沪教版八年级数学下册 第二十一章 代数方程（4大知识归纳+11类题型突破）（原卷版）

第二十一章代数方程（4大知识归纳+题型突破）

课标要求

i.掌握整式方程的概念；

2.掌握分式的概念、解法与应用；

3、掌握无理方程的概念与解法；

4、掌握二元二次方程组与列方程（组）解应用题;

基础知识归纳

知识点一、整式方程：

1字母系数：关于x的方程〃tv+〃=O,ax1+bx+,把用字母表示的已知数m、n、a、b、c叫做字母

系数.

2.含字母系数的一元一次方程

定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为1的含字母系数的方程；

求解步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1;注意：系数化为1时视情况讨论！

3.含字母系数的一元二次方程

定义：只含有一个未知数且未知数的最高次数为2的含有字母系数的方程；

解法：因式分解法，开平方法；配方法，公式法；当用含字母系数的式子去乘或除方程两边时，要讨论.

4.一元整式方程：如果方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式；

一元n次方程与一元高次方程：一元整式方程中含未知数的项的最高次数是n；其中n大于2的方程称为

一元高次方程.

5.二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另一边是零.一般形式为：

ax"+b-0（«/Q,b/0,“是正整数）.

二项方程的解法:将方程axn+b=Q变形为x"=-9,当n为奇数时，x=?；当n为偶数时，如果就＜0,

aVa

%=如果"〉0,那么方程没有实数根.

Va

知识点二、分式方程：

6.可化为一元二次方程的分式方程

解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，再求解;

解分式方程的一般步骤：①方程两边乘以最简公分母，去分母，化成整式方程；②解这个整式方程；③检

验，是否有增根.

知识点三、无理方程

］无理方程的概念

无理方程|<|无理方程、有理方程、代数方程三者的关系

||解无理方程的步骤

1.无理方程：方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式；无理方程也叫根式方程.

理解［①方程中含有根号；

，两点缺一不可!

［②根号里含有未知数.

2.无理方程、有理方程、代数方程三者之关系

整式方程

有理方程

代数方程分式方程

无理方程

有理方程：整式方程和分式方程统称为有理方程;

代数方程：有理方程和无理方程统称为初等代数方程，简称代数方程.

3.无理方程的解法

(1)基本思路：解简单的无理方程，可以通过去根号转化为有理方程来解;

(2)一般步骤：

'①变形：当方程中只有一个含未知数的二次根式时，使这个二次根式单独放在等号一边；

②去根号：方程两边同时平方，将这个方程化成有理方程；

‘③解有理方程；

、④验根：由于去根号两边平方时，未知数的范围扩大而可能产生增根，因此验根必不可少.

知识点四、二元二次方程组与列方程(组)解应用题

1.二元二次方程

,⑴定义：仅含有两个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程;

(2)理解：①整式方程；②含有两个未知数；③含有未知数的项最高次数是2.

<(3)一般形式：ax1+bxy+cy2+dx+ey+f=O(a,b,c,d,e,是常数，

且a,b,c至少有一个不为零)

(4)解：能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值.

2.二元二次方程组

Q）定义：仅含有两个未知数，各方程是整式方程，并且含有未知数的项的

V最高次数是2的方程组；

（2）二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解.

3.二元二次方程组的解法

]|基本思想

二元二次方程组的解法题型一

基本题型

题型二

（1）解二元二次方程组的基本思想：是消元和降次.

（2）题型一：解方程组〈一一〜、巾’即方程组由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组.

[二兀二次万程.

方法：代入消元法；

一般步骤：①将方程组中二元一次方程的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②将这个未知数所

表示的代数式代入二元二次方程中，得到关于另一个未知数的一元二次方程；③解这个一元二次方程；④

将求得的两个解分别代入二元一次方程，求相应的另一个未知数的值；⑤把相应的两组解写出来，即是原

方程组的解.

‘二元二次方程；

（3）题型二：解方程组一小、叩（其中一个方程可以分解为两个一次因式积等于零的形式）

二兀二次万程.

方法：因式分解法；

解法：把原方程组化为两个分别由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，然后分别求解.

4.列方程（组）解应用题

①审题；②设元；③列方程;

一般步骤:

④解方程；⑤检验；⑥作答.

列一元二次方程解决问题;

列方程（组）解应用题列简单的高次方程解决问题;

列分式方程解决问题

列无理方程解决问题

、列方程组解决问题

重要题型

题型——元整式方程

1.下列方程中，是关于龙的一元三次方程的是（）

A.4^+x3=1B.—+2x3=1

X

C.3d—3=—3x（1—炉）D.一2）一2办+1=0（〃为非零常数）

2.下列方程中，属于一元二次方程的是）

A.2x2—1=0B.2y+x2=1C.x2—2=0D.~—4

x-1

3.下列方程是一元高次方程的是（）

A.x+3=0B.x2-3x-1=0C.J?+2X+—=0D.x，+l=0

x

巩固训练：

1.若关于X的方程,2一4犬+3|=%+，恰有三个根，则/的值为（）

、313、1

A.-1B.—1或—C.—1或—D.—或—

4242

2.如果关于x的一元二次方程加+陵-1=0的一个根是％二—1,那么2023-（，-6）=

3.解方程：（（尤-1）4-64=0.

题型二二项方程

1.一项工程，甲、乙合作6天可完成,若独做，甲可比乙少5天，设甲，乙独做分别需尤天，y天，以下

所列的方程组正确的是（）

[Ill111

[x+y=6{x+y=6—1—=——I—=—

A.vB.C.Xy6D.，xy6

[x-y=5口-尤=5

x-y=5=-5

2.下列说法中，正确的是（）

A.Y-4x=0是二项方程B.行-+-=。是分式方程

「尤=0一

C.=0是无理方程D.\2]是二元二次方程组

[y=1

3.方程组4:T（'+3）=°的实数解的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

巩固训练

1.下列方程中，是二项方程的为（）

A.X2+2X=1B.x2+x=OC.X3-8=0D.X=0

1Q

2.方程=V+：=o的解是.（保留三位小数）.

3.已知函数>=》+1与、=一尤+3,求：

（1）两个函数图象交点P的坐标.

（2）这两条直线与x轴围成的三角形面积.

题型三分式方程的定义

1.下列方程中哪些是可以化为一元二次方程的分式方程（）

2_13x_x2

A.------=3R—=------C.——=2D.-----=-：

x+1Xx-12x-1x2-l

：=±々=2中，分式方程的个数是（）

2.下列关于x的方程:i+x=l^+^=|,

x345x-1Xx+\

A.1个B.2个C.3个D.4个

3.下列各式中，是分式方程的是（）

x+22y-z

A.x+y=5B.5=3C.-D.^^=0

xx+5

巩固训练

下列方程：①，；=③:23

1.=2~~:-+x=l；④-----+-----=3.其中，分式方程有（）

xa25x—1\-x

A.4个B.3个C.2个D.1个

2.有下列方程：

①[I；②'—I；③弓一④」]+3=^^;@^=2；（6）2x-3y=0;⑦=&

3713x%一.

35

⑨一3=其中是整式方程的是______—;是分式方程的是_________.（填序号）

x-2x

3.判一判：下列方程中，哪些是分式方程?哪些是整式方程?

x-2x

(1)-----------------•

x2'

yx

(2)——•

712'

X1

(3)—X;

3x-l2

2__j_

(4)一；

~m2—m

2.3=乜

(5)

y2'

(6)2x=l；

11c

(7)—।—=2.

xy

题型四解分式方程

1.下列方程中，有实数根的是（）•

A.2—x+1=0

x-1x-1

C.7^+4=0D.{x-1+-x=0

2.下列关于％的方程中，有实数解的是（)

x2

A.y/x—2+1=0B.------=------

x—2x—2

C.J—6=0D.2—+x+3—0

3.解方程王」-二=3时，设七口=y,

则原方程可化为关于y的整式方程是()

xx-1X

C.y2+3y-2=0D./-3y-2=0

巩固训练

1二的解是（

1.方程)

x-4x-2

A.x=3B.x=lC.x=-lD.x=-3

32

2.分式方程,+2=三的解为

3.解分式方程:

x3.

(1)--------+--------=4；

2x-55-2x

31x

(2)-----+1=——

x-2x+3

题型五根据分式方程解的情况求值

I.若关于X的分式方程生?=：有增根，则a的值是（）

x-22

A.4B.2C.3D.0

2.如果4是关于尤的分式方程空|一二二=2的解，则。等于（）

x-32x-7

A.-IB.—3C.ID.3

3.已知关于x的分式方程羽的解为非负数,则，，的取值范围是（

机27•且加。一工B.m2-4且机£一3

A.

2

C.机>7且相。—D.机>-4且机。一3

2

巩固训练

I.若关于X的分式方程--+--=1的解是非负数，则相的取值范围是（）

x-11-x

A.m>-3B.根>一3且机wlC.m<3D.机«3且根wl

6x-o>2（x-l）

2.若。使得关于尤的不等式组x-5/l3有且仅有三个整数解，且使关于x的分式方程;-------亍=4

---W-x—1—xx—1

〔342

的解为正数，求所有满足条件的整数。的值之和为.

3.已知关于x的分式方程上7=二+1.

x-13-3x

（1）若这个方程无解，求力的值；

（2）若这个方程的解是非负数，求见的值.

题型六分式方程无解问题

1vn

1.关于X的方程三+13rl无解，则”的值是（）

A.-1B.1C.0D.2

2.若关于x的方程=£=-1有增根，贝1］。的值为（）

X+1

A.3B.1C.0D.-1

X—n2

3.如果关于x的分式方程--女=1无解，则a的值为（）

x-1X

A.-1B.1C.0或1D.一1或1

巩固训练

1.若关于x的方程C无解,贝!（）

x-510-2%

889

A.——B.-C.5D.——

555

2.若关于*的分式方程-—告=¥）无解，则上的值为

x+2x-2x-4----------

0Y—YY!3

3.已知关于x的分式方程4T-2='.

x-3x

（1）当根=9时，求分式方程的解；

9r—m3

（2）求他为何值时，分式方程人?-2=±无解.

x-3x

题型七列分式方程

1.“双减”政策实施后，为减轻学生的学业负担,增加学生校内课外的阅读量，某校欲购买一些图书《科学

家的故事》以供学生课外阅读.现有A,B两个商家供货，A商家每本图书的售价比B商家每本图书的售价

少2元，用2000元购买A商家图书的数量与用2200元购买8商家图书的数量相同.设A商家的图书每本售

价为机元，可列方程为（）

20002200220020002000220020002200

A.------=--------B.------=--------C.------=--------D.-------=-------

mm-2mm+2mm+2m-2m

2.“五一”期间，某中学数学兴趣小组的同学们租一辆小型巴士前去某地进行社会实践活动，租车租价为180

元.出发时又增加了两位同学，结果每位同学比原来少分摊了3元车费.若小组原有x人，则所列方程为（）

180180.180180、180180.180180、

A.--------------=3B.---------------=3C.---------------=3D.---------------=3

x+2尤xx+2x尤-2无一2元

3.体育测试中，甲和乙进行400米跑测试，甲的速度是乙的1.6倍，甲比乙少用了30秒，设乙的速度是x

米/秒，则所列方程正确的是（）

4004002

A.40X1.6x-30x=400B.-------=30

X2.6%

400400400400“

C.--------------=30D.-------=30

x1.6x1.6%X

巩固训练

1.有一个分数，分母比分子的4倍少1,把分子加上1后，所得分数的值为1.若设该分数的分子为x,依

题意，下面所列方程正确的是（）

4尤一12x,2x+\2x+1_2

A.-------=-B.----------H1=—C.--------=­D.~7~（TW

x+l34x-l34x-l34（x+l）-13

2.接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径.针对疫苗应急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生

产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工厂不能按时到厂.为了应对疫情，回厂的工人加班生产，

由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂.设

该厂当前参加生产的工人有无人，根据题意可列方程为：.

3.列方程解实际问题

南宁到昆明西站的路程为828千米，一列普通快车与一列直达快车都从南宁开往昆明，直达快车的速度是

普通快车速度的1.5倍，普通快车出发2小时后，直达快车出发，结果比普通快车先到4小时，求两车的速

度.

题型八分式方程的实际应用

1.某市为解决冬季取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实际施工时

设实际每天铺设管道尤米，则可得方程理器-当也=15,根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条

x-10x

件应补为（）

A.每天比原计划多铺设10米，结果提前15天先成B.每天比原计划少铺设10米，结果延期15天完成

C.每天比原计划少铺设15米，结果延期10天完成D.每天比原计划多铺设15米，结果提前10天完成

2.A、B两地相距80千米，甲由A地去B地，1小时后，乙用1.5倍的速度从A地出发追甲，追到2地时，

甲已早到20分钟，则甲的速度为（）

A.40千米/小时B.45千米/小时

C.50千米/小时D.60千米/小时

3.2017年某市在创建全国文明卫生城市中，为了打造具有现代化城市街道水平的样板街道，计划拆除异形

广告12000平方米，后来由于志愿者的加入，实际每天拆除的广告比原计划多20%,结果提前10天完成任

务，设原计划每天拆除x平方米，则可列方程为（）

1200012000c1200012000-

-F-(l+20%)x=10B.---------------=10

x20%%

12000120001200012000_

---------1-10=------D-(l+20%)x一-F=1°

20%工

巩固训练

1.我市某超市用10000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨22000元资金

购进该品种苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了1元，购进苹果数量是试销时的2倍.设试销时该

品种苹果的进货价是每千克x元，则可列方程（）

1000022000c10000、2200010000.22000

A.--------=---------x2B.--------x2=---------C.--------x2=--------

xx+1x-1XXx-1

10000022000

D.--------x2=---------

XX+1

2.某商厦买进一批手提电脑用了100万元，每台按1万元卖出.已知全部卖出这批电脑所得的款额与买进

这批电脑所用的款额的差就是毛利润，按这样计算，这次买卖所得的毛利润刚好是买进11台手提电脑所用

的款额，则商厦共买进了一台手提电脑.

3.某公司先从甲地用9000元购买了一批商品，后发现乙地同一商品每件比甲地便宜，因此又用12000元

从乙地补购了一批同样的商品.公司按每件200元售完这两批商品后，共赚了11000元.

（1）设该公司从甲地购进元件商品，请用含字母x的代数式表示从乙地购进的商品件数是；

（2）如果乙地同一商品每件比甲地便宜30元，求该公司分别从甲乙两地购进这种商品各多少件.

题型九无理方程

1.下列方程中，有实数根的方程是（

A.+5+1=0B.—3x+5=0

x1

C.yJx+2=xD----------------

x2-lx2-l

2.下列方程中，有实数根的方程是（）

A.4=0B.Vx+1=0C.x2+1=0D.x3+1=0

x

3.下列方程没有实数根的个数是()

_____________x2

(1)J3L+5+1=0,(2)J%+3=-x,(3)J--3=2-x,(4)-----=-------

x—2x—2

A.1个B.2个C.3个D.4个

巩固训练

1.下列关于*的方程中，一定有实数根的是().

A.Jx+1+1=0B.x—3—2-xC.Jx+2+J2-元=9D.y/x—3=3-x

2.已知&—2003+Jx2—2023=10，则了的值为.

IX—2,卜2+210

3.解方程

VX2+2+Vx-2~3

题型十二元二次方程组及其解法

IX—y=1

1.方程组220的解是（）

1无一丁二3

x=2x=-lx=3X=1

A.B.C.D.

y=ly=-2y=2y=2

x-y-1=0

|（1），（尹1），4=。消去〉后化简得到的方程是

2.由方程组)

A.2X2-2x-6=0B.2/+21+5=0C.2d+5=0D.2x-2x+5=0

［（x+l）（y-2）=0

3.二元二次方程组'的解的个数是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

巩固训练

1.若［x］表示不超过X的最大整数，有序正整数组（孙X,,W，%）满足玉＜龙2＜三＜七,且

22

玉+x2x+%3%+%4

+2+=35,则满足条件的数组共有（)

222

A.2组B.3组C.4组D.5组

»二*则八/勺值为

2.已知冗，y为实数，满足

x+2y=8①

3.解方程组:

X2-5xy-6y2=0②

题型十一列方程（组）解应用题

1.小志和小天从学校出发，到距离学校20千米的王若飞故居参观，接受爱国主义教育，如果小志骑自行

车从学校先出发30分钟，小天才乘坐小汽车从学校出发，结果他们同时到达王若飞故居.已知小汽车速度

是自行车速度的3倍，设自行车速度为尤千米/小时，则下列方程正确的是（）

2020“r2020”

A.----------=30B.----------=30

x3x