高中数学专项复习：古典概型（解析版）

专题8古典概型

例1.从3,5,7,9中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率是()

A.-B.-C.-D.-

2346

【解析】解：根据题意，从3,5,7,9中任取2个不同的数，有(3,5),(3,7),(3,9),(5,7),(5,9),(7,9),

共6种取法，

其中取出的2个数之差的绝对值大于3的情况有(3,7),(3,9),(5,9),共有3种，

则取出的2个数之差的绝对值大于3的概率P=-^-,

62

故选：A.

例2.2020年在新冠疫情基本控制的情况下，学生开始陆续复学，为了广大师生的安全，学校防控仍是重

中之重，除了全员要戴口罩，勤洗手，多通风外，为了避免聚集交叉，学校采取“网格化”管理，为了规

范各个网格单元的管理，需要大量“网格员”.已知甲、乙两人需要周一至周五作为网格员，两人商议一个

人值周一、周三、周五；另一人值周二、周四.但两人都不想多值一天，约定如下规则来决定：拿一枚一

元的硬币，甲选正面，乙选反面，每掷一次硬币为一局比赛，先胜三局的人值周二、周四两天.但由于生

产工艺的问题，此硬币不均匀，出现正面的概率为:，问甲值两天的概率为()

A.2B.竺C.史D.9

38127243

【解析】解：根据题意，若最后甲值两天，则最后一局一定为甲胜，

若比赛3局，则甲需连胜3局，

若比赛4局，甲前3局胜2局输1局，

若比赛5局，则前4局甲胜2局输2局，

综上，甲值两天的概率为：

故选：B.

例3.调查某高中1000名学生的肥胖情况，得到的数据如表:

偏瘦正常肥胖

女生(人)100163y

男生(人)150187Z

若y..l94,Z..193,则肥胖学生中男生不少于女生的概率为()

【解析】解：由题意知y+z=400,y.A94,z..193,

则满足条件的(y,z)有14组，分别为：

(194,206),(195,205),(196,204),(197,203),(198,202),(199,201),(200,200),

(201,199),(202,198),(203,197),(204,196),(205,195),(206,194),(207,193),

设事件A表示“肥胖学生中男生不少于女生”，即为z,

则事件A包含的基本事件有7组，分别为：

(194,206),(195,205),(196,204),(197,203),(198,202),(199,201),(200,200),

.•.肥胖学生中男生不少于女生的概率为P(A)=-=-.

142

故选：B.

例4.某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照3（语文、数学、英语）+2（物理、历

史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2的模式设置的，则某考生选择全理科的概率是（）

3371

A.—B.-C.—D.—

1051012

【解析】解：在2（物理，历史）选1+4（化学、生物、地理、政治）选2中，

选物理的有6种，分别为：

物化生、物化地、物化政、物生地、物生政、物地政，

同时，选历史的也有6种，共计12种，

其中选择全理科的有1种，

某考生选择全理科的概率是P=—.

12

故选：D.

例5.雅言传承文明，经典浸润人生，某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：“诵读中国”经典

诵读大赛、''诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆刻大赛.某班级三

人参赛，则三人参加项目均不相同的概率为（）

【解析】解：某市举办“中华经典诵写讲大赛”，大赛分为四类：

“诵读中国”经典诵读大赛、“诗教中国”诗词讲解大赛、“笔墨中国”汉字书写大赛、“印记中国”学生篆

刻大赛.

某班级三人参赛，基本事件总数“=43=64（种）,

三人参加项目均不相同的基本事件数为相=4x3x2=24（种），

三人参加项目均不相同的概率为：

m243

r=——=—=—.

n648

故选：C.

例6.《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化、阴阳五行术数之源，其中河图的

排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圆点表示阳数，

阳数皆为奇数，黑圆点表示阴数，阴数皆为偶数.若从这10个数中任取2个数，则取出的2个数中至少有

1个偶数的概率为（）

O

【解析】解：从这10个数中任取2个数,

基本事件总数〃=G>

取出的2个数中至少有1个是偶数包含的基本事件个数m=C；C；+C；,

取出的2个数中至少有1个是偶数的概率:

CjCj+Cg_7

P=

Go9

故选：A.

例7.古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火、土之间相生相克的关系，如图所示，将这五种不同属

性的物质任意排成一列，则排列中金、木、火不能相邻的概率为（）

1

D.

3

【解析】解：由题意五种不同属性的物质任意排成一歹!j,

共有n=A1=120种排法，

排列中金、木、火不能相邻的排法共有根=反有=12种排法，

故所求事件的概率为：p=—^—.

12010

故选：A.

例8.如图，在一个圆上取A,B,C,D,E,尸6个点，将圆六等分，现从这6个点中随机取3个点,

则所取的3个点构成的三角形不是锐角三角形的概率为（）

【解析】解：从A,B,C,D,E,尸6个点中随机选取3个点，共有C；种可能,

若这3个点构成锐角三角形，则这3个点不相邻，共有2种可能,

则构成的三角形是锐角三角形的概率为3=工，

2W

1Q

.••所取的3个点构成的三角形不是锐角三角形的概率为P=l-▲=

1010

故选：B.

例9.2019年8月1日，中国科学院正式公布中国科学院院士增选初步候选人名单，总计181位.整体来

看，中国科学院(包含其在全国各地的研究所)、清华大学、北京大学、复旦大学、浙江大学候选人人数位

列前五.若从上述5所大学中任选2所大学进行问卷调查，则中国科学院被选中的概率为()

3231

A.-B.-C.-D.-

5542

【解析】解：将中国科学院、清华大学、北京大学、复旦大学、浙江大学依次记为1,2,3,4,5,

则从5所大学中任选2所，不同的选法有：

{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},[2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},共10

种，

其中中国科学院被选中的选法有：

{1.2},{1,3},{1,4},{1,5},共4种，

.•・中国科学院被选中的概率为：p=-=-.

105

故选：B.

例10.传说是三国时期的蜀国丞相诸葛亮(字孔明)发明了一种可以升空的灯笼，后人称之为孔明灯，用

作军事信号灯，借此在夜里调兵遣将.在一次游戏中，A,B,C,D,召5位小朋友同时分别升起了1

盏孔明灯，若任意两盏孔明灯不同时熄灭，那么先熄灭的两盏孔明灯是A,B,。三位小朋友的孔明灯的

概率为()

A.-B.-C.—D.-

53102

【解析】解：选熄灭的两盏孔明灯的情况有10种，分别为：

(A,3),(A,C),(A,D),(A,E),(B,C),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E),共10种，

满足题意的有3种，分别为：(A,8),(A,C),(仇C),

.•.先熄灭的两盏孔明灯是A,B,C三位小朋友的孔明灯的概率为「=三.

10

故选：C.

例11.六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为()

A7R1c13口1

606604

【解析】解：由题意得排队基本事件总数"=尺=720,

满足“丙”必须排在前两位，“甲乙”必须分开所包含的基本事件个数:

丙排在第一位，有盘&=72(种)排法,

丙排在第二位，有团-G&C；尺=84(种)排法，

满足条件的事件总数相=72+84=156(种)，

.•.满足甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率：

pm15613

一〃一720-60•

故选：C.

例12.2013年5月，中国数学家张益唐破解了困扰数学界长达一个半世纪的难题，证明了李生素数猜想的

弱化形势，享生素数猜想：对所有的自然数人，存在无穷多个素数对(p,p+2Q,左=1的情况就是挛生素数

猜想.例如3和5,5和7,11和13,…都是挛生素数，在所有小于20的自然数中随机取两个数，则取到

的两个数是挛生素数的概率是()

A.—B.—C.-D.-

951457

【解析】解：从小于20的自然数中随机抽取两个数，共有〃=C；o=19O(种)情况，

2个数是李生素数的情况有：(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),共4种，

4?

.•.取到的两个数是挛生素数的概率为：p=—=—.

19095

故选：A.

例13.从集合A={T,-3,2,4}中随机选取一个数记为a,从集合8={-5,1,4}中随机选取一个数记

为b，贝I()

A.必＞0的概率是工

2

B.a+4.0的概率是工

2

C.直线、=以+6不经过第三象限的概率是工

3

D./次/+/仍＞1的概率是9

12

【解析】解：由题意可得(。,力所有可能的取法有12种，

(-1,-5),(-1,1),(-1,4),(-3,-5),(-3,1),(-3,4),

(2,-5),(2,1),(2,4),(4,-5),(4,1),(4,4).

其中满足历＞0的取法有(-1,一5),(-3,-5),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共6种，

则a力＞0的概率P=9=L,故A正确；

122

其中满足a+4.0的取法有(-1,1),(-1,4),(-3,4),(2,1),(2,4),(4,1),(4,4),共7种，

7

贝Ija+b..o的概率?=,，故5错误；

12

因为直线了=办+人不经过第三象限，所以a<0,A..0,

所有满足直线丁=以+万不经过第三象限的取法有(-1,1),(-1,4),(-3,1),(-3,4),共4种，

则直线y=利+b不经过第三象限的概率尸=3=!，故C正确；

123

因为bta+bib=Inab>1,所以。>0,b>0,ab>e,

所有满足/叫+/汕>1的取法有(2,4),(4,1),(4,4),共3种，

31

故/网+/:访>1的概率尸=一=—,故Z)错误.

124

故选：AC.

例14.若A,3为互斥事件，P(A),P(B)分别表示事件A,3发生的概率，则下列说法正确的是(

)

A.P(A)+P(B)<1B.P(A)+P(B)„1C.P(A|jB)=l

D.P(Ap|B)=0

【解析】解：•.•A,3为互斥事件，P(A),P(B)分别表示事件A,3发生的概率，

：.P(A)+P(B)”1,P(Ap|B)=0,

故A错误，3正确，C错误，。正确.

故选：BD.

例15.先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为6,则下列说法正确

的是()

A.a+6=7时概率为工B.a+b=6时概率为工

65

C.&.幼时的概率为！D.a+6是3的倍数的概率是工

63

【解析】解：先后抛掷两颗均匀的骰子，第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为6,

基本事件总数〃=6x6=36,

对于A,“+b=7包含的基本事件有：

(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6个,

:.a+b=7时概率为：—=-,故A正确；

366

对于3,。+6=6包含的基本事件有:

(1,5),(2,4),(3,3),(4,2).(5,1),共5个,

.•"+6=6时概率为：—,故3错误；

36

对于C,a.»包含的基本事件(a,6)有：

(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2)，(6,1),(6,2),(6,3),共9个，

Q1

时的概率为：—故C错误；

364

对于D，a+b是3的倍数包含的基本事件有：

(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5)，(5,1),(5,4),(6,3),(6,6),共12个，

io1

.•.a+人是3的倍数的概率是：—故。正确.

363

故选：AD.

例16.一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球，编号为7,8,

9,10,现从中任取4个球，则下列结论中正确的是()

A.取出的最大号码X服从超几何分布

B.取出的黑球个数y服从超几何分布

C.取出2个白球的概率为工

14

D.若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，则总得分最大的概率为‘

14

【解析】解：一袋中有6个大小相同的黑球，编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球，编号

为7,8,9,10,现从中任取4个球，

对于A,超几何分布取出某个对象的结果数不定，

也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生〃次的试验次数，

由此可知取出的最大号码X不服从超几何分布，故A错误；

对于3,超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生〃次的试验次数，

由此可知取出的黑球个数¥服从超几何分布，故3正确；

C2c23

对于C,取出2个白球的概率为〃故C错误；

Go7

对于D,若取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，

则取出四个黑球的总得分最大，

.•.总得分最大的概率为尸=与=,，故。正确.

品14

故选：BD.

例17.高三(1)班甲、乙两同学报名参加A,B,C三所高校的自主招生考试，因为三所高校考试时间

相同，所以甲、乙只能随机报考其中一所高校，则甲、乙两人报考不同高校的概率是-.

一3一

【解析】解：记“甲、乙两人报考不同高校"为事件“，

甲、乙两人报考学校总的基本事件有9个，分别为：

(A,A),(A,B),(A,C),(B,A))(B,B),

(B,C),(C,A),(C,C),

事件M包含的基本事件有6个，分别为：

(A,B),(A,C),(B,A),(C,A),(C,B),

二甲、乙两人报考不同高校的概率是p=g=2.

93

故答案为：-.

3

例18.设O为坐标原点，从集合｛1,2,3,4,5,6,7,8,9｝中任取两个不同的元素x、y,组成A、B

两点的坐标(无,y)、(y,无)，则NA03=2arctang的概率为_g.

【解析】解：:x,ye｛l,2,3,4,5,6,7,8,9｝且ywx,.•.数对(x,y)共有9x8=72个.

2

1T34

ZAOB=2arctan-?/.tanZA0B=———=—,cosZAOB=—,

31-(|)245

又连接原点。和A(x,y),3(y,九)两点，得C5==(%,y),0B=(y,x),

则cosNA0B=2=~即(2%—y)(x-2y)=0,即y=2x,或＞='%,

\OA\\OB\x2+y252

/.满足ZAOB=2arctan-的数对有：

3

(1,2),(2,4),(3,6),(4,8),(2,1),(4,2),(6,3),

(8,4),共8个，

1Q1

/.NAO6=2arctan—的概率?=—=—.

3729

故答案为：

9

例19.小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本

书属于不同学科的概率是-（结果用分数表示）.

一15一

【解析】解：小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，

从中任取2本，基本事件总数n=C：=45,

这2本书属于不同学科包含的基本事件个数m=C；。-C；-C；-C；=33,

则这2本书属于不同学科的概率是°='=更=口.

n4515

故答案为：—.

15

例20.盒子中装有编号为1,2,3,4,5,