论正确的是()

A.点M不可能在直线，上

B,直线计亘过点(1,0)

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C.若点M,N到直线珀勺距离相等，贝M=2

D.直线/上恒存在点Q,满足丽•丽=0

11.如图，在三棱锥4-BCD中，BD1BC,AB_L平面BCD,AB=BC=BD=2,E,F,G,”分别为

AB,BD,BC,CD的中点，M是EF的中点，N是线段GH上的动点，贝lj()

A.存在a>0,b>0,使得前=。而+6旗

B,不存在点N,使得MN1EH

C.|而|的最小值为浮

D.异面直线力G与EF所成角的余弦值为争

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在空间直角坐标系。-%yz中，点P(a,0,2b-3)与QQ,0,b)关于原点0对称，则点Q的坐标为.

13.记数列｛an｝的前几项和为S”已知S九+i+S九t=2S九+2几(?122)且臼=1,a2=3,贝！)册=.

14.已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆

29

的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆。:a+方=l(a>b>0)及其

蒙日圆。，。的离心率为坐，点4B,C,。分别为蒙日圆。与坐标轴的交点，AB,BC,CD,2。分别与。

相切于点E,F,G,H,则四边形力BCD与四边形EFGH的面积的比值为.

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四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题12分)

设也„｝为递增的等差数列，其前几项和为Sn,已知的=6,且2s5=送.

(1)求的通项公式；

(2)求使Sn>3an成立的的最小值.

16.(本小题12分)

如图，在四棱锥P-4BCD中，四边形4BCD是矩形，PA=AB=2,AD=4,PB=2",PD=2衽，N

为CD的中点.

(1)证明：PA1BN;

(2)求直线与平面PBN所成角的正弦值.

17.(本小题12分)

已知F是抛物线C:y2=2px(0<p<3)的焦点，P(x°,4)是C上一点，且P在C的准线上的射影为Q,

\PQ\=5.

(I)求C的方程；

(2)过点P作斜率大于9的直线1与C交于另一点M,若△PFM的面积为3,求/的方程.

18.(本小题12分)

如图，在斜三棱柱ABC—AiBiCi中，平面44停停1平面4BC,△2BC是边长为2的等边三角形，

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C,。为AC的中点，且41。=2,。为4停的中点，E为AD的中点，丽而；

4

①设向量五为平面ABC的法向量，证明：EF-a=O;

(H)求点力到平面BCD的距离；

(III)求平面BCD与平面B1DC夹角的余弦值.

19.(本小题12分)

已知双曲线C*哙=1(口>°力〉。)的离心率为2,左、右焦点分别是％，F2,P是C的右支上一点，PF1

的中点为Q，且IQF1HQ0=1(。为坐标原点)，4是C的右顶点，M,N是C上两点(均与点4不重合).

①求C的方程；

(II)若M,N不关于坐标轴和原点对称，且MN的中点为H,证明：直线。H与直线MN的斜率之积为定值；

(III)若M,N不关于y轴对称，且AM1AN,证明：直线MN过定点.

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参考答案

1.D

2.B

3.0

4.C

5.B

6.B

7.4

8.D

9.ACD

1Q.ABD

11.BCD

12.（0,0,1）

13.n2—n+l,nEN*

14.1

15.⑴

设公差为d,d>0,

因为的=6,且2s5=送，

所以2x（5x6+^d）=（6+2d）2,解得d=2或4=—3（舍），

故斯=6+2（n-l）=2n+4；

⑵

由（1）可得，Sn=侨+2：+4）71=话+5n,

^Sn>3an,则?I?+5n>6n+12,解得n>4,

故九的最小值为5.

16.解：（1）证明：由P4=AB=2,AD=4,PB=2&，PD=2非,

可得PA?+AB2=PB2,PA2+AD2^PD2,

贝IJPA1AB,PA1AD,

又48CtAD=A,ABu平面力BCD,ADu平面48CD,

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所以P2J.平面48CD,

因为BNu平面2BCD,

所以PA1BN；

(2)以AB、AD,4P所在直线分别为工、y、z轴建立空间直角坐标系，如图:

则4(0,0,0),5(2,0,0),P(0,0,2),N(l,4,0),

屈=(2,0,0),=(2,0-2),丽=(1,4,一2),

设平面PBN的法向量为五=(x,y,z),

fn-P5=2x-2z=0

人"rrPN=%+4y—2z=O'

取y=1,可得x=z=4,则3=(4,1,4),

设直线4B与平面PBN所成角为仇

则sin。=|cos(拔用|=耳=产展=n％

11\AB\-\n\2xj3333

即直线4B与平面PBN所成角的正弦值为：堡I

17.解：(1)由题可知，抛物线C:y2=2px(0<p<3)的准线方程为久=—1

因为P(%o,4)在抛物线C上，|PQ|=5,

所以16=2p(5-$，解得p=2或p=8(舍)，故抛物线C的方程：y2=4x；

(2)由⑴,P(4,4),尸QO),

设直线［为y-4=k(x-4),且k>p

2

联立直线Z与抛物线y2=4x,有MN一4(2/—2k+l)x+16(fc-l)=0,

令点M的坐标为(x,y),

H6(2/c2-2fc+l)2-4fc2-16(/c-l)2>0

4(2/c2-2/c+1)

4(k-l)2

%+4=2

有k,解得x=-fc2-'

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故|PM|=，（4—x）2+（4—y）2=,1+的1|=|1+'2.4（2窿1）,

3k—4

点F到直线/的距离为d=再不冠，

所以的面积为S=~\PM\-d=我1+卜23（29）.卷*=2（2k弋31）=3,

解得k=2或卜=未舍），所以直线/的方程为2x-y-4=0.

18.①证明：连接BO,

因为A4i=4iC,。为AC的中点，

所以41。1AC,

因为平面4413。1平面2BC,平面44停停C平面ABC=AC,ArOu平面44停停,

所以41。1平面4BC,

因为8。u平面ABC,OCu平面48C,

所以4。1BO,&O1OC,

因为△4BC为等边三角形，所以B。1AC,

则OB、OC、&0两两垂直，

以点。为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系,

则4(0,—1,0),B(国0,0),C(0,l,0),

&(0,0,2),Ci(0,2,2),D(0,il),

由标=函=(0,1,2),可得当(4,1,2),

由E为AD的中点，BF=；BB],可得E(0,—],今,尸

则方=（居/。），

可知之〃西，而西=（0,0,2）,EF-OA^=0,

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则EF-a=0.

（II）解：屈=（居1,0）,丽=（展-1,0）,而=（避

设平面BCD的法向量为拓=（%i,yi,zD，

m-DB=-Vi-Zi=0

则，——>L2

[m-CB=71=0

令第1=2,则yi=2避，Z]=避，有=（2,2避），

则点4得到平面BCD的距离为d=与半=4；：黑1°孝=噌

H，22+（2W）+（73）19

（皿）解：函=（8,0,2）,CD=

设平面B1DC的法向量为B=（X2,y2,z2）,

（n-CB1=4%2+2Z2=0

则%=—^y2+Z2=0，

令Z2=淄，则％2=-2,丫2=2避，即£=（-2,24,避），

.—>一\m-n-4+12+3_______________11

则COS（a,力=而同=加+（2我2+（我2X』J2）2+（2⑶2+（我2=西，

故平面BCD与平面B1DC夹角的余弦值为吉.

19.解：（I）因为Q为PFi的中点，。为Fi&中点,

所以|PF2|=2|QO|,

所以IPF1I-IPF2I=2|QFj—2|QO|=2（|Q%HQO|）=2=2a,即a=1,

又e=（=2,贝!Jc=2,所以b=[c?一次=避,

2

所以双曲线的标准方程为白=1;

（H）设M（Xi,yi）,N（K2,y2）,H（Xo,y。），

因为M,N不关于坐标轴和原点对称，且MN的中点为H,

722

1-7-1=1

则3

22

2-732=T

|%卜

两式相减可得（右-犯）01+久2）=（力一吗乃+及）

（yi-y2）（yi+y2）_12

Hn丫一丫2y0

即（X1-X2）（X1+X2）_%1-%2,2%0_"