规律探究类的常见压轴题（解析版）-2022届中考数学压轴大题专项训练

专题17规律探究类的常见压轴题

1.（2021•山东青岛•中考真题）问题提出：

最长边长为128的整数边三角形有多少个？（整数边三角形是指三边长度都是整数的三角形.）

问题探究：

为了探究规律，我们先从最简单的情形入手，从中找到解决问题的方法，最后得出一般性的结论.

（1）如表①，最长边长为1的整数边三角形，显然，最短边长是1,第三边长也是1.按照（最长边长，最

短边长，第三边长）的形式记为（W）,有1个，所以总共有1x1=1个整数边三角形.

表①

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

11（1,1,1）11个11x1

（2）如表②，最长边长为2的整数边三角形，最短边长是1或2.根据三角形任意两边之和大于第三边，当

最短边长为1时，第三边长只能是2,记为（2,1,2）,有1个；当最短边长为2时，显然第三边长也是2,记为

（2,2,2）,有1个，所以总共有1+I=lx2=2个整数边三角形.

表②

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

1（2J2）1

22个11x2

2（2,2,2）1

（3）下面在表③中总结最长边长为3的整数边三角形个数情况:

表③

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

1（3,1,3）1

32个22x2

2（3,2,2）,（3,2,3）2

3（3,3,3）1

（4）下面在表④中总结最长边长为4的整数边三角形个数情况:

表④

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

1（4,1,4）1

2（4,2,3）,（4,2,4）2

43个22x3

3（4,3,3）,（4,3,4）2

4（4,4,4）1

（5）请在表⑤中总结最长边长为5的整数边三角形个数情况并填空:

表⑤

最长边长最短边长（最长边长，最短边长，第三边长）整数边三角形个数计算方法算式

1（5,1,5）1

2（5,2,4）,（5,2,5）2

3

5————

4（5,4,4）,（5,4,5）2

5（5,5,5）1

问题解决：

（1）最长边长为6的整数边三角形有个.

（2）在整数边三角形中，设最长边长为〃，总结上述探究过程，当〃为奇数或〃为偶数时，整数边三角形

个数的规律一样吗？请写出最长边长为〃的整数边三角形的个数.

（3）最长边长为128的整数边三角形有个.

拓展延伸：

在直三棱柱中，若所有棱长均为整数，则最长棱长为9的直三棱柱有个.

【答案】问题探究：见解析；问题解决：(1)12；(2)当〃为奇数时，整数边三角形个数为3匚；当

4

"为偶数时，整数边三角形个数为吗&；(3)4160；拓展延伸：295

【解题思路分析】问题探究：

根据(1)(2)(3)(4)的具体推算，总结出相同的规律，按规律填好表格即可；

问题解决：

(1)由最长边长分别为1,2,3,4,5总结出能反应规律的算式，再根据规律直接写出最长边长为6时的

三角形的个数；

(2)分两种情况讨论：当"为奇数，当力为偶数，再从具体到一般进行推导即可；

(3)当最长边长〃=128时，〃为偶数，再代入吗@进行计算，即可得到答案；

拓展延伸：

分两种情况讨论：当9是底边的棱长时，由最长边长为9的三角形个数有：©tlEnUSuZS个，当9是侧棱

44

长时，底边三角形的最长边可以为1,2,3,4,5,6,7,8,底边三角形共有:

1+2+4+6+9+12+16+20=70个，从而可得答案.

【解析】解：问题探究：

最长边长最短边长(最长边长，最短边长，第三边长)整数边三角形个数计算方法算式

53（5,3,3）,（5,3,4）,（5,3,5）33个33x3

问题解决:

(1)最长边长为1的三角形有：1x1个,

最长边长为2的三角形有：1x2个，

最长边长为3的三角形有：2x2个，

最长边长为4的三角形有：2x3个，

最长边长为5的三角形有：3x3个，

所以最长边长为6的三角形有：3X4=12个,

故答案为：12

(2)由(1)得:

最长边长为1的三角形有：1X1=1?个，

最长边长为3的三角形有：2x2=2'，个,

最长边长为5的三角形有：3x3=32=1胃12个,

所以当〃为奇数时，整数边三角形个数为煲位；

4

最长边长为2的三角形有：lx2=]2x签2+2个，

最长边长为4的三角形有：2x3=94千4+2个，

22

最长边长为6的三角形有：3x4=gx等个，

•••

所以当〃为偶数时，整数边三角形个数为以与4.

(3)当最长边长”=128时，〃为偶数，

可得此时的三角形个数为：迪里2=”(128+2)=64x130=4160.

42

故答案为：4160

拓展延伸：

当9是底边的棱长时，

最长边长为9的三角形个数有：色土以=把9=25个，

44

而直三棱柱的高分别为：1,2,3,4,5,6,7,8,9,

所以这样的直三棱柱共有：25x9=225个，

当9是侧棱长时，底边三角形的最长边可以为1,2,3,4,5,6,7,8,

底边三角形共有：1+2+4+6+9+12+16+20=70个，

所以这样的直三棱柱共有：70个，

综上，满足条件的直三棱柱共有225+70=295个.

故答案为：295.

2.(2021•山东青岛•九年级期末)小明是魔方受好者，他擅长玩各种魔方，从二阶魔方到九阶魔方,

他都能成功复原.有一天，小明突然想到一个问题，在九阶魔方中，到底含有多少个长方体呢？为此，我

们先来解决这样一个数学问题：如图，图1是一个长、宽、高分别为a,b,c（生2,b>2,c>2,且a,b,c

是正整数）的长方体，被分成了个棱长为1的小立方体.这个几何体中一共包含多少个长方体（包括

正方体）?（参考公式：1+2+3...+"=迹±9）.

2

问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得

出一般性的结论.

探究一：如图2,该几何体有1个小立方体组成，显然，该几何体共有1个长方体.如图3,该几何体有2个

小立方体组成，那么它一共包含1+2=3个长方体.如图4,该几何体有3个小立方体组成，那么它一共包含

个长方体.如图5,该几何体-共包含210个长方体，那么该几何体共有个小立方体组成.

探究二：如图6,该几何体有4个小立方休组成，那么它一共包含（1+2）x（1+2）=9个长方体.如图7,

该几何体有6个小立方体组成，那么它一共包含

个长方体.如图8,该几何体共有2加个小立方体组成，那么该几何体一共有个长方体.

探究三：如图1,该几何体共有个axbxc小立方体组成，那么该几何体共有个长方体.

探究四：我们现在可以解决小明开始的问题了.在九阶魔方（即a=6=c=9）中，含有个长方体.

探究五：聪明的小明在学习了三种视图后，又提出一个新的问题：在图1中，若。=6,6=4,c=5,如果

拿走一些小立方体后，剩下几何体的三种视图与原图1的三种视图完全一样，那么最多可以拿走

个小立方体；此时，剩下的几何体的表面积是.

【答案】探究一：6,20；探究二：18；探究三：伍+1）（。+1）；探究四：91125；探究五：72,

8

164

【解题思路分析】探究一：先输出图4的长方体个数，然后得出规律有”小正方体组成的几何体有小土D

2

个长方体，由此求解即可；

探究二：由探究一可知图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，那么它一共包含(

1+2)x(1+2)xl=9个长方体，图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，图7中它

一共包含(1+2+3)x(1+2)x1=18个长方体，

探究三：该几何体共有个.x6xc小立方体组成，该几何体有长有如D条线段，宽有处土D条线段，宽

22

有尘士D条线段，由此求解即可；

2

探究四：由探究三可知，在九阶魔方(即a=b=c=9)中，含有9x9x9(9+1)(9+1)(9+1)=91125个长方

8

体；

探究五：拿走前后的三视图需要一样，只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可如图所示求解即可

；如图所示表格外面的数字表示的是此处露在外面的小正形有多少个面，

由于处在里面的每个小正方体(个数为1)比处在边缘的小正方体多相邻一个小正方体，因此处在中间的

会比处在边缘的少一个1个面，同理处在里面的(有5个小正方体的)比处在边缘的少2个，由此求解即可

【解析】解：探究一：由题意得图4一共有：1+2+3=6个长方体，

177x3

・•・有1个小正方体组成的几何体有x三=1个长方体，有2个小正方体组成的几何体有望=3个长方体，有3

个小正方体组成的几何体有当3x一4=6个长方体..........

・•・可以得出规律有〃小正方体组成的几何体有攻M个长方体，

2

n(n+l],

二」——^=210,gP«2+n-420=0,

2

解得〃=20或〃=-21(舍去)，

故答案为：6,20；

探究二：图6中长一共有1+2=3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，

.•・那么它一共包含(1+2)x(1+2)xl=9个长方体，

图7中长一共有1+2+3条线段，宽有1+2=3条线段，高有1条线段，

二图7中它一共包含(1+2+3)x(1+2)幻=18个长方体,

故答案为：18；

探究三：•.•该几何体共有个axbxc小立方体组成，

该几何体有长有心却条线段，宽有处土。条线段，宽有-D条线段，

222

・••图1中一共包含一^——————L=————△——八——L个长万体，

2228

故答案为：—（。+1）伍+l）（c+l）；

8

探究四：由探究三可知，在九阶魔方（即a=6=c=9）中，含有9*9*9（9+1）（9+1）（9+1）=%125个长方

8

体；

探究五：・••拿走前后的三视图需要一样，

••・只需要保留三视图三个面的几何体图形一样即可，

如图小方格内的数字表示此处一共有多少个小正方体，此时一共有48个小正方体，即为所求，

••・一共最多可以拿走6x5x4-48=72个小正方体，

511111

151111

115551

111115

如图所示，表格外面的数字表示的是此处露在外面的小正形有多少个面，

由于处在里面的每个小正方体（个数为1）比处在边缘的小正方体多相邻一个小正方体，因此处在中间的

会比处在边缘的少一个1个面，同理处在里面的（有5个小正方体的）比处在边缘的少2个，

，几何体的表面积=20+20+（20-2）x4+3x12+4x2+（3-1）*4=164.

2033334

5-h1-

57hh

1-5,55-

1.h15^

333320

3.（2021•沙坪坝•重庆八中九年级开学考试）根据阅读材料，解决问题.

材料1：若一个正整数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”（

例如：1、232、4554是对称数）.

材料2：对于一个三位自然数A,将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x,V

,z,我们对自然数A规定一个运算：K(A)=x2+y2+z2,

例如：/=191是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、8、2.则

^(191)=22+82+22=72.

请解答：

(1)请你直接写出最大的两位对称数：—，最小的三位对称数：—；

(2)如果将所有对称数按照从小到大的顺序排列，请直接写出第1100个对称数―；

(3)一个四位的“对称数”8,若K(B)=8,请求出8的所有值.

【答案】(1)99,101；(2)101101；(3)5115,5665,1551,1001,6556,6006

【解题思路分析［(1)根据对称数的概念进行求解即可；

(2)分别列举出一位数、两位数、三位数、四位数、五位数的对称数，进一步得出第1100个对称数；

(3)先根据K(3)=8,求出0,6的值，进而求出四位的“对称数”，即可得出结论.

【解析】解：(1)最大的两位对称数是99；最小的三位对称数是101.

故答案为：99；101；

(2)•.,一位数的对称数有9个；

两位数的对称数有9个，

三位数的对称数个位与百位可取1~9,十位可取0~9,

•••有90个；

四位数的对称数个位与千位可取1〜9,十位与百位可取0~9,

有90个；

五位数的对称数万位与个位可取1〜9,千位、百位、和十位可取0~9,

有900个，

此时99999为第1098个对称数，

第1100个对称数为101101.

故答案为：101101;

(3)设四位的对称数3的各个数位上的数字分别2倍后，取个位数数字分别为。，b,b,。(0”8,

0„瓦,8的整数)，

■：K(B)=8,

a2+b2+b2+a2=8,

ci~+b~—4,

二.。=0时，b=2；。=2时，b=0；

①当。=0,6=2时，四位的对称数为5115,5665；

②当a=2,6=0时，四位的对称数为1551,1001,6556,6006,

综上所述,8为5115,5665,1551,1001,6556,6006.

4.（2021•青岛大学附属中学九年级开学考试）（实际问题）小明家住15楼.一天，他要把一根3米长

的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示）那么，电梯的长、宽、高和的最大

值是多少米？

图①

（类比探究）为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题.

探究：如图②，在中，AC1BC.若BC=a,AC=b,AB=c,贝防与c之有什么数量关系？

B

bA

图②

解：在A45C中，

•­•AC1BC,

BC2+AC2=AB2,BPa2+b2=c2.

■■(a-b)2>0,

a2+b2-lab>0，

a2+b2>lab,

c2>2ab，

,•c~+a-+b~N2ab+.

2c2>(a+8)~.

•••a,b,c均大于0,

a+6与c之间的数量关系是q+bwj5c.

探究2：如图③，在四边形中，NC是对角线，ABVBC,AC1CD.若N3=a,BC=b,CD=c

,AD=d,则a+6+c与d之间有什么数量关系？

解：VABVBC,AC1CD,

BC1+AB2=AC2,AC2+CD2=AD2.

a2+b2+c2=d2

'''(a-Z>)2>0,(a-c)->0,(Z>-c)2>0,

a2+b2>lab,a2+c2>2ac(b2+c2>2bc.

将上面三式相加得，2a°+262+2c2>lab+2ac+2bc，

2d2>2ab+2ac+2bc.

,112d~++c~22ab+2ac+2bc++/+c~.

d2>(a+6+c)".

1•,a,b,c,d均大于0,

a+6+c与d之间有这样的数量关系：a+b+c<d.

探究3：如图④，仿照上面的方法探究，在五边形/5CDE中，AC,是对角线，ABLBC,AC1CD

,ADA.DE.若AB=a,BC=b,CD=c,DE=d,AE=e,则a+b+c+d与e之间的数量关系是

图④

(归纳结论)

当q>0,电>°，…，>0,%>0时，若靖电？+…=加？，则/+电+…+。”与加之间的数量关系

是.

(问题解决)

小明家住15楼一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中(如图①

示),那么，电梯的长、宽、高和的最大值是米.

(拓展延伸)

公园准备修建一个四边形水池，边长分别为。米，6米，。米，d米，分别以水池四边为边向外建四个正方

形花园，若花园面积和为900平方米，则水池的最大周长为米.

【答案】探究2：3,V3.探究3：a+6+c+dW2e.归纳结论：。1+02+…+。,£血机.问题解决：3G.拓展延

伸：60.

【解题思路分析】探究2：利用完全平方公式，模仿例题解决问题即可.

探究3：模仿例题解决问题即可.

归纳结论：利用探究2,3的规律，解决问题即可.

问题解决：利用探究2中结论解决问题.

拓展延伸：利用探究3中结论，解决问题即可.

【解析】解：探究2：-.-ABLBC,AC1CD,

.-.BC^+AB^AC1,AC^+CD^AD2.

.■.a2+b2+c2=(P.

(a-b)2>0,(tz-c)2>0,(b・c)2>0,

222222

•'-a+b>2ab,a+c>2acfb+c>2bc.

将上面三式相加得，2a2+2b2+2c2>2ab+2ac+2bc,

'，-2cP>2ab+2ac+2bc.

^2d1+a1-irb1+c1>2ab+2ac+2bc+a1+b1+c1,

­•3cP>(a+b+c)2.

**a,b,c,d均大于0,

・・.a+6+c与，之间有这样的数量关系：a+b+c46d.

故答案为：3,百

探究3：-ABLBC,ACA.CD,ADLDE.若BC=b,CD=c,DE=d,AE=e,

.-.BC^+AB^AC2,AC^+CD^AD2,AD^D^AE1,

^a2+b2+c2+cP=e2,

v(a-b)2>0,(a・c)2>0,(b・c)2>0,(〃・d)2>0,(6-d)2>0,(c・d)2>0,

1222222211

­-d+b>2ab,a+c>2acfb+c>2bc,a+(P>2ad,b+(P->2bd,c+d>2cd,

将上面三式相加得，34+3按+3c2+/N2ab+2ac+26c+2ad+26d+2cd,

•••3e2>2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd,

-,-2e2+a2+b2+c2+cP>2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd+a2+b2+c2+cP

,\4e2>(q+b+c+d)2,

•-a+b+c+d<2e,

故答案为：a+b+c+d02e.

【归纳结论】当4i>0,白2>0，…，an>0,加>0时，若刈^+苏+…+魅2=加2,则的+〃2+…+为与加之间的数量

关系是。1+。2+…bm.

【问题解决】小明家住16楼.一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中.如果竹竿恰好刚能放入

电梯中(如图①示)，由探究2可知，电梯的长、宽、高和43白(米)，

•••电梯的长、宽、高和的最大值是3百米.

故答案为：3VL

【拓展延伸】由题意〃2+62+°2+，=900=£2,

••・e=30(米)，

由探究3可知，a+Z)+c+dS2e,

-,-a+b+c+d<60,

二水池的最大周长为60米，

故答案为：60.

5.(2021•山东南区•九年级一模)(问题提出)用〃个圆最多能把平面分成几个区域？

(问题探究)为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次

递进，最后猜想得出结论.

探究一：如图1,一个圆能把平面分成2个区域.

图1图2图3

探究二：用2个圆最多能把平面分成几个区域？

如图2,在探究一的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前1个圆有2个交点，将新增加的

圆分成2部分，从而增加2个区域，所以，用2个圆最多能把平面分成4个区域.

探究二：用3个圆最多能把平面分成几个区域？

如图3,在探究二的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前2个圆分别有2个交点，将新增

加的圆分成2x2=4部分，从而增加4个区域，所以，用3个圆最多能把平面分成8个区域.

(1)用4个圆最多能把平面分成几个区域？

仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图.

(2)(一般结论)用〃个圆最多能把平面分成几个区域？

为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前。个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成

一部分，从而增加个区域，所以，用"个圆最多能把平面分成

个区域.(将结果进行化简)

(3)(结论应用)

①用10个圆最多能把平面分成个区域；

②用个圆最多能把平面分成422个区域.

【答案】(1)在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，

将新增的圆分成2*3=6部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成14个区域；(2)2〃-2；

2n-2；/_〃+2；(3)①92；②21

【解题思路分析】(1)在探究三的基础上，新增加的圆与前3个圆分别有2个交点，将新增的圆分成2x3=6

部分，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2xl+2x2+2x3个区域；

(2)为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成(2H-

2)部分，从而增加(2«-2)个区域，所以，用"个圆最多能把平面分成2+2xl+2x2+2x3+2x4+…+2(n-

l)区域求和即可；

(3)①用〃=10,代入规律，求代数式的值即可；

②设"个圆最多能把平面分成422个区域，利用规律构造方程，可得方程I一”+2=422解方程即可.

【解析】解：(1)在探究三的基础上，为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前3个圆分别有2个交

点，将新增的圆分成2*3=6部分，从而增加6个区域，所以，用4个圆最多能把平面分成2+2x1+2x2+2x3=14

个区域；

(2)为了使分成的区域最多，应使新增加的圆与前5-。个圆分别有2个交点，将新增加的圆分成(2«-

2)部分，从而增加(2«-2)个区域，所以，用〃个圆最多能把平面分成区域数为

2+2xl+2x2+2x3+2x4+…+2(n-l),

=2+2(1+2+3+...十几・1),

=2+H(W-1),

=n2-n+2;

故答案为：(2小2)；(2«-2)；«2-„+2；

(3)①用10个圆，即力=10,/-"+2=1()2-10+2=92；

②设n个圆最多能把平面分成422个区域，

可得方程”2-n+2=422,

整理得/-"-420=0,

因式分解得("21)5+20)=0,

解得〃=21或“=-20(舍去)，

.••用21个圆最多能把平面分成422个区域.

故答案为：21.

6.阅读材料：1261

年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律.在他

之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”.

(a+b)1

(a+b)3

这个三角形给出了S+b）〃（n

为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序、b的次数由小到大的顺序排列）的系数规律.例如：在

三角形中第三行的三个数1、2、1,恰好对应（。+32=/+2仍+〃展开式中各项的系数；第四行的四个数

1、3、3>1,恰好对应（a+b）3=〃3+3。26+3“62+63展开式中各项的系数等.

从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形.经研

究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数.

（a+6+c）°=l1

（Q+6+C）1=a+b+c

1

11

（a+6+c）2=a2+b2+c+2ab+2ac+2be

1

22

121

（a+b+c）

=a+c+3a2b+3ab2+3Q2c+3ac~+362c+3be2+6abc

1

33

363

1331

（1）根据材料规律，请直接写出（a+b『的展开式；

（2）根据材料规律，如果将a-）看成。+（必），直接写出工+11的展开式（结果化简）；若

求工+1］的值;

2H4-5n2+2-7

（3）已知实数a、b、c,满足片+/+C2+2"46+6C=T0,且占+占一士=。，求。+j的值.

【答案】(1)(tz+Z))4=tz4+Aab+6tz2/72+Aab3+b4；

(2){z?--+1^1=«2+—y-l+2w--,fz?--+1^1=1或9；

\n)nn\n)

(3)a+b-c=6或2

【解题思路分析】(1)依据规律进行计算即可；

2i____o

(2)4"2—=!分子分母同时除以"2可化为.2-2一餐,得出2/-5+==7,从而求得

2«4-5«2+272n-5+—2

nn

n2+~=6,即可求得〃-』=±2,代入("-L+j即可求解；

nn\n)

(3)将式子a2+b2+c2+2a-4b+6c=-iQ通过完全平方式变形为(a+1)2+(^-2)2+(c+3)2=4,设

a+\=x,b-2=y,c+3=z,通过Q+6—C与1+y一的关系联立阅读材料可求得的值.

【解析】解：(1)(。+6)4=/+4。%+6。％2+4。/+/；

=n2++12+2wx+2nxl+2x

=n2+^+l-2+2n--

nn

211c2

nn

2774-5„2+2-7

______2i

、2-2即2*-5+==7,可得/+=6,

2〃一5十二nn

n

2

■.-n+^=+2=6,可得〃—=±2

nn

ir1Y1?

当〃—=2时，n-----l-l=w2+—z--l+2«—==6-l+2x2=9

nyn)nn

当〃_,=_2时，fz/--+1^1=n2+-^r--l+2w--==6-1+2x(-2)=1

nynJnn

(3)a2+b2+c2+2a—4b+6c=-10

整理得到(Q+1)2+(6-2)2+(c+3)2=4

设a+l=x,b-2=y,c+3=z,

x2+y2+z2=4

x2+y2+z2=4

则，解得

=0xy-xz-yz=0

xyz

丁•(x+y—z)=(Q+1+Z)—2,—c—3)=(a+b—c—4)~

=x2+y2+z2+2xy-2xz-2yz

=x2+y2+z2+2(盯-xz-yz)

=4

a+b-c-4=±2

・•・当〃+6-。一4=2时，a+b-c=6；

当。+6-。-4=-2时，a+b-c=2；

••・。+6-。=6或2

7.先阅读下面的文字，然后按要求解题：

例：1+2+3+...+100=?

如果一个一个顺次相加显然太繁琐，我们仔细分析这100个连续自然数的规律和特点，可以发现运用加法

运算律，是可以大大简化计算，提高运算速度的.

因为1+100=2+99=3+98=…=50+51=101

所以将所给算式中各加数经过交换、结合以后，可以很快求出结果.

解：1+2+3+…+100

=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)

=101x____________

⑴补全例题的解题过程；

(2)vh：。+(。+b)+(。+2b)+(。+3b)H----F(Q+99Z?)+(tz+100Z?)

【答案】(1)50,5050；(2)1014+50506

【解题思路分析】(1)根据数的个数可找出总共有50个101,由此即可得出结论；

(2)仿照(1)找出规律，由此即可求出结论.

【解析】解：(1)1+2+3+4+5+…+100,

=(1+100)+(2+99)+(3+98)+...+(50+51)，

=101x50,

=5050.

故答案为50；5050.

(2)原Q+Q+6+Q+2b+〃+3b------F〃+99b+〃+100b

=a+a+a+a-\----FQ+Q+(6+26+36H-----F99b+100b)

=101〃+5050b

8.(2021•四川中区•九年级模拟预测)阅读与应用：

阅读1：。、b为实数，且q>0,b>0f因为(6一翡)>0,所以。一2八^+620，从而Q+(当a

=6时取等号).

阅读2：函数kx+%(常数冽>0,x>0),由阅读1结论可知：X+->2AL^=2诟，所以当'=%即

XXVXX

X=\/^?时，函数>=--的最小值为2〃?.

X

阅读理解上述内容，解答下列问题：

问题1：已知一个矩形的面积为4,其中一边长为x,则另一边长为:，周长为2卜+：］,求当

—时，周长的最小值为.

问题2：已知函数为=x+l—与函数y2=N+2x+17(x>—1),当％=___________时，匹的最小

必

值为.

问题3：某民办学习每天的支出总费用包含以下三个部分：一是教职工工资6400元；二是学生生活费每人1

0元；三是其他费用.其中，其他费用与学生人数的平方成正比，比例系数为0.01.当学校学生人数为多少

时，该校每天生均投入最低？最低费用是多少元？(生均投入=支出总费用+学生人数)

【答案】问题1：28问题2：38问题3：设学校学生人数为x人，生均投入为y元，依题意得：

6400+10%+0.0lx2x6400_日4，二匚I、I

y=-------------------------=——+-------+110,因为x>0,所以

x100x

x64001八I/640000、._2/一八八八八“、1,640000.口

y=------1---------F10=(XH-----------)+10>A/640000+10=16+10=26,当％=------即nnx=800时，”取

100X100X100X)

最小值26.答：当学校学生人数为800人时，该校每天生均投入最低，最低费用是26元.

【解析】试题分析：

4

问题I：当x=2时，周长有最小值，求x的值和周长最小值；

X

一口工为x2+2x+17(x+l)2+16/1、16,,16,%口——,»一

问疝2：变形乙=----------=------,---=(x+l)+,由当x+l=；时，一的取小值，求出x值和

必x+lx+lx+lx+l必

匹的最小值；

必

问题3：设学校学生人数为x人，生均投入为n元，根据生均投入=支出总费用+学生人数，列出关系式，根

据前两题解法，从而求解.

试题解析:

4

问题1：,.・当x=—(x>0)时，周长有最小值,

X

•••x=2，

・•・当x=2时，x-△有最小值为2xJ^'=4.即当x=2时，周长的最小值为2*4=8；

Y

问题2：•.w=x+l(x>—1)与函数p2=N+2x+17(x>—1),

y_x2+2x+170+1)2+16(1、16

2=(x+1)+^T

弘x+1x+1

•・,当x+l=」)(x>—1)时，匹的最小值,

x+1必

・•・x=3,

・•.x=3时，(x+l)+上7有最小值为4+4=8,即当x=3时，匹的最小值为8；

问题3：设学校学生人数为x人，则生均投入y元，依题意得

6400+10x+0.01x2x6400..巾品、八匚匚［、［

y=-------------------------=——+-------+10,因为x〉0,所以

x100x

y=—+^^+10=—［x+640000^+10>—7640000+10=16+10=26,当x=即x=800时，y取

100x100vx)100x

最小值26.

答：当学校学生人数为800时，该校每天生均投入最低，最低费用是26元.

9.(2021•盐城市第一初级中学九年级月考)阅读材料：各类方程的解法:

求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为

一元一次方程来解；类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组.求解一元二次方程，把它

转化为两个一元一次方程来解.求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根,

所以解分式方程必须检验.各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想

转化，把未知转化为己知.

用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程.例如，一元三次方程x3+xJ

2x=0,可以通过因式分解把它转化为+x-2)=0,解方程x=0和x2+x-2=0,可得方程x3+x2-2x=0的解.

(1)问题：方程6/+14--12》=0的解是：西=0,x,=

(2)拓展：用“转化”思想求方程=x的解；

(3)应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=21m,宽AB=8m,点P在AD上(AP>PD),小华把一根

长为27m的绳子一段固定在点B,把长绳PB段拉直并固定在点P,再拉直，长绳的另一端恰好落在点C,求

AP的长.

PD

千年千

/、、

y千千年千、生

BC

2

【答案】(1)~；—3；(2)x=3；(3)15

【解题思路分析】(1)首先提出2x,然后因式分解多项式，然后得结论；

(2)两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；

(3)设AP的长为xm,根据勾股定理和BP+CP=27,可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理

方程转化为整式方程，求解即可.

【解析】(1)6X3+14X2-12X=0

2X(3、2+7%-6)=0

2x(x+3)(3x-2)=0

、、2

••・x=0或％=-3或x=§

2

故答案为：-3,—；

(2)j2x+3=x,

方程的两边平方，得2x+3=x2,

8Px2-2x-3=0,

(x-3)(x+1)=0,

・・・x-3=0或x+l=0,

••.xi=3,x2=-l,

当x=-1时，J2x+3=\/T=1w—1,

所以不是原方程的解.

所以方程j2x+3=x的解是x=3；

（3）因为四边形ABCD是矩形,

所以NA=ND=90。，AB=CD=8m,

设AP=xm,贝!]PD=（21-x）m,

因为BP+CP=27,

^=yjAP-+AB2-CP=dCD?+PD。，

■■782+X2+^（21-X）2+82=27,

•••^（21-X）2+82=27-7?+x2，

两边平方，得（21-好+82=729-54而m+8?+x2

整理，得48+7x=9布五丁

两边平方并整理，得--21x+90=0

解得x=15或6（不合题意，舍去此时AP<PD）

经检验，x=15是方程的解.

答：AP的长为15m.

10.（2021•山东济南•九年级一模）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务.

pA

己知平面上两点A、B,则所有符合言=左（左>0且左片1）的点尸会组成一个圆.这个结论最先由古希腊数学家

阿波罗尼斯发现，称阿氏圆.

阿氏圆基本解法：构造三角形相似.

（问题）如图1,在平面直角坐标中，在x轴，V轴上分别有点C（加点尸是平面内一动点，且

OP

OP=r,设/=左，求尸。+小。的最小值.

图1

阿氏圆的关键解题步骤：

第一步：如图1,在。。上取点使得（W:。尸=。尸:。。=左；

第二步：证明小。=9；第三步：连接CM,此时CW即为所求的最小值.

下面是该题的解答过程（部分）：

解：在。。上取点加r，使得（W:。尸=0尸:。。=左，

又QAPOD=/.MOP,.MPOM:MDOP.

任务：

⑴将以上解答过程补充完整.

（2）如图2,在如A48c中，//。8=90°,公=4,2。=3,。为4£5（7内一动点，满足。。=2,利用⑴中的

2

结论，请直接写出§8。的最小值.

B

【答案】（1）yjm2+k2r2.（2）生叵.

3

【解题思路分析】⑴

将PC+kPD转化成PC+MP,当PC+kPD最小，即PC+MP最小，图中可以看出当C、P、M共线最小，本J用勾

股定理求出即可；

⑵根据上一问得出的结果，把图2的各个点与图1对应代入，C对应0,D对应P,A对应C,B对应M,当D在A

B上时3+g助为最小值，所以小）+g&）=M^pzy=卜+口=平

【解析］解（1）MP:PD=k,:.MP=kPD,

PC+kPD=PC+MP,当PC+狂＞£＞取最小值时，尸C+MP有最小值，即C,P,M三点共线时有最小值，

利用勾股定理得CM=yj0C2+0M2=yjm2+（kr^=yjm2+k2r2.

（2）AD+^BD的最小值为生叵，

33

11.（2020•山东青岛•九年级一模）［提出问题］正多边形内任意一点到各边距离之和与这个正多边形的

边及内角有什么关系？

［探索发现］

⑴为了解决这个问题，我们不妨从最简单的正多边形——正三角形入手

如图①，2UBC是正三角形，边长是见尸是A48C内任意一点，尸到ZUBC各边距离分别为九、%、h},确

定4+%+的值与\ABC的边及内角的关系.

图①

（2）如图②，五边形48CDE是正五边形，边长是尸是正五边形/3CDE内任意一点，尸到五边形4&CDE各

边距离分别为4,%,〃3也,人5，

参照⑴的探索过程，确定九+%+4+4+4的值与正五边形/BCDE的边及内角的关系.

⑶类比上述探索过程：

正六边形（边长为。）内任意一点P到各边距离之和4+%+4+%+色+4=

正八边形（边长为a）内任意一点尸到各边距离之和4+为+%+均+〃5+4+%+4=

涧题解决］正〃边形（边长为。）内任意-一点P到各边距离之和4+4+……+4=

35

【答案】