河北省部分高中2024届高三年级上册期末考试数学试题（解析版）

河北省部分高中2024届高三上学期期末数学试题

第I卷（选择题）

一、选择题

A二x\0<x<2\.B=x\x2-x>0

1.已知集合,则图中的阴影部分表示的集合为

A.{小<1或％〉2}B.或1<%<2}

C.1x|l<x<2}D.1x|l<x<2}

【答案】A

【解析】由题可知图中的阴影部分表示。/AB）,

5=„2_%>0}={巾>1或x<0},

则ADB=R,AC5={M〈XK2},

所以篇B(AC5)={小41或x〉2}.

故选：A.

包x_4cosx

2.函数町二||12的部分图象大致为(

\X\H------X

【答案】C

【解析】由题可知，f(x)定义域为{xlxwO},

4cos(-x)_4cosx

又因为八「I1,、2=/w

2

|-x|+2-(-x)闵+#

所以，为偶函数.

当0<尤时，/(x)>0,当/<x<型时，/(x)<0,当里<x<2时，/(%)>0.

22222

故选：C.

22

3.椭圆—+/=1(。〉人〉0)的两焦点为耳，F],以写8为边作正三角形，若椭圆恰

好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为()

A.1B.走C.4-273D.73-1

22

【答案】D

【解析】设椭圆与正三角形另两条边的交点分别是4B,

易得|A耳|=|A邳=|%|=c,/£伍=90。,

\AF2\=6c,/.|A/^|+|A/s|=(指+1卜=2a,

e=J=-^=&\

aV3+1，

-------c

2

故选：D.

4.已知/(x)=Asin(Gx+0)(A>O,口>0,冏〈兀)的一段图像如图所示，则(

A./(x)=sin

B./(x)的图像的一个对称中心为[-],0

71Sir

C./(x)的单调递增区间是—+kK,—+kR,keZ

_88

57r

D./(x)的图像向左平移9个单位长度后得到的是一个奇函数的图象

8

【答案】C

rj-i兀(3兀、兀2

【解析】由图可知A=l,77=7■一一"~--»所以7=»=」，解得①二2,

所以/(%)=sin(2x+0),又函数过点

5兀37r।37兀ri

解得。=彳+2版,左eZ,因为<兀,所以°=—丁，所以/(x)=sin[2x-■—I,故

4

A错误；

因为/(一1)=sin2x(一—=sin(一^^)工0，故B错误；

jr37171JT511

令」+2knW2x—二w++2加,keZ,解得'+E<xV经+E,keZ,

24288

TTS71

故函数的单调递增区间为-+br,—+far,keZ,故C正确；

_oo

s

将函数/(尤)的图象向左平移彳7r个单位得

8

y=sin2k+y3兀=sin[2x+W)=cos2x为偶函数，故D错误;

4

故选：C

5.设a,b，d都是单位向量，且。与6的夹角为60。,则(c-a的最大值为()

A.3D.|+G

22

【答案】D

【解析】设〃二(1,0),力=、

c=(x,y)=(cos6,sin0),贝方+/=1

2,~T

7

/

所以(c-a'c-b)=(x-l,y).1二」+』一旦

Iz222

sinp+1

cos^+—2sin^J¥三6

+2,〃为奇数()

6.在数列｛%,｝中,“1—2,。2—1，"〃+2；必便将，则｛%｝的前20项和

[2a,,,“为偶数

§20=()

A.621B.622C.1133D.1134

【答案】C

【解析】设包=4"-1，c”=b筋,则4=%=2,q=4=l.

由己知可得,

%,+1一。2"-1=2,即〃=2'

所以也｝为以2为首项，2为公差的等差数列，包=2+2(〃—1)=2〃.

。2〃+2=2。2〃，即%+i=2g,

所以｛g｝为以1为首项，2为公比的等比数列，C〃=1X2"T=2"T.

所以，｛4｝的前20项和%=(4+=+・+白0)+(。1+。2++4)

=(2+4++20)+(l+2++29)」0X(2+20)

21-2

故选：C.

7.设实数/>0,若忙?a—ln(2x)»0对x>0恒成立，贝V的取值范围为()

「1)「1)葭1]fn1,

A.一，+8|B.-,+»C.0,-D.0,一

_2e)Le)\ej(2e.

【答案】B

【解析】由xe(0,48),则比>0,死2*>0，

当时，ln2x<0,高戊>ln(2x)恒成立,

即任意，>0,得江一山(2可》0对xe10,；恒成立；

当xe]；,+co1时，fe2tt-In(2%)>0<s>2/xe2tt>2xln(2x),

即2tx^tx>In(2光)eln(2x),其中2比>0,ln(2x)>0,

构造函数E(x)=xe，,x〉0,则F(2tx)>F(ln2x).

F'(x)=(x+V)ex,因为x>0,所以尸(x)>0,尸(x)单调递增;

In2尤

则有2比2ln(2x),则-----,2xe(l,+oo),

2x

Inx

构造函数夕(%)二——,XG(1,+00),

贝1］夕(为=匕学，令9(x)=o,解得％=e,

X

当％£(l,e)时，0(%)>0,当%)单调递增;

当xe(e,+oo)时，(p\x)<0,。(%)单调递减,

1eIn2x=

则0⑴皿=*)=］即当'时，|

2xmax

In2尤

故要使t>——,1XG(1,+8)恒成立,则12—,即看的取值范围为一,+8

2xee

故选：B.

22

8.已知我一工是双曲线C|：=一七=1.>0/〉0）的左、右焦点，椭圆C2与双曲线Ci

crb

的焦点相同，c与。2在第一象限的交点为p,若尸耳的中点在双曲线G的渐近线上，且

尸耳,尸后，则椭圆的离心率是（）

A|B.BC.好D.仓

2235

【答案】C

【解析】根据题意:设m=|母;|,〃=|尸丛|，设椭圆长半轴长为生,短半轴长为4,双曲线实

m+n=2a,0〃=«,+a,

半轴长为外，虚半轴长为伉，则由椭圆及双曲线定义可得：《c，•〃，

m—n=2a2[n=%-a.

又因为且分别为尸耳，片鸟的中点，所以耳

所以耳（-c,0）到渐近线优工+。2y=0的距离为闺凹=d=b

/a；+Z?2=2,

m=CL+a,

所以|P娟=机=22，忸阊=〃=2%,结合<,可得：4=3。2①

n=a1-a2

因为尸片1PF2,所以加2+〃2=4/,即(弓+%)2+(G_%)2=4，,

整理得：4；+曷=2°2,将①代入，—a^=2c2,所以e=YL

一93

二、多选题

9.已知复数z0=l—i,z=x+W(x,yeR),则下列结论正确的是()

A.方程|z-z0|=2表示的z在复平面内对应点的轨迹是圆

B.方程|z-Zo|+|z-Zo|=2表示z在复平面内对应点的轨迹是椭圆

C.方程|z-z0|-卜-嗝卜1表示的z在复平面内对应点的轨迹是双曲线的一支

D.方程Z+,卜o+z。)=|z-z()|表示的z在复平面内对应点的轨迹是抛物线

【答案】AC

【解析】由复数模的几何意义知，

|z-z0|=2表示复平面内点(x,y)与点(1,-1)之间的距离为定值2,

则z在复平面内对应点的轨迹是圆，故A正确；

由复数模的几何意义知，

|z—Z。|+1z—,=2表示复平面内点(x,y)到点(1,-1)和(1,1)的距离之和为2,

又2=%-同，不满足椭圆的定义2a>闺阊，故B不正确；

由复数模的几何意义知，

|z-z0卜|z-刁=1表示复平面内点(尤,y)到点(1,-1)和(1,1)的距离之差为1,

又2=,-司，满足双曲线的定义2a<|耳耳故C正确；

对于D,z+-(zo+zoj=|Z—ZQ|可化为|z+l|=|z_Zo|,

表示复平面内点(x,y)到点(-1,0)和(L-1)的距离相等，轨迹是直线，

故D不正确，

故选：AC.

10.如图，AC为圆锥SO的底面圆。的直径，点8是圆。上异于A,。的动点，SO=OC=2,

则下列结论正确的是()

A.圆锥SO的侧面积为2a兀

Q

B.三棱锥S-ABC体积的最大值为一

3

,（7171^

c./S4B的取值范围是工,§

D.若AB=BC,E为线段AB上的动点，则SE+CE的最小值为2卜疗+1）

【答案】BD

2

【解析】在RtASOC中，SC=y/scP+OC=2A/2-则圆锥的母线长/=20，半径

r=OC=2,

对于A,圆锥SO的侧面积为：iirl-40兀，A错误；

对于B,当O3_LAC时，的面积最大，此时SABC=gx4x2=4,

11Q

则三棱锥S—ABC体积的最大值为：—X5exSO=-x4x2=—,B正确；

3AB33

对于C,△S4B是等腰三角形，SA=SB,又因为SV+502=16=AC?,贝I]

兀

ZASC=-,

2

依题意，0<NAS3〈二，而N5AB=/—L/AS3,因此NSABe（女,四），C错误；

22242

JT

对于D,由筋=3。,4。=4,ZABC=-,得AB=BC=26，有△S4B为等边三

角形，

将ASAB以A3为轴旋转到与，ABC共面的位置，得到S.AB,贝I]凡A3为等边三角

IT

形，NS]B4=—,如图，

3

AC

E

于是（S石+CE）山。=,因为S1B=BC=2A/2,ZS.BC=AS.BA+ZABC=y,

S.C2=S.B2+BC2-2S.B-BC-cos—=8+8+8^=4（^+1）2,

6

所以（SE+CE）min=S]C=2（G+1）,D正确.

故选：BD

11.如图，曲线>=上下有一系列正三角形，设第〃个正三角形Q"T《QM（。0为坐标原

点)的边长为4,贝4()

•记S"为｛q,｝的前〃项和，则匕+i为Sn

31

C.记s”为数列｛%｝的前九项和，则5〃=^确1+]4+1

D.数列｛%｝的通项公式为an=y

【答案】ABD

【解析】选项A,由题意知以《。1为边长为4的等边三角形，如图。Qi=q,

可得三四二飙，解得q=g,

因为点[在曲线y=4上,

又由题意知△Q1EQ2为边长为出的等边三角形，则=4，

则鸟心+今,日出)，可得日出=，％+1，解得出=g，故A正确;

选项B,由0_1匕2,为边长为孙的等边三角形，

可得心心.+曾,母。向)，故B正确；

选项C,由点匕+1在曲线＞=、&上，则,氏M=/r+?，

31

整理得S〃=］/9「2。角，

3131

由4+i＞。，可知s〃9。^“〃9+1+5%+1，故c错误；

391

选项D,当几22时，可得S〃一1=一，

所以风=S〃—S〃_1=］。〃+1-耳。〃+1一5?),

3

可化为万(q+|+a„)(a„+1-a„)=an+l+an,

2

因为。〃〉0,则。"+1+。“〉0,所以4+1_%=§,〃》2,

▽中*_42_2_2_2

又因为%an+i-an=j,neN,4=§，

即数列｛%｝是以］2为首项，:2为公差的等差数列，

所以数列｛%｝的通项公式为4=§+("—l)x§=T，故D正确.

故选：ABD.

12.如图，尸为抛物线。：炉=20%(。＞0)的焦点，O为坐标原点，过y轴左侧一点尸作抛

物线C的两条切线，切点为A、B,PA、P3分别交y轴于M、N两点,则下列结论一定正

确的是()

B.ZAFB+ZAPB=180°

、\OM\_\FA\\OM||AM|

D.---------=---------

.|ON|一|必|ION||MP|

【答案】AD

【解析】设抛物线C：=2px(p>0)上一点V(Xo，%),则y；=2°Xo,

过点M(Xo，%)的切线方程为y-%=左(%一天),

联立方程组［%=々a—%。)，整理的9_女y_&+$=0,

y=2pxkk

DP

令A=0,解得左二工，即过抛物线上一点的切线的斜率为上,

对于A中，设4三,%),3(区,%),(%7%)，则过点A的切线方程为y=£x+4,

2p2pX/

令x=0,可得y=/,即M

又由抛物线c：V=2内的焦点为砥T，°)，所以=-y-

7T

则上MF4转=一1，所以"F，,，即/尸儿田=万，

7T

同理可得NPNE=—，则P,N,£M四点共圆，所以NAPfi+NMFN=ji,所以A正确;

2

对于B中，若点p在准线尤=-§上，可直线A5的方程为%y=p(x—B),

此时直线过焦点/(^,0),则NA£B=71,所以NAFB+/4PB>7I,所以B错误；

对于C中，由M(0,&),N(0,&),可得感=—正，

22|ON|%

Pyt+p

|网=%十万2P2y；+p2

陷Pyfpy^+p2'

222P+2

若^^=探‘可得』=y+勺,则=-靖%-%。2,

|0N|\FB\y2yl+p^

所以X%=-p2,此时直线AB过焦点产，

设直线y=-x—'）,代入抛物线y2=2px,可得y2_2£y_p2=0,

2k

设方程的两根为M,为，可得M%=-PO

即当直线过抛物线焦点时，两交点的纵坐标之积为-/J?,

而直线A5不一定过抛物线的交点，所以C错误;

对于口中‘由耨"I’可得|0M「_才

|0N「只，

联立方程组、2，解得x=B匹,即P（牛，仁”）,

py2P22p2

A7=-^―Y-4-9-

才1y；

I肪!|2_4p24负才+昌=%2\OM\\MA\_

所以D正确.

|MP|2—心,一〉沁;+p2）-£'所）ON|\MP\

4P24

故选：AD.

第II卷（非选择题）

三、填空题

3m+n

13.10gzi3=m,\ogb2=n(b>。,且6wl),则b的值为.

【答案】54

【解析】因为log&3=m,log&2=〃(Z?>0,且"1),

所以有加"=31"=2,则所"+〃=广，出=仅，")3“=33义2=54.

故答案为：54.

14.在等比数列｛%｝中，/，%是函数/(x)=gx3—4d+4x—1的极值点，则生=

【答案】2

【解析】/，(X)=X2-8X+4,

由题。3，%是方程I?—8元+4=0的两个不等实根，

则由韦达定理的%=4>O>/+%=8>。，所以%>。,%>。

又。5是。3，%的等比中项且。5与。3，％同号，则=4,%>0=>%=2.

故答案为：2.

22

15.设双曲线「：鼻啧=1(a>0,〃>0)的左、右焦点分别为《和工，以「的实轴

为直径的圆记为c,过点耳作c的切线/,/与r的两支分别交于A,B两点，且

3

cosZF.BF^-,则：T的离心率的值为.

【答案】叵

2

【解析】设直线/与圆C的切点为尸，则［0固=。，OPLPF,,

由|0娟=。，得|尸局="0与］—.呼=商-a?=b，

过点F2作EQ，AB于点。，则OP//F2Q,

由。为6耳的中点，得忸。|=2|尸制=2m0蜀=2|0尸|=2a,

因为cosN^Bg=丁/耳2区为锐角，所以sinN£B&=Jl-cos2N4BE=-,

\ppI_依囿_生_区5a33a

2--

有।'~sinZF,BF242>得忸。|=忸用侬/48g=5X^=5,

所以闺却=|耳@+怛0=2。+弓，由双曲线的定义知，

|班|—|郎I=2a,BP2b+—--=2a,解得人=细，

222

又°2=储+32,所以0=画，所以双曲线的离心率为0=工=7叵.故答案为：叵.

2a22

16.如图，对于曲线G所在平面内的点。，若存在以。为顶点的角戊，使得对于曲线G上

的任意两个不同的点A3恒有成立，则称角a为曲线G的相对于点O的“界

角”，并称其中最小的“界角”为曲线G的相对于点。的“确界角''.已知曲线C：

xel1+1,%>0

>=1,（其中e是自然对数的底数），点。为坐标原点，曲线C的相对于点。

—x2+l,x<0

16

的“确界角”为P,则sin/7=.

【答案】1

xe'T+1,%>0

【解析】函数y=1,，

—x~+1,尤<0

116

因为%>0,y'=（%+l）ex-1>0,

所以该函数在(-8,0)单调递减，在(0,+9)单调递增.

¥|1

过原点作y=xe-+1的切线，设切点A(x1,x1e-+1),

由y'=(x+l)ei,则切线OA的斜率为%=

直线。4:y—(无声1+1)=(石+1)炉-(尤_%)过(0,0),

-x^e'11-1=（―6—七）e*11,/.xje'11—1=0（西〉0）,

即e'E=x>，由函数y=e>i与》=》一2的图象在(0,+co)有且只有一个交点,

且当事=1时满足方程，故方程有唯一解七=1,则匕=2；

1,+1的切线，设切点8卜2，\君+1)，

过原点作y=—x

16

由y'=%'得切线的斜率a=卜2,

则切线05:V-后+1]=：1々(％-%2)过原点(0,0)，

116)8

则k2=——,则有k]k2=—1,

•••两切线垂直，曲线C相对于点。的“确界角”为万，

四、解答题

17.已知平面内点〃（羽y）与两个定点A（4,0）,B（l,0）的距离之比等于2.

（1）求点M的轨迹方程；

（2）记（1）中的轨迹为C,过点g］的直线/被C所截得的线段的长为2百，求直

线/的方程.

解：（1）己知A（4,0）,5（l,0）,

由题意可知，--=2,坐标代入得半［：=2,整理得x2+y2=4,

MBJ（x_l）2+y2

故点M的轨迹方程为X2+/=4；

（2）当直线/的斜率不存在时，此时直线/的方程为x=l,

由圆。:一+丁2=4,则圆心为（0,0）,半径为2,

此时弦长为242?-f=2>/3，满足题意；

当直线/的斜率存在时，不妨设斜率为人,

则直线/的方程为y—：=左卜—1）,即质—y—左+；=0,

,1

—k_|__

则圆心（0,0）到直线/的距离=2=.

+（-1）2

因为直线/被C所截得的线段的长为2月，

-k+-3

所以储+(6)2=2?,则2=1,所以

d=I2==i解得人一了

，42+(-1)-

所以直线/的方程为3x+4y—5=0.

综上，满足条件的直线/的方程为％=1或3x+4y—5=0.

18.如图所示，在四棱维P—A6CD中，上4，面43。£),45,5。,43,4。，且

PA=AB=BC^-AD=2.

2

(1)求尸3与CD所成的角；

(2)求直线与面P4C所成的角的余弦值.

解:(1)因为？面所以两两垂直，故建立如图所示

的空间直角坐标系4(0,0,0),尸(0,0,2),B(2,0,0),0(0,4,0),C(2,2,0)

则依=(2,0,-2),CD=(-2,2,0)

PBD

cosPB,CD\1=,S>=1,所以PB与CD所成的角为60

\PB\\CD\2

(2)AP=(0,0,2),AC=(2,2,0),设平面PAC的法向量为m=(x,y,z

z=0

mJ_AP/n_LAC,y+x=。'令kT则加=(1,T°),

设直线尸。与面P4C所成的角的为。，又P£>=（0,4,-2）,

sin0=|cosm,PZ)|=jm-PD710

m\PD\-7

直线。。与面PAC所成的角的余弦值为巫

5

19.已知数列｛。“｝满足。“+1+2,“eN*，且出，。5，构成等比数歹人

（1）求数列｛q｝的通项公式;

n

（2）设d=2an+l,求数列出｝的前〃项和S“.

解:(1)由。,+i=a“+2,得%+「为=2,

所以数列｛4｝是以2为公差的等差数列,

又。2，。5，％4构成等比数歹U，

2

得a；=a2a14,即(q+8)=(q+2)(q+26),

整理解得％=1,

所以=1+2(〃-1)=2/7-1.

(2)4=2"-%M=2'L(2"+1),

2K

贝l]Sn=3x2*+5x2+...+(2n+l)x2,

23+1

2Sn=3x2+5x2++(2n+l)x2",

两式相减得-邑=3乂2+2(22+23+-+2")-(2"+1).2向，

即—S“=6+2x2-(I2:J一(2〃+1).2向

=6+2n+2-8-(2n+l)-2向=2"+1(l-2n)-2,

1-2

所以S,=(2〃-1)-2向+2.

20.在ABC中，角A,5c的对边分别为的面积为S,已知——=a2cosB

tanB

+abcosA.

(1)求角B；

q

(2)若b=3,4A5C的周长为/,求了的最大值.

45

解：(1)因为-----=a2cosB+abcosA,

tan8

g、i4x—acsinBcosB

所以22Al入“

-------------------=acosD+abcosA

sinB

即2ccosB=acosB+bcosA,

由正弦定理，得2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B),

因为A+3=%—C,

所以2sinCcos5=sinC,

因为C£(0,»),所以sinCwO,所以cos3二;，

又86(0,兀)，所以8

⑵由余弦定理，得/=/+02—2accosB，即9="+°2—a。,

[厂一

所以9=(〃+C)2-3QC,即=§(〃+-9,

因为S=-acsinB=^-ac，/=a+c+3,

24

所以S，Gac_^[(a+c)2—9]

I4(a+c+3)12(a+c+3)

所以*=――(a+c-

I12v

又acW（"c）（当且仅当。=c时取等号）,

4

所以9=（。+c）2-3ac>+0（当且仅当a=c=3时取等号）,

所以a+c46（当且仅当〃=c=3时取等号），

所以上=业伍+「一3）三也X（6-3）=出（当且仅当a=c=3时取等号）,

112v712v74

即»的最大值为且.

I4

21.已知椭圆=>7）经过点M-2,

（1）求E的标准方程；

（2）过点N（0,6）的直线/交E于C,。两点（点。在点。的上方），E的上、下顶点分别

为A,B,直线与直线8。交于点。，证明：点。在定直线上.

（1）解：因为E过点/，所以/+而二？［=1，整理得（44—7）（4—16）=0.

因为二〉7,所以〃=16,

22

所以E的标准方程为工+匕=1；

169

(2)证明：设直线/的方程为丁="+6,。(%,乂)，£>(x2,y2),A(0,3),B(0,-3).

联立<J~,整理得(9+16K)/+192fcv+432=0,△>0,

9x+16y=144v7

192左432

X+X=-------7,X修=-------7

1-9+16421-9+1642

%-3

所以直线AO的方程为丁=以一X+3①,

X2

直线的方程y=3②,

石

解法一:

由①②得皿=(%—3)石=(3+3)七

田①②倚%+3%(%+3)(2+9)%

432576左2—14必

左、%2+3(%1+%2)—3%k

9+16左29+16左2_=9446F=_1

kxx+9尤2,4320432左03

x2k------+9%,

9+16左229+16左22

3

所以

3

所以点。在定直线y=2上运动，故点。在定直线上.

解法二(和积转化)：

9

所以=一1(%2+%2)，

由①②彳J。-3.履也+3玉_-)+3芯

%+3kx1Xl+9x2_/玉+9)+9々

3x-9X13

£^二一9§，所以几二

3

所以点。在直线y=5上运动，故点。在定直线上.

解法三(点代平方差)：

22

因为。在E上，所以2+&=1,

169

所以5+3)也-3)=_.

916

日n为一3_9%

即二一—记.斤3

由①②得2kzi_____

y°+3%+3x2y+3I16Jy2+316(2+9)(3+9)

432

=__9____________________=_2__________9+16-2_________=_』，

2