高中数学专项复习：数列问题（解析版）

专题27数列问题

例1.随着5G商用进程的不断加快，手机厂商之间围绕5G用户的争夺越来越激烈，5G手机也频频降价

飞入寻常百姓家.某科技公司为了打开市场，计划先在公司进行“抽奖免费送5G手机”优惠活动方案的内部测

试，测试成功后将在全市进行推广.

(1)公司内部测试的活动方案设置了第次抽奖中奖的名额为5+2,抽中的用户退出活动，同时

补充新的用户，补充新用户的名额比上一次中奖用户的名额少2个.若某次抽奖，剩余全部用户均中奖，则

活动结束.

参加本次内部测试第一次抽奖的有15人，甲、乙均在其中.

①请分别求出甲在第一次中奖和乙在第二次中奖的概率;

②请求出甲参加抽奖活动次数的分布列和期望.

(2)由于该活动方案在公司内部的测试非常顺利，现将在全市进行推广.

报名参加第一次抽奖活动的有2。万用户，该公司设置了第次抽奖中奖的概率为尸,=9+；”,每

次中奖的用户退出活动，同时补充相同人数的新用户，抽奖活动共进行方(“eN+)次，已知用户丙参加了

第一次抽奖，并在这为次抽奖活动中中奖了，在此条件下，求证：用户丙参加抽奖活动次数的均值小于旦.

2

【解析】(1)①甲在第一次中奖的概率为2=卷=(

乙在第二次中奖的概率为外咤噜瞽

②设甲参加抽奖活动的次数为X,则X=1,2,3,

p（x=1）=A1.p（x=2）=也x&=生；尸（x=3）=105,_10

=-------Xx---------Xx1---------

153151339151339

X123

P1610

3939

+2x2+3嗡咤

(2)证明：丙在第奇数次中奖的概率为工，在第偶数次中奖的概率为

54

m

3

设丙参加抽奖活动的次数为T,"丙中奖”为事件4,则P(A)=1-■HI=1-

3

令mWn,mGN\则丙在第2m—1次中奖的概率尸&=2m-1）4

m-\m-1

3413*

在第2m次中奖的概率尸（K=2m）=X—X—=

I54I

m—1

3

即P(T=2m-l)=P(Y=2m)=If

1m—1

在丙中奖的条件下，在第2m-1,2m次中奖的概率为巨

尸⑷

则丙参加活动次数的均值为

m—\

E(Y)=—^—(l+2)+y(3+4)+(5+6)+L+3(2〃-1+2〃)

5P(A)1

设S=3+7吗+11、国+L+(4〃一呜:

3

则3s3/7⑶+L+(4〃一陪「+(4〃-1)

5

m—\

233

.*.-5=3+49+L+_(4〃一1)

5

m-\

12〃+273

22

In3

9

所以E（y）=-<9,

2r2

1-3

例2.某几位大学生自主创业创办了一个服务公司提供A、B两种民生消费产品（人们购买时每次只买其

中一种）服务，他们经过统计分析发现：第一次购买产品的人购买A的概率为2、购买3的概率为工，而

33

前一次购买A产品的人下一次来购买A产品的概率为工、购买8产品的概率为3,前一次购买3产品的人

44

下一次来购买A产品的概率为工、购买吕产品的概率也是工，如此往复.记某人第几次来购买A产品的概率

22

为p.

(1)求尸2,并证明数列3-是等比数列；

(2)记第二次来公司购买产品的3个人中有X个人购买A产品，求X的分布列并求E(X);

(3)经过一段时间的经营每天来购买产品的人稳定在800人,假定这800人都已购买过很多次该两款产品,

那么公司每天应至少准备A、3产品各多少份.(直接写结论、不必说明理由).

【解析】(1)+=l

234323

依题意，知P=尸x工+(1_尸)x工，则P1_§=(">l,n£N*)

〃+i〃4、n/2415)

当〃=1时，可得尸_2=4,

1515

二数列［尸一2］是首项为二公比为__L的等比数列.

(2)第二次买A产品的概率p=2xl+lxl=l;

△34323

第二次买8产品的概率尸=2X2+1X1=2

B34323

第二次来的3人中有x个人购买A产品，

X的所有可能取值为。、1、2、3

有p(x=z)=c［me川,2,3),

.，.X的分布列为

X0123

8±2_1

P

279927

故石(X)=0x&+1x4+2x2+3x^=1.

v7279927

（3）由⑴知:p=2_史.（__L）"

"5154

，当〃趋于无穷大时，Pn即第〃次来购买A产品的概率约为

故公司每天应至少准备A产品320份、8产品480份.

例3.从原点出发的某质点M，按向量。=（0,1）移动的概率为7:，按向量。=（。,2）移动的概率为:1，设M

可到达点（0〃）的概率为匕

（1）求片和生的值；（2）求证：Pn+2-Pn+l=-g（4+「P”）；⑶求％的表达式.

【解析】⑴乙=|也=[3+；=小2）证明：加到达点（0,〃+2）有两种情况：

①从点（0,〃+1）按向量〃=（0,1）移动，即（。,〃+1）-（0,"+2）②从点（0,〃）按向量Z?=（O,2）移动,即

（0,〃）.（0,九+2）

211

，产"+2=§匕+1+§尸"，；£+2一尸"M=一§（匕+「匕）

⑶数列｛尸"+「匕｝是以尸2-尸1为首项，为公比的等比数列.

—吁「先

又

+以一片）=[T[+[一3++[一j=]4[一]一口

例4.某人玩硬币走跳棋的游戏。已知硬币出现正反面的概率都是工，棋盘上标有第0站、第1站、第2

2

站、、第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子

向前跳一站（从左到上+1）；若掷出反面，棋子向前跳两站（从左到上+2）,直到棋子跳到第99站（胜利大本营）

或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束.设棋子跳到第"站的概率为P,,.

⑴求尸0，尸1，尸2的值；

（2）求证：Pn-PnX=-1（P„_l-P„_2）,其中〃&N,2<n<99；

⑶求玩该游戏获胜的概率及失败的概率.

【解析】⑴解：棋子开始在第0站为必然事件，尸°=1.

第一次掷硬币出现正面,棋子跳到第1站,其概率为:，产总.

棋子跳到第2站应从如下两方面考虑：

①前两次掷硬币都出现正面，其概率为:；②第一次掷硬币出现反面，其概率为;.

“113

P）=—I—=—.

2424

⑵证明：棋子跳到第九（24〃499）站的情况是下列两种,而且也只有两种：

①棋子先到第“-2站，又掷出反面，其概率为:P“_2；

②棋子先到第力-1站，又掷出正面，其概率为.

2

：-P.=3P"-2+•P"-P"T=一、(P"7-Bi-?)•

⑶解：由⑵知当IV"<99时，数列忆-匕_J是首项为=-9公比为-J的等比数列.

n

p-P

”1n-\

(n=0,1,2,399)

失败的概率尸99=$98=g-|1-

3

例5.有人玩掷硬币走跳棋的游戏。已知硬币出现正反面的概率都是〜棋盘上标有第。站、第1站、第

2站、L、第100站。一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子

向前跳一站（从左到上+1）；若掷出反面，祺子向前跳二站（从左到上+2）,直到棋子跳到第99站（胜利大

本营）或跳到第100站（失败集中营）时，该游戏结束。设棋子跳到第"站的概率为P,.

（1）求尸0、公尸2的值

（2）写出P“_2，P“T，P”的递推关系，其中，eN,S.2<n<99；

（3）求玩该游戏获胜的概率.

【解析】（1）棋子开始在第0站为必然事件，所以尸。=1.

第一次掷硬币出现正面，棋子跳到第1站，其概率为！，所以舄=▲.

212

棋子跳到第2站有下列两种情况：

情形一前二次掷硬币均出现正面，其概率为工；

4

情形二第一次掷硬币出现反面，其概率为1.

2

所以尸=工+1=二;

2424

（2）棋子跳到第"2V鹿99）站有下列两种情况：

情形一棋子先跳到第〃-2站，又掷出反面，其概率为工尸2；

情形二棋子先跳到第〃-1站，又掷出正面，其概率为工尸「

2"T

所以《=|p_2,从而P4伊1一尸7）；

（3）由（1）与（2）知，P=Lp+^-P1,则尸-P,=--（P.-PJ,即P"_P"T=-工

nr\n-2r\n—inn—\Q\n—\n—2）p_p0

LL

乙rn-l~rn-2乙

所以数列化-是首相为4-纥=-/,公比为■的等比数列，

于是

尸98=尸。+（尸1一纥）+（舄一尸|）+L+（尸98一尸97）=1+

98）=

尸99=P°+（P「P°）+（P「Pj+L+（七一尸

于是尸98=(

\99

所以玩游戏获胜的概率为21+

例6.A,B,C,D4人互相传球，由A开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到A手中，

则不同的传球方式有多少种？若有〃个人相互传球上次后又回到发球人A手中的不同传球方式有多少种？

【解析】4人传球时，传球上次共有3上种传法。设第人次将球传给A的方法数共有仁化€"*)种传法，则不

传给A的有3k-%种，故为=0,且不传给A的下次均可传给A,即

=3--以两边同除以得符=g-,

令“攀，贝物=。8-卜-加-：，则-m

3"3/-

+"

当上=5时，%=60.

当人数为力时，分别用〃T〃，n取代3,4时，可得%=也二匕+上1(一球.

nn

例7.一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.

⑴设抛掷5次的得分为X，求X的分布列和数学期望EX；

⑵求恰好得到“(aeN*)分的概率.

【解析】（l）x的可能取值为5,67,8,9,10.

设抛掷5次得分X的概率为P（X=i）=C「（1_）5（i=&6,7,8,9,10）

其分布列如下表：

5678910

155551

P

3232正163232

⑵设尸“表示恰好得到〃分的概率.不出现〃分的唯一情况是得到〃-1分以后再掷出一次反面.因为“不出现"

分”的概率是1-4,"恰好得到1分”的概率是尸一，因为"掷一次出现反面"的概率是L

2

P_2

所以1-p,,即p“一尹一氏

"2"1"323_322

p"T-7

所以是以尸2=j_一2=一上为首项，以一工为公比的等比数列.

I"3J132362

所以尸“卷尸=一卜6尸，即尸“=1-（-1），，+|­

答：恰好得到“分的概率为（•（-J"+|.

例8.质点在x轴上从原点。出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为二，

3

移动2个单位的概率为।,设质点运动到点（九,0）的概率为P“。

（团）求尸］和巴；

（0）用匕.1，匕.2表示月，,并证明｛匕一匕_1｝是等比数列；

（回）求月一

2I7

【解析】（回）Pi=4,/：二〜「♦二

33339

（团）由题意可知，质点到达点（%0）,可分两种情形，由点（n-1,0）右移1个单位或由点（n-2,0）右移2

个单位，故由条件可知：乙二；J|,（优3）

上式可变形为cJ；2J1%_乙-I-匕，）

;/:;是以-1为公比的等比数列。

72I

其首项。2-Pl=----二-

939

（团）由（团）知Pn-P"-l=；（-；/：（峰2）

••七=代-EJ+（匕「匕+俏-用+6

工第九次出现偶数点

例9.某人抛掷一颗质地均匀的骰子，构造数列｛而，使4=<记S+。2+

-L第九次出现奇数点

+an(n£Z).

⑴求56=2的概率；

（2）求S2Ho且56=2的概率.

【解析】⑴S6=2,需6次中出现4次偶数点2次奇数点，

设其概率为，则…之m寺哈

（2）S2*0,即前两次同时出现偶数点或同时出现奇数点.

①当前两次同时出现偶数点时，$2=2.

要使56=2,需后四次中出现两次偶数点，两次奇数点，

设其概率为22,则P2=（；网；）2=A=A

②当前两次同时出现奇数点时，52=-2.

要使$6=2,需后四次全出现偶数点，

设其概率为P3,则23=gXgXCjg尸=1.

22264

317

所以5230且56=2的概率。=。2+。3=记+启=«.

例10.某人玩掷正方体骰子走跳棋的游戏，已知骰子每面朝上的概率都是相等的，棋盘上标有第。站，第

1站，第2站，......,第100站。一枚棋子开始在第0站，选手每掷一次骰子,棋子向前跳动一次，若掷出

朝上的点数为1或2,棋子向前跳一站；若掷出其余点数，则棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站（胜

利大本营）或第100站（失败大本营）时，该游戏结束。设棋子跳到第n站的概率为P„.

（1）求此/，鸟；（2）求证：｛只-加｝为等比数列；⑶求玩该游戏获胜的概率

【解析】（1）显然片=1,跳动一站有点数为1或2两种情况，共有6钟情况，故4=g，跳动两站分两种

11127

情况：跳两次概率为,跳一次概率为彳，故g=-；

12

（2）由题意知：月=§月一1+§R-2

92

•••数列J花一町1｝是首项为《-A=-§公比为--的等比数列

（3）由（2）知匕―岫=

，将这98个式子累加得：

100

I]

3

所以玩该游戏获胜的概率为P99=~

例11.春节来临，有农民工兄弟A、8、C、。四人各自通过互联网订购回家过年的火车票，若订票成

功即可获得火车票，即他们获得火车票与否互不影响若A、8、C、。获得火车票的概率分别是p”g,P3，j

其中Pi〉P3，又Pi，3，2P3成等比数列，且A、C两人恰好有一人获得火车票的概率是1.

(1)求Pi，P3的值；

(2)若C、。是一家人且两人都获得火车票才一起回家，否则两人都不回家.设X表示A、B、C、。能

够回家过年的人数，求X的分布列和期望EX.

【解析】(1)A、。两人恰好有一人获得火车票的概率是上

2

二(1-A)ft+Pi(1-凸)=g

c1

2Plp33

联立方程

(1-P1)P3+P1(1-P3)=；

Pi>P3,解得px=-^p3=—

(2)X=0,1,2,3,4

2

15

丘。)=1-J-xl

i-；4464

1113015

P(X=1)=C；xlx1-1x1-lxl

224464-32

尸1111161

(X=2)=gxlx1-1x1X—=

2442244644

11121

p(X=3)=C；xlxUxlxl.

2