高中数学专项复习：条件概率（解析版）

专题10条件概率

例1.小智和电脑连续下两盘棋，已知小智第一盘获胜概率是0.5,小智连续两盘都获胜的概率是0.4,那么

小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是（）

A.0.8B.0.4C.0.2D.0.5

【解析】解：设事件A表示“小智第一盘获胜”，则尸（A）=0.5,

设事件3表示“小智第二盘获胜”，则P（AB）=0.4,

，小智在第一盘获胜的条件下，第二盘也获胜的概率是:

故选：A.

例2.某种灯泡的使用寿命为2000小时的概率为0.85,超过2500小时的概率为0.35,若某个灯泡已经使用

了2000小时，那么它能使用超过2500小时的概率为（）

A.”B.Lc.LD.—

20172017

【解析】解：记灯泡的使用寿命为2000小时为事件A,超过2500小时为事件B，

则尸网A）=儒=怨$

故选：B.

例3.甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制（无平局），甲在每局比赛中获胜的概

率均为2,且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下,比赛进行了三局的概率为（）

3

A-1B-1c-1D-1

【解析】解：由题意，甲获得冠军的概率为2221212220

X——IX—X------F—X—X—=

3333333327

其中比赛进行了3局的概率为2xLx2+'x2x2=f_

33333327

，所求概率为色+改=2

27275

故选：B.

例4.盒中有10个零件，其中8个是合格品，2个是不合格品，不放回地抽取2次，每次抽1个.已知第

一次抽出的是合格品，则第二次抽出的是合格品的概率是（)

A.-BD-焉

5-1

【解析】解：第一次抽出的是合格品，则还有9个零件，其中7个为合格品,

故第二次抽出的是合格品的概率是工，

9

故选：C.

例5.现从4名男医生和3名女医生中抽取两人加入“援鄂医疗队”，用A表示事件“抽到的两名医生性别

相同”，3表示事件“抽到的两名医生都是女医生”，则尸(例A)=()

1423

A.-B.-C.-D.-

3734

【解析】解：由题意可得：事件A基本事件数，

事件5的基本事件数，C；=3；

31

所以尸(3|A)=§=g.

故选：A.

例6.小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“4个人去的景点不完全

相同”，事件5为“小赵独自去一个景点”，则尸(B|A)=()

A.-B.-C.-D.-

7777

【解析】解：小赵独自去一个景点，则有4个景点可选，其余3人只能在小赵剩下的3个景点中选择，可

能性为3x3x3=27种

所以小赵独自去一个景点的可能性为4x27=108种，

因为4个人去的景点不相同的可能性甲-4=252种,

所以P(B|A)=E^=3.

2527

故选：A.

例7.口袋中装有大小形状相同的红球2个，白球3个，黄球1个，甲从中不放回的逐一取球，已知在第一

次取得红球的条件下，第二次仍取得红球的概率为-.

一5一

【解析】解：口袋中装有大小形状相同的红球2

个，白球3个，黄球1个，

甲从中不放回的逐一取球，

设事件A表示“第一次取得红球”,事件3表示“第

二次取得红球”，

21211

P(A),尸(AB)=—x—=—,

636515

在第一次取得红球的条件下，第二次仍取得红球

的概率为：

1

P(AB)151

尸网A)=

尸⑷15

3

故答案为一

i33

例8.已知尸(例A)=万，P(AB)=—,则P(A)

一5一

I3

【解析】解：•••P(3|A)=5，P(AB)=—

3

w-3

P(AB)--

:.P(A)15-

尸⑻

A)2-

故答案为：

5

例9.篮子里装有2个红球，3个白球和4个黑球.某人从篮子中随机取出两个球，记事件A="取出的两

个球颜色不同"，事件3="取出一个红球，一个白球”，则P(B|A)=—.

一13一

【解析】解：p(A)=i_』+q+/工

Cl18

/g=等6

P(AB)3

P(3|A)=

尸⑷

故答案为：

13

例10.某种疾病的患病率为0.50,患该种疾病且血检呈阳性的概率为0.49,则已知在患该种疾病的条件下

血检呈阳性的概率为0.98.

【解析】解：设事件A表示“患某种疾病”，设事件3表示“血检呈阳性”,

贝UP(A)=0.5,尸(AB)=0.49,

二在患该种疾病的条件下血检呈阳性的概率为：

P(B|A)==—=0.98.

P(A)0.5

故答案为：0.98.

例11.已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个.

（1）若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；

（2）若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率.

71

【解析】解：（1）放回抽取，每次取得白球的概率均为==上，

63

所以两次都取得白球的概率P==

339

（2）记“第一次取出的是红球”为事件A,“第二次取出的是红球”为事件3,

则尸"怒2

5

利用条件概率的计算公式，可得尸⑹加窗=11$

例12.某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.

（1）求男生甲被选中的概率;

（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；

（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率.

【解析】解：（1）从6名成员中挑选2名成员，共有15种情况，记“男生甲被选中”为事件A,事件A所

包含的基本事件数为5种，故尸（A）=g.

（2）记“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件3,贝IJP（A8）=2，由（1）知P（A）=g,故

（3）记“挑选的2人一男一女”为事件C,则P（C）=§，“女生乙被选中”为事件3,P（BC）=上,故

1515

尸⑻。=篝4

例13.哈三中群力校区高二、六班同学用随机抽样的办法对所在校区老师的饮食习惯进行了一次调查，饮

食指数结果用茎叶图表示如图，图中饮食指数低于70的人是饮食以蔬菜为主：饮食指数高于70的人是饮

食以肉类为主.

（1）完成下列2x2列联表:

主食蔬菜主食肉类总计

不超过45岁4——

45岁以上———

总计———

能否有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关？

(2)从群力校区任一名老师设“选到45岁以上老师为事件A,“饮食指数高于70的老师”为事件3,用

调查的结果估计P(B|A)及P(B|A)(用最简分数作答)；

(3)为了给食堂提供老师的饮食信息，根据(1)(2)的结论，能否有更好的抽样方法来估计老师的饮食

习惯，并说明理由.

附:

20.0500.0100.001

P(K..k0)

ko3.8416.63510.828

n(ad-be)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

不超过45岁45岁以上

r2015667

323679

534245

858

61

8764758

532S

09

30(4x2-16x8)2

【解析】解：⑴由腔==10>6.635

20x10x12x18

即有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关,

故答案为：有99%的把握认为老师的饮食习惯与年龄有关,

Cx1_r12

(2)P{B\A)=-=-=-,P(例A)=T=—,

C；8943

故答案为：---

93

(3)为了给食堂提供老师的饮食信息，根据(1)(2)的结论，

“选至U45岁以上老师”与，“选到45岁以下老师”调查差异较大，

为了更科学估计老师的饮食习惯，采用分层抽样的抽样方法更好.

故答案为：分层抽样

例14.某保险公司开设的某险种的基本保费为1万元，今年参加该保险的人来年继续购买该险种的投保人

称为续保人，续保人的下一年度的保费与其与本年度的出险次数的关联如下:

本年度出险01234..5

次数

下一次保费0.8511.251.51.752

(单位：

万元)

设今年初次参保该险种的某人准备来年继续参保该险种，且该参保人一年内出险次数的概率分布列如下:

一年内出险01234..5

次数

概率0.300.150.200.200.100.05

(1)求此续保人来年的保费高于基本保费的概率.

(2)若现如此续保人来年的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率.

(3)求该续保人来年的平均保费与基本保费的比值.

【解析】解：(1)设出险次数为事件X,一续保人本年度的保费为事件A,

则续保人本年度保费高于基本保费为事件C，

则P(C)=P(A>a),P(C)=P(x=2)+P(x=3)+P(x=4)+P(x.5)

=0.20+0.20+0.10+0.05=0.55.

(2)设保费比基本保费高出60%为事件3,

”八_P(BC)_P(x=4)+P(x=5)_0.1+0.05_3

1(1J/Cx)————•

P(C)P(C)0.5511

(3)平均保费=O.85xO.3O+O.15+1.25+5xO.2O+1.5xO.2O+L75xO.lO+2axO.O5

=0.255+0.15+0.25+0.3+0.175+0.1=1.23,

，平均保费与基本保费比值为1.23.

例15.某校准备从报名的7位教师(其中男教师4人，女教师3人)中选3人去边区支教.

CI)设所选3人中女教师的人数为X,求X的分布列及数学期望；

(II)若选派的三人依次到甲、乙、丙三个地方支教，求甲地是男教师的情况下，乙地为女教师的概率.

【解析】解：(I)X的所有可能取值为0,1,2,3,

且P(X=0)=

O'尸(x=D=管罟,“窄=茅g=C^~35

所以X的分布列为:

X0123

P418121

35353535

41R191Q

i^E(X)=Ox—+lx—+2x—+3x—=-....(6分)

353535357

(II)设事件4为“甲地是男教师”，事件3为“乙地是女教师”,

c：c；c；2

则尸⑷尸(阴=

可7

所以尸(B|A)=曳竺^=L…(12分)

P(A)2

例16.甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，

答对则为本队得1分，答错不答都得。分，已知甲队3人每人答对的概率分别为3,2」，乙队每人答对

432

的概率都是|.设每人回答正确与否相互之间没有影响，用J表示甲队总得分.

(I)求看=2概率；

(II)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.

【解析】解：(I)=2)=-x-x—+—x—x—+—x—x—=—；…(4分)

43243243224

(II)设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件3则

322

P(A)=lxC^(|)+|lx^(|)x|+lxC-(|)x(1)=|,

1211

P(AB)=_x㈠x(-)2=—,

433318

1

.•.尸(B|A)=曳辿邛=L.(12分)

尸⑷16

3

例17.甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答

对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为3,--乙队每人答对

432

的概率都是设每人回答正确与否相互之间没有影响，用4表示甲队总得分.

（I）求随机变量J的分布列及其数学期望EC）;

（II）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.

【解析】解：（I）由题设知4的可能取值为0,1,2,3,

3211

P(^=0)=(l--)(l--)(l--)=-,

3213213211

P(^=l)=_(l——)(1——)+(1——)x-x(l——)+(1——)(1——)x-=-

4324324324

32132132111

P^=2)=-x-x(l——)+-x(l——)x-+(l——)x—x—二

43243243224

321]_

p(^=3)=-x-x-

4324

/.随机变量J的分布列为:

J0123

p1j_111

244244

数学期望E©=0x工+1/+2*口+3/=生.

24424412

（II）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A,“甲队比乙队得分高”为事件3,

贝UP(A)=-xC^x(-)3+—xC^x(-)2x(l--)+-xC^x-x(l--)2=-

4324334333

1.221

P(AB)=-xdx-x(l——)72二一，

433318

1

P(AB)

P(B\A)=18

尸(A)16

3

例18.市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%,乙厂产品占30%,甲厂产品的合格率是95%,乙厂产品的

合格率是80%,若用事件A、Z分别表示甲、乙两厂的产品，用5表示产品为合格品.

（1）试写出有关事件的概率；

（2）求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率.

【解析】解：（1）依题意，p（A）=70%,尸（,）=30%,

P(B|A)=95%,P(B|A)=80%.

进一步可得P(耳|4)=且/=5%,尸(5]由=乌9=20%.

P(A)P(A)

(2)要计算从市场上买到的灯泡既是甲厂生产的(事件A发生)，又是合格的(事件3发生)的概率，也

就是求A与3同时发生的概率，有P(AB)=P(A).P(B