广东中考数学一轮复习：图形的相似与位似综合检测过关卷（解析版）

专题21图形的相似与位似综合检测过关卷

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）下列各组图形一定相似的是（）

A.所有等腰三角形都相似

B.所有等边三角形都相似

C.所有菱形都相似

D.所有矩形都相似

【答案】B

【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可.

【解答】解：任意两个等腰三角形的对应边不一定成比例，不一定相似，A错误；

任意两个等边三角形对应角相等、对应边成比例，一定相似，3正确；

任意两个菱形的对应角不一定相等，不一定相似，C错误；

任意两个矩形的对应边不一定成比例，不一定相似，D错误；

故选：B.

2.（3分）下列每个选项中的两个图形一定相似的是（）

A.两个等腰三角形B.两个正五边形

C.两个矩形D.两个平行四边形

【答案】B

【分析】根据图形相似的判定判断.如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个

多边形相似.选项中只有8符合.

【解答】解：A、两个等边三角形相似，但是两个等腰三角形并不一定相似，三个角度没有确定，故A

不正确；

8、两个正五边形角度相等，放大缩小后可以完全重合，两图形相似，故B正确；

C、两个正方形相似，两个矩形虽然角度相等，但是边不一定对应成比例，故不一定相似，故C不正确；

D,两个平行四边形对应角度不一定相等，对应边不一定成比例，所以不一定相似，故。不正确.

故选：B.

3.（3分）如图，四边形ABC。和四边形A'B'CD'是以点。为位似中心的位似图形，若OA：OA'=

2：3,四边形A8C。的面积等于4,则四边形A'B'CD'的面积为（）

A.3B.4C.6D.9

【答案】D

【分析】利用位似的性质得到AQ：A'D'=OA：OA'=2：3,再利用相似多边形的性质得到得到四边

形A'B'CD'的面积.

【解答】解：：四边形和四边形A'B'CD'是以点。为位似中心的位似图形，

：.AD：A'D'=OA：OA'=2：3,

四边形4BCD的面积：四边形A'B'CD'的面积=4：9,

而四边形ABCD的面积等于4,

四边形A'B'CD'的面积为9.

故选：D.

CD3CE

4.（3分）如图，在△ABC中，DE//AB,且一=一，则一的值为（）

BD2CA

【答案】A

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可.

_CD3

【解答】V—=

BD2

•_CD3

••——,

CB5

9：DE//AB,

.CECD3

"CA~CB~5

故选：A.

5.（3分）如图，在△ABC中，点。在边A3上，过点。作。后〃8C,交AC于点£若AO=2,BD=3,

则一的值是（）

【答案】A

ZEAD

【分析】由。£〃5C,利用平行线分线段成比例，可得出一=—，再代入AO=2,BD=3,AB=AD+BD,

ACAB

即可求出结论.

【解答】\-DE//BC,

eAEADAD22

a，AC~AB~AD+BD―2+3-5*

故选：A.

6.（3分）若线段mb,c,d是成比例线段，且b=4cm,c=2cm,贝（Jd=（）

A.8cmB.0.5cmC.2cmD.3cm

【答案】A

【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段.根据定义ad=

cb,将a,6及c的值代入即可求得d.

【解答】解：b,c,d是成比例线段，

••cbf

**a=1cm,b=4cm,c=2cm,

••d—8（cm）,

故选：A.

403AE

7.（3分）如图，在△ABC中，DE//BC,若一=则一的值为（）

AB5CE

235

A.3B.-C.一D.

323

【答案】C

【分析】直接利用平分线分线段成比例定理求解.

【解答】解：石〃5C,

#AEAD3

"AC~AB~

.AE3

••—―,

CE2

故选：C.

8.（3分）下列各组图形，一定相似的是（）

A.两个等腰梯形B.两个菱形

C.两个正方形D.两个矩形

【答案】C

【分析】根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等,对各选项分析判断后利用排除法

解答.

【解答】解：4、两个等腰梯形不一定相似，故本选项不合题意;

以两个菱形，形状不一定相同，故本选项不合题意;

C、两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似形定义，故本选项符合题意；

D,两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故本选项不合题意.

故选：C.

9.（3分）已知矩形A8C。中，AB=4,BC=3,下列四个矩形中与矩形ABC。相似的是（）

A.

【答案】A

【分析】利用相似多边形对应边的比相等,即可找出结论.

43

【解答】解」•广石=2,

.*.A选项中的矩形与矩形ABCD相似.

故选：A.

10.（3分）如图是某景区大门部分建筑，已知AC=16m,当。尸：D£=4：3时，则43的

长是（）

cF

C.12mD.13m

【答案】C

【分析】由AO〃5E〃CR利用平行线分线段成比例，即可求出A5的长.

【解答】解「ND//BE//CF,

ABDEAB3

—，即—=-9

ACDF164

.\AB=12m.

故选：C.

填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

、,a3,a+b5

11.（3分）已知丁=一，则——=-

b2a—2—

【答案】|.

【分析】根据比例的性质得。=|江再代入所求的式子计算即可.

a3

的解

解---

b2

,5

故答案为：二.

2

12.（3分）已知5。=24贝!|Q：b=2：5

【答案】见试题解答内容

【分析】依据比例的性质进行变形即可.

【解答】解：,・・5〃=2。，

・・。：。=2：5.

故答案为：2：5.

CL—b2b3

13.（3分）如果——=-,则一的值是—二.

CLDCL5

3

【答案】

【分析】根据比例的性质得出5（d-b）=2a,求出3a=5b,再根据比例的性质求出答案即可.

【解答】解：V—=

a5

.*.5（a-b）—la,

；・5〃-5b-2〃=0,

.•.3a=5。，

・b3

*a5

3

故答案为：

aa+b

14.（3分）已知一=2,那么——=3.

bb

【答案】见试题解答内容

【分析】根据比例的性质求出〃=2。，把〃=2。代入空，即可求出答案.

b

a

【解答】解：:工=2,

b

：・a=2b,

a+b2b+b3b

•・•_____—________—_____—&j，

bbb

故答案为：3.

X4%+v9

15.（3分）已知一=一，则---=-.

y5y—5—

9

【答案】

【分析】设x=4左，y=5k,代入式子化简求解即可.

x4

【解答】解：・・・一=

y5

・••可以假设x=4攵，y=5k,

.x+y4k+5k9

-y—5/c_5，

9

故答案为：

三.解答题(共8小题，满分55分)

16.(7分)平行四边形ABC。中，点£在2C边上，对角线AC交。E于点?

〜ACAD

(1)如图1,在平行四边形A8CD中，ZB=90°ACLDE,求证：一

DEDC

(2)如图2,在平行四边形A2C。中，AB^AD,NAFD=/B,那么AC与。E的长有什么关系？请证

明你的结论;

求AC的长.

【答案】(1)证明过程见解答;

(2)AC^DE.证明过程见解答;

(3)AC

【分析】(1)先判定四边形A8CD是矩形，推出/8=乙位＞。=/2。=90°,然后根据余角的性质推

出ZCAD=ZCDF,判定△AQCsADCE后根据相似三角形的性质即可得证；

(2)延长CD至点G,使DG=CE,连接AG,根据四边形ABC。是平行四边形且判定四边形

ABC。是菱形，推出AO〃BC,AD=CD,ZB=ZADC,推出判定△AOGgZYDCE的条件，

判定全等后推出AG=OE,NG=/DEC.然后根据三角形内角和定理推出/AOE=NACO,得到NG=

ZACD,推出AC=AG即可得到AC^DE；

(3)过点A在平行四边形ABCZ)外以AD为一边，作NDAK=NCDE,AK交CD的延长线于点K,根

据四边形ABCD是平行四边形推出判定的条件，判定相似后根据相似三角形的性质推出

4DAK

——=―,ZK=ZDEC,即可求出AK的长，然后根据三角形内角和定理推出/ADE=NAC。，得到/

DCDE

K=/ACD,根据等角对等边得到AC=AK即可求出AC.

【解答】(1)证明：：四边形ABC。是平行四边形，ZB=90°,

四边形A8CD是矩形，

：./B=NADC=/BCD=90°,

：.ZCAD+ZACD=9Q°,

VAC±DE,

.•.ZCDE+ZAC£>=90°,

：.ZCAD=ZCDFf

又•：/DFC=/DCE=9U°,

:.AADC^ADCE,

.ACAD

・'DE~DC；

(2)解：AC=DE.

证明：如图2,延长CD至点G,使DG=CE,连接AG,

•・•四边形A3C0是平行四边形，且

・•・四边形ABCO是菱形，

：.AD//BC,AD=CDf/B=NADC,

NADG=NDCE,

又,：AD=CD,DG=CE,

••・△ADGmdDCE(SAS),

：.AG=DE,ZG=ZDEC,

,：AD//BC,

：.ZADE=ADEC,

：.ZG=ZADE,

VZADF+ZMD+ZAFD=180°,

ZA£>C+ZZ)AC+ZAC£)=180°,

ZADC=ZB=ZAFDf

・•・ZADE=ZACD,

：.ZG=ZACDf

：.AC=AGf

：.AC=DE；

(3)解：如图3,过点A在平行四边形ABC。外以A。为一边，作NDAK=NCDE,AK交CO的延长

线于点K,

・・•四边形ABCD是平行四边形,

：.AD//BC,ZB=ZADC,

：.ZADK=ZDCE,

又丁NADK=/DCE,

：.△ADKs^DCE,

ADAK

/K=/DEC,

DCDE,

VA£>=6,DE=5,OC=4,

-.A…K=A-DD,D^E=-6x5=T15'

VZADF+ZFAD+ZAFD=180°,

ZADC+ZDAC+ZAC£>=180°,

ZADC=ZB=ZAFDf

：.ZADE=ZACD,

：.ZK=NACO,

：.AC=AK.

：.AC=^.

17.(7分)△ABC的顶点坐标分别为A(1,3),B(4,2),C(2,1).

（1）作出与△ABC关于无轴对称的△421。，并直接写出点。的坐标；

（2）以原点。为位似中心在原点的另一侧画出282c2,使AB：A2B2=1：2,并直接写出点C2的坐

标.

【答案】（1）作图见解析；点C1的坐标为（2,-1）；

（2）作图见解析；点C2的坐标为（-4,-2）.

【分析】（1）根据轴对称性质即可画出与△ABC关于x轴对称的图形△ALBIG,并写出点G的坐标即可；

（2）把A、B、C的横纵坐标后乘以-2得到出急、B2、C2的坐标，然后描点即可得到AA222c2.

【解答】解：（1）如图所示；

点Ci的坐标为（2,-1）；

（2）如图所示;

点C2的坐标为（-4,-2）.

，、一，ac,、CLc

18.（6分）已知一=一，求证：---=----.

bda+bc+d

【答案】见试题解答内容

【分析】根据比例线段的性质解答即可.

ac

【解答】证明：・・,工=;=k,

bd

•左，c~—dkf

.abkkcdkk

*a+bbk+bk+1'c+ddk+dk+1

ac

即---=----.

a+bc+d

19.（6分）（1）在方格纸上画三个点：A（2,3）、B（5,3）和C（2,6）,并且依次连接A、B、。三个点,

使之成为一个三角形.

9———————————

8-------------------------------------

7-------------------------------------

6-------------------------------------

5-------------------------------------

4-------------------------------------

3-------------------------------------

2-------------------------------------

1-------------------------------------

0~~――—————

1234567891011121314

（2）在方格纸中按2：1画出这个图形放大后的图形.

（3）把原图形绕5点顺时针旋转90度，画出旋转后的图形.

【答案】（1）见解答.

（2）见解答.

（3）见解答.

【分析】（1）先描点再连线即可.

（2）将三角形的各边都扩大2倍即可.

（3）根据旋转的性质作图即可.

【解答】解：（1）如图，AABC即为所求.

（2）如图，ZXAbC即为所求.

(3)如图，△AiBCi即为所求.

20.(7分)如图，已知，△ABC在平面直角坐标系中，点A(2,-2)、B(3,1)、C(1,0).(提示：正

方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)

(1)请按要求对AABC作如下变换：

①将△ABC绕点。逆时针旋转90°得到△4B1C1；

②以点。为位似中心，位似比为2：1,将AABC在位似中心的异侧进行放大得到282c2.

(2)在(1)的条件下，81的坐标是(-1,3),比的坐标是(-6,-2).

(2)(-1,3),(-6,-2).

【分析】(1)①根据网格结构找出点ABC绕点。逆时针旋转90°的对应点4、Bi、。的位置，然后顺

次连接即可；

②连接A。并延长至A2,使A2O=2A。，连接2。并延长至22,使历。=220,连接C。并延长至C2,

使C2O=2CO,然后顺次连接42、82、C2即可；

(2)根据平面直角坐标系写出点的坐标即可.

【解答】解：（1）①根据网格结构找出点ABC绕点。逆时针旋转90°的对应点4、Bi、G的位置，然

后顺次连接即可，图中△481。为所作；

②连接A。并延长至A2,使A2O=2A。，连接2。并延长至22,使历。=220,连接C。并延长至C2,

使C2O=2CO,然后顺次连接&2、B2、C2即可；

（2）根据平面直角坐标系写出点的坐标可得：81的坐标是（-1,3）,历的坐标是（-6,-2）.

21.（8分）［教材呈现］如图是华师版九年级上册数学教材66页的部分内容.

例3已知：如图23.3.9,在△ABC中，DE//BC,EF//AB.求

（1）［问题解决］这是“23.3.2相似三角形的判定”的部分内容，请结合图①给出例3的证明过程；

（2）［拓展探究］如图②，在△ABC中，。是边A3的四等分点且靠近点8,过。分另IJ作。E〃AC,DF//

33

BC与边BC、AC分别相交于点E、F,若AC=6,BC=9.则四边形。ECP的周长是一；

-2-

（3）如图③，在△ABC中，尸是边2C上的一点，且3P：PC=3：2,连结AP,取AP的中点连结

BM并延长交AC于点N,若△AMN的面积为3,则△AMB的面积为

AAA

【答案】(1)见解析;

33

(2)

2

(3)12.

【分析】(1)根据平行线是性质得出NAE0=NC,NA=NFEC,即可得出结论;

⑵根据D是边AB的四等分点得出竽=*箸/再根据平行线分线段成比例得出比例式求出

DF、OE的长即可求解；

(3)过点P作PH〃AC交BN于悬H,根据(A4S)得出MH=MN,由PM//CN,BP-.

BM4

PC=3：2,得出而=广4,即可求出结果.

【解答】(1)证明：・・・0E〃8C,

・•・ZAED=ZCf

\9EF//AB,

：.ZA=ZFEC,

：.AADE^AEFC.

(2)解：如图②，

•・・。是边A3的四等分点,

AD3BD1

AB-4‘AB~4’

图②

■:DF//BC,

,DFAD3

，9BC~AB=4

.DF3

-9—4

U：DE//AC,

.DEBD1

"AC~AB~4

.DE1

,•~~——,

64

3

：.DE=I，

*：DF〃BC,DE//AC,

四边形DECF为平行四边形，

...四边形DECT的周长为2(DE+DF)=2(-+—)=学,

242

33

故答案为：一；

2

(3)解：如图③，过点尸作尸〃〃AC交BN于点

图③

'JPH//AC,

NPHM=ZANM,

VZPMH=AAMN,AM=PM,

:.△PMgXAMN(A45),

:・MH=MN,

■:PM//CN,BP：PC=3：2,

,BPBH3

,•CP~HN~2

BM4

—=-=4,

MN1

:♦S4ABM=ASAAMN=12,

故答案为：12.

22.(7分)如图，平行四边形ABC。中，8。=瓦)，点尸是线段A8的中点.

(1)如图1,若/C=45°,则一=1.

DF--------

(2)如图2,过点C作CG_LDB交8。于点G,CG延长线交。产于点H,且CH=DB.

①若。//=1,求切的值；

②连接FG,求证：DB=42FG+HG.

【答案】(1)1;

(2)①1；

②证明过程详见解答.

【分析】(1)可得出△AZJP是等腰直角三角形，从而得出结果；

(2)①可证得△C。”也△。尸8,从而CZ)=ORBF=DH=1,从而。F=CD=AB=2BF=2,进一步得

出结果；

②在BD上截取GW=DG,连接