函数的综合应用（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第18讲函数的综合应用

知识梳理

1、高考中考查函数的内容主要是以综合题的形式出现，通常是函数与数列的综合、函

数与不等式的综合、函数与导数的综合及函数的开放性试题和信息题，求解这些问题时，着

重掌握函数的性质，把函数的性质与数列、不等式、导数等知识点融会贯通，从而找到解题

的突破口，要求掌握二次函数图像、最值和根的分布等基本解法；掌握函数图像的各种变换

形式（如对称变换、平移变换、伸缩变换和翻折变换等）；了解反函数的概念与性质；掌握

指数、对数式大小比较的常见方法；掌握指数、对数方程和不等式的解法；掌握导数的定义、

求导公式与求导法则、复合函数求导法则及导数的定义、求导公式与求导法则、复合函数求

导法则及导数的几何意义，特别是应用导数研究函数的单调性、最值等.

2、函数=的图象与性质

Z=1

分奇、偶两种情况考虑：

比如图（1）函数y（x）=W+|x-[+|x-3|,图（2）函数

g（x）=|x|+|x-l|+|x-2|+|.x+1|

⑴当“为奇数时，函数=的图象是一个“v”型，且在“最中间的点”取

Z=1

最小值；

（2）当〃为偶数时，函数=的图象是一个平底型，且在“最中间水平线

Z=1

段”取最小值;

若4。eN*）为等差数列的项时，奇数的图象关于直线x=a中对称，偶数的图象关于直

线尤左中+x右中对称.

2

3、若〃尤）为［八“］上的连续单峰函数,且/（相）=为极值点,则当匕6变化时，

g（x）=\f（x）-kx-b\的最大值的最小值为>（"）-〃％）|,当且仅当4=0/=〃“）+〃/）

22

时取得.

必考题型全归纳

题型一：函数与数列的综合

，

例1.（2024•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝,满足再=1,2xn+l=ln（l+x„）（neN）,

设数列｛%｝的前〃项和为S",则以下结论正确的是（）

x

A.%〃+i>nB.xn-2xn+l<xnxn+1

c.2A7>X“M+1D.SII+5>2

例2.（2024.全国•高三专题练习）已知函数/（x）=/-x-l,数列例"｝的前"项和为

S”,且满足q向=/（%）,则下列有关数列｛外,｝的叙述正确的是（）

A.%<|4〃2-3%|B.。7，，4C.%o〉lD.Si。。〉26

例3.（2024•全国•高三专题练习）已知函数/（%）="—1—1,数列｛氏｝的前〃项和为

S",且满足«„+1=/（«„）,则下列有关数列｛七｝的叙述正确的是（）

A.%>—B.〃6<%C.Si。。<26D.4>14%—3%|

变式L（2024・全国•高三专题练习）已知数列｛?｝满足：册>0,且

^=3<1-2a„+1（neN*）,下列说法正确的是（）

n-\

A.若%,贝II>an+\B.若4=2,则21+

Daaa

C.a1+a5<2a3-[%+2-„+l\--\n+\~„\

变式2.（2024.陕西渭南•统考二模）已知函数/（x）=sinx+lnx,将〃尤）的所有极值

点按照由小到大的顺序排列，得到数列｛%｝,对于V〃eN+，则下列说法中正确的是（）

A.〃兀＜乙＜（几+1）兀

C.数列--但"是递增数列D.+兀

变式3.（2024•上海杨浦•高三复旦附中校考开学考试）无穷数列｛%｝满足：

。＜%＜1,且对任意的正整数“，均有e"”"=（3-a,）e"",则下列说法正确的是（）

A.数列｛4｝为严格减数列B.存在正整数"，使得％＜。

，、4

C.数列｛4｝中存在某一项为最大项D.存在正整数小使得

题型二：函数与不等式的综合

例4.（2024・全国•高三专题练习）关于X的不等式（犬-1）9"9-29999.尤99996+1,解集为

例5.（2024•全国•高三专题练习）意大利数学家斐波那契（U75年~1250年）以兔子繁

殖数量为例，引人数列：11,2,3,5,8,,该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，

即%+2=4+1+%©N*）,故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为

1+6

设〃是不等式iOg2[（1+75r-（i-百）”]＞I?+5的正整数

2

解，则"的最小值为.

例6.（2。24・辽宁•高三校考阶段练习）已知函数〃上"+…，若不等式

/(川zx+D+fa”-2*)与对任意的尤>0恒成立，则实数加的最小值为.

变式4.(2024.全国•模拟预测)己知函数/(尤)是定义域为R的函数，

/(2+x)+/(-x)=0,对任意",x2e[l,+<»)<x2),均有/(xj-已知a,b

(a*6)为关于x的方程d-2x+产-3=0的两个解，则关于f的不等式

〃。)+/修)+/⑺>0的解集为()

A.(-2,2)B.(-2,0)C.(0,1)D.(1,2)

题型三：函数中的创新题

例7.(2024.重庆渝中.高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)帕德近似是法国数学家亨

利・帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数小，"，函数Ax)在

元=0处的刖，川阶帕德近似定义为：7?(幻=?+产+,且满足：/(0)=7?(0),

1+4％++bnx

尸(O)=R(O),/〃(0)=H〃(0),/⑴+〃)(0)=邓"+〃)(0).已知/(x)=ln(%+D在X=0处的

口，1]阶帕德近似为R(x)=*.注：

1+bx

小)=[f\x)],f"\x)=[rw]\/(4)w=[:"(切’J⑸a)=卜⑷⑴],

(1)求实数。，b的值；

(2)求证：(x+b)/]£|>l；

(3)求不等式[1+!]<6<[1+]「2的解集，其中e=2.71828.

例8.(2024•上海黄浦・上海市敬业中学校考三模)定义：如果函数>=/(力和

y=g(x)的图像上分别存在点M和N关于％轴对称，则称函数y=/(x)和y=g(x)具有c

关系.

(1)判断函数/(X)=log2(8尤2)和g⑺=logp是否具有C关系；

(2)若函数f(x)=小心1和g(x)=-x-l不具有C关系，求实数a的取值范围；

(3)若函数=和8(力="屈11武相＜0)在区间(0,兀)上具有C关系，求实数机的

取值范围.

例9.(2024・重庆.高三统考阶段练习)悬索桥(如图)的外观大漂亮，悬索的形状是

CXx\

平面几何中的悬链线.1691年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为y=；,其

)

中。为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数cosh(x)=g;，类似的我们有双曲正

弦函数sinh(x)=e-e.

⑴从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数丁=8$11(2力+511*(%)的最小值;

①[cosh(%)]2-[sinh(%)丁=1.

②sinh(2x)=2sinh(x)cosh(x)；

③cosh(2x)=[cosh(x)]2+[sinh(%)丁.

TC

(2)求证：VxG—%'Icosh(cosx)>sinh(sinx).

变式5.（2024.广东深圳.高三深圳市南山区华侨城中学校考阶段练习）布劳威尔不动

点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹・布劳威尔，简

单地讲就是对于满足一定条件的连续实函数/（X）,存在一个点七,使得/（飞）=不，那么

我们称该函数为“不动点”函数，而称％为该函数的一个不动点.现新定义：若毛满足

/（x0）=-x0,则称％为〃尤）的次不动点.

（1）判断函数/■（勾=炉-2是否是“不动点”函数，若是，求出其不动点；若不是，请说

明理由

（2）已知函数g（x）=；x+l,若。是g（x）的次不动点，求实数。的值：

（3）若函数Mx）=log工（4'一62'）在[0』上仅有一个不动点和一个次不动点，求实数b

2

的取值范围.

题型四：最大值的最小值问题（平口单峰函数、铅锤距离）

例10.（2024・浙江绍兴•高三浙江省柯桥中学校考开学考试）已知函数

/（x）=|x3-6x2+at+Z?|,对于任意的实数a,b,总存在％e[0,3],使得/小丝心成立,

则当初取最大值时，a+b=（）

A.7B.4C.-4D.-7

4

例11.（2024.湖北.高三校联考阶段练习）设函数/（尤）=x+--取-6,若对任意的实数

X

a,6,总存在x°e[l,3]使得/（飞）2机成立，则实数小的最大值为（）

8-4A/3

A.-1B.0D.1

-3~

,、4

例12.（2024•全国•高三专题练习）设函数-依，若对任意的正实数。，总存在

使得根，则实数机的取值范围为（）

A.（-oo,0]B.（-81]C.（-oo,2]D.（-8,3]

Y—2

变式6.（2024.全国•高三专题练习）已知函数/（%）=---ax-b,若对任意的实数小

x+2

b,总存在%e[T，2],使得成立，则实数机的取值范围是（）

A.（一＜»」B.（一00，!C.|D.

变式7.（2024・高一课时练习）己知函数〃x）=办+；+）（a,beR）,当无e1,2时，设

〃尤）的最大值为M（a,6）,则M（a,6）的最小值为（）

变式8.（2024.江西宜春•校联考模拟预测）己知函数/（x）=lnx+：-ar-6（a,beR）,且

2

x0e[l,g],满足lnx°+2=e-l,当尤仁|,x0时，设函数的最大值为M（a,b）,则

”（。力）的最小值为（）

3-ee-2

A.B-ID.

变式9.（2024.上海虹口.高三上海市复兴高级中学校考期中）若a、beR,且对于

OVxVl时，不等式卜与L匀成立，则实数对（。3）=

题型五：倍值函数

例13.（2024.全国•高三专题练习）函数的定义域为。，若满足：①〃x）在。内是单

调函数；②存在［。乃仁。使得“X)在［。㈤上的值域为，则称函数“X)为”成功函

数”.若函数〃x)=logJ/+2。(其中相>0,且加wl)是“成功函数”，则实数，的取值

范围为()

114

A.(0,+oo)B.—co—C.

88,4j

例14.(2024・上海金山・高三上海市金山中学校考期末)设函数/(x)的定义域为。，若存在

闭区间使得/⑶函数满足：(1),⑺在々上是单调函数；(2)/(x)在

上的值域是［2。,2可，则称区间”,々是函数/⑶的“和谐区间”，下列结论错误的是

A.函数/。)=尤2(x20)存在“和谐区间

B.函数/(x)=e*(xeR)不存在“和谐区间”

4x

C.函数/(X)=F—(X20)存在“和谐区间”

,r+1

D.函数/（尤）=log°⑷一a>0,awl)不存在“和谐区间

例15.(2024•安徽•高三统考期末)函数了⑶的定义域为。，若存在闭区间勿U。，使得

函数Ax)满足：①A©在团,句内是单调函数；②/(x)在［a,切上的值域为［2a,2句，则称区

间团,勿为y=的“倍值区间”.下列函数中存在“倍值区间”的有

①/「，=v-(x^O)；②/(x)="(xeR)；

③/(*)=、，(xNO)；④/(x)»k>g.(<jr--X<>>0,a*1)

x*+18

A.①②③④B.①②④C.①③④D.①③

变式10.(2024・全国•高三专题练习)函数/'(x)的定义域为。，对给定的正数%,若存在

闭区间上句=。，使得函数〃尤)满足：①"力在［a例内是单调函数;②/⑺在［a肉上

的值域为［3,姑］,则称区间目为>=/(》)的七级“理想区间”.下列结论错误的是()

A.函数=f(xeR)存在1级“理想区间”

B.函数〃x)=e，(xeR)不存在2级“理想区间

A丫

C.函数=——(xNO)存在3级“理想区间”

x2+l

(TT兀\

D.函数〃尤)=tanx,了"-万，5)不存在4级“理想区间”

变式11.(2024・全国•高三专题练习)设函数的定义域为，若满足条件：存在可口。,

使/'(尤)在上的值域为,则称/(%)为“倍缩函数”.若函数/(x)=e*+r为“倍缩函

数”，则实数r的取值范围是

l+ln21+ln2

A.—00,--------B.—oo,----------

22

l+ln2l+ln2

C.-------,+00D.-----,+co

22

题型六：函数不动点问题

例16.(2024•广西柳州•统考模拟预测)设函数/(无)=Je'+(e-l)x-a(aeR,e为自然

对数的底数)，若曲线y=sinx上存在点(%,%)使/(%)=%成立，则。的取值范围是

A.[l,2e—2]B.[ee,l]C.[l,e]D.[ee,2e—2]

,0X+1

例17.(2024•全国•高三专题练习)设函数〃x)=—+x-a(aeR),若曲线y=是

Xe+1

自然对数的底数)上存在点(X。,%)使得/(/(%))=%,则a的取值范围是

A.(-oo,0]B.(0,e]C.1一8,：D.[0,+oo)

例18.(2024•江苏•高二专题练习)若存在一个实数乙使得/(>)=/成立，则称f为函数

f(x)的一个不动点.设函数g(x)=e'+(l-五)x-a(aeR,e为自然对数的底数)，定义在R

上的连续函数“力满足〃-x)+/a)=x2,且当尤40时，/⑺<乂若存在

x0ejx|/(x)+1>/(l-x)+xj,且%为函数g(x)的一个不动点，则实数。的取值范围为

()

A-HB.孚C.鼻公D.佟,+：

变式12.(2024•全国•高三专题练习)设函数/(x)=Je*+x-a(“eR,e为自然对数的底

数)，若曲线y=*0sinx+噜cosx上存在点(%%)使得/(%)=%,则“的取值范围是

A.[^-,1]B.[―,e+1]C.[Le+1]D.[l,e]

ee

变式13.(2024・全国•高三专题练习)设函数/(x)=e，+2尤-a(aeR),e为自然对数的

底数，若曲线尸$加上存在点(%,%),使得/(/(%))=%,则。的取值范围是()

A.[-1+e*,l+e]B.[1,1+e]C.[e,e+1]D.[1,e]

题型七：函数的旋转问题

例19.(2024.江苏苏州.高三苏州中学校考阶段练习)将函数f(x)=ln(x+l)(xK))的图象绕

坐标原点逆时针方向旋转角0(9G(0,a]),得到曲线C,若对于每一个旋转角0,曲线C都

仍然是一个函数的图象，则a的最大值为()

一兀一兀一兀

A.7iB.—C.—D.一

234

例20.(2024・上海长宁•高三上海市延安中学校考期中)设。是含数1的有限实数集，/(%)

是定义在。上的函数，若/(尤)的图象绕原点逆时针旋转g后与原图象重合，则在以下各项

6

中，/⑴的可能取值只能是()

A.73B.®C.也D.0

23

例21.(2024.全国•高三专题练习)双曲线[-丁=1绕坐标原点。旋转适当角度可以成为

函数/(x)的图象，关于此函数/(x)有如下四个命题，其中真命题的个数为()

①f(x)是奇函数；

②"）的图象过点[曰彳[或[等，-3

@f（x）的值域是（-00，-1'D3'+°°}

④函数y=/（x）—X有两个零点.

A.4个B.3个C.2个D.1个

变式14.（2024・全国•高三专题练习）将函数y=2sin^1xe的图像绕着原点逆时针

旋转角a得到曲线T,当时都能使T成为某个函数的图像，则。的最大值是

（）

题型八：函数的伸缩变换问题

例22.（2024.河北唐山・高三开滦第二中学校考期末）定义域为R的函数/（X）满足

x2—x,xe(0,1)

/(x+2)=2/(x)-l,当xe(O,2]时，/(%)=1[同•若、«。，41时,

—,XG

J

产尤）＜3一恒成立，则实数r的取值范围是（

A.[U]B.C.D.

例23.（2024・全国•高三专题练习）定义域为R的函数〃力满足〃x+2）=2/（x）,当

x2-x,xe[0,1)

若当xe[*2）时，不等式/（x）4-机+g恒成

小,2]时,〃x)=<

,xe[l,2)

立，则实数加的取值范围是（）

A.[2,3]B.[1,3]

C.[1,4]D.[2,4]

例24.（2024.全国.高三专题练习）已知定义域为H的函数满足/（力=2〃]+2）,当

-X2+x+l,xG[0,1)

|3|

%«0,2)时,/(x)=<设“X）在[2n-2,In）上的最大值为«„（neN*）则

，工£口,2)

数列｛%｝的前〃项和S"的值为（）

。5-(r

变式15.（2024・甘肃・高三西北师大附中阶段练习）定义域为R的函数/（尤）满足

X2（0,1）

/（x+2）=2/（x）-2,当xe（O,2]时，