高考数学一轮专项练习卷：函数的图像、零点（原卷版+解析版）

函数的图像函数的零点（八大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01画函数的变换图像

♦题型02识别函数的图像

♦题型03函数图像变换的应用

♦题型04求函数的零点及个数

♦题型05二分法求函数的零点

♦题型06根据函数的零点求参数

♦题型07函数零点的其他应用

♦题型08补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用

♦题型01画函数的变换图像

1.（2024高三•全国•专题练习）作出下列函数的图象:

X3

(1)y=N

⑵..””x+2

(3)y=|log2x-l|；

♦题型02识别函数的图像

2.（2023•湖南岳阳•模拟预测）函数＞=

4.（2024•宁夏固原•一模）已知函数;'（x）的部分图像如图所示，则/（尤）的解析式可能为（）

♦题型03函数图像变换的应用

5.（2024・四川南充・二模）已知函数/（x）=：则函数V=/（x-l）+l的图象（）

A.关于点（1,1）对称B.关于点（-U）对称

C.关于点（-1,0）对称D.关于点（1,0）对称

6.（22-23高二上•河南,阶段练习）直线2ax+勿-2=0（。>0,6>0）过函数/'（云）=xH----+1图象的对称中心,

X—1

则之4+;1的最小值为（）

ab

A.9B.8C.6D.5

7.（2022高三・全国•专题练习）已知二次函数“X）的图象的顶点坐标是（2,2）,且截x轴所得线段的长度是

4,将函数的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线y=g（x）,则抛物线了=g（x）与了轴的交点是（）

A.（0,-8）B.（0,-6）C.（0,-2）D.（0,0）

8.（23-24高一上•河南南阳•期末）已知函数的定义域为（1,+⑹,且满足/（3，+l）=x,xeR,将

的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象.

⑴分别求/（X）与g（x）的解析式;

（2）设函数//（x）=［g（x）］2+mgI?）,若h（x）在区间［1,V3］上有零点，求实数m的取值范围.

♦题型04求函数的零点及个数

9.（2023高三•全国•专题练习）已知指数函数为/（x）=4\则函数y=/（无）-2㈤的零点为（）

A.-1B.0

C.1D.2

10.（2023•陕西西安•模拟预测）函数〃x）=l-lg（3"+2）的零点为（）

A.log38B.2C.log37D.log25

11.（2024高三・全国•专题练习）函数/（x）=2x+x—2的零点个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

IX_2X<0

12.（2019高三•山东•学业考试）函数［（x）='二零点个数为（）

-1+lnx,x>0

A.3B.2C.1D.0

13.（2024•广东湛江•二模）已知函数/（x）=|2工一,g（x）=/-4忖+2-a,贝！］（）

A.当g（x）有2个零点时，只有1个零点

B.当g（x）有3个零点时，有2个零点

C.当“X）有2个零点时，g（x）有2个零点

D.当/（x）有2个零点时，g（x）有4个零点

14.（2024•全国•模拟预测）函数/（x）=2sin（2尤+0J］<夕<,的图像关于点K，0］中心对称,将函数/（x）

的图像向右平移三个单位长度得到函数g@）的图像，则函数g（x）在区间［-兀,句内的零点个数为（）

A.1B.2C.3D.4

♦题型05二分法求函数的零点

15.（2023高三•全国•专题练习）用二分法求函数〃力=山卜+1）+厂1在区间（0,1）上的零点，要求精确度

为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）

A.5B.6C.7D.8

16.（2019高三•全国•专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（）

♦题型06根据函数的零点求参数

17.（23-24高三上•浙江绍兴•期末）已知命题函数/■（x）=2x3+x-a在。,2］内有零点，则命题？成立的

一个必要不充分条件是（）

A.3<a<18B.3<a<18C.（z<18D.a>3

18.（2023高三・全国・专题练习）函数/（x）=x-2，-fcc-2在区间（1,2）内有零点，则实数人的取值范围

是.

19.（22-23高三・全国•课后作业）已知函数/-X的零点/e优#+1）,keZ,贝1U=.

20.（22-23高三•全国•对口高考）方程V+"一2=0在区间口,5］上有解，则实数。的取值范围为.

21.（2024•全国•模拟预测）若不等式/（无）>0或/'（x）<0只有一个整数解，则称不等式为单元集不等式.已

知不等式。。+1）2-|1。&知+1>0为单元集不等式，则实数a的取值范围是.

♦题型07函数零点的其他应用

22.（23-24高三上•山东威海•期末）已知函数>=/（x）的图象是连续不断的，且/（x）的两个相邻的零点是1,

2,则“改0«1,2）,/（人）>0"是"\/%41,2）,/（无）>0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

23.（2020•江西赣州•模拟预测）设函数/（x）=eX+a（x-l）+6在区间［0』上存在零点，则/+〃的最小值

为（）

A.eB.yC.7D.3e

24.（2023•湖北武汉,模拟预测）已知%是函数/（无）=---nlnx的一■个零点，若再€（1,%），x2e（x0,+co）,

I-X

则（）

A./（x2）<0B./（^）>0,/（x2）>0

c.〃M）>0,y（x2）<oD./（X1）<o,y（x2）>o

25.（23-24高三上•黑龙江齐齐哈尔•阶段练习）已知三个函数/（1）=X3+尤-3,g（x）=2?、+x-2,

/?（x）=lnx+x-5的零点依次为a,b,c,则a,b,c的大小关系为（）

A.c>b>aB.a>c>bC.a>b>cD.c>a>b

|lgx|-«,0<x<3

26.（20-21高三上•辽宁大连•阶段练习）已知函数/（x）=1g；6-x）|-a3<x<6（其中a6R），若/⑴的四

4

个零点从小到大依次为占,当43户4,则£巧的值是（）

;=1

A.16B.13C.12D.10

♦题型08补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用

27.（2024•宁夏吴忠・模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量。

（单位：L）与速度v（单位：km/h）（0<v<120）的下列数据：

V0406080120

Q0.0006.6678.12510.00020.000

为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（）

A.Q=0.5'+aB.Q=av+b

32

C.Q=(7v+Z?v+cvD.Q=k\ogav+b

28.（23-24高三上•福建泉州•期末）函数/（力的数据如下表，则该函数的解析式可能形如（）

X-2-101235

“X)2.31.10.71.12.35.949.1

A./(%)=女心+6

B.f(x)=kxQx+b

C.f(x)=k\j^+b

D./(x)=—I)2+b

29.（23-24高三上•黑龙江哈尔滨•阶段练习）小明在调查某班小学生每月的人均零花钱时，得到了下列一组

数据：

X/月份23456

y/元1.402.565.311121.30

1

请从模型V=X5，模型y=（中选择一个合适的函数模型，并预测小学生零花钱首次超过300元的月份为（）

（参考数据：lg3»0.477,lg2»0.301）

A.8B.9C.10D.11

30.（2024•北京朝阳•二模）假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式f=^pCSv2,其中。是

空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取决

于多种其他因素），反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率尸=加.当.5不变，v比原来提高

10%时，下列说法正确的是（）

A.若C不变，则P比原来提高不超过30%

B.若C不变，则尸比原来提高超过40%

C.为使尸不变，则。比原来降低不超过30%

D.为使P不变，则C比原来降低超过40%

31.（2024・全国•模拟预测）2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任

务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半

径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：ln2«0.693,

e0-462®1.587）（）

A.1.587B.1.442

C.0.587D.0.442（）

32.（23-24高三下•陕西•阶段练习）某种生物群的数量。与时间/的关系近似的符合：。⑺=缁（其中e

为自然对ea2.71828...）,给出下列四个结论，根据上述关系，其中错误的结论是（）

A.该生物群的数量不超过10

B.该生物群的数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小

C.该生物群的数量的增长速度与种群数量成正比

D.该生物群的数量的增长速度最大的时间%e（2,3）

33.（23-24高三下・甘肃•阶段练习）北京时间2023年12月18日23时59分，甘肃省临夏州积石山县发生

里氏6.2级地震，震源深度10公里.面对突发灾情，社会各界和爱心人士发扬"一方有难、八方支援”的中

华民族团结互助、无私奉献的大爱精神，帮助灾区群众渡过难关.震级是以地震仪测定的每次地震活动释

放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准，是国际上通用的里氏分级表，共分9个等级.能量£

与里氏震级M的对应关系为lgE=4.8+1.5M,试估计里氏震级每上升两级，能量是原来的（）

A.100倍B.512倍C.1000倍D.1012倍

34.（2024•江苏•一模）德国天文学家约翰尼斯•开普勒根据丹麦天文学家第谷・布拉赫等人的观测资料和星表,

通过本人的观测和分析后，于1618年在《宇宙和谐论》中提出了行星运动第三定律一一绕以太阳为焦点的

椭圆轨道运行的所有行星，其椭圆轨道的长半轴长。与公转周期T有如下关系：,其中“为

4GM

太阳质量，G为引力常量.已知火星的公转周期约为水星的8倍，则火星的椭圆轨道的长半轴长约为水星

的（）

A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍

35.（23-24高三上■宁夏银川•阶段练习）“开车不喝酒，喝酒不开车.”，饮酒驾驶和醉酒驾驶都是根据驾驶

人员血液、呼气酒精含量来确定，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后血液中的酒精含量值/（x）

随着时间x（小时）的变化规律，可以用函数模型/（x）=U）来拟合，则该人喝一瓶

90-e-05x+14,x>2

啤酒至少经过多少小时后才可以驾车？（）（参考数据：lnl5«2.71,ln30«3.40）

驾驶行为类别酒精含量值（mg/100mL）

饮酒驾驶>20,<80

醉酒驾驶>80

A.5B.6C.7D.8

36.（2024•陕西咸阳•模拟预测）某军区红、蓝两方进行战斗演习，假设双方兵力（战斗单位数）随时间的

无⑺

变化遵循兰彻斯特模型:,其中正实数天分别为红、蓝两方的

=F0cosh

初始兵力，f为战斗时间；X”），了«）分别为红、蓝两方f时刻的兵力；正实数。，6分别为红方对蓝方、蓝

xxx

P+P-e_

方对红方的战斗效果系数；coshx=-和sinhx=分别为双曲余弦函数和双曲正弦函数.规定：

22

当红、蓝两方任何一方兵力为0时战斗演习结束，另一方获得战斗演习胜利，并记战斗持续时长为则下

列结论不正确的是（）

A.若入0＞天且则x«)>y(f)(OV5

B.若Xo＞%且0=b,则？="~^7

Xb4

C.若康^n＞一,则红方获得战斗演习胜利

D.若驾＞值,则红方获得战斗演习胜利

02模拟精练

一、单选题

1.（2023・湖南岳阳•模拟预测）函数＞=（》-2）（2工+1）的零点是（）

A.2B.（2,0）C.-2D.2或-1

2.（2023・陕西西安•模拟预测）函数〃尤）=l-lg（3'+2）的零点为（）

A.log38B.2C.log37D.log25

3.（2024・湖南•二模）已知函数/⑺的部分图象如图所示，则函数/（X）的解析式可能为（）

A」（吁信?r2?x2

D.小）=-碧

4.（2024・山西长治•一模）研究人员用Gompertz数学模型表示治疗时长工（月）与肿瘤细胞含量/（%）的关

系，其函数解析式为f（x）=ka-b~x,其中左〉0力〉0,〃为参数.经过测算，发现〃=e（e为自然对数的底数）.记

x=l表示第一个月，若第二个月的肿瘤细胞含量是第一个月的工，那么6的值为（）

e

A.V5+1B.V5-1C.D.

22

5.（2024•浙江杭州•模拟预测）若函数/（x）=xlnx-x+k-d有且仅有两个零点，则。的取值范围是（）

A.1-10]u（0,e）B.1-j0）u（0,e）

C.1—j,o]D（O,3）D.1—：,O]D（O,3）

6.（2024,新疆乌鲁木齐,二模）设x〉0,函数》二一+工―7J=2'+X—7/=log2x+x—7的零点分别为。也。,

则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.a<c<bD.c<a<b

7.（2024•陕西汉中•二模）已知函数/（x）=<GJlnuJ，X-0,若函数g（x）=/（x）-mr有4个零点,则加的

41n2x,x>0

取值范围为（）

JJ61

A.j加m>—>B.yn\m>eln221

f12c16、D.［加|加=eln"或加=与

C.\meln^2<m<—

lg（-x）,x<0

8.（2024•海南省直辖县级单位•模拟预测）已知函数/（无）=l-|xT|,04x<2的图象在区间>0）内

/（x-2）,x>2

恰好有5对关于V轴对称的点，贝!I，的值可以是（）

A.4B.5C.6D.7

二、多选题

9.（2024•全国•模拟预测）某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态,

经抢修排气扇恢复正常，排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64ppm,继续排气4分钟后又测得浓

度为32ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度V（单位：ppm）与排气时间f（单位：分钟）之间满足函

数关系>=（凡R为常数，e是自然对数的底数）.若空气中一氧化碳浓度不高于0.5ppm,人就可以安全

进入车库了，则下列说法正确的是（）

A.a=128

B.7?=-ln2

4

C.排气12分钟后浓度为16Ppm

D.排气32分钟后，人可以安全进入车库

10.（2024嘿龙江,二模）定义在R上的偶函数/（x）满足/（尤-3）=/（5-力,当xe[0,l]时,/（力=/.设函

数g（x）=log5|x-l|,则下列结论正确的是（）

A.〃无）的图象关于直线尤=1对称

717

B.〃尤）的图象在x处的切线方程为夕=-》+?

C./（2021）+/（2022）+/（2023）+/（2024）=2

D./⑺的图象与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为10

/、2-log,x,0<x<2

IL（2024•江西宜春•模拟预测）已知函数〃x）=>,g（x）=/（x）-a,则（）

—+8x—1l,x>2,

A.若g（x）有2个不同的零点，则2<a<5

B.当。=2时，g（7（x））有5个不同的零点

C.若g(x)有4个不同的零点%,工2，工3"4(X]<x2<x3<x4),plljXlx2x3x4的取值范围是(12,13)

D.若g(x)有4个不同的零点国,了2户3，匕(再<x?<x3<x4),则依论+%%的取值范围是(6,9)

三、填空题

12.(2023•辽宁葫芦岛•一模)请估计函数/(x)=：-10g2无零点所在的一个区间.

13.(2024河南二模)己知函数/卜)是偶函数，对任意工€11,均有/(力=/口+2),当工€[0,1]时，/5)=1-%

则函数g(无)=f(x)-logs(x+1)的零点有个.

14.(2024•全国•模拟预测)已知函数〃x)=1一2-，若方程2]〃*2_(0+2”(耳+。=0有7

x2-6^+8,x>l

个不同的实数根，则实数。的取值范围是.

四、解答题

15.(2024•山东聊城•二模)对于函数/*),若存在实数%,使/(%)/(%+幻=1,其中则称/(x)为"可

移2倒数函数"，%为"/(x)的可移2倒数点已知g(x)=e*,〃(x)=x+a(a>0).

(1)设0(x)=ga)/(尤)，若也为"〃(x)的可移一2倒数点"，求函数。(x)的单调区间；

g(x),x>0

⑵设。(x)=1八，若函数0(无)恰有3个"可移1倒数点"，求。的取值范围.

h(x)

函数的图像函数的零点（八大题型+模拟精练）

01题型归纳

目录：

♦题型01画函数的变换图像

♦题型02识别函数的图像

♦题型03函数图像变换的应用

♦题型04求函数的零点及个数

♦题型05二分法求函数的零点

♦题型06根据函数的零点求参数

♦题型07函数零点的其他应用

♦题型08补函数的应用（一）：几类不同增长的函数模型、函数的实际应用

♦题型01画函数的变换图像

1.（2024高三•全国•专题练习）作出下列函数的图象：

X3

⑴kn；

（3）J7=|log2x—1|；

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析.

【分析】⑴去绝对值化简成分段函数，画出图象即可.

⑵原式变形为3先作出》=3士的图象，再结合，图.一象变换，即可得出结论.

x-1X

⑶先作出y=bg2x的图象，结合图象变换，即可得出结论.

x2,x>0

【解析】（1）首先要化简解析式，＞=

—x?,x>0

利用二次函数的图象作出其图象，如图①所示.

再将其图象向右平移一个单位，再向上平移一个单位,

即得如图②所示.

⑶先作出y=bg2X的图象，再将其图象向下平移一个单位，保留x轴上方的部分，将x轴下方的图象翻折

到x轴上方来，即得y=|bg以一1|的图象,如图③所示.

【点睛】本题主要考查了绝对值函数图象的画法，关键是化为分段函数或利用图象变换来画图，属于中档

题.

♦题型02识别函数的图像

2

2.（2023•湖南岳阳•模拟预测）函数一的图象为（）

【分析】利用特殊点法与图象平移即可得解.

22

【解析】因为丁=;—,所以当x=0时，歹一=2,故排除ABC,

1-x1-x

又歹=2片=-2'7的图象可由函数歹=-24的图象向右平移一个单位得到，则D正确.

1-xx-iX

故选：D.

1

3.（2024・湖北•模拟预测）函数〃"=/_丁-向2的图象大致为（）

【分析】根据x<0时/（X）的单调性可排除BC；再由奇偶性可排除D.

ex-ex-21n(-x),x<0

【解析】/（%）=/-^一1取2

ex-ex-21nx,x>0

i

因为当x<0时，y=1/=_//=—21n（—x）都为增函数，

所以，^=^_/-2111（-外在（一8，°）上单调递增，故B，c错误;

又因为-=e-x-ex-Inx2w-/（x），

所以/（%）不是奇函数，即图象不关于原点对称，故D错误.

故选：A

4.(2024•宁夏固原•一模)已知函数/'(x)的部分图像如图所示，则/(x)的解析式可能为()

n

B./(x)=

3-4|x|

X

D./(无)=

国-1

【答案】A

【分析】利用“X)在(1,+⑹上的值排除B,利用奇偶性排除排除C,利用“X)在(1,+8)上的单调性排除D,

从而得解.

【解析】对于B,当x>l时，''3——-4-x-,易知e*-er>0,3-4x<0,

则/(x)<0,不满足图象，故B错误；

e—X+.e-X

对于C,/(x)=

4M-3

e__A।e_A_eA—।_e_A

又1_?=犷匚,则“X)的图象关于了轴对称，故C错误;

一X—3\X—3

./\XX1

对于D,当x>l时，/(x)=「「7=-14+-

|x|-1x-1x-1

由反比例函数的性质可知，“X)在(1,+8)上单调递减，故D错误；

检验选项A,/(》)=汩三满足图中性质，故A正确.

4%-3

故选：A.

♦题型03函数图像变换的应用

5.(2024・四川南充•二模)已知函数7'(x)=],则函数＞=/(x7)+l的图象()

A.关于点。,1)对称B.关于点(-U)对称

C.关于点(TO)对称D.关于点(1,0)对称

【答案】A

【分析】

a

首先判断函数=；为奇函数，再根据函数平移规则判断即可.

【解析】函数/")=:的定义域为{X|XNO},又==

所以/□)=[为奇函数，则函数/(x)的图象关于原点(0,0)对称，

又了=/(x-l)+l的图象是由/(x)=[的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到,

所以函数V=/(xT)+l的图象关于点(1,1)对称.

故选：A

6.(22-23高二上•河南•阶段练习)直线2"+勿-2=0(。＞0力〉0)过函数/(、)=xH---+1图象的对称中心,

x—1

则二4+;1的最小值为()

ab

A.9B.8C.6D.5

【答案】A

【分析】先利用函数图象平移与奇函数的性质求得/(尤)的对称中心，从而得到。+6=1,再利用基本不等

式"1"的妙用即可得解.

【解析】函数/(x)=x+」1+l=x-l+—―2的图象，

x-lx-1

可由y=x+^的图象向右平移1个单位，再向上2个单位得到，

X

又丫=*+，的定义域为(-8,0)U(0,+co),-x+^-=-L+-\

所以y=x+^是奇函数，则其对称中心为(0,0),

X

故/(X)的对称中心为(1,2),所以24+26-2=0,即4+6=1,

所以3+[=(“+6)(++口=5+以-＞5+2M-=9,

abyabJab\ab

当且仅当竺即a=26=f■时，等号成立，

ab3

所以？4+；1的最小值为9.

ab

故选：A.

7.(2022高三•全国•专题练习)已知二次函数/(X)的图象的顶点坐标是(2,2),且截x轴所得线段的长度是

4,将函数的图象向右平移2个单位长度，得到抛物线尸g(x),则抛物线尸g(x)与了轴的交点是()

A.(0,-8)B.(0,-6)C.(0,—2)D.(0,0)

【答案】B

【分析】利用二次函数的性质，结合待定系数法求得了(尤)，再利用平移的特征求得g(x),从而得解.

【解析】因为二次函数/(x)的图象的顶点为(2,2),

故“X)的对称轴为直线x=2,

又/(x)的图象截无轴所得线段的长度是4,

所以fM的图象与x轴的交点坐标为(0,0)和(4,0),

^f(x)=a(x-2)2+2(a^0),将点(0,0)代入得0(-2)?+2=0,解得a=-g

1

所以/(x)=-](x-2y9+2,

因为g(x)的图象为/(x)的图象右移2个单位得到的，

11

所以g(x)=/(x_2)=_5(x_2_2)-7+2=_]R_4)-7+2,

1

令尤=0,则y=g(0)=_5(0_4)7+2=_6,

所以g(x)与>轴交点生标为(0,-6).

故选：B.

8.(23-24高一上•河南南阳・期末)已知函数/(》)的定义域为。,+⑹,且满足/(3'+l)=x,xeR,将

的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象.

⑴分别求“X)与g(x)的解析式;

⑵设函数Mx)=[g(x)T+/Mg(x2),若,⑴在区间[1,6]上有零点，求实数加的取值范围.

【答案】⑴/(x)=log3(x—l)(x〉l)，g(x)=log3x+l(x>0)

9,

⑵一L

【分析】(1)利用换元法求得“X)的解析式，根据图象变换的知识求得g(x)的解析式.

(2)先求得M》)的解析式，然后利用换元法，根据根据函数的零点与方程的解、分离参数法、对钩函数的

性质求得用的取值范围.

【解析】(1)令3*+l=t，xeR,则fe(l,+s),x=log3(Z-l),

所以/(。=log3(/-l),则/(x)=log3(x-l)(x>1).

由题意可得，gW=/(^+l)+l=log3(x+l-l)+l=log3x+l(x>0).

22

(2)h(x)-(log3x+1)+7M(log3x+l)=(log3x+l)~+m(21og3x+l).

令〃=log3X,当xe[l,g]时，0,-,

函数〃(x)有零点等价于关于〃的方程(〃++m(2〃+1)=0在0,1上有解.

11—I

令2〃+1=〃，贝|〃£口,2],n=----,

2

所以优一3+2〃+1

UH---F2

2〃+1u4〃4U

由双勾函数的单调性可知,

函数加=-；[”+：+2]在[1,2]上单调递减，

当〃=2时，该函数取得最小值，即根min=-5[2+；+2]=-[

当”=1时，该函数取得最大值，即机max=-；x(l+：+2]=-l,

-9-

因此，实数机的取值范围为-石,-1.

O

【点睛】利用换元法求函数的解析式，要注意函数的定义域在求解过程中的变化.求解函数的零点问题，可

转化为方程的根来进行研究.如果零点问题含有参数，则可以考虑分离参数法、构造函数，转化为值域问题

来进行求解.

♦题型04求函数的零点及个数

9.（2023高三・全国•专题练习）已知指数函数为〃x）=4、，则函数y=/（x）-2用的零点为（）

A.-1B.0

C.1D.2

【答案】C

【分析】根据给定条件，解指数方程即可作答.

【解析】函数〃x）=4‘，由〃尤）-2兄=0,即4<27=0,整理得2,（2,-2）=0,解得x=l,

所以函数y=/（x）-2加的零点为1.

故选:C

10.（2023•陕西西安•模拟预测）函数/（x）=l-lg（3'+2）的零点为（）

A.logs8B.2C.log37D.log25

【答案】A

【分析】根据零点的定义即可求解.

【解析】令/（》）=1-电（3工+2）=0,得3工+2=10,则A叱.

故选:A

11.（2024高三•全国•专题练习）函数/（x）=2x+x—2的零点个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

【答案】B

【解析】

解析：f（x）=2xln2+l>0,所以/（x）在R上单调递增，f（0）=-1,/（1）=1,故函数的零点个数

为1.故选B.

Y2-V-_2r<0

,零点个数为（）

{-1+lnx,尤>0

A.3B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】根据零点的定义计算即可.

【解析】由）（可=0得：

尸0,或x>0,

[x2+x-2=0[-l+lnx=0,

解得》=一2或％=0.

因此函数〃x)共有2个零点.

故选：B.

13.(2024•广东湛江・二模)已知函数/⑺二归一”-。，g(x)=x2-4|x|+2-a,则()

A.当g(x)有2个零点时，“X)只有1个零点

B.当g(x)有3个零点时，有2个零点

C.当〃x)有2个零点时，g(x)有2个零点

D.当/(x)有2个零点时，g(x)有4个零点

【答案】D

【分析】作出函数＞=|2,-1|,y=f-4同+2图象，两个函数的零点个数转化为它们的图象与＞="的图象

的公共点的个数，结合图象可得答案.

【解析】两个函数的零点个数转化为图象与夕=。的图象的公共点的个数，

作出y=|2=l|,＞=炉-4国+2的大致图象，如图所示.

由图可知，当g(x)有2个零点时，/(x)无零点或只有1个零点；

当g(x)有3个零点时，/(可只有1个零点；

当/(x)有2个零点时，g(x)有4个零点.

14.(2024・全国•模拟预测)函数/(x)=2sin(2尤+0＜夕＜向的图像关于点仁，0］中心对称,将函数/(x)

的图像向右平移;个单位长度得到函数g(x)的图像，则函数g(x)在区间［-兀,句内的零点个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】正弦函数的图像与性质、三角函数图像的平移变换

【解析】••・函数/（X）的图像关于点中心对称，・•・/（3=2sin（g+,=0,.•.1+e=E,0Z,

又-19=三，则/'（x）=2sin^2x+-|^.

将函数/（x）的图像向右平移W个单位长度得到函数g（x）=2sin12x-；j的图像，

令2xV=MawZ,得x=F+2MeZ,.♦.函数g（x）在区间[-无,可内的零点有

362

5兀7C7T27r1[«

x=----,x=---,x=—,x=—,共4个.

6363

故选：D.

♦题型05二分法求函数的零点

15.（2023高三・全国•专题练习）用二分法求函数〃尤）=ln（尤+l）+x-l在区间（0,1）上的零点，要求精确度

为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】由于长度等于1区间，每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，那么经过〃（〃eN*）次操作后,

区间长度变为!，若要求精确度为0Q1时则上＜0.01,解不等式即可求出所需二分区间的最少次数.

22

【解析】因为开区间（。,1）的长度等于1,每经这一次操作，区间长度变为原来的一半，

所以经过次操作后，区间长度变为福，

令彳0.01,解得“27,且〃eN*,

故所需二分区间的次数最少为7.

故选：C.

16.（2019高三•全国•专题练习）以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是（）

y

c.D.

―o\~%（y\\x

【答案】C

【分析】根据零点的存在定理及二分法分析各选项的函数图象，即可得到答案.

【解析】根据二分法的思想，函数/（尤）在区间6］上的图象连续不断，且1（。>［（6）<0,即函数的零点

是变号零点，才能将区间（。涉）一分为二，逐步得到零点的近似值.

对各选项的函数图象分析可知，A,B,D都符合条件，

而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值的符号没有发生变化，因此不能用二分法求函数零点.

故选：C.

♦题型06根据函数的零点求参数

17.（23-24高三上•浙江绍兴•期末）已知命题P：函数/■（x）=2x3+x-a在0,2］内有零点，则命题？成立的

一个必要不充分条件是（）

A.3<tz<18B.3<。<18C.〃<18D.a>3

【答案】D

【分析】判断函数的单调性，再利用零点存在性定理列式求出。的取值范围，结合必要不充分条件的意义判

断即得.

【解析】函数/（x）=2x3+x-a在R上单调递增，由函数/（x）=2x3+x-a在（1,2］内有零点，

得、c，解得3<。418,即命题〃成立的充要条件是3<。418,

⑵=11O8-。？0

显然3<“<18成立，不等式34°<18、3<«<18>a<18都不一定成立，

而3<。418成立，不等式恒成立，反之，当时，3<aV18不一定成立，

所以命题P成立的一个必要不充分条件是«>3.

故选：D

18.（2023高三•全国•专题练习）函数/（x）=x2-6-2在区间（1,2）内有零点，则实数人的取值范围

是.

【答案】（0,3）

【分析】根据题意将问题转化为>=左与g(x)=2，-：,xe(l,2)的图象有交点，再由g(x)在(1,2)上递增，

可求得结果.

2

【解析】令〃x)=0,贝履—2=0,即左=2"-一,

x

2

即。“与g(x)=2、—J%>(1,2)的图象有交点,

X

因为歹=2工和广，在(1,2)上递增，所以g(x)=2,-士在(1,2)上递增，

所以g(D<g(x)<g(2),即0<g(x)<3,

所以0<左<3,

即实数人的取值范围是(。,3),

故答案为：(0,3)

19.(22-23高三•全国•课后作业)已知函数/'(x)=20-3T-x的零点与e优,左+1),keZ,则左=.

【答案】2

【分析】判断函数的单调性，结合零点存在定理判断零点的范围，即可得答案.

【解析】因为函数J=3T为R上单调减函数，

故函数/(无)=20・3一工-尤为R上单调减函数，

X/(2)=20-3-2-2=y-2=->0,/(3)=20-3-3-3=—-3<0,

故/3=20-3一一》在(2,3)上有唯一零点，

结合题意可知左=2,

故答案为：2

20.(22-23高三•全国•对口高考)方程/+2=0在区间［1,5］上有解，则实数。的取值范围为.

【答案】-一2芋31'

【分析】根据/(x)=x?+g-2在区间［1,5］端点的正负列式求解即可.

【解析】考查/(x)=/+ax-2,因为〃0)=-2<0,且开口向上，

故/(x)在区间［1,5］上最多有一个零点，结合零点存在性定理可得，若方程/+"一2=0在区间口,5］上有解,

J"〉。2

l+a-2<0解得ae告231

则[“5)20

52+5a-2>0