沪科版九年级数学上册期末复习 第22章 相似形易错训练与压轴训练（5易错+5压轴）

第二十二章相似形易错训练与压轴训练

01思维导图

目录

易错题型一忽视线段成比例的有序性............................................................I

易错题型二忽视等比性质的适用条件............................................................2

易错题型三运用平行线分线段成比例时找不准对应条件...........................................2

易错题型四运用相似判定定理时考虑不全........................................................2

易错题型五忽视位似的另一种位置关系..........................................................2

压轴题型一证明等积式.........................................................................6

压轴题型二证明等比式.........................................................................8

压轴题型三用相似三角形的性质求面积..........................................................9

压轴题型四用相似三角形解实际问题...........................................................H

压轴题型五用相似三角形解与函数的综合题.....................................................H

02易错题型

易错题型一忽视线段成比例的有序性

例1.（22-23九年级上•四川内江•阶段练习）已知三条线段的长为2cm,4cm,8cm,若添加一条线段能

使这四条线段成比例，则添加的线段可以是.

巩固训练

1.（23-24九年级上•辽宁丹东•阶段练习）四条线段a,b,c,d成比例，其中a=2cm,b=3cm,d=6cm,

则线段c的长为.

2.（24-25九年级上•全国•课后作业）已知三条线段的长分别是1cm,夜cm，2cm,若再添加一条线段，使

这四条线段是比例线段，则这条线段的长为.

3.（23-24八年级下•福建福州•期末）已知线段a,b,c,d是成比例线段，其中a=6,b=3,c=2,则d

的值是.

易错题型二忽视等比性质的适用条件

dCC

例2.（22-23九年级下•广东惠州•开学考试）如果工=:="=左（b+d+f力0）,且

bdf

a+c+e=3（b+d+f）.求k的值.

巩固训练

1.（22-23九年级•上海•假期作业）若手=等=牛=孙求山的值.

2.（22-23九年级上•广西贺州•期中）已知?=三=等=m且x+y+z4O,求人的值.

3.（22-23九年级上•江苏无锡•阶段练习）⑴已知H=2x+y^0,求3号的值.

已知出=空c+a

(2)=x,求X的值.

ca~

易错题型三运用平行线分线段成比例时找不准对应条件

例3.（24-25九年级上•全国•课后作业）如图，在△4BC中，点。在BC边上，连接AD,点E在AC边上，过点

E作EFIIBC,交4。于点F,过点E作EGIIAB,交BC于点G,则下列式子一定正确的是（）

AF_BGAE_EF

---D.-

FDGCECCD

CG_AFEFEG

----D.———

BGADCDAB

2

巩固训练

1.（23-24八年级下•上海青浦•期末）在△力BC中，点。、E分另IJ在边4B、力C上，下列比例式中能判定DE||BC

的是（）

BC_ABAC_ABAC_ABAC_BD

DE-ADCE~BDAD-AEAB-CE

2.（23-24九年级下•宁夏吴忠•阶段练习）如图，已知直线28||||EF,下列结论中不成立的是（）

.ACBDAC_CEAEBFAE_BD

A.—=—

CEDFBD-DFCEDFBF-AC

3.（23-24九年级上•上海松江•阶段练习）如图，已知Z8||||EF,那么下列结论成立的是（）

CDBCBE_AFAB_ADDFBE

EFBECE-DFCD~BC~AD~^C

易错题型四运用相似判定定理时考虑不全

例4.（2024・贵州贵阳•模拟预测）如图，4。与相交于点O,要使△AOB与△。。。相似，可添加的一个

条件是（）

——iB

A.Z.A=Z.DB.Z.A=乙BC."D.乙AOB=CDOC

3

巩固训练

1.（24-25九年级上•全国•单元测试）下列各条件中，能判断△ABCs△4'B'C'的是（）

A.AB=3ABfZ.A=Z.A

ABBC

B.-;~r=-r-r,NB=NB'

ABAC

C.些=%乙4+NC=”+

BCBC

D.LA=40°,乙B=80°,/LA=80°,乙B'=70°

2.（2024九年级下•浙江・专题练习）如图，在△ABC纸片中，zC=90%BC=5,AC=7,将该纸片沿虚

线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

C.

3.（23-24九年级•广东揭阳.期末）如图，在中，点。、E分别在边ZC上，DE||BC,乙4CD=乙B,

那么下列判断中，不正确的是（）

A.AADE-AABCB.ACDEBCD

C.AADE-AACDD.AADE〜八DBC

4

易错题型五忽视位似的另一种位置关系

例5.(22-23九年级上•湖南娄底•期末)在平面直角坐标系中，已知点E(-4,2),F(-2,-2),以原点。为位

似中心，相似比为：，把△EFO缩小，则点£的对应点E’的坐标是()

A.(-2,1)B.(-8,4)

C.(—8,4)或(8,-4)D.(一2,1)或(2,—1)

巩固训练

1.(22-23九年级上•全国•单元测试)己知△力BC在平面直角坐标系中，点力，B,C的坐标分别为(0,3),(3,4),

(2,2).若以点C为位似中心，在平面直角坐标系内画出△力'8'C,使得△a'B'C与△ABC位似，且位似比为2:1,

则点8'的坐标为()

A.(一2,4)或(0,-2)B.(6,0)或(4,6)

C.(一2,4)或(6,0)D.(4,6)或(0,-2)

2.(23-24九年级上•四川达州•期末)在平面直角坐标系中，已知点矶-4,2),尸(—2,—2).若42E尸与△OEF

关于点。位似，且SA0EF：SMER=4：1,则点E'的坐标为()

A.(2-1)B.(8,-4)

C.(8,-4)或(一8,4)D.(2,-1)或(-2,1)

3.(23-24九年级上•湖南郴州•期中)如图,平面直角坐标系中，点力(一2,0),B(0,l),C(-3,2),以原点。

为位似中心，把△4BC缩小为且△4'B'C'与△ABC的相似比为1:2,则点C的对应点C'的坐标为()

5

%

A.(-1.5,1)B.(一1.5,1)或(1.5,-1)

C.(-6,4)D.(—6,4)或(6,—4)

03压轴题型

压轴题型一证明等积式

例1.（2024•福建泉州•模拟预测）如图，在边长为3的菱形4BCD中，^BAD=60°,点E在边力B上，点F

在8。的延长线上，BE=DF,与4。相交于点G,连接CE,CF.

(1)求证：4EBC三/^FDC.

(2)求证：DF2=DC•DG.

巩固训练

（23-24九年级上•安徽六安•期末）已知：如图,在RWIBC中，Z.BAC=90°,AD1BC^D,E为直角边

AC的中点，过。，E作直线交力B的延长线于F.

6

F

(1)若力B=6,AC=8,求BD长;

(2)求证：AB»AF=AC»DF.

2.(2024・安徽合肥•模拟预测)如图，在四边形A8CD中，AB||CD,N£MB=90。，。是BD的中点，4。的延

长线交BC于点E,ACBD=ABAE.

⑴求证：BC=DC；

(2)若力E1BC,求证：BD2=4CD-BE.

3.(2024•安徽合肥•三模)如图1,△力BC中，乙4cB=90°,CB=C4点。是4C上一点，连接B。，过C作,

CEIBD^BD^F,交AB于£

(2)当。为力C边的中点时，求力的值；

(3)如图2,点P是力B中点，若CF=2,PF=20,求DF.

7

压轴题型二证明等比式

例2.（2024九年级下•安徽・专题练习）如图1,已知△4BC,。是BC上一点，EF||BC交力B于点E,交AC

于点F,连接力。，AD与EF交于G.

巩固训练

1.（23-24九年级上•安徽•单元测试）已知：如图1,在△ABC中，AB=AC,NB/C=60。，点。在线段BC

上，连接4。，作线段AD的垂直平分线分别交4B、4C于点£、F.

⑵把4/C=60。改为NB4C=90。，其它条件不变，如图2,求证：*=筹

2.（23-24九年级上•安徽合肥•期末）如图，己知△力BC中，。为AC上一点，E为CB延长线上一点，BE=AD,

ED和AB相交于点F，求证：EF-.FD=AC-BC

8

3.（23-24九年级上•安徽合肥・期末）如图，在△A8C中，点。，E分别在边AC,AB上，ED、CB的延长线

相交于点F.

(1)如图1,若乙FBD=4FEC,BF=4,FD=5,FE=8,求FC的长;

(2)如图2,若BD=CE,求证w=芸.

压轴题型三用相似三角形的性质求面积

例3.（2024•安徽合肥•二模）如图，四边形2BCD中，对角线AC、8。交于点尸，AB1AC,垂足为4,过。

作DE_L力C于£,并延长交BC于点R连接BE,^AB=DE,^ABE=AACD.

（1）求证：四边形ABED是平行四边形；

（2）若/。=5,Z）E=3时，①求EF的长；②求ABEF的面积.

巩固训练

1.（2024九年级下・河南•学业考试）如图，在RtA4BC中，NC=90。以点/为圆心，以任意长为半径作

弧，分别交力B,4C于点M,N,再分别以点M,N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点P,

作射线4P,交BC于点D,过点D作DE||交AC于点E,DF||4C交48于点F.

9

A/

⑴求证：四边形4EDF为菱形;

(2)当月B=10,BC=6时，求菱形AEDF的周长和面积.

2.(2024・贵州毕节・三模)如图，已知四边形4BCD是正方形，G是BC上一点，连接AG,过点。作DE_L4G

于点E,过点2作BFL力G于点?

(1)【问题发现】如图1,根据给出的条件，你发现DE,BF,E尸之间的数量关系是

(2)【问题探究】如图2,当点G在CB的延长线上时，其他条件不变，探究DE,BF,EF之间的数量关系,

并写出证明过程;

(3)【迁移应用】如图3,尸是矩形力BCD内一点，AP=5,SAABP=10,SAADP=7.5,AB-AD=2:3,求矩

形4BCD的面积.

3.(24-25九年级上•吉林长春•开学考试)【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第78页的部分内

容.

如图，在△ABC中，D、E分别是边BC、48的中点，AD.CE相交于点G.

10

（1）请根据教材提示，结合图①，写出完整的证明过程；

【结论应用】

（2）如图②，在△ABC中，点。、F分别是边48的中点，AD,CF相交于点G,GE||4C交BC于点E,

贝噂=______；

DC

（3）如图③，在△ABC中，D、E分别是边BC、4B的中点，过点G的直线分别交力B、4C于点M、N,若=

10,AM=6,四边形CDGN的面积为5,则S^BC=.

压轴题型四用相似三角形解实际问题

例4.（23-24九年级上•安徽安庆•阶段练习）如图，晓波拿着一根笔直的小棍BC,站在距某建筑物约30米

的点N处（即EN=30米），把手臂向前伸直且让小棍BC竖直，BC||DE,晓波看到点8和建筑物顶端。在

一条直线上，点C和底端E在一条直线上.已知晓波的臂长CM约为60厘米，小棍BC的长为24厘米，4V1EN,

CMLAN,DE1EN.求这个建筑物的高度DE.

巩固训练

1.（23-24九年级上•安徽合肥・期中）《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法.如图,

在井口4处立一根垂直于井口的木杆2B,从木杆的顶端8观察井水水岸D,视线BD与井口的直径力。交于

点E,如果测得=1米，4c=1.6米，4E=0.4米，求CD的长.

11

B

2.（23-24九年级上•安徽安庆・期中）用手举一根标尺，让标尺与地面垂直，调整人与旗杆的距离或人与标

尺的距离，使标尺刚好挡住旗杆，此方法可测量旗杆的高度.若人与标尺EF的水平距离CG=20cm,人与

旗杆4B的水平距离CH=12.6m,标尺的长度=22cm，根据测量结果，试求旗杆的高度.

3.（2023九年级下•全国•专题练习）如图，阳阳要测量一座钟塔的高度CD,他在与钟塔底端处在同水平面

上的地面放置一面镜子，并在镜子上做一个标记E,当他站在离镜子E处1.4m的B处时，看到钟塔的顶端在

镜子中的像与标记E重合.已知B,E,D在同直线上，阳阳的眼睛离地面的高度4B=1.6m,D£=14.7m,

求钟塔的高度CD.

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压轴题型五用相似三角形解与函数的综合题

例5.⑵-24九年级上•安徽六安・期末)如图，已知抛物线y=ax2-2ax-3(a丰0)与久轴交于点力，B(点

A在B的左侧)，与y轴交于点C,△力BC的面积为6.

(1)求抛物线的表达式；

(2)过。(-2,0)的直线I交线段于点M,1与抛物线右侧的交点为N,求益MN的最大值.

巩固训练

1.(2024•安徽合肥・模拟预测)如图，二次函数的图象交x轴于点4(-1,0),8(4,0),交y轴于点C(0,2),连

接AC,BC,点尸是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作直线PDII力C,交BC于点D.

(1)求二次函数的表达式；

(2)当。点为线段BC的中点时，求点P的坐标；

(3)求线段PD的最大值.

2.(23-24九年级下•安徽六安•阶段练习)如图1,抛物线了=。尤2+云+3与x轴相交于点力(-1,0)、B,对称

轴是直线x=1,点M是抛物线的顶点，直线4M与y轴交于点D.

13

(1)求此抛物线的解析式；

(2)若点N是x轴上一动点，分别连接MN,DN,求MN+DN的最小值；

(3)点P是直线BC上方抛物线上一点，连接4P交8C于点E,若胃=；,如图2,求点P的坐标.

AL.4

3.(2024・安徽亳州•二模)在平面直角坐标系中，抛物线y=/-2x-3交x轴于力，B两点(点/在点2

(1)求点4,8的坐标;

(2)如图1,若在x轴上方的抛物线上存在一点D,使得N4CD=45。，求点。的坐标;

(3)如图2,平面上一点E(3,2),过点E作任意一条直线交抛物线于P、Q两点，连接AP、AQ,分别交y轴于M、

N两点，贝UOM与。N的积是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

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第二十二章相似形易错训练与压轴训练

01思维导图

目录

易错题型一忽视线段成比例的有序性............................................................I

易错题型二忽视等比性质的适用条件............................................................2

易错题型三运用平行线分线段成比例时找不准对应条件...........................................2

易错题型四运用相似判定定理时考虑不全........................................................2

易错题型五忽视位似的另一种位置关系..........................................................2

压轴题型一证明等积式.........................................................................6

压轴题型二证明等比式.........................................................................8

压轴题型三用相似三角形的性质求面积..........................................................9

压轴题型四用相似三角形解实际问题...........................................................H

压轴题型五用相似三角形解与函数的综合题.....................................................H

02易错题型

易错题型一忽视线段成比例的有序性

例1.（22-23九年级上•四川内江•阶段练习）已知三条线段的长为2cm,4cm,8cm,若添加一条线段能

使这四条线段成比例，则添加的线段可以是.

【答案】16cm或4cm或1cm.

【分析】根据四条线段成比例可得2:4=8：d、4:8=2:d、8:2=4：d,分别求出"即可得.

【详解】解:根据题意，得：

当2:4=8:1时，解得:d=16；

当4:8=2:1时，解得:d=4；

当8:2=4:d时，解得："=1；

故答案为：为16cm或4cm或1cm.

【点睛】本题考查比例线段，解题的关键是找出所有成比例的情况分别求解.

巩固训练

1.（23-24九年级上•辽宁丹东•阶段练习）四条线段a,b,c,d成比例，其中a=2cm,b-3cm,d-6cm,

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则线段C的长为.

【答案】4cm

【分析】本题考查了比例线段的定义.由四条线段0、6、c、d成比例，根据比例线段的定义，即可求解.

【详解】解：,:四条线段a,b,c,d成比例，a=2cm,b-3cm,d-6cm,

•,■2:3=c:6

解得：c=4cm

故答案为：4cm.

2.（24-25九年级上•全国•课后作业）已知三条线段的长分别是1cm,0cm，2cm,若再添加一条线段，使

这四条线段是比例线段，则这条线段的长为.

［答案】曰cm或V2cm或2近cm

【分析】本题考查了成比例线段，掌握成比例线段的定义是解题的关键.

设添加的线段的长度为x,然后根据成比例线段分类讨论即可求解.

【详解】解：设添加的线段的长度为xcm,

①当％时，冲苧时，解得％=今

②当1V%工/时，工=在，解得汽=V2,

x2

经检验，％=遮是该分式方程的解；

③当/<久32时，=p解得x=&（舍去）；

④当x>2时，爰=：时，解得％=2鱼，

经检验，x=2&是该分式方程的解.

综上，所添线段的长度可为孝cm或缶m或2夜cm.

故答案为：苧cm或V2cm或2acm

3.（23-24八年级下•福建福州•期末）已知线段a,b,c,d是成比例线段，其中a=6,b=3,c=2,则d

的值是.

【答案】1

【分析】本题主要考查了比例线段,熟练掌握比例线段的性质是解题的关键.根据比例线段的定义得到a：b=

c-.d,即可得到答案.

【详解】解：由于线段a,b,c,d是成比例线段，

16

故a:b=c\d,

即6:3=2:d

解得d=1

故答案为：1.

易错题型二忽视等比性质的适用条件

ace

例2.(22-23九年级下•广东惠州•开学考试)如果工=7=+d+0),且

bdf

a+c+e=3(b+d+/).求k的值.

【答案】3

【分析】根据比例的性质求得a=bk,c=dk,e=fk,代入a+c+e=3(b+d+/),即可求解.

【详解】解：*=,=，=k，

•••a=bk,c=dkfe=fk,

•・,a+c+e=3(b+d+/).

・•.bk+dk+fk=3(b+d+f),

•••fc=3.

【点睛】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题的关键.

巩固训练

1.(22-23九年级•上海•假期作业)若亨=手=手=小，求血的值.

【答案】6或一3

【分析】分两种情况：当％+y+zW0时，当％+y+z=0时，分别求出冽的值即可.

【详解】解：当久+y+zH0时，

根据比例的等比性可得：

巾=3%+3y+3y+3z+3z+3,二

z+x+y

当％+y+z=0时，可得％+y=-z,

3(x+y)-3z

.,.m=———=——=-3o.

zz

【点睛】本题主要考查比例的等比性质，但需要注意对式子用等比性时一定要注意根据分母是否为0进行

分类讨论.

17

2.（22-23九年级上•广西贺州•期中）已知?=三=等=m且久+y+z40,求发的值.

【答案】2

【分析】根据比例的性质直接求解即可.

【详解】解：由平=三=等=m且x+y+z力0,

彳曰k=%+y+%+z+y+z_2

灯x+y+z

【点睛】本题考查了比例的性质，掌握等比性质是解题关键.

3.（22-23九年级上•江苏无锡•阶段练习）⑴已知2x+y^0,求啜真的值.

（2）已知生=把=等=刈求％的值.

cab

【答案】(1)-y；(2)x=-1或x=2

【分析】（1）设3=§=|=卜，将小Az都用后表示，再将其代入与岩即可解答;

（2）根据比例得基本性质可得a+b=ex,b+c=ax,c+a=bx9联立相加后进行分类讨论即可.

【详解】解⑴设［=,=.=历

则％=2/c,y=3k,z=5fc,

%+y-3z_2k+3k-l5k_-10k__10

2x+y~4k+3k_7k~7,

/c、a+bb+cc+a

(2)V——=——=—■=X,

cab

••・a+b=ex,b+c=ax,c+a=bx,

a+b=ex

联立得：b+c=ax,

c+a=b%

.*.2(a+b+c)=x(a+b+c)

当a+b+c=0时，a+fe=—c,x=—1

当a+b+cWO时，x=2

..%=—1或汽=2.

【点睛】本题主要考查了比例得基本性质，解题的关键是熟练掌握比例的各个基本性质：内项之积等于外

项之积，合比性质，分比性质以及等比性质.

易错题型三运用平行线分线段成比例时找不准对应条件

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例3.（24-25九年级上•全国•课后作业）如图，在△ABC中，点。在BC边上，连接2D,点E在力C边上，过点

E^EF||BC,交4。于点凡过点E作EG||48,交BC于点G,则下列式子一定正确的是（）

BDGC

AF_BGAE_EF

A•而=痴B.访=而

CGAFEFEG

C-----=------D———

BGAD.CDAB

【答案】A

【分析】本题考查由平行判断成比例的线段，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理：两条直线被一

组平行线所截，所得的对应线段成比例..据此解答即可.

【详解】解：・.・EF||BC,

AF_AE

FD-EC9

-EG||AB,

AE_BG

EC-GC9

AF_BG

FD-GC

故选：A.

巩固训练

1.（23-24八年级下•上海青浦・期末）在△ABC中，点。、E分另I」在边上，下列比例式中能判定DEIIBC

的是（）

ABCABACAB-ACAB一ACBD

A.­=—B.—=—C.—=—D.—=—

DEADCEBDADAEABCE

【答案】B

【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理逐项判断即可.

【详解】解：如图：

19

A、喘=舸，不能判定DEIIBC,故不符合题意;

B、除a能判定DEIIBC,故符合题意;

C、当标妙寸，不能判定OEIIBC,故不符合题意;

D、院哈时，不能判定OEIIBC,故不符合题意;

故选：B.

2.（23-24九年级下•宁夏吴忠•阶段练习）如图，已知直线4B||CD||EF,下列结论中不成立的是（）

AEBFAE_BD

CE~DFBF-AC

【答案】D

【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟练掌握两直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比

例是解题的关键.根据平行线分线段成比例即可进行解答.

【详解】解：-AB||CD||EF,

.AC_BDAE_BF

••苍一而，CE一DF'

.ACCE

•.—=—«

BDDF

・•・选项A、B、C正确，不符合题意，

故选：D.

3.（23-24九年级上•上海松江•阶段练习）如图，已知||CD||EF,那么下列结论成立的是（）

20

AB_ADDFBE

C.CD-BC~AD~^C

【答案】B

【分析】本题考查平行线分线段成比例,熟练掌握平行线分线段成比例是解题关键.根据平行线分线段成

比例即可解答.

【详解】解：vAB||CD||EF,

.BEAF

•.———,

CEDF

故A,C,D不正确,

故选：B.

易错题型四运用相似判定定理时考虑不全

例4.（2024・贵州贵阳•模拟预测）如图，4。与BC相交于点O,要使△与△DOC相似，可添加的一个

条件是（）

A.Z-A=Z.DB.Z-A—Z-BC.Z.C=乙DD.Z.AOB—Z-DOC

【答案】A

【分析】本题考查相似三角形的判定.根据相似三角形的判定方法，进行判断即可.

【详解】解:^AOB=Z.DOC（对顶角相等），

A、当乙4=4。时，则△4。8与△DOC相似，符合题意；

B、当=时，无法证明△40B与△DOC相似，不符合题意；

c、当=时，无法证明aaoB与△DOC相似，不符合题意；

D、AAOB=Z.DOC,无法证明△力。B与△DOC相似，不符合题意；

21

故选：A.

巩固训练

1.（24-25九年级上•全国・单元测试）下列各条件中，能判断△ABC-△a'B'c'的是（）

A.AB=3AB,Z.A—Z.A

ABBC

B.-；~7=-r-7,Z.B=/B'

AB4c

C.—=^X,N4+NC="+NC'

BCBC

D.乙4=40°,ZS=80°,AA=80°,乙B'=70°

【答案】C

【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件：两角对应相等的两

个三角形相似：两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似；根据相似三角形的判定条件对各选项

进行分析即可.

【详解】A、AB-3AB,,乙4=乙4',只有一角一边，不能判断两个三角形相似，故A不符合题意；

B、空7=骼,4B=4B',NB'不是力耳与力'C’的夹角，不能判断两个三角形相似，故B不符合题意；

C、由4力+乙。=乙4'+4。'可得43=/3',再由丝=%得若=襄，利用两组对应边成比例且其夹角相等

BCBCABBC

的两个三角形相似，可判断△ABCsa/B'C',故C符合题意；

D、由4力=40。，NB=80。得NC=70。，则NB=44'=80。,/C==70。得△力BC“△4耳。’，故D不符

合题意；

故选：C.

2.（2024九年级下•浙江・专题练习）如图，在△4BC纸片中，zC-90%BC=5,4C=7,将该纸片沿虚

线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）

22

【答案】D

【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由CD1于点D,得乙WC=90°,则ZADC=ZACB,而=乙4,

即可证明△4CD“△ABC,可判断/不符合题意；由EF1.4C,得乙4FE=ZC,则EF||BC,可证明aAEF八

HeGC1

ABC,可判断5不符合题意；由BC=5,ZC=7,HC=25GC=3.5,得一=——二—,而/GC"=乙4。8,

BCAC2

Lc2KC3

可证明△GHC〜△ZBC,可判断。不符合题意；由BC=5,ZC=7,LC=2,KC=3,得一=一，—

BC5AC7

则空片空，而NKCL=N力CB，所以与△力BC不相似，可判断。符合题意，于是得到问题的答案•

【详解】解：如图1,

B

,:CD1AC于点D,

：./-ADC=90°,

'.^ACB=90°,

・•.ZADC=ZACBf

=乙4,

.-.AACD-AABC,

故4不符合题意；

如图2,

B

图2

23

-EF1AC,

：.Z.AFE=90°,

vzC=90°,

'-Z-AFE=Z-C,

・•・"IIBC,

.-.AAEF-AABC,

故5不符合题意；

如图3,

B

-BC=S,AC=7,HC=2.5,GC=3.5,

HC_2.5_1GC_3.5_1

,5C-?~AC~^T~2,

HC_GC

,•旅一就‘

-Z.GCH=乙ACB,

.*.△GHC-AABC,

故。不符合题意；

如图4,

B

-BC=5,AC=7,LC=2,KC=3,

LC_2KC_3

5?'AC~1"

-L-C--w--R-C-,

BCAC

24

假设△KLC〜AABC,

"KCL=Z.ACB,

•,•~~~=——■＞与已知条件不付，

ZsCAC.

.•.△KLC与△ABC不相似，

故。符合题意，

故选：D.

3.（23-24九年级•广东揭阳•期末）如图，在△力BC中，点£＞、E分别在边48、力。上，DE||BC,乙4CD=NB,

那么下列判断中，不正确的是（）

A.AADE-AABCB.△CDEBCD

C.AADE-/\ACDD.^ADEDBC

【答案】D

【详解】解：丫点。、E分别在边48、4C上,DE||BC,

:.AADEMABC,故A正确;

■■DE||BC,

ZBCD=ZEDC,

,■•Z.ACD=乙B,

CDE“△BCD,故B正确；

,''Z.ACD=Z.B,Z.A=Z.A,

.-.AACD-AABC,

.■.AADE-AACD,故C正确；

△^。^^△。^^■不一定相似，故D不正确；

故选：D.

易错题型五忽视位似的另一种位置关系

例5.（22-23九年级上•湖南娄底•期末）在平面直角坐标系中，已知点E（-4,2）,F（-2,-2）,以原点。为位

似中心，相似比为：，把△EFO缩小，则点£的对应点E’的坐标是（）

25

A.(-2,1)B.(-8,4)

C.(一8,4)或(8,-4)D.(一2,1)或(2,-1)

【答案】D

【详解】解：阻-4,2）,且相似比为最

'''E的坐标为（—4xi,2x或卜4x（―［）,2x（—；）］,

即：点E'的坐标是（一2,1）或（2,—1）；

故选D.

巩固训练

1.（22-23九年级上•全国・单元测试）已知△ABC在平面直角坐标系中，点4B,C的坐标分别为（0,3）,（3,4）,

（2,2）.若以点C为位似中心，在平面直角坐标系内画出△4'B'C,使得△a'8'C与△ABC位似，且位似比为2:1,

则点B'的坐标为（）

A.(-2,4)或(0,一2)B.(6,0)或(4,6)

C.(-2,4)或(6,0)D.(4,6)或(0,-2)

【答案】D

【详解】解：根据位似的定义和相似比2:1,结合网格图，作出位似图形，如图所示，可以得出点B'的坐标

为（4,6）或（0,-2）,

2.⑵-24九年级上•四川达州•期末）在平面直角坐标系中，已知点以-4,2）,F（-2,-2）.若aOE尸与△OEF

关于点。位似，且SAOEF：S^OEF'=4：1,则点E'的坐标为（）

26

z

A.（2,-1）B.（8,—4）

C.（8,—4）或（-8,4）D.（2,-1）或（一2,1）

【答案】D

【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，根据位似变换得到△OEF”△。百户是

解题的关键.

根据△OEF与△。百/关于点。位似，得到△OEF”。百百，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求

出相似比，根据位似变换的性质解答即可.

【详解】解：••・△OEF与△。百户关于点0位似，

OEFOE'F',

'•^/\OEF-^AOEF=4：1,

:OER的相似比为2:1,

•••点E的坐标为(12),

.・•点E'的坐标为(一4x?,2x{)或卜4x(—g),2x(—3),,即(―2,1)或(2,-1),

故选：D.

3.（23-24九年级上•湖南郴州•期中）如图，平面直角坐标系中，点力（一2,0）,。（一3,2）,以原点。

为位似中心，把△力BC缩小为△4‘B'C',且△力‘B'C'与△ABC的相似比为1:2,则点C的对应点C’的坐标为（）

A.(-1.5,1)B.(-1.5,1)或(1.5,-1)

C.(-6,4)D.(一6,4)或(6,—4)

【答案】B

【分析】本题主要考查了求位似图形的坐标，先根据题意可知有两种情况：在原点的同侧或原点的异侧,

27

再根据将图形按照2:1缩小就是对应点的坐标分别乘以:即可得出答案.

【详解】解：当位似图形在原点同侧时，△力耳。'和△ABC的相似比是1:2,点C(—3,2),

.♦.点C'(一1.5,1)；

当位似图形在原点异侧时，△A'B'C'和△4BC的相似比是1:2,点C(-3,2),

.♦.点C'(1.5,-1).

所以点C'的坐标是(一1.5,1)或(1.5,—1).

故选：B.

03压轴题型

压轴题型一证明等积式

例1.(2024・福建泉州•模拟预测)如图，在边长为3的菱形力BCD中，NB4D=60。，点E在边力B上，点F

在BD的延长线上，BE=DF,EF与力。相交于点G,连接CE,CF.

⑴求证：AEBC=AFDC.

(2)求证：DF2=DCDG.

【答案】(1)见解析

(2)见解析

(3粤

【分析】(1)判断出NCBE=NCOF=120。，即可得出结论；

(2)先判断出△CEF是等边三角形，得出ZECF=6O。，进而用等式的性质得出/DFG=NDCF,即可得出

结论；

【详解】(1)证明：在菱形A8CD中，NB4D=60。，

28

/.BC=DC,AEBC=180°-ABAD=120°=ZADC,Z.ADB=Z.CDB=60°,△CB。为等边三角形,

・••乙BDC=60°,

:.ZCDF=120°=ZCBE,

BE—DF,

EBCFDC{SAS}

(2)证明：由(1)知，△BCE=ADCF,

•••Z-BCE=乙DCF,

ZECF=NDCE+/DCF=ZDCE+/BCE=/BCD=60°,

-：CE=CF,

.-.ACEF是等边三角形，

/.NCFE=60°,

/.ZDFG+ZCFD=60°,

NDCF+NCFD=60°,

z.ZBFG=NDCF,

ZFDG=ZCDF=120o,

DFG-ADCF,

.DFDG

••-，

DCDF

DF2=DC