函数与方程-2025高考数学一轮复习讲义

第12讲函数与方程

知识梳理

一、函数的零点

对于函数y=/(尤)，我们把使〃同=0的实数x叫做函数y=/(x)的零点.

二、方程的根与函数零点的关系

方程”同=0有实数根0函数尸“X)的图像与x轴有公共点o函数尸〃x)有零

点.

三、零点存在性定理

如果函数>="X)在区间［凡句上的图像是连续不断的一条曲线，并且有

那么函数y=在区间(a,b)内有零点，即存在ce(4,b),使得

〃c)=O,c也就是方程"尤)=0的根

四、二分法

对于区间［a,0上连续不断且0的函数/(x),通过不断地把函数的

零点

所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点的近似值的方

法叫做二分法.求方程〃龙)=0的近似解就是求函数“同零点的近似值.

五、用二分法求函数/(x)零点近似值的步骤

(1)确定区间［a,6］,验证/(a)"(6)<0,给定精度£.

(2)求区间(a,6)的中点X1.

(3)计算"xj.若〃再)=0,则不就是函数的零点；若再)<0,贝(J令

6=占(此时零点尤°).若/'优)"(%)<0,则令a=±(此时零点尤°)

(4)判断是否达到精确度£,即若卜-耳<£,则函数零点的近似值为"(或b)；否

则重复第(2)—(4)步.

用二分法求方程近似解的计算量较大，因此往往借助计算完成.

【解题方法总结】

函数的零点相关技巧：

①若连续不断的函数/(尤)在定义域上是单调函数，则/(元)至多有一个零点.

②连续不断的函数/(X),其相邻的两个零点之间的所有函数值同号.

③连续不断的函数〃X)通过零点时，函数值不一定变号.

④连续不断的函数/(无)在闭区间必，句上有零点，不一定能推出/m)/(6)<o.

必考题型全归纳

题型一：求函数的零点或零点所在区间

【例1】(2024•广西玉林•博白县中学校考模拟预测)已知函数以幻是奇函数，且

/(无)=〃(尤)+2,若x=2是函数y=/(x)的一个零点，则〃-2)=()

A.-4B.0C.2D.4

【答案】D

【解析】因为x=2是函数y=/(x)的一个零点，则"2)=0,于是〃2)=H2)+2=0,即

%(2)=-2,

而函数以幻是奇函数，贝U有以-2)=-纵2)=2,

所以/(-2)=心2)+2=4.

故选：D

【对点训练11(2024•吉林•通化市第一中学校校联考模拟预测)已知与是函数

/(x)=tanx-2的一个零点，贝!]sin2%的值为()

A.--B.--C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】因为N是函数/(x)=tanx-2的一个零点，

所以tanX。-2=0,即tan=2,故cos尤0w0,

则sin'x_2sinxo-cosx()_2tanx0_4

222

'sinx0+cosx01+tanx05'

故选：D.

【对点训练2】(2024•全国•高三专题练习)已知函数

/(%)=2，+%遥(％)=1082彳+%/心)=1082》-2的零点依次为〃,仇。，则()

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c

【答案】A

【解析】对于〃x)=2*+x,显然是增函数，/(0)=1>0,/(-1)=-1<0,所以〃尤)

的唯一零点。;

对于g(x)=log2X+x，显然也是增函数，==，所以g(x)的唯一

零点6m；

对于/z(x)=log2X-2,显然也是增函数，/z(4)=log24-2=0,所以/z(x)的唯一零点

c=4；

/.a<b<c；

故选：A.

【对点训练3】(2024•全国•高三专题练习)已知/(x)=ex+ln尤+2,若看是方程

/(x)-_f(x)=e的一个解，则与可能存在的区间是()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】C

【解析】r(x)=e，+L所以--(x)=e*+hu+2-口=lnx-』+2,

因为X。是方程〃X)—r(x)=e的一个解，

所以与是方程由》-:+2_6=0的角轧^g(.r)=liuc-^+2-e,

则g'(x)=1+3，当x>。时，g'(x)=，+3>。恒成立，

所以g(x)=lnx-’+2-e单调递增，

131S

Xg(2)=ln2--+2-e=ln2+--e<0,g(3)=ln3-j+2-e=ln3+--e>0,

所以毛s(2,3).

故选：C.

【解题总结】

求函数/(X)零点的方法：

(1)代数法，即求方程/(x)=0的实根，适合于宜因式分解的多项式；(2)几何

法，即利用函数_y=/(x)的图像和性质找出零点，适合于宜作图的基本初等函数.

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

【例2】(2024•山西阳泉•统考三模)函数/(力=。2%+f+用在区间(1,2)存在零

点.则实数:"的取值范围是()

A.(—℃,—5)B.(―5,—1)C.(1,5)D.(5,+oo)

【答案】B

【解析】由7=1吗%在(0,+功上单调递增，%=/+仅在(0,+8)上单调递增，得函数

/(x)=log2x+fm在区间(0,+e)上单调递增,

因为函数/(x)=log2X+f+m在区间(1,2)存在零点，

所以凰U,即=解得一51，

2

[/⑵>0|^log22+2+m>0

所以实数m的取值范围是(-5,-1).

故选：B.

3

【对点训练4】(2024•全国•高三专题练习)函数〃尤)=2,-3-a的一个零点在区间

X

(1,3)内，则实数。的取值范围是()

A.(7,+co)B.(-oo,-l)C.(F,-1)U(7,+<»)D.(-1,7)

【答案】D

3

【解析】•••y=2，和.=-3在(0,+网上是增函数,

x

3

/(%)=2工一二一。在(0,+8)上是增函数，

x

二只需〃1>〃3)<0即可，即(―1—a)-(7-a)<0,解得需<a<7.

故选：D.

2

【对点训练5】(2024•河北•高三学业考试)已知函数是R上的奇函数,

2+1

若函数y=/(x-2〃?)的零点在区间(-1,1)内，则〃?的取值范围是()

A.B.(-LDC.(-2,2)D.(0,1)

【答案】A

【解析】：/⑶是奇函数，.♦./(())=。一一=0,a=l,/(%)=1---,易知/⑶在R

1+12+1

上是增函数，

/⑶有唯一零点0,

函数y=2㈤的零点在区间(—1,1)内，・・・x—2机=0在(-M)上有解，m=j,A

/11、

me.

故选：A.

【对点训练6】(2024•浙江绍兴•统考二模)已知函数〃x)=lnx+加+6,若/⑺在区

间［2,3］上有零点，则成的最大值为.

【答案】*

【解析】设/(%)=0，⑤e［2,3］,则1叫,+谒+6=0,

止匕时b=-lnx0-瓯,贝"ah二-alwc0-aXQ,

g(a)=—CIIWCQ—〃一；=—XQCIT-------+

I2xoIfe)'

当”一是时曹(

记〃。)=宇，则抑无)=与学，

2九2x

所以〃(无)在［2,e)上递增，在［e,3］上委弟减，

故以X)max="(e)=(,所以g(a)max=］InXo)_1

2^7)一方，

所以曲的最大值为，石.

4e

故答案为：

【对点训练7】(2024•上海浦东新-高三上海市进才中学校考阶段练习)已知函数

/(x)=sin办-〃sin%在(0,2兀)上有零点则实数。的取值范围_________.

【答案+s]u{0}

【解析］当a>］时，0〈巴<兀，/—=sin6Z---6/sin—=-tzsin—<0,

a［a}\a)aa

故/[：)/⑶由零点存在性定理知：/*)在区间上至少有1个零点;

当0=1时，/(x)=o,符合题意;

]兀兀

当一＜々＜1时，兀＜一＜2兀,一＜。兀＜兀,兀＜2〃兀笈＜2兀,

2a2

/[—|=-tzsin—＞0,/(兀)=sinan＞0,/(2K)=sin2an＜0,

\a)a

由零点存在性定理知，/(%)在区间(兀,2兀)至少有1个零点;

当0＜〃(工时,

2

/'(%)=acosax-acosx=Q(COSax-cosx)

ax+xax—x.ax+x.ax—x(ctx+xax—x.ax+x.ax—x

=acos--------cos----------sin--------sin----------cos----------cos--------1-sin---------sin--------

222212222

小.(a+I)x.(a-l)x

=-2asin---------sin----------,

22

因为0<。4工，xe(0,2TL),所以一兀――<0,sin———<0,

222

当无€(0,生)时，0<丝土如〈兀，sin丝业>0,(无)>0J(x)递增，

a+122

、［//2兀_,(a+l)x3兀.(Q+1)X八「，,、八、、当、小

当工£(---,2兀x)n时，71<----------<—sin----------<0,f(x)<0,/(P%z)递减，

a+122f2

27r2,71

故/⑴在(0,多)上递增，在(V，2TT)上递减，

a+1a+1

又/'(0)=0,/(2兀)=sin2OTI20,即在(兀,2兀)上，f(x)>0,

故/(x)在区间(0,27t)上没有零点.

所以，当时，函数/(x)=sinox-°sinx在(0,2兀)上有零点.

令0(。)=sin办一asinx,(P(~CL)-sin(-ox)+tzsinx=-sinax+asinx=~(p{d},

可知夕(。)=sinax-asin尤为奇函数，图象关于原点对称,

从而，当a<-；时，函数/(x)=sinax-〃sinx在(0,2兀)上有零点.

又当a=0时，/(x)=0,符合题意，

综上，实数°的取值范围[%-；H，+ju{。}.

故答案为：5K5，+°°]u{o}.

【解题总结】

本类问题应细致观察、分析图像，利用函数的零点及其他相关性质，建立参数关系，

列关于参数的不等式，解不等式，从而获解.

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

[例3](2024•黑龙江哈尔滨•哈尔滨三中校考模拟预测)己知实数尤,y满足

InJ2y+l+y=2,e*+尤=5,贝!!x+2y=.

【答案】4

【解析】由InJ2y+l+y=2,即InJ2y+1=2-y,

即e4-2y=2y+l,

令4-2y=f,则2y=4-t,

即e'=5-f，即e'+Z-5=0.

由e*+尤=5,得6*+%-5=0,

设函数/(力=/+%-5,显然该函数增函数，

又“I)."2)=(e_4)x(e2-3)<O,

所以函数/(x)=e，+x—5在(1,2)上有唯一的零点，

因此/=工，即4—2y=尤，

所以x+2y=4.

故答案为：4.

【对点训练8】(2024•新疆•校联考二模)已知函数/(力=渥+3/一4,若“X)存在唯

一的零点%,且％<0,则。的取值范围是.

【答案】

【解析】因为/(%)=加+3x2-4,所以/'(%)=36之+6%=3，(av+2)

当。=。时，W/(X)=3X2-4=0,解得》=±半，所以当。=0时，"X)有两个零点，不

符合题意；

当a>0时，由尸(x)=0,解得彳=0或》=_5，且有/(O)=T,f^-^=±-4,

当xe［co,-f\x)>Q),在区间(-巩-胃上单调递增；

当/'(x)<。，〃x)在区间,jo］上单调递减；

当xe(O,y),f\x)>0,〃尤)在区间(0,+e)上单调递增；

又因为〃0)=T<0,

所以了目0,,/(x)存在一个正数零点，所以不符合题意;

7

当〃<0时，令1(x)=o,解得x=0或％且有〃o)=y,f

4a-4

当xe(-«,0),/'(x)<0,〃尤)在区间(—e,0)上单调递减;

0,-j\/^x)>0,/(x)在区间0,-2］上单调递增;

当xe

aJ

当了J—2,+8

,r(x)<0,在区间一上单调递减;

Ia

Sa

又因为〃0)=T<0,f

所以/(x)存在一个负数零点，要使/Xx)存在唯一的零点小,

4

则满足了/一4<0,角军得4<一1或。>1,又因为Q<0,所以av-l,

综上，。的取值范围是

故答案为：(YO,-1).

x2+4x+a,x<0

【对点训练9】(2024•天津滨海新-统考三模)已知函数/(尤)=1,若函

--F6Z+1,X>0

IX

数鼠无)=/(九)-依T在R上恰有三个不同的零点，则〃的取值范围是

【答案】(FT)U[1,2)

X2+4x,x<0

【解析】当。=0时，/（兄）=<1

---F1,X>0

lx

因为廉元)=〃司-双T恰有三个不同的零点,

函数g(x)=〃x)T在R上恰有三个不同的零点，即/(力=1有三个解,

而工+1=1无解，故。/0.

X

当a>0时，函数g(x)=〃x)-⑪-1在R上恰有三个不同的零点，

即〃x)=6+l,即y=/(x)与y=ox+l的图象有三个交点，如下图,

当x>0时，/(x)=J+4+1与y=ox+l必有1个交点，

所以当x<0时，/(%)=f+4尤+。有2个交点，

即/+4%+。-6-1=0,即令力(尤)=犬+(4—a)x+a-1=0在内有两个实数解,

A>0（4-a）2-4（a-l）>0

A（0）>0=><a>\=>1<Q<2,

4-a八a<4

--------<0

2

当a<0时，函数g(x)=〃x)-ar-l在R上恰有三个不同的零点，

即/(x)=or+l,即y=/(x)与y=6+l的图象有三个交点，如下图,

当x<0时，/（力=犬+4彳+<7必有1个交点，

当x>0时，/（无）=:+。+1与y=ox+l有2个交点，

所以：+。+1=依+1,即依2-0^-1=0在（。,+00）上有2根,

令左⑴=加-ax-l

A>0

故<%（0）=—1<0=。2+4〃〉0,解得：Q<-4.

—a1

x=----=一

I2a2

综上所述：。的取值范围是（f,-4）U[l,2）.

故答案为：（F,-4）UU2）.

【对点训练10]（2024•江苏•校联考模拟预测）若曲线y=xlnx有两条过（e,a）的切线,

则a的范围是.

【答案】（—,e）

【解析】设切线切点为(毛,%),因(xln"=lnx+l,则切线方程为：

'=(ln/+1)(%-%)+/ln%=(in/+1)x-%.

因过(e,a),则a=(in/+l)e-%,由题函数/(x)=(inx+1)e-x图象

与直线，=。有两个交点(x)=与T=-~,

\/XX

得〃x)在(0,e)上单调递增,在(e,+s)上单调递减.

又〃尤)™x=/(e)=e，xfO,7(x)-,

据此可得〃x)大致图象如下.则由图可得，当ae(3,e)时，曲线y=xlnx有两条过(e,a)

的切线.

故答案为：(r»,e)

【对点训练1。(2024•天津北辰•统考三模)设aeR,对任意实数无，记

〃x)=min{e:2,e"-ae，+a+24}.若有三个零点，则实数。的取值范围是

【答案】(12,28)

【解析】令g(x)=e*=e"-ae*+。+24,

因为函数g(x)有一个零点，函数/z(x)至多有两个零点，

又〃尤)有三个零点，

所以/z(x)必须有两个零点，且其零点与函数g(x)的零点不相等，

且函数网力与函数g(x)的零点均为函数/'(x)的零点，

由g(x)=O可得，er-2=0,所以x=ln2,

所以x=ln2为函数〃力的零点，

Bp/?(ln2)=e21n2-fleln2+«+24=4-2cz+«+24=28-«>0,

所以"28,

令g)=0,可得e2=g£+。+24=0,

由已知e?x—ae*+a+24=0有两个根，

设则/-m+a+24=0有两个正根，

所以。2—1(。+24)>0,a>0,a+24>0,

所以。>12,故12<a<28,

当12<a<28时，/_必+°+24=0有两个根，

设其根为％出，则。2>|"，

设厂(7)=»—勿+口+24,贝I]/(2)=4-2a+a+24=28—a>0,F1||<0,

所以1>2,

令e*=G，e*=t2,则玉=历4，尤2=ln/2,

则〃(%)=0,马)=0,

ln,lnt2

>g(x1)=e'-2=Zj-2>0,g(x2)=e-2=r2-2>0,

所以当12<a<28时，/(^)=/(x2)=0,

所以当12<“<28时，不马为函数〃x)的零点，又x=ln2也为函数〃x)的零点，

且不,三与in2互不相等，

所以当12<。<28时，函数/'(%)有三个零点.

故答案为：(12,28).

【对点训练12](2024•广东•统考模拟预测)已知实数m,〃满足

2023-2m3-ln2

----------m=--------Inn-In(2e2020)=0,贝Umn=__________.

2nv7

3

【答案】-e

4

2023-2m

【解析】因为^------m=0,所以。2°23-2加—2m=0,

2

故e2023=2me2fn,即2m+In2m=2023,

BPe1n2"+in2加=2023.

3-ln2

由-----In〃-In(2e2020)=0,得e3-ln2n+3-In2n=2023.

nv7

令/(x)=x+e"，因为增函数+增函数=增函数，所以函数在R上单调递增，

而〃ln2m)=〃3—ln2〃)=2023,故ln2加=3—ln2〃，解得ln4/m=3,贝U加〃=[.

3

故答案为：-e

4

【解题总结】

方程的根或函数零点的存在性问题，可以依据区间端点处函数值的正负来确定，但是

要确定函数零点的个数还需要进一步研究函数在这个区间的单调性，若在给定区间上是单

调的，则至多有一个零点；如果不是单调的，可继续分出小的区间，再类似做出判断.

题型四：嵌套函数的零点问题

Y2I_1丫丫II

【例4】(2024•全国•高三专题练习)己知函数〃司=2',若关于x的方

—12尤-+1,x>0

程「(力-(左+1)4(力+丘2=0有且只有三个不同的实数解，则正实数％的取值范围为

A.B.1,lp（l,2）C.（O,1）U（1,2）D.（2,+s）

【答案】B

1c

x2+—x,x<0

2

【解析】因为〃X）=2x,0<xwg,

由r(x)-(左+l)4(x)+小=。可得［/(尤)-4［〃*)-履］=。，

所以，关于X的方程/(x)=尤、/")=丘共有3个不同的实数解.

①先讨论方程/(x)=x的解的个数.

当xVO时，由/(x)=x2+gx=尤，可得x=0,

当时，由/'(x)=2x=x,可得xe0,

12

当％〉一时，由/(力=2-2x=x,可得工=一，

23

2

所以，方程〃％)=%只有两解x=0和x=§；

②下面讨论方程/■(%)=kx的解的个数.

当xV0时，由/(X)=『+gx=正可得x］x+g_左］=0,可得x=0或彳=左_；,

当时，由/(x)=2x=Ax,可得左=2,此时方程〃力=区有无数个解，不合乎题

后、9

io

当%>—时，由=2—2x=Ax可得x=-------,

2左+2

11L1

k——<0k——<0k——>0

222

2132221

因为左>。，由题意可得<W或<—或〉

人+212Z+23左+22

k>0左>022

〔左+23

解得,工左<1或lvk<2.

2

因此，实数上的取值范围是

故选：B.

已知函数〃尤)=|哪-卜

【对点训练13)(2024•全国•高三专题练习)21则关于X的方

程尸（*+〃犷（x）+a=0有7个不同实数解，则实数利〃满足（）

A.m>0_&n>0B.m<05.n>0

C.0<用<1且〃=0D.—IVMVO且〃=0

【答案】C

【解析】令〃=/(无)，作出函数〃=/(x)的图象如下图所示:

由于方程〃~+mu+n=0至多两个实根，设为a=%和"="2,

由图象可知，直线"=%与函数"=/(力图象的交点个数可能为0、2、3、4,

由于关于尤的方程r(x)+时(x)+〃=0有7个不同实数解，

则关于"的二次方程"2+m1/+〃=0的一根为/=。，则〃=0,

则方程+加〃=0的另一根为％=-加，

直线"=%与函数M=图象的交点个数必为4,则-1VV。，解得0<加<1.

所以0<m<1且〃=0.

故选：C.

【对点训练14］（2024•四川资阳•高三统考期末）定义在H上函数/（%）,若函数

y=1）关于点（1,0）对称，且/"）=aJ、则关于工的方程

r（司-2时3=1（〃2€尺）有“个不同的实数解，则n的所有可能的值为

A.2B.4

C.2或4D.2或4或6

【答案】B

【解析】•.•函数y=/（x—1）关于点（1,0）对称，.••/（X）是奇函数，x>0时，了⑺在（0,1）上

递减，在［1,+8）上递增，

作出函数/（无）的图象，如图，由图可知/（x）=f的解的个数是1,2,3.

/<一1或/>1时，/（x）=f有一个解，f=±l时，/（幻=，有两个解，一1</<1时，/0）=/有

三个解，

方程严（切一2材（x）=l中设/'（尤）=乙则方程化为产一2皿-1=0,其判别式为

A=4加恒成立，方程必有两不等实根，％/，+?2=2m,“2=-1，两根一正一

负，不妨设;<。,/2>。，

若相=0,则4+马=0,）=-1,/2=1，/（尤）=（和/（。）=，2都有两个根，原方程有4个根；

若加>0,则4+才2>0,f2>同,•M>1，Tj<0,/（尤）=4有三个根，f（无）=22有一

个根，原方程共有4个根；

若相<0,贝M+f2<0,巧<|%|，二°</2<1，％<T，/（尤）=4有一个根，/（0=右有三

个根，原方程共有4个根.

综上原方程有4个根.

故选：B.

【对点训练15](2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=(x2-x-l)e，，设关于x的

方程产(无)-时。)=-(meR)有〃个不同的实数解，则n的所有可能的值为

e

A.3B.1或3C.4或6D.3或4或6

【答案】A

【解析】尸(x)=(x—l)(x+2)e1J(x)在(一夕―2)和。,+⑹上单增，(-2,1)上单减,又当

Xf-8时，/⑺-0,Xf+00时，+8故“X)的图象大致为：

令”1,则方程“小;。必有两个根，用且科―，不仿设…气，当

4=-e时，恰有^=5"2,此时/⑺―，有1个根，f(%)=?2,有2个根，当％<-e时必

有0<弓<5-2,此时〃x)="无根，/(Hf有3个根，当-e<4<0时必有马>51，此

时/(x)=%有2个根，f(x)=t2,有1个根，综上，对任意meH,方程均有3个根，故选

A.

【解题总结】

1、涉及几个根的取值范围问题，需要构造新的函数来确定取值范围.

2、二次函数作为外函数可以通过参变分离减少运算，但是前提就是函数的基本功要扎

实.

题型五：函数的对称问题

【例5】(2024•全国•高三专题练习)已知函数f(x)=2x+：&4x421的图象上存在点

P,函数g(x)=or-3的图象上存在点。，且P,。关于原点对称，则实数a的取值范围是

A.H，0]B.o,|C.[0,4]D.1,4

|_oJ|_o

【答案】c

【解析】由题意，函数g(x)=Q-3关于原点对称的函数为-y=-ar-3,即>=依+3,

若函数g(x)=ar-3的图象上存在点。,且尸，。关于原点对称，

则等价为/(力=依+3在gvxW2上有解，即2尤+二=ax+3,在gvxW2上有解，

由尤)=2X+4,贝I]/，(X)=2—W=

XXX

当xe(l,2]时，f^x)>0,此时函数为单调增函数；

当xeg,l)时，尸(力<0,此时函数/(x)为单调减函数，

即当％=1时，取得极小值同时也是最小值，且"1)=3,即B(l,3),

当x时，y=l+4=5,即A(g,5),

设/z(x)=av+3,要使得〃x)=/i(x)有解，

则当//(%)过点B时，得。=0,过点A时，).+3=5,解得。=4,

综上可得04aW4.

故选C.

【对点训练16](2024•全国•高三专题练习)已知函数/(0=靖，函数g(x)与/(x)的图

象关于直线丫=龙对称，若〃(x)=g(x)-反无零点，则实数上的取值范围是()

A.g,e]B.g,e]C.(e,+oo)D.g'+0°]

【答案】D

【解析】由题知g(尤)=lnx,〃(x)=g(x)-丘=0=左=皿，设尸(x)=止=>尸，(x)=1y*,当

XXX

P(x)<0时，xe(e,y),此时/(x)单调递减，当F(无)>0时，xe(0,e),此时/(x)单调递

增，所以尸(x)1Mx=F(e)=L/(x)的图象如下，由图可知，当％/时，>=尸(此与丫=左无

ee

交点，即以x)=g(%)-质无零点.

【对点训练17](2024•全国•高三专题练习)己知函数y=a-21n尤,pVxWe)的图象上

e

存在点"，函数y=f+l的图象上存在点N,且N关于x轴对称，则。的取值范围

是()

A.[1-e?,-2]B.-3-4,+勿

【答案】A

【解析】因为函数y=f+l与函数y=的图象关于x轴对称，

根据已知得函数y=a-21nx,d〈xWe)的图象与函数y=-1的图象有交点，

e

即方程。一21nx=-炉一1在一,e上有解，

e

即a=21nx—X?—1在X6—,e上有解.

e

令g(%)=21n%—12—i,XG-,e,

贝Ug,(x)=2-2x="士=，

XXX

可知g(x)在1,1上单调递增，在［l,e］上单调递减，

故当x=l时，g(x)M=8⑴二之

由于gg)=_3_J,g(e)=l-e2,且一3一：>1-/,

所以1—匕22.

故选：A.

【对点训练18】(2024•全国•高三专题练习)已知函数g(x)=a-f(L<x<e>e为自

然对数的底数)与旗x)=21nx的图象上存在关于x轴对称的点，则实数。的取值范围是

A.1,—+2B.[1,/—2]

C.—+2,e2-2D.[f—2,+oo)

【答案】B

【解析】设Mx)上一点“优,2111与)，-<x0<e,且M关于X轴对称点坐标为

e

r

Af(x0,-21nx0),We在g(x)上，

e

.•.—Zin/=。一君(：WxWe)有解，即片一21nx0有解.

令/(x)=r_21nxp■VxVe],则广⑴=2.二=2口+1)(工-1),1<%<€)

\)xxe

.•.当xeJ”时，/，(x)<0；当xe(l,e]时，用X)>0,\/⑴在上单调递减；在

(1,e]上单调递增

•••〃％="1)=1,d]=：+2,")=/-2,

x；-21n毛=a14xWej有解等价于y=a与y=〃x)图象有交点,

/(l)<a</(e):.a^^l,e2-2^.

故选：B

【解题总结】

转化为零点问题

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型

[例6](2024•浙江宁波•高三统考期末)若函数/(x)=2e-+—Inx至少存在一

X

个零点，则加的取值范围为()

A.^-co,e2+-B.e2+-,+oo^C.e+-D.e+L+ooj

【答案】A

【解析】因为函数/(尤)=匕务旧竺二叵至少存在一个零点

X

所以丁一2一+m一11^=0有解

X

即加=-%2+2"+^^有解

X

令h^x)=—x2+2ex-\------,

贝|J〃(％)=-2x+2e+--

7"\。c1-lnx>j。-3x+2x\nx—3尤一2x4+2jdnx_3%―2%(%3卜X)因

/i(x)=[-2x+2e+——-—I=-2+----------

为％>0,且由图象可知了3>inx,所以〃")<。

所以"(%)在(0,+8)上单调递减，令"(x)=0得尤=0

当0<x<e时〃(£)>。，h^x)单调递增

当x>e时/x)<0,〃(x)单调递减

所以〃(x)max=Me)=e2+：

且当Xf+00时/z(x)f-00

所以机的取值范围为函数八(力的值域，即

故选：A

【对点训练19】(2024•湖北•高三校联考期中)设函数/(%)=/—2ex2+m—inx,记

g(x)=1,若函数g(x)至少存在一个零点，则实数小的取值范围是

A.卜B.C.^0,e2+—D.co,e2+—

【答案】D

【解析】由题意得函数/(x)的定义域为(0,+/).

T7/、/(%)2cInx

又,g(x)=------=x—2ex+Tn-----,

xx

・・,函数g("至少存在一个零点，

方程f-2ex+加一有角轧

x

BPm=—x2+lex+有解.

x

1nJC

令""(%)=—%2+2cxH------,%>0,

x

mi，/、1-lnx〜、1-lnx

贝!J(p(x)=-2x+2e+=2(e-x)+——--,

xx

・••当无£(0,e)时，0'0)>0#(%)单调递增;当X£(G+8)时,0’(九)〈0,0(%)单调递减.

21

，0(%)max="(e)=e+-.

e

又当了—0时，夕(%)——8；当光—4W时，夕(%)——oo.

Inx]

要使方程机=—%2+2e%+----有解，则需满足加4/+-，

xe

,实数机的取值范围是(-Si+■!■].

e

故选D.

【对点训练20】(2024•福建厦门•厦门外国语学校校考一模)若至少存在一个工,使得

方程Inx-mx=x(x2-lex)成立.则实数加的取值范围为

1111

A.m>e2+—B.m<e2+—C.m>e+—D.m<e+—

eeee

【答案】B

【解析】原方程化简得:m=--x2+2ex,(x>0)有解，令f(x)=--x2+2ex,(x>0),

XX

f'M=+2(e-x),当x>e时,八x)<0,所以f(x)在(e,+s)单调递减，当x<e时，

X

/'(X)>0,所以f(X)在(O,e)单调递增./(元)ma、=/9)=1+62.所以"242+02.选B.

ee

【对点训练211(2024•湖南长沙•高三长沙一中校考阶段练习)设函数

f（x）=x2-2x-^+a（其中e为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实

数〃的取值范围是（）

A.（0,1+-]B.（0,6+i]C.[«+-,+<»）D.（-oo,l+-]

eeee

【答案】D

【解析】依题意得，函数“X）至少存在一个零点，且=d-2X+4,

可构造函数y=%2_2]和y=--7,

e

因为好炉―2天,开口向上，对称轴为元=1,所以（-8,1）为单调递减，（1，+8）为单调递

增；

而>=-5,则y'=?,由于e*>0,所以（-8,1）为单调递减，（1，+8）为单调递增;

可知函数y=d-2x及>均在X=1处取最小值，所以“X）在x=l处取最小值,

又因为函数/'（尤）至少存在一个零点，只需/（1）40即可，即：/（l）=l-2-1+a<0

解得：a<l-\■—.

e

故选：D.

【解题总结】

分类讨论数学思想方法

题型七：唯一零点求值问题

【例7】（2024•全国-高三专题练习）已知函数/（力=,+2|+产2+修2-%+〃有唯一零点,

则实数。二（）

A.1B.-1C.2D.-2

【答案】D

【解析】设g(x)=/(x—2)=W+e'+e7+a,定义域为R,

g(-x)=|-x|+e-x+ex+a=|x|+ex+e~x+a=g(x),

故函数g(x)为偶函数，则函数f(尤-2)的图象关于y轴对称，

故函数f(x)的图象关于直线x=-2对称，

•/Ax)有唯一零点，

/(-2)=0,即a=—2.

故选：D.

【对点训练22](2024•全国•高三专题练习)已知函数/(*)=jq+e>-a(sinx+cosx)

有唯一零点，则。=()

兀4兀/-

A.—B.—C.5/2D.1

ee

【答案】c

n7t_x-——~xi-.(兀、

4+

【解析】令/(尤)=6+^4—々(sinx+cosx)=0，则，=。2公皿[兄十小,

记x-；=f,则d+/=V^asin"+5)=0acosf,令g«)=e'+eT,则

g(-t)=e-,+et,.-.g(t)^g(-f),所以g⑺是偶函数，图象关于V轴对称，因为/(x)只有唯

一的零点，所以零点只能是》=。，于是0a=2,：.a=0

故选：C

【对点训练23】(2024•全国•高三专题练习)已知函数g(x),〃(x)分别是定义在R上的

偶函数和奇函数，Mg(x)+A(x)=ex+sinx-x,若函数/(无)=3^20201-2g(%-2020)-2%

有唯一零点，则实数2的值为

A.-1或: