北京市丰台区2024-2025学年高三上学期1月期末练习数学试题【含答案解析】

丰台区2024~2025学年度第一学期期末练习高三数学2025.01本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分选择题（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解.【详解】集合，，所以.故选：B2.复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据复数的除法计算后可得正确的选项.【详解】，故选：D.3.设，为非零向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得两者之间的条件关系.【详解】若，则，模长相等，但它们的方向可以不同，故不一定成立，故得不到，若，则，故“”是“”的必要不充分条件，故选：B.4.已知数列的前n项和为，且，，则（）A.7 B.13 C.18 D.63【答案】A【解析】【分析】根据题意判断得数列为等比数列，进而得到其基本量，从而利用等比数列的求和公式即可得解.【详解】因为，，所以数列为等比数列，公比，又，解得，所以.故选：A5.下列函数中，满足“，”的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】对于ABD，求证函数为偶函数即可判断，；对于C，求证函数为奇函数即可判断.【详解】对于A，函数定义域为R，且对任意有，函数为偶函数，所以不存在，使得，故A不满足；对于B，函数定义域为R，且对任意有，函数为偶函数，所以不存在，使得，故B不满足；对于C，函数定义域为R，且对任意有，函数为奇函数，如，即所以，，故C满足；对于D，函数定义域为R，且对任意有，函数为偶函数，所以不存在，使得，故D不满足.故选：C.6.在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边与单位圆交于点P，且.点P在该单位圆上按逆时针方向做圆周运动到达点Q.若经过的圆弧的长为，则点Q的纵坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设点坐标为，由，利用三角函数定义可得点Q的纵坐标.【详解】设点的坐标为，由，有，解得，所以点的纵坐标为.故选：C.7.如图，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，且，则点P到平面ABC的距离为（）A.1 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，取中点，连接，由线面垂直的判定定理可得平面，从而可得平面平面，则点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离，即可得到结果.【详解】取中点，连接，因为与都是边长为2的等边三角形，所以，，且，平面，所以平面，且平面，所以平面平面，所以点P到平面ABC的距离为点P到直线的距离，过点做，所以点P到直线的距离即为，又，且，所以为等边三角形，所以，即点P到平面ABC的距离为.故选：C8.溶液酸碱度是通过pH计量的，pH的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）.室温下，溶液中氢离子和氢氧根离子的浓度之积为常数，即，其中表示溶液中氢氧根离子的浓度（单位：）.室温下，某溶液的pH值为1，若加水稀释后，该溶液的pH值变为2，则稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为（）A. B.2 C. D.10【答案】D【解析】【分析】利用pH的计算公式可求得溶液稀释前后的氢离子的浓度，再利用即可求得稀释前后的氢氧根离子的浓度，即可求得稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值.【详解】设稀释前氢离子和氢氧根离子的浓度分别为，，稀释后氢离子和氢氧根离子的浓度分别为，，因为稀释前溶液的pH为1，所以，所以，又因为，所以；因为稀释后溶液的pH为2，所以，所以，又因为，所以，所以稀释后溶液中氢氧根离子的浓度与稀释前溶液中氢氧根离子的浓度的比值为.故选：D.9.在平面直角坐标系xOy中，已知直线与直线交于点P，则对任意实数a，的最小值为（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】由直线的方程判断两直线垂直，确定P点的轨迹方程，数形结合，即可求得答案.【详解】由题意知直线与直线，满足，故两直线垂直，直线过定点，直线过定点，故两直线的交点P在以AB为直径的圆上（不含点），该圆方程为，设其圆心为，半径为3，则，当且仅当共线时，即位于B点时，等号成立，故的最小值为，故选：C10.各项均为正整数的数列2，3，4，a，b，20，30，40为递增数列.从该数列中任取4项构成的递增数列既不是等差数列也不是等比数列，则有序数对的个数为（）A.73 B.75 C.76 D.78【答案】B【解析】【分析】先由题意确定a，b的可能取值，然后采用分类讨论的方法计算可能的取法数，进而排除不符合题意的取法，即可求得答案.【详解】由题意可知a的取值可从中选取，b的取值可从中选取，且需满足，当时，b的取法有12种；当时，b的取法有11种；当时，b的取法有10种；当时，b的取法有9种；当时，b的取法有8种，依次类推，当时，b的取法有1种；则的可能取法有（种），其中当时，成等差数列，不合题意；当时，成等比数列，不合题意；当时，成等差数列，不合题意；故满足题意的的取法有（种），故选：B【点睛】关键点睛：解答的关键要由题意确定a，b的可能取值，然后采用分类讨论的方法计算可能取法数，进而排除不符合题意的取法.第二部分非选择题（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.设抛物线的准线方程为__________.【答案】【解析】【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可.【详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程.故答案为．【点睛】本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题.12.在的展开式中，x的系数为__________.（用数字作答）【答案】80【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式代入计算，即可得到结果.【详解】二项式展开式的通项公式为，令，则，所以，即x的系数为.故答案为：.13.在中，，.①若，则__________；②面积的最大值为__________.【答案】①.##②.【解析】【分析】①由正弦定理即可求得答案；②由余弦定理结合基本不等式求出的最大值，即可求得答案.【详解】①由正弦定理得，则；②由余弦定理得，即，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为，故答案为：；14.已知函数，，，，则__________；方程的所有实数解的和为__________.【答案】①.0②.16【解析】【分析】代入计算可得第一空，利用图象的对称性可求所有实数解的和.【详解】，而，，故fx,gx的对称中心为在平面直角坐标系中，画出和在上的图像，由图象可得的图象在上共有4个不同的交点，它们的横坐标的和为，故答案为：0；16.15.已知曲线（、为常数），给出下列四个结论：①曲线关于坐标原点对称；②当时，曲线恒过两个定点；③设、为曲线上的两个动点，则存在，，使得有最大值；④记曲线在第一象限的部分与坐标轴围成的图形的面积为，则对任意，存在，使得.其中所有正确结论的序号为__________.【答案】①②④【解析】【分析】利用曲线的对称性可判断①；当时，化简曲线方程，求出定点坐标，可判断②；将曲线的方程视为关于的二次方程，解原方程，取点、，考查时，的取值，可判断③；取，分析可知，在第一象限内，曲线在线段上方，数形结合可判断④.【详解】对于①，在曲线上任取一点，则，点Mx,y关于原点的对称点为，则，即点在曲线上，所以，曲线关于坐标原点对称，①对；对于②，当时，则，曲线的方程为，由，解得或，所以，当时，曲线恒过两个定点、，②对；对于③，当，时，将曲线的方程视为关于的二次方程，对于方程，，解方程可得，不妨取点、，则，当时，，则，故无最大值，③错；对于④，当，时，在曲线的方程中，令可得，令可得，此时，曲线交轴的正半轴于点，交轴正半轴于点，当，且时，，所以，在第一象限内，曲线在线段上方，如下图所示：则，④对.故答案为：①②④.【点睛】关键点点睛：本题关键是求出曲线方程，后运用性质，如对称性，面积借助放缩成三角形即可求解.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.如图，在三棱柱中，平面ABC，，，，分别为，的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）构造线线平行，从而证明线面平行.（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的余弦.【小问1详解】取的中点，连接，.因为为的中点，所以，.又因为，，所以，且.所以四边形CEFG是平行四边形.所以.又因为平面，平面，所以平面.【小问2详解】因为平面，所以，.又因为，所以如图建立空间直角坐标系，则，，.所以，.设平面的一个法向量为，则即令，则.于是.不妨取平面的一个法向量为.设平面与平面夹角为，则.所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使唯一确定，求：（1）的值及的单调递增区间；（2）在区间上的最大值和最小值.条件①：函数图象的相邻两个对称中心间的距离为；条件②：函数的图象可以由函数的图象平移得到；条件③：直线为函数图象的一条对称轴.注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）2，（2）答案见解析【解析】【分析】（1）先由三角变换公式得到，若选条件①，则可利用周期公式得到，从而求得解析式；若选条件②，则由图像平移得到解析式；若条件③，则解析式不唯一.最后根据整体法可求单调区间；（2）利用整体法可求函数的最值.【小问1详解】.选择条件①：因为函数图象的相邻两个对称中心间的距离为，所以，故.因为，所以.因为，令，即，所以的单调递增区间为.选择条件②：因为函数的图象可以由函数的图象平移得到，所以函数与函数的周期相同，故.因为，所以.所以.以下解答过程同选择条件①.选择条件③：因为为图象的对称轴，所以，即，故，其中，此时不唯一，故不选③.【小问2详解】选择条件①或②时，因为，所以，当，即时，取最大值，最大值为1；当，即时，取最小值，最小值为.18.为弘扬社会主义核心价值观，加强校园诚信文化建设，提升中小学生的信息技术素养，某市开展了“中小学诚信主题短视频征集展示活动”，入围短视频在某公共平台展播.其中A，B，C，D，E，F，G这7个入围短视频展播前7天的累计播放量如下表：短视频ABCDEFG前7天累计播放量（万次）2.93.54.52.54.11.45.6（1）从这7个入围短视频中随机选取1个，求该短视频前7天的累计播放量超过4万次的概率；（2）某学生从这7个入围短视频中随机选取3个观看，记X为选取的3个短视频中前7天的累计播放量超过4万次的个数，求X的分布列和数学期望；（3）若这7个入围短视频第8天的单日播放量如下表：短视频ABCDEFG第8天单日播放量（万次）0.40.40.60.30.50.10.8记这7个入围短视频展播前7天的累计播放量的方差为，前8天的累计播放量的方差为，试比较与的大小关系.（结论不要求证明）【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【解析】【分析】（1）利用“古典概型”的计算公式求解.（2）明确的可能取值，求出相应事件的概率，可得分布列，在利用期望的概念求.（3）分别计算与，比较它们的大小.【小问1详解】这7个入围短视频中，前7天的累计播放量超过4万次的有3个.设事件“从这7个入围短视频中随机选取1个，该短视频前7天的累计播放量超过4万次”，则.【小问2详解】X的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，所以X的分布列为：X0123P【小问3详解】前7天累计播放量的平均数为：，所以.前8天累计播放量的平均数为：前8天累计播放量的平均数为：所以所以.19.已知椭圆的上顶点为，离心率为.（1）求椭圆C的方程；（2）设B为椭圆C的下顶点，动点M到坐标原点O的距离等于1（M与A，B不重合），直线AM与棈圆C的另一个交点为N.记直线BM，BN的斜率分别为，，问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）存在【解析】【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，表示出直线BN的斜率与直线AM的斜率，从而得到，然后代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意得解得，.所以椭圆C的方程为.【小问2详解】因为B为椭圆C的下顶点，所以.设（且），则直线BN的斜率.由点M到坐标原点O的距离等于1，可知点M在以AB为直径的圆上，所以直线AM与直线BM垂直.由题意得直线AM的斜率，所以直线BM的斜率.所以.因为点N在椭圆C上，所以，故，所以，所以存在，使得恒成立.20.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求的极值；（3）设函数，求证：的最小值大于.【答案】（1）（2）极小值为；无极大值.（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，然后利用点斜式直线方程求解即可；（2）求导函数，利用导数研究单调性，利用极值的定义求解即可；（3）利用导数研究函数的单调性，根据单调性求解最值函数，利用单调性求解最值函数值域即可求解.【小问1详解】因为，所以，.因为，所以曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】函数的定义域为R.令，解得.当x变化时，，的变化情况如下表：x0-0+单调递减1单调递增当时，取得极小值，极小值为；无极大值.【小问3详解】因为，所以.因为函数和在R上单调递增，所以在R上单调递增.又，，所以存在，使得①.当x变化时，，的变化情况如下表：x-0+单调递减单调递增当时，取到最小值，最小值为.由①得，所以.设.因为，在区间上单调递减，所以，即.所以函数的最小值大于.21.给定数列A：，，，和序列：，，…，，其中满足：①；②.对数列A进行如下s次变换：将A的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作；将的第1项，第2项，第3项，第4项分别加，，，后得到的数列记作；……；以此类推，得到数列，简记为.（1）已知数列A：7，8，4，4，写出一个序列：，，使得为5，6，6，6；（2）对数列A：4，6，7，8，是否存在序列：，，…，，使得中恰有三项相等？若存在，写出一个序列，若不存在，说明理由；（3）对数列A：3，7，14，m，若存在序列：，，…，，使得中恰有三项相等，求m的所有取值.【