广东省清远市2024-2025学年高三年级上册第一次模拟考试数学试题

2025届清远市普通高中毕业年级教学质量检测（一）

局二数学

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间150分钟。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效。

4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。

1.若集合Z=<x0<x<—1Wg1,则Zp|8=（）

A.—<x<—>B.<x0<x<—>C.<xx=—>D.0

I22jI2jI2j

-5+i

2.已知i是虚数单位，若i—z=-----，则复数z的虚部为（）

1

A.4B.2C.-2D.-4

3.已知向量1=（2,3）石=（左,—4）,且则左的值为（）

,8

A.-6B.6C.—

3

4

4.函数/（X）=X+---在区间（1,+8）上的最小值为（）

X—\

A.2B.3C.4D.5

5.下列函数中，是偶函数且在（0,+8）上单调递增的是（）

A./(%)=-X2+3B./(x)=lg|x|C./(x)=siruD.f(x)=x3

6.设函数/（》）=幻+工在区间（2,3）上单调递减，则正数a的取值范围为（）

A.(0,1B.I0,1C.(2,3)D.[2,3]

7.记函数/(x)=Jl+sinx+Jl—sinx,设ae，甲：ae^-,71；乙：f(«)=2siny,则甲是

乙的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.已知。=2eT,b=里,c=幽，贝I

Igelg8

A.c<b<aB.c<a<bC.b<a<cD.b<c<a

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合

要承。全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知函数/(》)=35由[2》+])下列说法正确的是()

A.函数/(x)的最小正周期是兀

B.把函数/(%)的图象向右平移三个单位长度可得到函数g(x)=3sin2x的图象

C.函数/(x)的图象关于点-**中心对称

9兀21K

D.函数/(x)的图象在区间上单调递增

而

10.现有一组各不相同且从小到大排列的样本数据占,乙户3,…，工39/40,下列说法正确的是()

A.x1,x2,x3,---,x39,x40的下四分位数为为0

B.…,项9户20，》21的中位数为X"

C.七,》2，》3，一，，匹9，》20的平均数小于》21，》22，》23，一,，》39，》40的平均数

4

D.2x1+3,2X2+3,2xt+3,-一,2%40+3的方差是否,％2，/，“'，》39，X40的方差的倍.

11.设I(x)与其导函数I'(x)的定义域均为R,g(x)=fr(x),若I(3x)=/(2—3x),g(x—2)的图象关

于七=1对称，g(x)在上单调递减,且g⑺=3,则()

A.g(x—1)为偶函数B.g(x+l)的图像关于原点对称

C.g(2041)=3D.g(x)的极小值为3

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分.共15分。

12.热市高三年级1万名男生的身高X(单位：cm)近似服从正态分布N(170,52),则身高超过180cm的

男生约有人.(参考数据：尸(〃—bWX<〃+b)a0.682,

P(//-2cr<X<〃+2cr)«0954,P(//-3CT<X<〃+3a)a0.997)

13.已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当X20时.f(x)=x(l+x),则/(—3)=；当

~<0时，1(x)=.(第一个空2分，第二个空3分)

C兀A7T

14.已知函数/(X)=2sin(④r+0)a)>0,--<0相邻两条对称轴之间的距离为且/

则“X)在［0.2兀］上的零点个数为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

3

在△45C中，角4民。所对的边分别为见“。•已知cos/=—,a=4,6sin5=5sinC.

(1)求b的值；

(2)求△48C的面积.

16.(本小题满分15分)

已知每门大炮击中目标的概率都是0.5,现有〃门大炮同时对某一目标各射击一次.

(1)当〃=5时，求给好击中目标2次的概率(精确到0.01)；

(2)如果使目标至少被击中一次的概率超过80%,至少需要多少门大炮？(1g2Mo.301)

17.(本小题满分15分)

如图，在直四棱柱45CQ—4名。12中，底面48C。为矩形，AAl=6,AB=4,AD=2.点E,E,G分别在

9

棱用4，片。1，片8上，A,E=3,BG=~.

AB

(1)若B[F=；,证明：平面NCR〃平面EEG；

(2)若3尸=1,求直线4F与平面/CD1所成角的正弦值.

18.(本小题满分17分)

已知函数f(x)=x3+6x2-x+a图象的对称中心为(0,1).

(1)求。和b的值；

(2)若对于任意的x>0,很有/(%)+/一2冽x2/一1+2植成立。求实数加的取值范围.

19.(本小题满分17分)

22A

已知椭圆C:二+二-1(。〉6〉0)的离心率为火，短轴长为2,过圆心在原点，半径为6的圆。上一动

aa2

点尸作椭圆。的两条切线尸4尸5,切点分别为4,B,延长P4与圆交于另一点延长必与四交于另

一点N。

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)假设向量2B的夹角为8,定义：5xS=|5|.|S|-sin^.

(i)证明：OMxON=0；

(ii)求04xOB的取值范围.

2025届清远市普通高中毕业年级教学质量检测(一)•高三数学

参考答案、提示及评分细则

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的。

题号12345678

答案cDBDBAAC

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合

要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

题号91011

答案ACDBCDAB

1.c故，故选C.

(一5+i)(—i)

2.D由题得i—z=^----4^=l+5i，z=—1—4i.故选D.

-i

3.B由2_LB得1=0,；.2左一12=0,.,.左=6,故选B.

4444

4.Df(x\=x+——=x-l+——+l>2J(x-l)----+1=5,当且仅当x—1=——,即x=3时取

V'x-1x-1V'x-1x-1

等号，故选D.

5.B由题可知C、D是奇函数，故排除；对于选项A,图像是开口向下的抛物线，在(0,+oo)上单调递减,

故排除对于选项B,/(—1)=闻—司=值国=/(%),所以函数/(%)二值区在定义域内是偶函数，当x>0

时，/(x)=lg|x|=IgxJ(x)在(0,+8)上单调递增，故选B.

6.A,/x>0,〃>0,「.QX>=QX+」-在(0,工］上单调递减，在上单调递增，故3<工，

ax\a)\a)a

解得(也可以用求导解得)，故选A.

3

7.A由题得，乙:

'.a2a.aa.22a.aa

f(戊)=Jl+sina+Jl—sina=sin2——Feos——i-2sm——cos——F।sin——。Feos---2sm—cos——

22222222

aaaa

sm—+cos—+sm---cos—

2222

rriytrp兀_LLa兀兀.aa.aa

因为甲：a€—,71，故一£—所以sin—+cos—>O.sm-----cos—>0；

22422222

所以/(a)=sin£+cos£+sin£-cos£=2sin£,故甲是乙的充分条件;

7兀a7兀兀

令A1=——，则一=一＞-.

62122

aV6+V2aV2-V6

故sin?=------------cos—=

24-----24

,,.a。拒八.aaa门

故sin—+cos——=——>O.sm-----cos—=——>0,

222222

(\.aa.aa、.a

故jr(a)=sin—+cos—+sin-----cos—=2sm—,

v722222

因此甲不是乙的必要条件，因此甲是乙的充分不必要条件，故选A.

22Ine.lg2Ic21n221n4

8.CQ=——---,b-..=...m.2=------=-------

eeIge24

构造/(x)=—,x>e,则/f(x)=--"<。在叵+⑹上恒成立,

XX

故/(%)=也在卜,+00)上单调递减，所以“丝＞也,

xe4

,,2Ine21n4口口7

故---->-----，即Q>6,

e4

lg6久而i(3ln6341n6-91n2ln64-ln29

裒=1。&6,而1。&6-々31n2

4121n2121n2

3In64-ln29…3323e,

其中64=1296.29=512,所以1(^6—=-------------->0A,即log6r>—,又一+—=—>1,所cc以

412ta28844e8

23

e4

故a<c,故c>a>b.故选C.

的最小正周期是7=2=兀,

9.ACD函数f(x)=3sinf2x+y所以A正确函数/(x)=3sin2x+g

2

的图象向右平移g个单位长度可得到g(x)=3sin2+|=3sin2x-1的图像，所以B错误;

（jrA71717r7JT3冗

---=0,所以C正确；由2左兀——<2x+—<2H+—,A:eZ,解得左兀------<x<kit+一，左EZ,

{10）2522020

7Tt37133兀437r

所以函数/（x）=3sin2x+1的增区间是kn-—,kTi+—,keZ,令左=2,得到增区间

2020~20，^0

_L「9兀21无）「33兀4371-I丁山

r因1A为|—,---|u----,---,所c以Dr正确，故选ACD.

I510J-L2020J

°BCD下四分位数足第25百分位数'40x25%=l。-…的下四分位数为所

以A错误；占,々,》3L.，苞9，/0，%21共有21个数据，中位数是这组数据的第11项，所以B正确；因为数据是

从小到大排列，/+/+/+一.+"19+"2。＜"21+"22+”23+―.+”39+”4。成立,所以C正确；aXi+b,

ax2+b,ax3+b,---,ax40+b的方差是否,马，/，…，》39，》40的方差的a2倍,所以D正确.故选BCD.

11.AB因为g(x—2)的图象关于x=l对称，所以g(x)的图象关于x=—l对称，则g(x—l)为偶函数，A

正确；

由〃3x)=/(2—3x)得，f(x)=f(2-x),两边取导数得，f\x)=-f'(2-x),即

g(x)=—g(2—x),所以g(x)的图象关于点(1,0)对称，则g(x+l)的图象关于点(0,0)对称，B正确；

由上可知，g(-2-x)=g(x),又g(x)=-g(2-x),所以g(-2-x)=-g(2-x),所以

g(x)=-g(4+x),

则g(x+8)=_g(4+x)=g(x),所以8为g(x)的周期，则g(2041)=g(255x8+l)=g⑴=0,C错误

由g(x)在上单调递减,又g(x)的图象关于点(1,0)对称可知,g(x)在［1,3］上单调递减,所以g(x)

在［-1,3］上单调递减，又g(x)的图象关于》=-1对称，所以g(x)在［-5,-1］上单调递增，由周期性可知，

g(x)在［3,7］上单调递增，所以当x=3时，g(x)取得极小值，为g(3)=-g(—l)=-g(7)=—3,D错误,

故选AB.

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。

12.230P(X>180)=1-P(〃-2bWX<〃+2叽1-0.954

=0.023,身高超过180cm的男生的人数

约为0.023x10000=230.

13.-12x-x2/(—3)=—〃3)=—[3x0+3)]=—12；当x<0,

14.6由函数/(x)相邻两条对称轴之间的距离为得T=事，故O=，=3.又因为

即/[巳]=2sin1'|'+=拒'所以'1'+0=；+2左兀，左eZ或三1r(p+2kit,kGZ,所以

JTTTTTJT

(P-——+2左兀,左EZ或0=—+2左兀，左wZ,又因为——<°<0,所以(p-——，故

4424

/(x)=2sin13x—因为xe［0,2兀］，故3x—手，结合正弦函数的图象可知，函数在［0,2兀］

上的零点个数为6.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.解:(1)根据正弦定理得66=5c,

由余弦定理。2=/+。2-2bccosA,

/.^16=-c2+c2-2x—xcx—,

3664

/.c?=36,

:.c=6(负值舍去)，

75「u

:.b=—*6=5.

6

(2)0<4<兀，

siih4=A/1-COS2T4.

•••Z/BC=gbcsiM

1VA新

=—x5x6x----

24

1577

4

6.解：(1)5门大炮同时对某一目标各射击一次，

设击中目标的次数为X,

则X〜8(5,0,5),

故恰好击中目标2次的概率为C；x0.52x(l-0.5)3a0.31.

(2)由题意，“门大炮同时对某一目标各射击一次，

击中0次的概率为(1-0.5)"=0.5",

则至少击中一次的概率为1-0.5",

则1-0.5">80%，

即Mg0.5<lg0.2，

解得〃〉翳=lg2-1l-lg21-0.301

-----X-------y2.3,

-lg2lg20.301

因为〃eN*,所以如果使目标至少被击中一次的概率超过80%,至少需要3门大炮.

17.解：(1)由题得，在直叫棱柱NBC。—451G2中，

91

AA{=6,AB=4,AD=2,4E=3,BG=-,B{F=-,

所以用£==I,"==g,4G==j,

所以斯〃4G，G尸〃Bq,

又因为zc〃4GMA〃8G，

故EF〃AC,GF〃AD「

又因为EEAGE=尸,ZCnZ2=Z,所以平面ACDX//平面EFG.

(2)以。为坐标原点，。4。。,。。1所在直线分别为苞歹/轴建立空间直角坐标系.

则2(0,0,6),4(2,0,0),0(0,4,0),下(1,4,6),

则D^A=(2,0,—6),瓦=(0,4,-6).

设平而NCD|的法向量方=(x,y,z),

n-D,A=2x—6z=03

则\.，令z=l,得x=3,y=不

n-D^C=4y-6z=02

/.n-3TT

又-1,4,6),

^-AF\918V53

卜麟371

故直线AF与平面ACD1所成角的正弦值为电亘.

1371

18.解：(1)由/(x)=/+6%2—X+Q,可得/[％)=3/+2bx—l,/"(x)=6x+2b,

令/"(x)=6x+26=0,得、=—

因为函数/(X)=%3+历；2一X+Q图像的对称中心为(0J),

U=o

因此13,解得。=1,6=0.

")=1

(2)由(1)可知/(x)=x3-x+l,对于任意的x>0,都有/(%)+62*-2机工2/一;(：+2恒成立，即

e2x-2mxN1恒成立.

令〃(x)=e2x-2mx,可得〃'(x)=2e~x-2m,

令〃'(x)=0,即Ze?'—2加=0,即e?x=机，

①当掰<0时，〃'(x)>0,则在(0,+oo)上单调递增，/z(x)>/z(O)=l,符合题意;

②当0〈加时，c2x=m,则x=Lln加VO,

2

则〃'(x)>O,〃(x)在(0,+oo)上单调递增,A(x)>A(O)=l,符合题意;

③当加>1时，c2x=m,则x=—In加>0,

2

0,；In加|时，/zr(x)<0,则/z(x)在加]1上单调递减,

当XC

2

时，〃'(、)>0,则在加,+oo]1：单调递增,

当xG|—lnm+oo

12?

所以//(%)2/z1；ln加

=elnm-2m•—Inm-m-mlnm,

2

令g(m)=m-mlnm,m>1,贝！Jg')=-Inm<0,

所以g(M)在(1,+8)上单调递减，所以g(加)<g(l)=l,不合题意;

综上所述,me.

22

19.解：(1)椭圆C:、+l=l(a〉6〉0),短轴长为2,所以b=l,

ab

.,・椭圆C的标准方程为一+j?=1.

4

(2)(i)证明：设尸(%,%)),

①当直线PA,PB的斜率都存在时，设过P与椭圆相切的直线方程为y=k（x-x0）+y0,

y=k（x-x）+y

联立直线与椭圆的方程《00

x2+4y2-4=0

整理可得（1+4左~）x?+8左-kx0^x+4（X）-kx0）—4=0,

2

A=64k（j0-k-x0）-4（1+4左2）卜（了0_左./）-，］，

由题意可得A=0,整理可得（4—焉）/+2XO%/;+1—H=O,

设直线尸4尸8的斜率分别为勺，左2,所以左住=了号，

1-（5-x；）x2—4

又考7+歹；7=5,所以一'—=—1,

PMLPN,即为圆。的直径，

:.sin（0M-0N^=Q.

.-.OMxON=0.

②当直线尸幺或P3的斜率不存在时，不妨设尸（2,1）,

则直线P3的方程为x=2,

所以N（2,—l）,/（—2,l）,也满足sin（而，而）=0,

所以而又两=0,

综上，OMxON=Oo

（ii）设点幺（芭,%）,8（%,%），

当直线PA的斜率存在时，设直线PA的方程为y=