古典概率及概率的基本性质-2025年高中数学一轮复习

第05讲古典概率及概率的基本性质

（6类核心考点精讲精练）

IN.考情探究

1.5年真题考点分布

5年考情

考题示例考点分析关联考点

求离散型随机变量的均值

2024年新I卷，第14题,5分计算古典概型问题的概率

均值的性质

利用对立事件的概率公式求独立事件的乘法公式

2024年新H卷,第18题,17分

概率求离散型随机变量的均值

利用互斥事件的概率公式求独立事件的乘法公式

2023年新n卷，第12题,5分

概率独立重复试验的概率问题

2022年新I卷，第5题,5分计算古典概型问题的概率实际问题中的组合计数问题

频率分布直方图的实际应用

利用对立事件的概率公式求

2022年新H卷,第19题,12分由频率分布直方图估计平均数

概率

计算条件概率

2022年全国甲卷（理），

计算古典概型问题的概率组合计数问题

第15题,5分

2022年全国乙卷（理），利用互斥事件的概率公式求

独立事件的乘法公式

第10题,5分概率

2022年全国乙卷（理），

计算古典概型问题的概率实际问题中的组合计数问题

第13题,5分

2021年全国甲卷（理），

计算古典概型问题的概率不相邻排列问题

第10题,5分

2.命题规律及备考策略

【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较低或中等，分值为5分

【备考策略】1.理解、掌握古典概型的定义，并会相关计算

2.理解并掌握概率的基本性质

3.会计算互斥事件及对立事件的概率

【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，一般考查古典概型的概率计算及互斥、对立事件的辨析及

1

计算，需强化训练

I1考点梳理

考点5利用互斥事件概率公式求概率

考点6利用对立事件的概奉公式求概率

知识讲解

1.古典概型特点

(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性.

(2)每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性.

2.古典概型概率公式

包含的基本事件的个数=心

)一基本事件的总数—

求古典概型概率的步骤

(1)判断试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件/；

(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件/中所包含的基本事件个数m；

(3)利用公式尸(/)=世，求出事件/的概率.

n

3.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：OWP(/)W1.

(2)必然事件的概率尸(£)=1.

(3)不可能事件的概率P(F)=O.

(4)互斥事件概率的加法公式

①如果事件A与事件B互斥，则尸(NU3)=P(N)+尸(3).

②若事件B与事件A互为对立事件，则P(A)=1—P(B).

2

概率加法公式的推广

当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即

P(/1U/2U…U4,)=尸(/1)+尸(/2)H-----

4.判断互斥、对立事件的两种方法

(1)定义法

判断互斥事件、对立事件一般用定义判断，不可能同时发生的两个事件为互斥事件；两个事件，若有且仅

有一个发生，则这两事件为对立事件，对立事件一定是互斥事件.

(2)集合法

①若各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥.

②事件/的对立事件/所含的结果组成的集合，是全集中由事件/所含的结果组成的集合的补集.

考点一、古典概型的概率计算

典例引领

1.(2024・全国•高考真题)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是()

A112

A。4B.C.一D.-

323

【答案】B

【分析】解法一:画出树状图,结合古典概型概率公式即可求解.

解法二：分类讨论甲乙的位置,结合得到符合条件的情况，然后根据古典概型计算公式进行求解.

【详解】解法一：画出树状图，如图,

丙丁乙丁乙丙丙丁甲丁甲丙

丁丙丁乙丙乙丁丙丁甲丙甲

丙

乙丁甲丁甲乙乙丙甲丙甲乙

丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲

由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法,

其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种,

3

Q1

故所求概率尸=三=9

243

解法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；

当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种；

于是甲排在排尾共4种方法，同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意；

基本事件总数显然是A：=24,

Q1

根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为白=9

243

故选：B

2.(2023•全国•高考真题)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作

文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为()

5211

A.-B.-C.—D.一

6323

【答案】A

【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古

典概率求解作答.

【详解】用1,2,3,4,5,6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：

乙甲123456

1(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)

2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)

3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)

4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)

5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)

6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)

共有36个不同结果，它们等可能，

其中甲乙抽到相同结果有(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)，共6个，

305

因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率P=S=g

366

故选：A

3.(2023・全国•高考真题)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名.从这4名学生中随机选2

名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为()

1112

A.—B.-C.—D.一

6323

【答案】D

4

【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.

【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有C：=6件,

其中这2名学生来自不同年级的基本事件有C；C；=4,

42

所以这2名学生来自不同年级的概率为2=4.

63

故选：D.

.即_时__检__测___

1.（2022・全国•统考高考真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概

率为.

3

【答案】1/0.3

【分析】根据古典概型计算即可

【详解】解法一：设这5名同学分别为甲，乙，1,2,3,从5名同学中随机选3名，

有：（甲，乙，1）,（甲，乙，2）,（甲，乙，3）,（甲，1,2）,（甲，1,3）,（甲，2,3）,（乙，1,2）,（乙，1,

3）,（乙，2,3）,（1,2,3）,共10种选法；

3

其中，甲、乙都入选的选法有3种，故所求概率尸=石.

3

故答案为：—.

解法二：从5名同学中随机选3名的方法数为C；=10

甲、乙都入选的方法数为C；=3,所以甲、乙都入选的概率尸=正

3

故答案为：—

2.（2021•全国•统考高考真题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

1224

A.—B.-C.-D.一

3535

【答案】C

【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有C；=5种排法，若2个。不相邻，则有C；=10种排法，

所以2个0不相邻的概率为二1■0工=不2

5+103

故选：C.

3.（2022•全国•统考高考真题）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

5

【答案】D

【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.

【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C；=21种不同的取法,

若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8),共7种,

21-72

故所求概率P=U=：

213

故选：D.

4.(2022•全国•统考高考真题)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为.

【答案】

【分析】根据古典概型的概率公式即可求出.

【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有〃=C；=70个结果，这4个点在同一个平面的有机=6+6=12个,

故所求概率2='=［=弓.

n7035

故答案为：卷.

5.(2022・全国,统考高考真题)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到

的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()

,1122

A.-B.—C.—D."

5353

【答案】C

【分析】方法一：先列举出所有情况，再从中挑出数字之积是4的倍数的情况，由古典概型求概率即可.

【详解】［方法一］：【最优解】无序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)15种情况，其中数字

之积为4的倍数的有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6)6种情况，故概率为3=|.

［方法二］:有序

从6张卡片中无放回抽取2张，共有

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(

6,1),(3,2)(4,2),(5,2),(6,2)(4,3),(5,3),(6,3),(5,4),(6,4),(6,5)30种情况,

其中数字之积为4的倍数有(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(4,6),(5,4),(6,2),(6,4)12种情况，故概率为

12_2

30-5,

6

故选：c.

【整体点评】方法一：将抽出的卡片看成一个组合，再利用古典概型的概率公式解出，是该题的最优解;

方法二：将抽出的卡片看成一个排列，再利用古典概型的概率公式解出；

考点二、有无放回抽样的概率

典例引领

1.（浙江・高考真题）在三张奖券中有一、二等奖各一张，另一张无奖，甲乙两人各抽取一张（不放回），两

人都中奖的概率为.

【答案】-

【详解】试题分析：设一、二等奖各用4台表示，另1张无奖用。表示，甲、乙两人各抽取1张的基本事件

有4c5共6个，其中两人都中奖的有力民加共2个，故所求的概率尸=：2=：1.所以答案

63

应填：J.

考点：互斥事件的概率加法公式.

2.（浙江•高考真题）盒子里有4个球，其中1个红球，1个绿球，2个黄球，从盒中随机取球，每次取1个,

不放回，直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为九贝"C=0）=;E®=.

【答案】|1

【分析】先确定4=0对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根

据数学期望公式求结果.

【详解】因为孑=0对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球，

所以PC=O)=：+：X；=；,

随机变量4=0,1,2,

尸(“1)二」+

434324323

所以E(J)=0xg+lxg+2xg=l,

故答案为：—；1.

【点睛】本题考查古典概型概率、互斥事件概率加法公式、数学期望，考查基本分析求解能力，属基础题.

3.（2024•全国•高考真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无放回地随机取3次,

每次取1个球.记加为前两次取出的球上数字的平均值，”为取出的三个球上数字的平均值，则机与”之差

7

的绝对值不大于1的概率为

2

7

【答案】1?

【分析】根据排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为6,第三个球的号码为。，则

a+b-3<2c<a+b+3,就。的不同取值分类讨论后可求随机事件的概率.

【详解】从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A：=120种，

设前两个球的号码为第三个球的号码为。，则”|上-等V；,

故"-伍+6)归3,故-342c-(a+6)43,

故。+6-3<2。<。+6+3,

若c=l,则0+645,则(。㈤为：(2,3),(3,2),故有2种,

若c=2,则14a+b47,则伍涉)为：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4),

(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10种，

当c=3,则34a+649,则(。,6)为：

(1,2),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(4,5),

(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,2),(5,2),(6,2),(5,4),

故有16种，

当。=4,则+同理有16种，

当c=5,则7<。+6<13,同理有10种，

当c=6,则9«〃+b«15,同理有2种，

共与〃的差的绝对值不超过京寸不同的抽取方法总数为2(2+10+16)=56,

故所求概率为言=《.

7

故答案为：—

即时检测

I_________________

L(2024•全国•模拟预测)盒中装有1,2,3,4四个标号的小球.小明在盒中随机抽取两次(不放回)，则

抽中的两次小球号码均为偶数的概率为()

,1111

A.-B.-C.-D.一

4236

【答案】D

【分析】由古典概率公式求解.

【详解】由于抽取两次是不放回的，且盒子里有2个奇数球，2个偶数球，

8

211

则抽中的两次小球号码均为偶数的概率为：

436

故选：D

2.（2024•山东日照•三模）从标有1,2,3,4,5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出现

重复编号卡片的概率是（）

12132223

A.—B.—C.—D.•—

25252525

【答案】B

【分析】先求出5张卡片中有放回地抽取三次的基本事件，再算出三次都不重复的基本事件，利用间接法

以及古典概型即可求解.

【详解】5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，共有53=125种取法，

三次都不重复的取法有A；=60种，

由加法原理和乘法原理，

出现重复编号卡片的概率尸=1-三=—

5325

故选:B.

3.（2024•广东广州•模拟预测）袋子里有四张卡片，分别标有数字1,2,3,4,从袋子中有放回地依次随机

抽取四张卡片并记下卡片上数字，则有两张卡片数字之和为5的概率是.

49

【答案】57

【分析】根据分类加法计数原理，将两张卡片数字之和不为5的分为5种情况有：即可根据组合数求解，结

合对立事件的概率公式即可求解.

【详解】根据题意可知：有放回地依次随机抽取四张卡片可得所有情况有44=256种，

任意两张卡片数字之和不为5的情况有：

①1111,2222,3333,4444,都各有1种,

（2）1112,1122,1222,有2C：+C；=14种，

（3）1113,1133,1333,有2C；+C；=14种，

④2224,2244,2444有2C：+C；=14种，

⑤3334,3344,3444有2C；+C；=14种，

故总的情况有4+4x14=60,

6049

故有两张卡片数字之和为5的概率是「丁豆,

故答案为：--

考点三、判断互斥事件与对立事件

9

▼典例引领

1.若干人站成一排，其中为互斥事件的是（）

A."甲站排头"与"乙站排头"B."甲站排头"与"乙站排尾"

C."甲站排头"与"乙不站排头"D."甲不站排头"与"乙不站排头"

【答案】A

【分析】利用互斥事件的概念，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.

【详解】对于选项A,因为“甲站排头"与"乙站排头"不能同时发生，所以选项A正确，

对于选项B,因为“甲站排头"与"乙站排尾”可以同时发生，所以选项B不正确，

对于选项C,因为“甲站排头"与"乙不站排头"可以同时发生，所以选项C不正确，

对于选项D,因为"甲不站排头"与"乙不站排头"可以同时发生，所以选项D不正确，

故选：A.

2.（2023・四川宜宾・三模）抛掷一枚质地均匀的骰子一次，事件1表示"骰子向上的点数为奇数"，事件2表

示“骰子向上的点数为偶数"，事件3表示“骰子向上的点数大于3",事件4表示“骰子向上的点数小于3”则

（）

A.事件1与事件3互斥B.事件1与事件2互为对立事件

C.事件2与事件3互斥D.事件3与事件4互为对立事件

【答案】B

【分析】根据互斥事件、对立事件定义判断求解.

【详解】由题可知，事件1可表示为：N={135},事件2可表示为：5={2,4,6},

事件3可表示为：C={4,5,6},事件4可表示为：。={1,2},

因为/口。={5},所以事件1与事件3不互斥，A错误；

因为/C8为不可能事件，/U8为必然事件，

所以事件1与事件2互为对立事件，B正确；

因为BnC={4,6},所以事件2与事件3不互斥，C错误；

因为CcD为不可能事件，CuD不为必然事件，

所以事件3与事件4不互为对立事件，D错误；

故选：B.

3.（2023•山东聊城•模拟预测）（多选）某个家庭中有若干个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，设该

家庭中有男孩、又有女孩"，N="该家庭中最多有一个女孩”，则下列结论正确的是0

A.若该家庭中有两个小孩，则”与N互斥

B.若该家庭中有两个小孩，则M与N不相互独立

C.若该家庭中有三个小孩，则M与N不互斥

D.若该家庭中有三个小孩，则又与N相互独立

【答案】BCD

10

【分析】若该家庭中有两个小孩，写出对应的样本空间即可判断A和B;若该家庭中有三个小孩，写出对应

的样本空间，即可判断C和D.

【详解】若该家庭中有两个小孩，样本空间为◎=｛（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）｝,

加=｛（男，女），（女，男）｝，N=｛（男，男），（男，女），（女，男）｝,仰=｛（男，女），（女，男）｝,

则W与N不互斥，尸（M）=g,P（N）=:,P（MN）=；,

于是尸尸（M）P（N）,所以M与N不相互独立，则A错误、B正确；

若该家庭中有三个小孩，样本空间为。=｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男,

女，女），（女，男，女），（女，女，男），（女，女，女）｝,

〃=｛（男,男,女）‘（男,女,男），（女,男,男），（男,女,女），（女,男,女），（女,女,男）卜N=｛（男,

男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男）｝，

MN=n男,男，女），（男，女，男），（女，男，男）｝,则M与N不互斥，

313

P（M）=-,尸（N）=—,P（MN）=-f于是尸OW）=P（"）P（N）,

428

所以河与N相互独立，则C和D均正确.

故选：BCD.

.即时检测

1.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）

A.至少有一个白球；都是白球B.至少有一个白球；至少有一个红球

C.至少有一个白球；红、黑球各一个D.恰有一个白球；一个白球一个黑球

【答案】C

【分析】根据给定条件，利用互斥事件、对立事件的定义逐项分析判断作答.

【详解】对于A,至少有一个白球和都是白球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，A不是；

对于B,至少有一个白球和至少有一个红球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，B不是；

对于C,至少有一个白球和红、黑球各一个的两个事件不能同时发生但能同时不发生，是互斥而不对立的两

个事件，C是；

对于D,恰有一个白球和一个白球一个黑球的两个事件能同时发生，不是互斥事件，D不是.

故选：C

2.（2022•全国•模拟预测）分别掷两枚质地均匀的硬币，"第一枚为正面"记为事件/，"第二枚为正面"记为

事件8,“两枚结果相同"记为事件C,那么事件/与B,/与C间的关系是（）

A.A与B,/与C均相互独立B.N与8相互独立，4与C互斥

C./与3,/与C均互斥D./与3互斥，/与C相互独立

【答案】A

【分析】利用互斥事件，独立事件的定义即得.

11

【详解】由题意得尸(4)=尸(3)=尸(C)=；,尸(AB)=；,P(/C)=:，

所以P(48)=尸(4)尸(8户0,4。C)=P()(>0.

所以/与B,N与C均相互独立，A马B,/与C均不互斥.

故选：A.

3.(2024・山东荷泽•模拟预测)现有甲、乙、丙、丁四名同学同时到4SC三个不同的社区参加公益活动，

每个社区至少分配一名同学.设事件/="恰有两人在同一个社区"，事件8="甲同学和乙同学在同一个社区”,

事件。="丙同学和丁同学在同一个社区"，则下面说法正确的是()

A.事件A与8相互独立B.事件A与3是互斥事件

C.事件B与C相互独立D.事件8与C是对立事件

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用相互独立事件、互斥事件、对立事件的意义逐项判断即得.

【详解】对于A,依题意，甲、乙、丙、丁中必有两人在同一社区，即事件A是必然事件，P(A)=1,

A1*31

显然3=/,P(AB)=P(B)==-=P(A)P(B),因此事件A与8相互独立，A正确；

C；Aj6

对于B,由尸(/3)=」，得事件A与8不是互斥事件，B错误；

6

对于C,显然事件事件3与C不可能同时发生，即尸(3C)=0,而尸(C)=P(8)=J,事件3与C相互不独立，

6

C错误；

对于D,显然事件8与。可以同时不发生，如甲丙在同一社区，因此事件3与。不是对立事件，D错误.

故选：A

考点四、互斥事件的概率加法公式

典例引领

1.(2023・全国•统考模拟预测)在古典概型中，若A,B为互斥但不对立事件，则()

A.尸(4)+尸传)<1B.尸(4)+尸传)>1

C.P(^)+P(5)<1D.*/)+尸(3)=1

【答案】A

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义，即可求解.

【详解】由题意，事件若A,B为互斥事件，但不对立事件，

根据互斥事件和对立事件的定义，可得尸(/)+P(8)<l,所以A正确.

故选：A.

12

2.（天津•高考真题）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是工，甲获胜的概率是L,则甲不输的概率为

23

<211

A.二B.-C.—D.—

6563

【答案】A

【详解】试题分析：甲不输概率为：+:=:.选A.

236

【考点】概率

【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前

提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法公式.对古典概型概率的考查，注重事件本身的

理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面

问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.

11Q

3.（2023・全国•高三专题练习）已知事件B,C两两互斥，若尸（/）=丁P（C）=-,P（ADB）=运,则

P（BuC）=（）.

8271

A.—B.—■C.—D.一

153153

【答案】B

【分析】根据事件B,C两两互斥，求出尸（8）=}进而利用尸（BuC）=P（3）+尸（C）求出答案.

Q11

【详解】因为事件4B,。两两互斥，所以尸（5）=尸（/UH）-尸（/）=石-二=屋

119

所以尸（2℃）=尸（与+尸（。）=5+§=§.

故选：B.

即时检测

I________L__________

1.（2022•江苏•高三专题练习）已知随机事件A,B互斥，且尸（4+3）=0.8,P（/）=0.3,则P（8）=.

【答案】0.5

【分析】根据两个事件是互斥事件，得到两个事件的和事件的概率等于两个事件的概率的和，根据所给的

两个事件的概率，相减即可得到结果.

【详解】•••随机事件A,B互斥,

\P^A+B）=P（/）+P⑻，

P（B）=0.8-0.3=0.5.

故答案为：05

【点睛】本题主要考查互斥事件的概率加法公式，属于基础题型.

2.（2023・全国•高三专题练习）下列说法错误的个数为（）

13

①对立事件一定是互斥事件；

②若A,B为两个事件，则尸(/U3)=尸(⑷+尸•)；

③若事件A,B,C两两互斥，则尸(/)+尸修)+尸(C)=l.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐项分析可得答案.

【详解】互斥不一定对立，但对立必互斥，①正确；

只有N与3是互斥事件时，才有=尸(/)+尸(8),②错误；

若事件4,B,C两两互斥，则尸(NuBuC)=P(/)+P(B)+P(C),但/U5UC不一定是必然事件，

例如，设样本点空间是由两两互斥的事件4B,C,D组成且事件。与/UBUC为对立事件，当尸(。)40

时，P(/)+P(2)+P(C)<l,③错误.

故选：C.

3.(2023春・上海宝山■高三上海交大附中校考期中)已知事件/与事件3是互斥事件，则()

A.尸(1c分)=0B.尸(/c8)=P⑷尸⑻

C.P(A)=1-P(£)D.P(彳0片)=1

【答案】D

【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.

【详解】因为事件/与事件2是互斥事件，则彳、与不一定是互斥事件，所以耳)不一定为0,故选项

A错误；

因为事件/与事件3是互斥事件，所以Nc3=0,贝lj尸(/cB)=0,而尸(2)尸(8)不一定为0,故选项B

错误；

因为事件4与事件2是互斥事件，不一定是对立事件，故选项C错误；

因为事件/与事件8是互斥事件，2口方是必然事件，所以司=1,故选项D正确.

故选:D.

考点五、利用互斥事件概率公式求概率

典例引领

1.(2024高三•全国•专题练习)某单位电话总机室内有两部外线电话工和5,在同一时间内，打入电话的

概率是0.3,《打入电话的概率是0.4,两部同时打入电话的概率是0.1,则至少有一部电话打入的概率

是.

3

【答案】0.6/1

【分析】根据随机事件的概率计算可得答案.

14

【详解】所求的概率为0.3+0.4-0.1=0.6.

故答案为：0.6.

11Q

2.(22-23高一下•江西南昌•阶段练习)已知事件4瓦C两两互斥，若尸(4)=『P(C)=-,P(/UB)=段，

则尸(5uC)=().

8271

A.—B.-C.—D.—

153153

【答案】B

【分析】根据互斥事件定义、并事件概率公式直接求解即可.

【详解】两两互斥，，P(/8)=P(2C)=0,

1Q1

■：(AB)=不尸^)=—,

1i7

，P(8UC)=P(8)+P(C)-HB。=--H=-.

故选：B.

3.(2024・云南昆明•模拟预测)甲、乙、丙三人参加一次考试，考试的结果相互独立，他们合格的概率分别

为2!‘33则三人中恰有两人合格的概率是()

345

291113

A.—B.—C.—D.—

5203030

【答案】B

【分析】设出基本事件，将所求事件表示出来，利用互斥事件的概率加法公式和独立事件的积的概率公式

求解即得.

【详解】设甲、乙、丙三人参加考试合格的事件分别为48,C,则尸.)=§2,尸(8)=：3,尸(C)=，3而三人中恰

有两人合格记为：ABC+ABC+ABC,

因考试的结果相互独立，且疝C，MC两两互斥，故得三人中恰有两人合格的概率为：

——————2332332339

P(ABC+ABC+ABC)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)1x(1-彳)+1x(1—Rx.。一x广｝亓.

故选：B.

即时检测

I_______■____________

1.(2022・全国•高三专题练习)一个盒子内装有大小相同的红球、白球和黑球若干个，从中摸出1个球，若

摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,那么摸出黑球或红球的概率是

A.0.3B.0.55C.0.7D.0.75

【答案】D

【分析】由题意可知摸出黑球的概率，再根据摸出黑球，摸出红球为互斥事件，根据互斥事件的和即可求

15

【详解】因为从中摸出1个球，若摸出红球的概率是0.45,摸出白球的概率是0.25,

所以摸出黑球的概率是1-(045+0.25)=0.3,

因为从盒子中摸出1个球为黑球或红球为互斥事件，

所以摸出黑球或红球的概率尸=0.3+0.45=0.75,故选D.

【点睛】本题主要考查了两个互斥事件的和事件，其概率公式P(NLZS)=尸(⑷+/3),属于中档题.

2.(2023春•新疆乌鲁木齐•高三校考阶段练习)某家庭电话，打进的电话响第一声时被接的概率为，，响第二

321

声时被接的概率为正，响第三声时被接的概率为j，响第四声时被接的概率为正,则电话在响前四声内被接的

概率为()

1934

A.-B.—C.—D.一

210105

【答案】B

【详解】设"电话响第一声被接"为事件A,"电话响第二声被接"为事件B,"电话响第三声被接"为事件C,"电话响

13219

第四声被接"为事件D,则A,B,C,D两两互斥，从而P(AUBUCUD)=P(A)+P⑻+P(C)+P(D)=而+而+]+伉=而.故

选B.

点睛：本题的难点在于把电话在响前四声内被接这个事件分解为哪几个互斥事件，根据题意，它可以分解

为四个互斥事件,P(AUBUCUD)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D).

考点六、利用对立事件的概率公式求概率

典例引领

1.(2024・陕西•二模)从甲、乙、丙、丁4名同学中任选2人，则甲未被选中的概率为

【答案】1/0.5

【分析】根据古典概型的概率公式求出甲被选中的概率，结合对立事件的概念即可求解.

【详解】甲被选中，只需从其余3人中，再选1人，即有C；种方法，

从4人中选2人，共有C；种方法，

所以甲被选中的概率为尸=苴

2

所以甲未被选中的概率为1

22

故答案为：3

2.(23-24高二上•河北石家庄•期中)将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是()

16

【答案】B

【分析】由题意确定出现一次6点向上的概率，可得没有一次6点向上的概率，利用对立事件的概率关系

求解即可.

【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷一次，出现一次6点向上的概率为:，

所以先后抛掷2次，没有一次6点向上的概率为=

oJo

所以至少出现一次6点向上的概率为1-2^5=011.

36