湖南省长沙市某中学2024-2025学年高一年级上册阶段训练（三）（12月）数学试题+答案

长沙市南雅中学2024级高一阶段训练（三）

数学

时长120分钟总分150分

一8小5分40分

有一项是符合题目要求的。

1.函数/（①）=c+Ina;-3的零点所在的区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

2.下列函数中为奇函数且在(0,+oo)上单调递增的是

A.f(x)=\x\B./(rc)=x+—C.f{x)=—x3D.f(x)=x\x\

X

2

10&2

3.Ig4+21g5+log28+8至+3=

A.10B.11C.12D.3

则八

4.已知集合Z=®g=log2电力>1}I={y=—,x>l\,A_B=

2XJ

A.{y|o<y<-|-jB.{y\0<y<l}C.{科VyVl}D0

5.命题V力6R,(力)W0”

A.V宏WV,f(x)=0且g(x)—0B.VxGH,f(x)=0或g(x)—0

C.mR,/(g)=0或g(g)=0D.BXQER,/(g)=0且g(g)=0

2408

6.若a=O.O1,b=log0,52402,c=logo_03O.O2,

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

:cy

7.已知力>0,?/>0,log32—logi8=log94,的最小值是

33g力

A.2B.2V2C.2V3D.4

8.已知a=Iogo,i2,b=logs，，

A.abVOVa+bB.abVa+bVOC.a+bVabVOD.a+bVOVab

二3小6分18分

符合题目要求6分0分。

9.（多选）下列说法不正确的是

A.函数/上）=log2（d一20的单调递减区间为（一8,1）

1

B.[（-V2）-2]2=V2

C."-5V力V8”|%|V5”

D.函数/（劣）=力+上没有最小值

x

10.(多选)已知函数/⑺=log2(6E—力)+3.则下列说法正确的是()

A./(1)+/(-1)=6

B.函数/(①)在定义域上单调递增

C.函数/(①)的图象关于点(0,3)对称

D.若实数a,6满足/(a)+/(b)>6,则a+bVO

11.(多选)已知函数/⑸的定义域为R,且/(①+夕)=/(—，)+/(切+2我，则下列选项正确

的是()

A./(0)=0B./(3)=9

C.沙=/(，)一"+c是奇函数D.沙=/(2)—2名是偶函数

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分。

12.已知点(m,8)在暴函数/(①)=(?7i—1)疗的图象上,则/(，)=

/1xlxl

13.已知函数/㈤=(5)—1—3小，若函数/㈤有两个零点,则机的范围是

值是______

四、解答题:本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.已知函数/(c)=ln(az+1)+ln(2：—1)的图象经过点(3,31n2).g(c)与y=互为反函

数。

⑴求a的值，及62)的定义域,并判断了(,)的奇偶性；

(2)求关于x的不等式/Q)WgQ)的解集.

16.已知函数5=a/-2aa—3

（1）若a=1,求不等式ax2—2ax—3>0的解集；

⑵若关于x的方程a/—2ac—3=0有两个不等的正实数根©与g,求a的取值范围和洸

+诿的取值范围.

17.某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：mg/L）与时间

%（单位：％）间的关系为

kt

P=Poe-

其中是正的常数。如果在前5小时消除了10%的污染物，那么

后还剩百分之几的污染物？

（2）污染物减少50%需要花多少时间（精确到1/z）?

（参考数据ln0.9=-0.10541n2比0.6931）

18.已知函数/(c)=a-/7，g(c)="

O"I-LJ\JL>)CL

⑴若函数/(c)为奇函数，求a的值；

(2)设h(x)=g(2c)—a•g{x)—a.

⑴函数〃⑺在［—1,2］上恒有hQ)>0,求a的取值范围；

(弦)若a=4,则是否存在实数m,九,使得函数九(①)的定义域为［机,汨，值域为［3m,3"］.若存

在，求出3"和3"的值;若不存在,请说明理由.

19.已知函数沙=/(0,若对于其定义域。中任意给定的实数①,都有/(0+/(?)=1,就称

函数？/=/(⑼满足性质Q.

(1)若函数/(，)(—8,0)U(0,+8))是否满足性质Q?请说明理由。

办+1

⑵若y=f⑸满足性质Q,/(劣)在定义域(0,+8)上单调，且/(劣)>］对V/e(0,1)都成

立，解关于力的不等式/(Q炉+力—QN)—<0(a<0)；

⑶在⑵的条件下，已知V力1，x2E(0,+8),gW力2,若/(力J+/(62)=1，证明：g+力2>2.

参考答案

一、单选题:本题共8小题,每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.函数/（，）=，+In2一3的零点所在的区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

答案C

解析•."（£）在（0,+8）上单调递增，且/（2）=In2—1V0,/（3）=ln3>0,

故/Q）在⑵3）上有唯一零点,故选C.

2.下列函数中为奇函数且在（0,+oo）上单调递增的是（）

—\x\B.y（rr）—C.=—x3D.—x\x\

,x

【答案】。

2.

3

3.1g4+21g5+log28+8+310g32=（）

A.10B,11C.12D.3

答案B

23

解析因为1g4+21g5=1g4+1g5=lg4+1g25=1g100=2,log28=log22=3,8-

（230=22=4,310g^=2,所以lg4+21g5+log28+8,+3^2=2+3+4+2=11.故选A

4.已知集合A={g|g=log2力，力>1},8=仞0=」-,力>1）,则）

2XJ

⑷（B）{?/|0<^<l}（C）{科VgVl}（D）

答案A

解析A={y\y>Q},B=所以AnB={，OVgV1},故选力

5.命题“VxER,/Q）・gQ）丰0”的否定是（）

A.V/€R,/（力）=0且g（力）=0B.V/EjR,/（力）=0或g（力）=0

C.mgeR,于Go）=0或g（g）—oD.Bx0ER,/（g）=0且g（g）=0

答案C

解析根据全称命题与特称命题的互为否定的关系可得:命题“V力e几/Q）・gQ）半0”的否

定是“三x0ER,f（xo）=0或g（g）=0”.故选C

6.若a=0.0124%b=logo52402,c=logo.03O.O2,则（）

A.c>Q>bB.b>a>cC,a>b>cD,a>c>b

答案A

解析因为0VaV0.01°=1,b=log0,52402<0,c=logo_03O.O2>logo_03O.O8=1,所以c>a

>b.故选故

（7）已知力>0,g>0,logs2。一Iogj_8"=k）g94,则+—的最小值是（）

33g6

A.2B.2V2C.2V3D.4

【答案】。

【解析】n+3g=l.

;力>0,g>0,・，・—■—F~~~—（T+37/）f--+）=2H——+-^―>2+2,

x6y\x3y/x6y

当且仅当，=3y=^■时取等号.故选O.

8.已知a—logo,i2,b=log5A/2，则（）

A.ab<0<a+bB.ab<a+b<0

C.a+bVabV0D.a+bV0Vab

答案C

解析因为a=logo.i2V0,6=1085，^>0,所以就<0,

又因为&+6=1。助」2+1。85m=售+臀=—炮2+果=lg2（；；［25）<0,所以

IgO.llg521g5lg25

a+b<0,又=2+《=log90.1+logV25=log20.1+log225=log22.5>1,所以

abab

>1,又abVO,所以a+bVab,所以a+b<abV0.

二、多选题:本题共3小题,每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求，全选对的得6分，选对但不全的得部分分，有错误的得0分。

9.(多选)下列说法不正确的是()

A.函数/Q)=log2(/—2。)的单调递减区间为(—8,1)

1

C."—5<c<8”是“㈤<5”的充分不必要条件

D.函数/(7)=。+2没有最小值

X

答案：人。

10.(多选)已知函数/⑸=log2(J西I—，)+3.则下列说法正确的是()

A./(1)+/(—1)=6B.函数/(⑼在定义域上单调递增

C.函数/(①)的图象关于点(0,3)对称

D.若实数a,b满足_f(a)+/(b)>6,则a+bVO

【答案】ACD

11.(多选)已知函数/(①)的定义域为兄，且/(。+切=/(—2)+/Q)+27沙，则下列选项正确

的是()

4/(0)=0雨⑶=9

C.y=f{x}-^+x是奇函数D.y=f(x)_2x是偶函数

【答案】ABC

【解析】令工=y=0,则/(0)=2/(0),即/(0)=0,A正确；

令夕=0,则/(2)=/(—①),令夕=—①,则/(—2)+/(—tr)—2>=0,则/(2)=",

故/(3)=9.B正确；n=f(x)—"+±=2；是奇函数，。正确；

y=f(x)—2c="-2c是非奇非偶函数，。不正确.故选：ABC.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分。

12.已知点(m,8)在基函数/(2)=(m—的图象上，则/(力)=

【答案】炉

【解析】由于/(7)=(小-l%11为幕函数，所以m—1=1,则7n=2,/(2)=，".又点⑵8)在函

数，㈤=z”的图象上，所以8=2"，知八=3,故/3)=2

(13)己知函数/(2)=(y—1—3m,若函数/Q)有两个零点，则m的范围是

答案:(一■，0)

14.已知函数/(re)=x2—■](多看0)，若实数a满足了(log3a)+/(log1a)=2/(2),则实数a的

值是.

【答案】9或卷.

【解析】易知/(，)=工2—2(c力0)为偶函数，且在(0,+oo)上单调递增，-.-/(logaa)+

/(log.)=2/(2),.,./(log3a)+y(-log3a)=2/(log3a)=2/(2),A/dloggal)=/(2),即|log3a|

=2u>log3a=±2,a=9或1.

9

四、解答题:本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.已知函数/(①)=ln(av+1)+ln(x—1)的图象经过点(3,31n2).g(x)与夕=e。互为反函

数。

⑴求a的值，及62)的定义域,并判断了(,)的奇偶性;

(2)求关于2的不等式/(⑼<g(⑼的解集.

【解析】

（1）由题意可得ln（3a+1）+ln（3—1）=31n2,即ln（3a+1）=21n2,所以3a+1=4,

解得a=l,则/（2）=ln（rc+l）+ln（c—1）.由解得c>l.

所以/Q）的定义域为（1,+00）.非奇非偶

（2）由（1）可得/（力）=In（宏+1）+ln（rr-1）=ln（T2—1）,c>1,g（x）=lnx

不等式/(力)(力)可化为ln("-1)Win/，因为g=lnc在(0,+8)上是增函数，所以

（x2-x-K0（j-75<^<1+V5

JOV/2-14力n（力2—1>022

[T>1[劣>1[7〉1

斗卜<，《等3

16.已知函数夕=a，2—2岫一3

(1)若a=1,求不等式ax2—2ax—3>0的解集；

⑵若关于s的方程ad—2切-3=0有两个不等的正实数根&与如求a的取值范围和犹

+诿的取值范围.

【解析】

(1)当a=1时,产一2%-310,即(7-3)(%+1)N0,解得％W-1或％N3.

故不等式的解集为{%|%<-1或%>3).

△=4a2+12a>0,

/+上=2，解得&<一3,则一？(工<0.

33a

X1X=-->o,

{2

所以后+据=(%1+%2)2-2%1%2=4+，，又2<4+：<4,所以好+好的取值范围是

2</+宿<4.

17.某工厂生产的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间

力(单位：％)间的关系为

P=R)e-"

其中冗，k是正的常数。如果在前5小时消除了10%的污染物，那么

(1)10无后还剩百分之几的污染物？

(2)污染物减少50%需要花多少时间(精确到1/1)?

(参考数据ln0.9=-0.10541n2比0.6931)

ry—5k—5k

答案：当力=0时，？=冗6-出。=或,义1=冗，当力=5时，由题意得勺^=」^=90%

尸片

即e-5』90%，则k=—±ln0.9，k仁一占x(-0.1054)40.02108此处k可以不算到精确值，

55

如果要算,至少精确到0.021否则后期带入t值会有差异

Dp-10fc

(1)当力=10时，f—=eT仇=(e-5k)2=0.92=0.81

a

所以10h后还剩81%的污染物。

⑵设污染物减少50%需要t小时，隼上=坐'=50%则片标=0.5

两边取以e为底的对数,则—盘=ln0.5

ln0.5—In2-0.6931冬0.6931义5仁部II■g33所以经过33月污

k-iln0.9—1x(-0.1054)°-1054

染物减少50%o

18.已知函数/(2)=a-，g(x)=“

o-।J.j\Xja

(1)若函数/(，)为奇函数，求a的值；

(2)设h(x)=g(2c)—a-g(jB)—a.

(i)函数h(x)在［-1,2］上恒有〃(,)>0,求a的取值范围；

(弦)若a=4,则是否存在实数九,使得函数九(①)的定义域为［机,汨，值域为［373"］.若存

在，求出卯和3"的值;若不存在,请说明理由.

【解析】

(1)f(x)定义域为R,且为奇函数，所以/(0)=0,得a=1检验当a=1时，f(x)+/(—2)=0为

奇函数所以a=l

(2)gQ)=—=-----1-----=—(3。+l),g(20)=—(3?。+1)

h(x)=—(32x+1)+Q(3]+1)—a

贝！Jh{x}=—32。+Q・3*—1令力=31

xe[—1,2]则方e[3T3],te[y,9^|

即P(t)=—P+a右一1>0

即就>乎+卜>t+/恒成立

令#)=t+^，根据对勾函数的性质，次)在即1)单调递减，在[1,9]

上单调递增，p⑴=2,w(])=3+]=,p⑼=9+《=，故a>当"o

0oyyy

法二：P(t)为开口朝下的二次函数，结合图像,直接代入两个端点!和9即可。

O

mn

(2)令力=3,工G[3,3],令0=379=37则土e[pfq]

H(t)=—甘+4右-1=力,对称轴为t=2

⑴当0VpVq<2时,H⑴单调递增,此时胃曾二：

即方程变为=—产+41一1=力在(0,2]有两个不同根

解得±=与疸，其中力=汽疸>2,故舍去

(2)当p<2<q时,H⑶先增后减，["(2：理个

由H(P)=P，可得p=之一%,而H(q)=H(3)=2>H(p)

所以p=3"=之一相,g=3"=3

⑶2Wp<q时,H(t)单调递减,此时雅

{]；2；：：二：二：，作差可得(P-。)(P+。-5)=0

因为pWq，所以p+q—5=0,即p+q=5

代入可解得p=3m=2,q=3"=3

om—3―3M=2

综上所述,一或

3n=33n=3

19.己知函数y=/(,)，若对于其定义域。中任意给定的实数2,都有/(2)+/(：)=1,就称

函数