广东省深圳市龙岗区2024届高三年级上册期末质量监测数学试题

广东省深圳市龙岗区2024届高三上学期期末质量监测数学试题

姓名：班级：考号：

题号——四总分

评分

一、单项选择题：本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知集合4={久|久2<2},B={—2,-1,0,1,2},则ACB=（）

A.{0}

B.{0,1}

C.{—1,0,1)

D.{-2,—1,0,1）

2.已知复数z=l-gi,则z2在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知数列{斯}为等差数列，$„为其前几项和，a6+a3-a5=3,则S7=（）

A.42B.21C.7D.3

17T

4.已知ae(0,兀)，且sin2a=守则sin(a+/)的值为()

AA/6RV6「y[6n

3663

5.已知5a=10°,则、=（）

A.1B.2C.log510D.1-lg2

6.过圆/+y2=i上一点A作圆。—4>+y2=4的切线，切点为B,则|2B|的最小值为（)

A.2B.V5C.V6D.V7

7.已知函数fO）=久（1+是偶函数，则小的值是（）

A.-2B.-1C.1D.2

8.已知矩形/BCD中，AB=2,BC=1,将△CBD沿HD折起至△C,BD,当C,B与4D所成角最大时，三棱锥

C-ABD的体积等于（）

二'多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.关于二项式（/-叁）8的展开式，下列结论正确的是（）

A.展开式所有项的系数和为-1B.展开式二项式系数和为256

1

C.展开式中第5项为1120/D.展开式中不含常数项

10.已知瓦，石是夹角为郛单位向量，五=瓦-2夙，石=石+质下列结论正确的是()

A.|a|=V3

—»1

B.a-b=—

C.<a,b>=竽

D.方在让的投影向量为一弱

11.下列说法中正确的是()

A.用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体"被抽到的概率是

0.1

B.已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4,则这组数据的方差是争

C.数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第70百分位数是23

D.若样本数据的，亚，…，Mo的标准差为8,则数据2%i-1,2%2-L…，2亚0-1的标准差为32

12.已知抛物线产=4%的焦点为R准线与x轴的交点为尸，过点尸的直线与抛物线交于点〃，N,过点尸的

直线与抛物线交于点/,B,则

A.\MN\>4B.OM-ON^-4

C.\OA\2+\OB\2>10D.\AF\+\BF\>2\PF\

三'填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.函数y=cos2x的最小正周期为.

14.有甲、乙、丙三项任务，其中甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，现从6人中任选4人承担这三项

任务，则共有种不同的选法.

15.已知尸1，尸2是椭圆E：及+番=l(a>b〉0)的左，右焦点，E上两点4B满足3旃=2用，=

2\AF21,则E的离心率为.

16.已知函数/(%)=/+(1+。尸—2(a>0且aHl),若函数/(%)恰有一个零点，则实数a的取值范围

为.

四'解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明'证明过程或演算步骤.

17.记△ABC的内角的4,B,C的对边分别为a,b,c,已知cosA=练二

Zb

(1)求3；

(2)若c=3,b=V13,求△ABC的面积.

2

18.如图，在三棱锥P—2BC中，PCABC,AB=BC=*PC=2,PA=2

(1)求证：4B1平面PBC；

(2)若M是P4的中点，求CM与平面PAB所成角的余弦值.

19.已知数列｛aj满足的=1,且对任意正整数m,n•都有。m+n=+2mn.

(1)求数列｛斯｝的通项公式；

(2)求数列｛(-1尸期｝的前n项和Sn.

20.已知双曲线斗—"=1缶>0,b>0)的左、右焦点分别为Fi，F2,离心率为得过点％的直线，与双曲

线的左、右两支分别交于点力，B.当8尸2,2时，△BF/2的面积为5.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)若直线Z与y轴交于点M,且拓？=L4直,=4,求证：入+〃为定值.

21.某工厂采购了一批新的生产设备.经统计，设备正常状态下，生产的产品正品率为0.98.为监控设备生产

过程，检验员每天从该设备生产的产品中随机抽取10件产品，并检测质量.规定：抽检的10件产品中，若至

3

少出现2件次品，则认为设备生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测及修理.

(1)假设设备正常状态，记X表示一天内抽取的10件产品中的次品件数，求P(X22),并说明上述监控

生产过程规定的合理性；

(2)该设备由甲、乙两个部件构成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若只有一个部件出现故

障，则设备出现异常.已知设备出现异常是由甲部件故障造成的概率为p,由乙部件故障造成的概率为1-p.若

设备出现异常，需先检测其中一个部件，如果确认该部件出现故障，则进行修理，否则，继续对另一部件进行

检测及修理.已知甲部件的检测费用1000元，修理费用5000元，乙部件的检测费用2000元，修理费用4000

元.当设备出现异常时，仅考虑检测和修理总费用，应先检测甲部件还是乙部件，请说明理由.

参考数据：0.981°仪0.82,0.989^0.83,0.988«0.85.

22.已知函数/(X)=比久+,-1.

(1)讨论函数/(%)的单调性；

121

(2)若函数/(%)有两个零点为1，%2,且久1〉孙证明：房+亳＞a

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】因为集合2={久|久2<2}={%1—/<%<鱼}，B={—2,-1,0,1,2},则4CB=

{-1,0,1)

故答案为：C.

【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法，进而得出集合A,再结合交集的运算法则，进而得出集

合A和集合B的交集。

2.【答案】C

【解析】【解答】因为复数z=1—遮。

则z2=(1-V3i)2=l2-2V3i+(V3i)2=1-2V3i+3i2=-2-2向,

所以复数z2在复平面内对应的点为Z(-2,-2V3),

因为Z(-2,-2遮)位于第三象限，

所以复数z2在复平面内对应的点位于第三象限。

故答案为：C.

【分析】利用复数的乘法运算法则得出复数z2,再利用复数的几何意义得出复数在复平面内对应的点的坐标，

再结合点的坐标确定复数z2在复平面内对应的点所在的象限。

3.【答案】B

【解析】【解答】因为数列{an}为等差数列，Sn为其前71项和，

又因为。6+。3—“5=3,所以，+5d+a1+2d—%—4d=3,

所以，的+3d=3,所以，a4=3,

则S7=7(叼；。7)==7。4=7X3=21

故答案为：B.

【分析】利用已知条件结合等差数列的通项公式得出数列第四项的值，再利用等差数列前n项和公式和等差数

列的性质，进而得出等差数列前7项的和。

4.【答案】D

【解析】【解答】因为a6(0,兀)，且sin2a=•1•,

所以2sinacosa>0,所以sina>0,cosa>0,

又因为sin2a+cos2a=1,

所以，(sina+cosa)2=sin2a+cos2a+2sinacosa=1+sin2a=1+*=*，

因为sina〉0,cosa〉0,所以sina+cosa〉0,所以，sina+cosa=

贝Isin(a+今)=sinacos*+cosasin^=?(sina+cosa)=辛X=亨

故答案为：D.

【分析】利用角的取值范围和二倍角的正弦公式，进而得出角的正弦值和余弦值的正负，再利用平方关系和完

全平方公式得出sina+cosa的值，再结合两角和的正弦公式得出sin(a+^)的值。

5.【答案】D

【解析】【解答】因为5。=10匕，所以65a=310°,则a/g5=b,

贝哈=IgS=⑨学=IglO—lg2=1-lg2

故答案为：D.

【分析】利用已知条件结合对数的运算法则，进而得出t的值。

6.【答案】B

【解析】【解答】设圆久2+y2=1与圆(久一4)2+y2=4的圆心分别为o,C,则|2B|=J|AC|2_4,当|AC|最

小时，|4B|最小，由于点A在圆O上，则MQ的最小值为|0C|—1=4—1=3,所以|2B|的最小值为代.

故答案为：B.

【分析】根据题意由圆的方程求出圆心坐标再由两点间的距离公式，结合圆的几何意义计算出最小值即可。

7.【答案】A

【解析】【解答】/(-久)=7。+泮)=-％(1+署)=与手,

因为/(%)是偶函数,

所以/(%)=/(-X),

所以％(1+恐)=一久+号,

mx-\-mxex

所以2x+=0,

-l-ex

所以(2+m)%4-(2+m)xex_

l—ex-

所以m+2=0,

所以m=-2,

故答案：A.

【分析】首先根据题意化简得到f(-%),再根据偶函数的性质，可知/(%)=/(-吗，从而化简得到租=-2.

8.【答案】A

6

【解析】【解答】因为异面直线所成角的取值范围是（0,£],故当C'BIAD时，C'B与AD所成的角最大，

因为四边形ABCD是矩形，所以ABLAD,

而4BnC'B=B,AB.CBu平面

在直角三角形力DC'中，AD=1,CD=2,AC=瓜

而BC'=LAB=2,BC'2+AC'2AB2,所以BC'LAC',

所以，C'-4BD—VD-ABC—XSA4BC"4Q='|'X|'X1XV^X1=皑,

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合异面直线所成的角的取值范围和几何法得出当C'B1AD时，CB与AD所成的角最

大,再利用矩形的结构特征证出线线垂直,再结合直角三角形勾股定理得出边长,再根据勾股定理证出BC'lAC,

再利用三棱锥的体积公式和等体积法，进而得出当C'B与4D所成角最大时的三棱锥C'-4BD的体积。

9.【答案】B,C,D

8

【解析】【解答】对于A,令x=l,则（12—令=（-2）8=1，所以展开式所有项的系数和为1,所以A错；

对于B,展开式二项式系数和为28=256,所以B对；

对于C,（/—£）8的展开式中的通项公式为"+]=q（%2）8-『（—/厂=（―2）『C"16-3r,

所以，展开式中第5项为75=（-2）4玛-=1120久4,所以C对；

对于D,令16-3r=0,解得r=竽，不是整数，所以展开式中不含常数项，所以D对.

故答案为：BCD.

【分析】利用二项式定理求出展开式中的通项公式，再结合通项公式和常数项的定义，进而判断出选项C和选

项D,再利用赋值法得出展开式所有项的系数和，从而判断出选项A,再结合二项式系数和公式判断出选项B,

进而找出结论正确的选项.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】由题意可知：|瓦|=|同=1,瓦・石=|瓦|展尔畀寺，

对于A：因为同2=画_2石＞=瓦2_4瓦•石+4石2=l+4-4x1=3,

所以同=V3,故A正确；

对于B：因为五•加=（瓦一2互）•同+互）=五2一万•石一2石2=1一＞2=—|,故B错误；

对于C：因为的2=廊+酝）2=瓦2+2瓦•反+芍2=I+I+I=3，贝IJ回=8，

可得cos（a^b）—"士=厂2＞—-，

''\a\\b\V3xV32

且0〈〈五力〉〈兀,所以〈方力）=竽,故C正确;

7

对于D：因为行在另上的投影向量为需吃=-4反故D正确；

故答案为：ACD.

【分析】由题意可得：后|=扃|=1"•苣=J对于A：根据模长公式结合数量积的运算律分析求解；对于

B：根据数量积的运算律分析求解；对于C：先求的=8，结合向量夹角公式分析求解；对于D：根据投影向

量的定义分析求解.

11.【答案】A,B

【解析】【解答】对于A,用简单随机抽样的方法从含有60个个体的总体中抽取一个容量为6的样本，则个体

机被抽到的概率是£=*=0.1,所以A对；

对于B,已知一组数据1,2,m,6,7的平均数为4,则［萼a±2=4,所以m=4,

22222

所以这组数据的方差是s2=(1-4)+(2—4)+(4飞4)+(6—4)+(7-4)=尊，所以B对；

对于C,因为10x70%=7,所以将数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23从小到大排序，进而得

出这组数据的第70百分位数是第7个数和第8个数的平均数为里罗=竽=23.5,所以C错；

对于D,若样本数据勺，工2，…，工io的标准差为s点=8,则数据2与-1,2X2-1,2久1()—1的标准差为

2s原=2x8=16,所以D错.

故答案为：AB.

【分析】利用已知条件结合简单随机抽样求概率公式、平均数公式和方差公式、百分位数求解公式、标准差公

式的标准差的性质，进而找出正确的选项。

12.【答案】A,C,D

【解析】【解答】对于A,由题可知F(l,0),设直线MN：x=ty+l,M(x「yQ,N(x2,y2),

联立直线与抛物线的方程，即仁)算整理可得y2-4ty-4=0,

2

贝如1+；72=4%丫1丫2=-4,\MN\=+x2+p=t(yi++4=4t+4>4,所以A对；

对于B,因为％I%?=D=1，贝ON=/冷+月丫2=—3,所以B错；

对于C,由题可知P(-L0),易知直线AB的斜率存在且不为0,

设直线AB：x=my-l,yA),B(XB,

联立直线与抛物线的方程，即卜｝琴r整理可得V—4四+4=0,

X

贝"人+如=4TH,yAyB=4,故孙孙=1，xA>0,xB>0,且％a丰B,

2

|。川2+\QB\=%：+y：+用+耳>2XAXB+2yAyB=10,所以C对；

8

对于口，|/尸|+出尸|=必+久8+「>2网坛+2=4,又因为|PF|=2,

所以|/F|+|BF|>2|PF],所以D对.

故答案为：ACD.

【分析】联立直线与抛物线方程和韦达定理以及抛物线的定义，从而得出线段MN的长，进而判断出选项A,

利用代入法和抛物线的标准方程，再结合数量积的坐标表示和韦达定理判断出选项B,联立直线与抛物线方程

和韦达定理以及两点距离公式和均值不等式求最值的方法，从而判断出选项C,利用抛物线定义和均值不等式

求最值的方法判断出选项D,进而找出正确的选项.

13.【答案】兀

【解析】【解答】解：函数尸COS2X=1+C°S2%,故它的周期为争=兀，

故答案为：加

【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性，求得函数y=cos2x的最小正周期.

14.【答案】180

【解析】【解答】第一步：先从6人中任选2人承担任务甲，有鬃=15种选法；

第二步：再从剩余4人中选出1人承担任务乙，有禺=4种选法；

第三步：最后从剩下3人选出1人承担任务丙，有禺=3种选法；

所以共有僚=180种不同的选法。

故答案为：180.

【分析】利用已知条件结合组合数公式和分步乘法计数原理，进而得出满足要求的共有的不同选法种数。

15.【答案】第

【解析】【解答】因为3旃=2用，则可设|4/21=2%\F2B\=3t,

又因为|AF1|=2|4?2|，所以3%|=4t,

由椭圆的定义，\AFr\+\AF2\=6t=2a,即t=等

又因为|BFi|=2a-\BF2\=2a-a=a,即点B为短轴端点,

|BFI『+|BF2产一尸也|2

所以，在中，cosB=雪上=l—2e2Y，

2X|BFI|X|BF2|2a-a5

解得e=*或e=—*（舍）。

故答案为：亘

【分析】利用已知条件结合向量共线定理和线段之间的关系，进而设出线段，再结合椭圆的定义和余弦定理,

再根据椭圆的离心率的取值范围，从而解方程得出椭圆的离心率的值。

16.【答案】{可。=弓&a>1}

9

【解析】【解答】因为rco=a，+(l+a)x—2(a>0且a。1),

所以，当x=0时，f(0)=a。+(1+a)。—2=1+1—2=0,

所以0是函数f(x)的一个零点，若函数/(%)恰有一个零点，

则其等价为当x不等于0时，f(x)不等于0即可，

当a>l时，由指数函数的性质可知：f(x)在R上单调递增，此时只有一个零点，满足题意；

当0<a<l时，/'(%)=axlna4-(1+a)zln(l4-d),则函数尸0)在R上单调递增,

由于工一一8,/'(%)00,X-^+00,/''(£)f+8,

所以尸(%)存在唯一零点，若f(x)只有一个零点x=0,此时也必为极值点，

则只需/1(0)=a°lna+(1+a)°ln(l+a)=0,解得a=与匚，

综上所述，则实数a的取值范围为口|。=二空或。>1｝。

故答案为：包|°=二乎或a>D

【分析】根据指数函数的性质，得出f(0)=0,然后分别讨论a>1和0<a<1时的函数的单调性进行判断即

可。

17.【答案】(1)解：法一：因为cosZ=^,所以生铠卫=物，

2b2bc2b

整理得小+c2—b2=ac,

所以c°sB=必产/=芸=4

2ac2ac2

又因为36(0,71),所以B=*

法二：因cos.=2晨0,所以2bcosZ=2c-a,由正弦定理得

2b

2cosXsinF=2sin(A+B)—sinX=2sin/cosB+2cosXsinB—sinX,

整理得2sinXcosB—sin/=0,

因为sinA>0,所以cosB=J

又因为Be(0,71),所以B=/

(2)解：因为川=a2+02—2accosB,c—3,b=V13,

所以13=22+9-3a,即a2—3a—4=0,解得a=4,

所以△ABC的面积s=acsinB=±x3x4x^=3y/3

【解析】【分析】(1)方法一：首先根据余弦定理，将角转换为边进行化简，化简后再次利用余弦定理，再将边

转换为角，得到4B余弦值，最终根据角的取值范围得到ZB值.方法二：首先根据正弦定理，将所有边都转换为

角，再利用诱导公式进行化简，得到ZB余弦值，最终根据角的取值范围得到ZB值.

10

(2)首先结合(1)中求得NB的余弦值，再根据题目所给b,c值，代入余弦定理，求得a值，最后再根据正弦定理

与三角形面积的表达式，代入求得面积.

18.【答案】(1)解：因为PC_L平面ABC,ACcWABC,所以PCJ.AC,

又PC=4,PA=2限

所以ac=2鱼，

在△ABC中，因为AB=BC=2,所以AB?+BC2=所以ZBIBC,

因为PCI平面ABC,ABABC,所以PCIAB,

又因为PCClBC=C,PC,BCc¥®PBC,

所以AB1平面PBC；

(2)解：(方法一)如图,以B为坐标原点，建立空间直角坐标系,

则B(0,0,0),4(0,2,0),P(2,0,4),C(2,0,0),M(l,1,2),

所以说=(一1,1,2),BA=(0,2,0),~BP=(2,0,4),

设平面PAB的法向量为五=(%,y,z),

则g亘=0,即｛2y=Q

(元•BP=012%+4z=0

令％=2,则z=-1,所以元=(2,0,—I)，

设CM与平面PAB所成角为仇

^M-n_-2-2_-2730

贝(jcos(CM,n)—

\CM\\n\"A/6XV5-15

sin0=|cos(CM,n)|='-cosB=

即CM与平面PAB所成角的余弦值为理1

(方法二)过点C作CN1PB,垂足为N,连接MN,

11

p

B

因为2B1平面PBC,CNu平面PBC,

所以ZB1CN,

又CNLPB,PBCAB=B,PB,PBu平面P4B,

所以CN1平面PAB,

则ZCMN为CM与平面PAB所成角的平面角，

在Rt△PAC中，CM=^PA=y/6,

左n..norrHPCxBC4x24花

在Ht△PBC中，CN=-

PB2755

...在Rt△CMN中，MN=VCM2-CN2=J(V6)2-(^)2=争，

即CM与平面PAB所成角的余弦值为4

【解析】【分析】(1)首先根据线面垂直的性质，得到一组垂直，结合勾股定理求得4C值，再次利用勾股定理的

判定，得到一组线线垂直，然后再根据线面垂直得到另外一组线线垂直，根据线面垂直的判定，从而得到结论.

(2)方法一：如图建立空间直角坐标系，得到各点坐标，联立得到各个向量，联立方程组，求出平面的法向量，

再利用余弦定理求得直线CM与平面P4B的所成角的余弦值.方法二：首先过点C作一组垂线，再根据线面垂

直得到另外一组线线垂直，根据判定得到线面垂直，从而得到直线与平面的夹角ZCMN,然后再根据勾股定理,

进一步求得CM,CN值，最终求得夹角的余弦值余弦.

19.【答案】(1)解：由对任意整数m,n均有a7n+n—an+am+2mn,取TH=1,得a^+i=an+1+2n,

当n之2时，an=a1+(ci2—Qi)+(<23—a2)+…+(c1n—斯-i)=1+3+5+…+2n—1—"1+~~——彦,

当n=l时，臼=1,符合上式，所以an=n2.

222222

(2)解：当九为偶数时，Sn=(-I+2)+(-3+4)+-+[-(n-I)+n]

=3+7+11+…+(2几—1)=2(3+；T)=4法1),

当n为奇数时，若?！=1,则Si=(-I)1xai=-1,

n712

若几22，则S九=S九_i+(-l)an=S九_i-an=('I)-n=二%

12

且当n=l时，满足51=专匚=—L

几2+九

n为偶数

z

—n—n口为奇数

（~2~

【解析】【分析】(1)对任意整数m,n均有a机+n=。„+。加+2nm,再结合赋值法得出册+i=%+1+2zi,

再由累加法和检验法得出数列｛g｝的通项公式.

(2)利用已知条件结合分类讨论的方法和并项求和的方法以及递推公式，进而得出数列｛(-1严册｝的前n项和

SJJ.

20.【答案】(1)解：当BF2II时，|B%|2+|BF2『=4C2,SABF1F2=1|BFI|■\BF2\=5,

可得田川•IBF2I=10,

由双曲线的定义可知，|B%|一|B&I=2a,

2

两边同时平方可得，|BFi『+\BF2\-2\BFX\'\BF2\=4a2,

所以4c2—2x10=4a2①

又双曲线的离心率为I，所以好■!②

由①②可得，a2=4,c2=9,所以炉=9-4=5,

所以双曲线的标准方程为4-噌=1.

(2)证明：当直线I与y轴垂直时，点M与原点。重合，

此时|M4|=|MB|=2,\AFr\=1,|B%|=5,所以入=2,〃=一|，入+4=告

当直线［与y轴不垂直时，设直线Z的方程为％=ty-3,y。，B(x2，乃)，

由题意知t40且一孚<9(字，

将直线I的方程与双曲线方程联立，消去左得，(5t2-4)y2-30ty+25=0,

0n/-

则小=900t2-4x(5t2-4)x25>0,yi+m月及=

易知点M的坐标为(0,1),

则由加=A^何，可得(％i，yi-,)=入(一3一小，一月),

所以入途3T，

3

同理可得“=而-1.

所以入+〃=53_1+而3-1=干3yi+>2r.8

y\yi~5,

综上，入+〃为定值|.

13

【解析】【分析】(1)利用已知条件结合勾股定理和三角形的面积公式得出|BFi|•|B&I的值，再利用双曲线的

定义和完全平方公式以及双曲线的离心率公式和双曲线中a,b,c三者的关系式，进而解方程组求出a,b,c

的值，从而得出双曲线的标准方程.

(2)利用已知条件结合直线与y轴的位置关系，当直线[与y轴垂直时，点M与原点。重合，再结合边之间

的关系和几何方法得出入+〃的值，当直线[与y轴不垂直时，设出直线方程，再联立直线与双曲线方程结合判

别式法和韦达定理，进而得出点M的坐标，再结合向量的坐标表示，进而得出入+〃的值，从而证出入+“为定

值.

21.【答案】(1)解：由题可知，单件产品为次品的概率为0.02,所以X〜B(10,0.02),

1019

所以P(X=