沪教版八年级数学下册 第二十二章 四边形（10类题型）（60道压轴题专练）（解析版）

第二十二章四边形(10大题型)(60道压轴题专练)

压轴题型一多边形

1.(23-24七年级下•黑龙江哈尔滨・开学考试)(1)如图1,这是一个五角星ABCDE,求++++

的度数.

(2)如图2,如果点3向右移动到/C上，直接写出/4+ND8E+/C+/D+/£的度数.

(3)如图3,当点3向右移动到ZC的另一侧时，直接写出N/+/D8E+/C+/D+/E的度数.

(4)如图4,求44+NB+/C+/D+/E+/F的度数.

AAA

【答案】(1)180°(2)180°(3)180°(4)360°

【分析】本题考查的是三角形内角和定理及三角形内角与外角的关系，解答此类题目时利用三角形内角与

外角的关系把多个角划到同一个三角形中，再利用三角形内角和定理解答即可.

(1)先根据三角形外角的性质得出NC+NE=4M7V,NB+ND=NANM,再由三角形内角和定理即可得出

结论；

(2)先根据三角形外角的性质得出NC+N8EC=N4ME,NB+ND=NAEM,再由三角形内角和定理即可得出

结论；

(3)延长班交NC于点N,再根据三角形外角的性质得出NC+NBEC=NMVE,ZB+ZD=ZANM,再由三

角形内角和定理即可得出结论；

(4)连接BC,利用三角形内角和定理结合四边形内角和定理求解即可.

【详解】解：(1)如图，

ZAMN是ACEM的外角,

/.ZC+ZE=ZAMN.

•••ZANM是ABDN的外角,

ZB+ZD=ZANM.

•••NZ+ZAMN+ZANM=18CP,

:.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE=18CP；

（2）如图，

•・•ZAMB是ABDM的外角，

ADBM+ZADB=4AMB.

QN/5”是MCE的外角，

:.NC+NE=NABM.

•・•ZA+/ABM+ZAMB=180°,

.•Z+Z£+NC+NO+ZDBE=180°；

（3）如图，延长E5交/C于点N,

'/ZAMN是ABDM的外角，

ZDBE+ZD=ZAMN.

vZANM是KNE的夕卜角,

/C+ZE=ZANM,

­/+ZANM+ZAMN=18（F,

ZA+ZDBE+ZC+ZD+ZE=180°；

（4）如图，连接5C,

D

贝l|NFBC+ZECB=ZE+ZF,

：.ZA+ZABF+ZDCE+ZD+ZE+ZF

=ZA+ZABF+ZDCE+ZD+ZFBC+ZECB

=ZA+ZABC+ZBCD+ZD

=360°.

2.(2023八年级下•浙江・专题练习)

(1)如图1,设4=x,贝!]/1+/2=；

(2)把三角形纸片Z8C顶角N沿DE折叠，点/落到点4处，记N4DB为N1,ZA'EC为N2.

①如图2,ZBN2与/N的数量关系是—；

②如图3,请你写出Nl,N2与//的数量关系，并说明理由.

(3)如图4,把一个三角形纸片N3C的三个顶角分别向内折叠之后，3个顶点不重合，那么图中

Zl+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6=.

图2C

图1

A

BL----------------

图3

图4

【答案】(l)180°+x

(2)①Nl+/2=24,@Z1-Z2=2NZ,理由见详解

(3)360°

【分析】（1）表示出N1=N/+//C2，N2=/4+ZABC,用三角形内角和定理即可求解；

（2）①由折叠可求得/1=180。-2N/OE,/2=180。-2//£。，用三角形内角和定理即可求解；②由①可

求ZDFC=ZA+2ZADE和ZDFC=ZA+18O°-Z1,即可求解；

（3）由（2）得：Z1+Z2=2ZA,可同理求出/3+/4,Z5+Z6,即可求解.

【详解】（1）解：由题意得：

N1=NA+NACB,Z2=ZA+ZABC,

Z1+Z2=ZA+ZACB+ZA+ZABC

=（ZA+NACB+ZABC）+NN

=180°+x.

故答案：180°+x.

（2）解：①如图2,由折叠得：ZADE=ZA'DE,ZAED=ZA'ED,

，/1=180°-24。£,/2=180°-2//£。，

Z1+Z2=180°-2ZADE+180°-2ZAED

=360°-2（ZADE+ZAED）,

NADE+ZAED=18（F-N/,

Zl+Z2=360°-2（1800-

=2ZA.

故答案：Z1+Z2=2Z^.

②如图3,Nl-N2=2乙4,

图3

理由如下：设4。与/C交于F，

ZDFE=Z2+ZA'

由①得：Zl=180°-2ZX£>£,N4=/A,

2N4DE=18O°-N1,

NDFE=N2+NA，

■：NDFC=18Q°-NDFE,

ZDFC=180°-ZA-Z2,

ZDFC=ZA+2ZADE,

ZDFC=Z^+180P-Z1,

+180°-Z1=180°-ZA-Z2,

Z1-Z2=2ZA.

(3)解：由(2)得：N1+N2=2NN,

同理可得：Z3+Z4=2Z5,Z5+Z6=2ZC,

Z1+Z2+Z3+Z4+Z5+Z6

=22/+2N8+2/C

=2(N/+/3+NC)

=360°.

故答案：360°.

【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，三角形外角与内角关系，四边形的内角和，掌握相

关的性质及定理，正确进行整体代换是解题的关键.

3.(21-22八年级上•江西赣州•期中)如图，四边形4BCD,BE、。厂分别平分四边形的外角/MBC和/NDC,

若NB4D=a,ZBCD=p.

(1)如图1,若£+尸=120。，求NM3C+NNDC的度数；

(2)如图1,若8E与。下相交于点G,/BGD=30°,请求出a、£所满足的等量关系式;

(3)如图2,若BE〃DF,请求出°、产所满足的等量关系式.

【答案】(1)120。

(2)尸-a=60。，理由见解析

(3)a=/，理由见解析

【分析】此题考查了平行线的性质，角平分线，多边形的内角和公式，平行线的性质，利用多边形的内角

和公式是解题关键.

(1)^ABC+ZADC=360P-(a+P),再根据乙四。+乙\©。=180。一乙18。+180。一//。。可得答案；

(2)连接8。，由(1)知NMBC+NNDC=a+/3,利用角平分线和外角的性质可得

；(a+/7)+180°-77+30。=180°,整理可得结论；

(3)由(1)知，ZMBC+NNDC=a+。,由BE〃DE,得NCBE=NCHD,由/C8E+/CDH=；(</+?),

彳导NCHD+NCDH=；(a+m,根据三角形外角的性质则有尸=；(。+£),进而可得结论.

【详解】(1)解：由四边形内角和得，

ZABC+ZADC=360P-(a+p),

ZMBC+ZNDC

=180°-/ABC+180°-ZADC

=360°-(NABC+ZADC)

=360。—360。+。+p

=a+f3

=120°；

(2)解：如图1,连接BQ,

由（1）得，ZMBC+ZNDC=a+/3,

-BE,。/分别平分四边形的外角和/MX?,

ZCBG=-ZMBC,ZCDG=-ZNDC,

22

ZCBG+ZCDG=；ZMBC+1ZNDC=1（/MBC+ZNDC）=；（a+力）,

在中，NBDC+NCBD=\8b—/BCD=\8（r—0

在△MG中，AGBD+ZGDB+ABGD=180°,

/.ZCBG+ZCBD+ZCDG+ZBDC+ZBGD=180。，

/.(ZCBG+ACDG)+(/BDC+ZCBD)+Z.BGD=180°,

/.1(cr+/7)+180°-/7+30o=180°,

ft-a=60°；

由(1)得，ZMBC+ZNDC=a+/3,

-BE,。尸分别平分四边形的外角NMBC和NNDC,

/.ZCBE=iZMBC,/CDH=-ZNDC,

22

ZCBE+ZCDH=；/MBC+；/NDC=+NNDC)=1(a+/3),

BE//DF,

/CBE=ZCHD,

ACHD+ZCDH=3(a+夕)，

/BCD=ZCDH+ZCHD,

4=5(0+/)，

:.a=，.

4.（23-24八年级上•山东威海・期末）在四边形中，乙4=100。，25=120。，点E、尸分别是边40,BC

上的点，点P是一动点，连接PE、PF,令NPED=Nl,ZPFC=Z2,ZEPF=Za.

初探:

(1)如图①，若点P在线段。上运动，试探究/1+N2与/a之间的关系，并说明理由；

再探：

(2)如图②，若点P在线段。C的延长线上运动，试探究/l,22,Na之间的关系，并说明理由；

(3)若点P运动到四边形/BCD的内部，在备用图中画出此时的图形，并直接写出此时/a之间的关系

【答案】(1)N1+N2=4(T+Na,理由见解析

(2)Zl-Z2=Za+40°,理由见解析

(3)Z1+Z2=40°+Za

【分析】本题考查了多边形内角和定理，三角形外角的性质，邻补角等知识.熟练掌握多边形内角和定理,

三角形外角的性质，邻补角是解题的关键.

(1)由题意知，乙4+48+(180。一N2)+Na+(180。-21)=540。，进而可求/1+/2=40。+〃；

(2)如图②，记PE、的交点为贝IJN8〃E=N2+Na,由//+/8+/9出+(180。一/1)=360。，可

MZl-Z2=Za+40°；

(3)如图备用图，同理(1)求解作答即可.

【详解】(1)解：Z1+Z2=40°+Z£Z,理由如下；

o

由题意知，Z^+ZJB+(180°-Z2)+Za+(180-Zl)=540°,

VZA=100°,ZB=120°,

Zl+Z2=40°+Za；

(2)解：Zl-Z2=Ztz+40°,理由如下;

如图②，记PE、8C的交点为“，

B

F

ER

H

D

图②

由题意知，NBHE=N2+Na,

,/ZA+ZB+NBHE+（180°-Zl）=360°,

100°+120°+Z2+Za+（180°-Zl）=360°,即N1-N2=Na+40°；

(3)解：如图备用图,

备用图

由题意知，/4+/8+（180。一/2）+/£+（180。一/1）=540。，

Zl+Z2=40°+Za,

故答案为：Zl+Z2=40°+Z«.

5.（22-23八年级上•浙江台州•期末）如图，在四边形48co中，4=150°,"=80°.

(1)如图1,若NB=/C,则/C=度；

(2)如图2,若的平分线BE交DC于点E,且成〃4D,试求出/C的度数;

⑶①如图3,若/4BC和/DC8的平分线交于点尸，试求出N8PC的度数;

②如图4,P为五边形4BCDE内一点;DP,CP分别平分/EDC,/BCD,试探究/尸与NN+N8+NE的数

量关系，并说明理由.

【答案】（1）65

（2）ZC=70°

⑶①/8PC=115°,②NP-士N；+NE_9o。,理由见解析

【分析】本题考查了多边形的内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的

关键.

（1）根据四边形内角和为360。，结合已知条件求解即可；

（2）根据平行线的性质得到N/2E的度数，再根据角平分线的定义得到//BC的度数，进一步根据四边

形内角和定理计算即可得出答案；

（3）①先根据四边形的内角和定理得出ZABC+ZBCD=130。，由角平分线的定义得出ZPBC+ZPCB=65°,

再根据三角形内角和定理计算即可得出答案；②由五边形的内角和定理得出

540+Zg

NEDC+ZBCD=540°-（/A+/B+NE）,由角平分线的定义得出ZPDC+ZPCD=°~）,

即可得出答案.

【详解】（1）解：•.•Z/l+Z3+/C+Zr）=360°,ZA=15O°,ZD=80°,ZB=ZC,

3600-ZA-ZD360°-150°-80°i

••.^―———o5,

22

故答案为：65；

（2）解：BE//AD,

/.ZABE+ZA=1SO°,

：.ZABE=180°-=180°-150°=30°,

ZABC的平分线BE交DC于点、E,

：.ZABC=60°,

・・./C=360°-（150°+80°+60°）=70°；

（3）解：①•・•四边形中，44二150。，/。=80。

NABC+NBCD=360。—（150。+80°）=130。，

。和N5CZ）的平分线交于点尸，

.・・ZPBC+ZPCB=65°,

：.Z5PC=180o-65°=115°；

②：五边形/BCDE的内角和为180°义（5—2）=540°,

NEDC+NBCD=540°-(ZA+/B+NE),

VZEDC和ZBCD的平分线交于点P,

540°-(ZA+ZB+ZE]

..NPDC+ZPCD=--------------------------,

2

540°-(ZA+ZB+ZE}ZA+ZB+ZE

/尸=180°---------i------------------2=一乙。十"-90；

22

6.(23-24八年级上•河南驻马店•期末)(1)已知：如图1,^ABC.求证：Z^+ZJ8+ZC=180°

图1图2图3

分析：方法①延长3c到。，过点C作射线CE〃以（图2）,这样就相当于把//移到了N1的位置，把

移到了N2位置.

方法②过点/作直线PQ〃BC（图3）,把三个角“凑”到/处.

从上面选一种你喜欢的方法写出证明过程.

解决问题：

（2）如图4,一BC外一点、D,连接CD.求证：NBAD+NB+/BCD+ND=360°.

（3）如图5,“3C外两点。、E,连接/E、ED、CD.沿着九W折叠得到图6,点E落在点?贝U

ZMAB+ZB+/BCD+ZD+ZDNM+ZNMA=_（答案直接写在横线上）.

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）720°

【分析】本题考查三角形内角和定理的证明及应用，涉及四边形内角和，五边形内角和，折叠问题等，解

题的关键是掌握平行线的性质.

（1）方法①延长3C到D,过点C作射线CE〃氏4,结合平行线的性质与平角的定义可得结论；方法②过

点/作直线尸2〃8C,结合平行线的性质与平角的定义可得结论；

(2)由(1)的结论可得/A4C+/8+44cB=180。，ACAD+ZD+Z^C£>=180°,再相加可得结论;

(3)连接AD,由(1)知，ZBAC+ZB+ZACB=180°,ZCAD+ZACD+ZADC=180°,由(2)知,

ADAM+NAMN+ZMND+ZADN=360°,再相加可得答案.

【详解】证明：(1)方法①延长3c到。，过点C作射线C£〃ZB,如图：

/.ZA=Z1,ZB=Z2,

'：ZL4CS+Z1+Z2=18O°,

/.4+Z8+//C8=180°；

方法②过点A作直线PQ//BC,如图:

NB=APAB,NC=AQAC,

•：ZPAB+ABAC+NCAQ=180°,

：.ZC+ZB+ZBAC=1800-

(2)由(1)知，ZBAC+Z5+Z^C5=180°,ZCAD+ZD+ZACD=180°,

：.ZBAC+NB+ZACB+ZCAD+ZD+NACD=360°,

：.(ZBAC+ZCAD)+NB+(ZACB+N4CD)+ND=360°,

即ABAD+ZB+NBCD+ND=360°；

(3)连接NO,如图：

B

由（1）知，ZBAC+ZB+ZACB=180°,ACAD+AACD+ZADC=180°,

由（2）知，ZDAM+ZAMN+ZMND+ZADN=360°,

ABAC+ZB+ZACB+ZCAD+ZACD+ZADC+ZDAM+ZAMN+AMND+ZADN=180。+180°+360°

=720°,

/MAB++/BCD+ZD+ADNM+ANMA=720°.

压轴题型二平行四边形的判定与性质

7.（22-23八年级下•上海浦东新•期末）如图,在平面直角坐标系xOy中，直线y=h+b经过点-4,0）,5（0,3）.

(1)求直线N5的函数表达式；

(2)点C在直线N8上，点。与点C关于〉轴对称，如果以。，A,C,。为顶点的四边形是平行四边形，求

点C的坐标.

【答案】(1)"1+3

⑵点C的坐标是1-2,0或12,

【分析】(1)由直线y=h+b经过点/(-4,0),5(0,3),再利用待定系数法求解解析式即可；

(2)设。与y轴相交于点“，证明证明4O=CD=4.①当点C在线段48上时，CH=2.如

图，则点C的横坐标是-2,②当点C在线段45的延长线上时，CH=2.如图，则点C的横坐标是2,再

利用函数的性质可得点的坐标.

【详解】(1)解：由题意得，直线、=6+方经过点-4,0),5(0,3),

(a

,,［一4后+6=0,k=-

代入得入,解得4.

Ib=3'=3

.••直线48的的表达式是广，+3.

4

(2),・•点。与点。关于y轴对称，设与歹轴相交于点H,

CH=DH,

•.•以。、/、C、。为顶点的四边形是平行四边形,

A0=CD=4.

综上所述，如果以。，/、C、。为顶点的四边形是平行四边形，点C的坐标是,21］或

【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，平行四边形的性质与判定，轴对称的性质，

利用数形结合的方法解题是关键.

8.(22-23八年级下•上海宝山•期末)平行四边形48CD中，£是边上的动点，过点£作EGL/3,垂足

为点G,尸是边的中点，连接跖、FG.

(1)如图甲，当E是边8c的中点时，如果四边形48CD的面积为10,求AEFG的面积;

(2)如图乙，点E移动至点C处，试判断AE『G形状，并说明理由；

(3)如图丙，如果N8=4D=2,ZB=60°,设BE=x,=y,求y与x的函数关系式，并写出定义域.

【答案】(1g

(2)AEFG是等腰三角形，理由见解析

(3)y=-^-x2+^^-x(O<x<2)

88

【分析】(1)根据平行四边形的性质和判定定理得出四边形ABEF是平行四边形，设平行四边形ABEF边EF

上的高为〃，根据面积之间的关系求解即可；

(2)取BC中点连接切与CG交于点P,根据平行线的性质及垂直平分线的判定和性质得出FG=FC,

即可得出结果；

(3)过点G作GN,3c于N,过点/作于根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理

11/?

得出3G=；尤，BN=-x,NG=—x,AM=43,结合图形得出兀双？=$梯形4的一尸G一18G上代入求解

244

即可.

【详解】(1)解：•.•平行四边形/BCD,

AB//CD,AF//BE,

是边8c的中点时，尸是边的中点，

EF//AB,

四边形ABEF是平行四边形，

设平行四边形ABEF边所上的高为〃，

,,S.EFG=QEF-A=­S平行四边形HBEF=IS平行四边形/BCD=彳；

(2)取BC中点X,连接尸〃与CG交于点尸，

EG1AB,

尸是CG中点，NFPG=NBGC=90。,

：.FH垂直平分CG,

：.FG=FC,

:.是等腰三角形；

(3)过点G作GN_L3C于N,过点4作力M_L5C于

JZBEG=30°,

：.BG=-BE=-x,

22

在必△BNG中，NBGN=30。,

：.BN=-BG=-x,

24

_______巧

：.NG=y/BG2-BN2=—x,

4

在R£4BM中，

NBAM=30。,

：.BM=-AB=\,

2

,,AM=VAB2—BM2=>/3,

n

・••点G到AD的距离为AM-NG=^--X,

4

y=S梯形45既一S^AFG-S^BGE

=—(x+l)xyj3-—6-------Xjx1-^—x-——X

2V72(4J24

=--x2+—A：(0<X<2).

88

【点睛】题目主要考查平行四边形的判定和性质，勾股定理解三角形及含30度角的直角三角形的性质，线

段垂直平分线的判定和性质及确定函数解析式等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关

键.

3

9.(22-23八年级下•上海静安•期末)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=.x-6与x轴和y轴分别相

交于点/和点3,/OA4的平分线5尸交CM于点C,点。坐标（小,0）,点尸与点3关于点。对称.

（2）求图像经过点P的反比例函数解析式;

（3）已知点。是坐标平面内一点，如果四边形408尸是平行四边形，那么点。的坐标是..（请将点。

的坐标直接填写在空格内）

【答案】（1）3

36

(2)y=—

X

(3)(2,-12)

【分析】（1）过点C作"±AB与点、M,证明得出△08C之AW3C,再根据边长之间的关系利用勾股定理

即可得到答案;

（2）点尸与点2关于点C对称，据此可求出尸（6,6）,代入反比例函数中即可求得解析式;

（3）根据题意求出平行四边形四条边长所在的直线方程，然后求直线8。和直线的交点坐标即可.

【详解】（1）解：过点C作。/1AB与点、M,如图所示:

.••令x=0得y=-6,

令V=0得x=8,

.•./(8,0),5(0,-6),

OB=6,OA=8,

根据AB=yJOB2+OA2=V82+62=10,

TBP是/O"的平分线，

.・・/OBC=ZMBC,

在△QBC和△MBC中，

ZCOB=ZCMB=90°

</OBC=/MBC,

BC=BC

：.AOBC^AMBC(AAS),

OC=CM=m,OB=BM=6,

45=10,

・・・AM=AB-BM=\Q-6=^,AC=AO-OC=8-mf

.•.在中，得(8-加)2=疗+42,

解得；m=3；

(2)解：由(1)可得C(3,0),

:点P与点2关于点C对称，

二点P的横坐标为2x3-0=6,纵坐标为2x0-(-6)=6,

二尸(6,6),

设反比例函数为>=七"为常数，D,

X

•・•图像经过点P,

6=—,解得：左=36,

6

经过点P的反比例函数解析式为y=非；

（3）解：连接尸/,过点8作〃尸过点/作4D〃P3,RD与AD交于一点、D,连接5D,AD,如

图所示：

由（1）（2）可得/（8,0）,3（0,-6）,尸（6,6）,

•.•四边形ADBP是平行四边形，

，设3尸所在的直线为:y=kxx+bx,

将点的坐标代入进去可得尢=2,4=-6,

BP//AD,

.•.设40所在的直线为：了=2尤+4，

将点/的坐标代入可得4=76,

，40所在的直线为：y=2x-16,

设AP所在的直线为：y=k2x+b3,

将点的坐标代入进去可得&=-3也=24,

,：AP//BD,两直线斜率相同，

.•.设3。所在的直线为：y=-3x+b4,

将点B的坐标代入计算可得以=-6,

3Z）所在的直线为：y=_3x-6,

[y=2x-16fx=2

联立广.A得

[y=-3x-o[y=-12

.•.0（2,-12）.

【点睛】本题考查了角平分线的性质、勾股定理、反比例函数、平行四边形的性质，准确找到边长之间的

关系是解题的关键.

10.（22-23七年级上•上海青浦•期末）小明在学习了中心对称图形以后，想知道平行四边形是否为中心对称

图形.于是将一张平行四边形纸片平放在一张纸板上，在纸板上沿四边画出它的初始位置，并画出平行四

边形纸片的对角线，用大头针钉住对角线的交点.将平行四边形纸片绕着对角线的交点旋转180。后，平行

四边形纸片与初始位置的平行四边形恰好重合.通过上述操作，小明惊喜地发现平行四边形是中心对称图

形，对角线的交点就是对称中心.

请你利用小明所发现的平行四边形的这一特征完成下列问题:

图①图②图③

（1）如图①，四边形NBCD是平行四边形，过对角线交点O的直线/与边AS、CD分别相交于点M、N,则四

边形48cZ）与四边形的面积之比的比值为______；

（2）如图②，这个图形是由平行四边形48CD与平行四边形ECG尸组成的，点E在边上，且B、C、G在

同一直线上.

①请画出一条直线把这个图形分成面积相等的两个部分（不要求写出画法，但请标注字母并写出结论）；

②延长G厅与边/£）的延长线交于点K,延长FE与边AB交于点、H.联结EB、EK、BK,如图③所示，当

四边形N//ED的面积为18,四边形CEFG的面积为4时，求三角形E8K的面积.

【答案】（1）2:1

（2）①见解析,S四边形二S四边形4MND+S四边形恸H；②7

【分析】（1）由四边形/BCD是平行四边形，对角线4C、8。相交于点。，得AB〃CD,OA=OC,从而得

到/H4O=/NCO,即可证明出zJl"。g△NCO,同理可证明出△M3。名△M）。，KOB均AOD,因此得到

S&COB=S4AOD，SAMBO-SANDO,SAMAO=SANCO，又因为S四边形+SA4OO+SAN°O,

S四边形NBC。=S^AMO+S&CNO+S&MBO+S.ADO+SNNDO+S.COE，所以得到S四边形4MM）=5s四边形48co，从而即可得到答案;

（2）①根据（1）中的结论画出图并写出相关结论即可;

②由四边形48CD是平行四边形得48〃CDAD//BC,由四边形ECG厂为平行四边形，得

EC//GF,EF//CG,从而可得/K〃8G,AB//GK,进而可得四边形A8GK为平行四边形，同理可得，四

边形DEFK、四边形ZffiCE均为平行四边形，在根据平行四边形的面积与三角形的面积关系，即可得到三

角形EBK的面积为.

【详解】（1）解：•••四边形是平行四边形，对角线/C、8。相交于点O,

AB//CD,OA=OC,

ZMAO=ZNCO,

在△跖1O和ANCO中

'/MAO=ZNCO

<ZAOM=ZCON,

AO=CO

△M4OdNCO（AAS）,

同理可得AMB。名ANDO,KOB均AOD,

•V—Vs二sV-V

-3cOB-^AAOD'Q&MBO3NDO'.UANCO，

S四边形.NO^AMO+S./DO+S.M）。，S四边形MC。=^AAMO+£oVO+_1_2c（«，

.e=le

一口四边形4M2VD—2°四边的BCD，

即四边形4BCD的面积与四边形/MND的面积之比为2:1,

故答案为：2:1：

（2）①根据（1）中的结论画出图如图所示，

图②

平行四边形/BCD的对角线/C、5。相交于点。，平行四边形ECG厂的对角线EG、CF相交于点。，过

点。、。的直线/将图形分为面积相等的两个部分，直线/与N3相交于点M,直线/与GF相交于N,直线/

与C。相交于H，

其中§四边形M8CH=§四边形，S四边形"CGN=§四边形"EFN，

•**S四边形NG8M=S四边形M5C”+S四边形"GCN~S四边形ZMHO+'四边形"EFN，

即S四边形NG5M=S四边形NMHD+S四边形"EFN；

②•・・四边形48C。是平行四边形，

/.AB//CD,AD//BC,

•・・四边形ECG厂为平行四边形，

EC//GF,EF//CG,

/.AK//BG,AB//GK,

二•四边形ZBGK为平行四边形，

同理可得，四边形。£相、四边形均为平行四边形,

,S四边形⑷=18,S四边形CEFG=4,

，?

S四边形45GK=S四边形4〃即+S四边形CMG+'四边形":即十§四边形尸长，

=18+4+S四边形BCEH+S四边形OEFK，

=22+S四边形BCE4+S四边形DEFK，

・•・SsGK=；Mq边形，BGK

=5（22+S四边形BCEH+S四边形DEFK）

=11+万S四边形BCEH+5S四边形DEFK，

,**S&BCE四边形6CE//，S^EFK=四边开外qK，

S&EBK=S.BGK-S-CE~AEFK-'四边形田灯

=11+5S四边形BCEH+万S四边形OEFK~万四边形8CEH~务S四边形。底尸K-

二7,

・•・三角形EBK的面积为7.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定的应用，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解决问题的关

键，难度较大，综合性较强.

11.（21-22七年级上•上海金山・期末）如图，已知正方形/BCD,点M是线段C8延长线上一点，连接

（1）将线段沿着射线方向平移，使得点/与点。重合.用代数式表示线段扫过的平面部分的

面积.

（2）将三角形绕着点A旋转,使得AB与AD重合,点M落在点N,连接跖V.用代数式表示三角形

的面积.

（3）将三角形顺时针旋转，使旋转后的三角形有一边与正方形的一边完全重合（第（2）小题的情况除

外）.请在下图中画出符合条件的3种情况，并写出相应的旋转中心和旋转角.

⑵工1+"

22

(3)见解析

【分析】（1）首先得到线段扫过的平面部分为平行四边形然后根据平行四边形的面积公式求

解即可；

（2）根据题意利用国AMN=‘VAMB+*^WABCD~ADN-MNC求解即可；

（3）根据旋转的性质求解即可.

【详解】（1）解：如图所示，线段扫过的平面部分为平行四边形㈤

:.线段AM扫过的平面部分的面积为ABAD=〃;

(2)解：由题意可得，

SyAMN=S%AMB.S'MNC

ABCDADN

——ab+/——ab—-(tz+6)(。-b)

(3)解：如图所示:

旋转中心为边的中点。，旋转角405=180。；

旋转中心为ZC中点。，旋转角乙4。。二180。；

旋转中心为点5,旋转角乙4BC=90。；

N

旋转中心为NC中点。，旋转角N/OD=90。；

旋转中心为/C中点。，旋转角为360。-4408=270。.

【点睛】本题考查了旋转的性质，关键是根据旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应

点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角解答.

12.(2022八年级下•上海・专题练习)如图，在直角坐标系xQy中，点”(2,0)和点8(-2,0),直线与V轴

正半轴交于点。(0力)，过点A作ND垂足为。，联结OD.

⑴求0。的长；

(2)当/。。/=30。时，求点C的坐标;

(3)在(2)的条件下，已知点£在直角坐标平面内，如果以A、C、D、£为顶点的四边形是平行四边形，请

直接写出点£的坐标.

【答案】(1)2

(2)C(0,2V3).

⑶耳(3,9，^(-3,373),£,3(l,-V3)

【分析】(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案；

(2)根据含30。角的直角三角形△48。及3=03=0。可求出及△3CO及边长，即可求出答案;

(3)根据题意作图，结合直角三角形，角度，勾股定理，即可求出答案.

【详解】(1)解：如图所示，

VAD1BC,

：.ZADB=90°,

•.•/(2,0),5(-2,0),

•：OA=OB=2,即点。是的中点，在RMABD,

：.OD=-AB=2.

2

(2)解：ZODA=30°,OD=OA,

：.ZODA=ZOAD=30°,

：.NOBD=60°,

在历AOBC中，OC=OB.tan600=2C，

AC(0,2V3).

故点C的坐标是：(0,26).

(3)解：如图1所示，过点A作/E"/DC,

丁四边形NOC&是平行四边形，由(2)可知AD=Cr>=；8C=；x4=2,

AEl=DC=2,且ZE"ADC,过点用作用M，无轴于M,AMAEX=60°,

.•.瓦（3,现

如图2所示，联结/C,过点。作DE?/"。，

•；四边形ACDE2是平行四边形，过点用作刍〃，x轴于//,

.•.当（1,-百）.

如图3所示，联结NC,过点。作。&/"。，

•.•四边形NC&。是平行四边形，

同理得自卜3,36），

故点E的坐标是：（3,6）,（-3,373）,（1,-V3）.

图3

【点睛】本题主要考查的是平行四边形的性质，结合平面直角坐标系，直角三角形，勾股定理考查坐标点

的确定，理解和掌握平行四边形的性质，解直角三角形的知识是解题的关键.

压轴题型三矩形的判定与性质

13.(22-23八年级下•上海徐汇•阶段练习)己知矩形Z8CD中，48=8,点M在边BC上，且8河=6,点P

在边/。或DC上，连接4W、AP、MP,设40=尤.

(1)如图1,当S4ABM-S四迦加=3.7时,求X的值；

(2)如图2,当x=8时，如果为等腰三角形，求的面积；

(3)直接写出使得A/龙。为等腰三角形的点P最多有几个？并指出使得点尸个数最多时x的取值范围.

【答案】⑴x=10

25-

⑵彳或14

(3)使得A/MP为等腰三角形的点P最多有4个，此时12<x<16

【分析】(1)根据题意得到四边切研=3：10,然后分别求出工/府、S四边/B8的面积，从而建立方程

求解即可；

(2)当点P在上时，△4所不可能是等腰三角形，再分图2-1和图2-2两种情况，利用勾股定理求出

DP、C尸的长，进而根据=S矩形4BCO—-S△尸CM-S△皿)求出对应的面积即可；

(3)根据题意画出对应的示意图，确定点尸个数最多时的情况，再求出对应的临界情况下X的值即可得到

答案.

【详解】(1)解：SZ\ABM-S四边形4OCN=3:7,

・•S^ABM,S四边形45CD=3.10,

・・•四边形是矩形，

・・£)8=90，S矩形Z8CD=AB-AD=8x

：

.SI/.\A.DRMM.=-2AB-BM2=-x8x6=24,

・•・24:8x=3:10,

x=10；

(2)解：如图2,过点刊作于凡连接则四边形力团团是矩形,

MH=AB=8,

*.*AD=BC=x=8,

:・CM=BC—BM=2,

在RtAA/CD中，由勾股定理得DM=VcAf2+CD2=2JF7，

在Rt中，由勾股定理得AM=dAB?+BM?=10，

...当点尸在上时，AD^MH<PM<AM,

又：当™■=M"=8时，AH<AD=S,

...当点尸在上时，△4所不可能是等腰三角形；

如图2-1所示，当点P在C。上，且=时，

设。尸=x,贝!]CP=CD-DP=8-x,

由勾股定理得PA2=AD2+DP2,PM2=CM2+CP2，

/.X2+82=22+(8-X)2,

解得x

4

131

：.DP=-CP=—

4f4f

S^^APM=$矩形Z8CD-‘丛ABM~$APCM~~^ADP

l,„l.3111

=8ox8o——x6x8x2x---------x8ox—

22424

25

4

图2“

如图2-2所示，当4P=/M=10时,

DP=』AP。-AD?=6，

：.CP=2,

••^AAPM=S矩膝（8CD-S/^BM-S/VPCM-^AADP

=8x8——x6x8-—x6x8--x2x2

222

=14；

25

综上所述，当为等腰三角形时，的面积为二或14

4

(3)解：如图所示，当满足/〃'=/尸2=〃^=〃^=10,/4=孙时，^AMR、AAMP2,2MP3、MMP4

都是等腰三角形，此时点尸的个数最多，

,使得为等腰三角形的点P最多有4个，

,必须要保证A在4D上，R在CD上,

过点M作于"，则四边形48MH是矩形，

AH=BM=6,

：.Afi,=2AH=12,

当心恰好与点。重合时，此时4D=3C=16,

12<x<16；

综上所述，使得ANMP为等腰三角形的点P最多有4个，此时12<xW16.

【点睛】本题主要考查了矩形的现在，勾股定理，等腰三角形的定义，利用分类讨论和数形结合的思想求

解是解题的关键.

14.（22-23八年级下•上海浦东新•期末）如图，在矩形N3CD中，AB=2,40=3,点尸在边AD上，连接

8尸，点/关于直线5尸为对称点为4,

--------------1。

--------------1。

（备用图）

（1）点4落在8C边上，求/P的长

（2）点4落在线段PC上，求4P的长；

（3）点4到直线CD的距离等于4B的长，求4P的长.

【答案】⑴2

⑵3M

⑶4-26

【分析】（1）依据轴对称的性质及矩形的性质即可求得/尸的长.

（2）由勾股定理先求得©C的长，再在中利用勾股定理列出方程，求解x即可（见图）.

（3）过©作8C的垂线，构造多个矩形与直角三角形，然后将所求的量与已知的量集中在同一个直角三角

形&即可求解.（见图）

【详解】（1）点4落在3c边上，如下图所示.

•.•点N与点4关于8P对称，

ZABP=ZA'BP.

由4D〃BC得，ZA'BP=ZAPB,

：.ZABP=ZAPB.

：.AP=AB=2.

(2)点4落在线段尸c上，如下图.

根据矩形的对边相等可得：AD=BC=3,CD=AB=2.

设4P=x.贝i]DP=4D-4P=3-x.

•.•点/与点4关于3P对称，

ZBA'P=ZBAP=90P,则ABAC=90°.

在直角ABA'C中，A'C=yjBC2-A'B2=V32-22=卡■

在直角△尸CD中，由勾股定理得：

PC2=PD2+CD2,BP(PA'+A'C)2=PD2+CD2

：.(x+V5)2=(3-X)2+22,

解得：x=3-45-

(3)点4到直线CD的距离等于45的长，自点/，作4HLCD,垂足为X,则依题意知，A'H=A'B.自

点4作的垂线交于点M、交BC于点、N,垂足为点N.则因/D〃8C,

：.MN1BC,垂足为点N.

•点/与点4关于AP对称，

/.AB=A'B=A'H=2,并设/尸=4P=x.

又四边形4HW、四边形4NCH、四边形CDMN均有三个角为直角，故均是矩形.

:.MD=AH=NC=2,DH=M4AN=HGMN=CL.

在直角A/'3N中，BN=BC-NC=BC-A'H=BC-AB=3-2=1,

A'N=yjA'B1-BN2=V22-I2.

贝|JW=AGV-4N=/8-4N=2-g.

PM=AD-AP-MD=3-x-2=1-x.

在直角中，HM=2-日PM=\-x,A'P=x,

由勾股定理得：X2=（2-V3）2+（1-X）2.

解得：x=4-2A/3.

【点睛】本题考查了轴对称的性质应用、矩形的性质应用、勾股定理的应用等知识点，解题的关键将已知

条件与待求结果集中在同一个直角三角形内即可求解.

15.（22-23八年级下•上海普陀•期中）如图，现有矩形/BCD和一个含30。内角的直角三角形2跖按图1所

示位置放置（45和■重合），其中NB=25,4D=48.将尸绕点3顺时针旋转&。（0<</<90）,在旋转过程

中，直线好与边4D交于点G,如图2所示.

（1）求证：AG=EG；

（2）连接CE、DE,当DE=CE时，求出此时。的度数;

(3)如图3,以NB为边的矩形内部作正方形九W,直角边EF所在直线交线段跖V于点P,交BC于点0.设

AG=x,PN=y,写出了关于x的函数解析式.

【答案】(1)见解析

(2)60°

,、、50x

⑶“石石

【分析】(1)连接8G,根据矩形的性质与旋转的性质得出RMA4G丝RtABEG(HL),即可得证；

(2)当DE=CE时，可知点E在CD的垂直平分线上，过点E作，8C于点H,E0LDC于点。，可

得四边形E8C0是矩形，根据等腰三角形的性质得出根据矩形的性质得出E8=m，取BE

125125

的中点M,则8A/=