高考数学一轮专项复习知识清单-向量线性运算及三大定理与四心归类 （含解析）

向量线性运算及三大定理与四心归类

望盘点•置击看詈

目录

题型一：线性运算：等分点型......................................................................1

题型二：线性运算：四边形等分点型................................................................4

题型三：线性运算：基底非同一起点................................................................7

题型四：三大定理：奔驰定理.....................................................................11

题型五：三大定理：极化恒等式...................................................................16

题型六：三大定理：等和线基础...................................................................20

题型七：等和线三角换元型.......................................................................23

题型八：等和线系数不是1构造型.................................................................26

题型九：等和线均值型...........................................................................28

题型十：等和线二次型...........................................................................31

题型十一：等和线系数差型.......................................................................34

题型十二：四心向量：外心.......................................................................36

题型十三：四心向量：内心.......................................................................39

题型十四：四心向量：垂心.......................................................................41

题型十五：四心向量：重心.......................................................................44

里突围-榨渣根分

题型一：线性运算：等分点型

指I点I迷I津____

线段定比分点坐标公式的向量形式：若直线/上三点片、月、P,且满足西=29（2H-1）,在直线/外

任取一点0,设西3OP^b,^^OP=^-^=—a+—b.

1+21+A1+2

重要结论：若直线/上三点月、与、P,O为直线/外任一点，

贝！|而=4诟+〃恒o4+必=1.

证明：历=西+9=砒-2后=诬+9，贝！J丽一砒=无即+9=（1+彳）砂，

OP、—OP,OP、+AOP-ya+Ab

贝［1赤=漉+旦？=漉+=J+—.

1+A1+A1+41+A1+2

1.（23-24•河北唐山•阶段练习）如图，V/2C中，。为5c边的中点，E为4D的中点，则而=（）

B.-AB--AC

44

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】利用向量的基本定理与混合运算，结合图形即可得解.

【详解】在V4BC中，。为边的中点，E为4D的中点，

*-----►-♦1,■»----►II/2,一\------►3.1-»

贝！］5E=/E-48=—=—x—+=——48+—/C.故选：A.

222、'44

2.(23-24四川乐山•阶段练习)如图，已知点G是V/2C的重心，过点G作直线分别与/B,/C两边交于

LULLULLUUUUlUULU

M,N两点，设AN=yAC，则x+9y的最小值为()

23

【答案】C

umriuuiriumr__k

【分析】利用三角形重心性质，^AG=-AB+-AC,再由平面向量基本定理设刀=?而+(IT)赤，即

AG=txAB+(\-f)yAC,对照系数，得:(g+)=l，最后运用常值代换法，由基本不等式即可求得x+9y的

最小值.

A

【详解】\\z如图，延长ZG交于点。

,因点G是V48C的重心，

BD1

uuir2uunr71uuruuur1uur1uuur

贝11/6=丁。=§义5(/5+4。)=1/3+丁。，①

因MG,N三点共线，贝归，〉0,使就,疝7+(17)就，

UUULULULUUUUUUI___»____»

因如=、奶，AN=yAC，代入得，AG=txABk+(l-t)yAC,(D

1

tx=-111

由①，②联立，可得，3/消去,即得，§(

(17)尸§

则x+9y=(x+9y)[d+」)=4(10+二+也2j~9=-^,

当且仅当x=3y时等号成立，

3xy3yx333

4416

即x==•时，x+9y取得最小值，为三.故选：C.

―►1—►—►—►4—►

3.(23-24•陕西渭南•阶段练习)如图，在VABC中，已知BD=-DCP为而上一点，且满足CP=mCA+-CB,

则实数冽的值为()

Ax

RD

【答案】A

uur

UULumuuuuuruur2

【分析】根据三点共线可得CP=2C4+〃CD,且彳+〃=1,结合题意可得CP=XC/+]〃C8,根据平面向

量基本定理列式求解即可.

UULL1ULLILIUI

【详解】因为4A尸三点共线，则。尸=4C4+〃CZ）,且4+〃=1,

_.1_.2-»uuruur?uur

又因为5。=—0C,即。。=—C3,贝IJC尸=4C4+—"C5,

233

A=m

A=m=—

—，—►4—.?4

^CP=mCA+-CB,贝”§〃二5，解得2•故选:A.

u=一

4+〃=1

JT______-----*1-----►-----►

4.（23-24天津•阶段练习）如图，在VN3C中，NBAC=-,AD=2DB）尸为CD上一点，且/P=—/C+24B,

34

若|就卜3,|洞=4,则万.皮的值为（）

【答案】C

—1—•3—1—.1—.1—.

【分析】由题意，可得/尸=—/C+—2/。，又尸,C,。三点共线，可得2=—,则/尸=—NC+—利用

42242

__.2—►―►

向量的线性运算可得§45+4。，进而表示出方.皮，计算即可.

—►3—►—►2—►

【详解】在V45c中，因为/Z）=2D5，所以43=5/。，AD=-AB,

所以CD=C/+/O=G4+§/B=CZ+§（CB—CZ）=§CB+§G4,BPDC=--CB--CA,

因为/P=：/C+九48,所以=因为尸,c,。三点共线，所以+；2=1,解得2=二，

442422

所以刀=；就+产§,ffij^C=-|c^-1c4=-|(^-^C)+|^C=-|^+^C,

1—►1—,兀I一.||UW]

所以/尸-AC+-AB就又/B/cg卜。|=3,陷=4,

42F2+

------------1------21-----------.1------21n1111913

贝1J/P-Z)C=——AB'+-ABAC+-AC=一一x42+-x4x3x-+-x32=——+2+—=——.故选：C.

33433243412

5.(23-24甘肃临夏•阶段练习)如图，在VN8C中，点。是3C的中点，AC^3MC=4NC＞分别连接V。、

NO并延长，与边N3的延长线分别交于尸，0两点，^AB=-2aPQ,贝1J。=()

A

【分析】利用向量共线的推论与线性号，田蜉数已结合向量减法即可求参.

【详解】因为尸三点共线，所以而=2而+〃N,2+/Z=1,

又因为。是中点，所以/。=万/C+5/8,因为ZC=3MC，所以

—►——>―►1—►1―►2—►―►31

所以4O=；UM+〃/P=—/C+——4/C+〃/尸,贝=—,

22344

所以;方=沙，方=2万,因为N。,。三点共线，所以与=4力V+从而，4+4=1，

_.1_.1_,,_._—►3—►

又因为。是BC中点，所以/。=,/C+5/8,因为ZC=4NCk，所以ZN=1/C,

—>―►—►1—.1—►3—►—►21

所以/O=4/N+4/0二万力^+^^=p/c+H/o,则4=§,〃]=1,

1—►1—►—,3—►—»—»—►3—»—»1—►—»—,

所以5/5=1/0,/°=喳/5,所以尸0=/0—/尸=5/5—245=；AB,AB=2PQ,

所以。=1.故选：B.

题型二：线性运算：四边形等分点型

指I点I迷I津

四边形基底线性运算，可以用基底推导，也可以通过特殊化构造坐标系设点计算

1.(23-24•江苏苏州•阶段练习)在平行四边形/3CD中，E,尸分别在边CD上，AE=3ED,DF=FC,

4尸与AE•相交于点G,记及防=人则彳4=()

【答案】C

【分析】法L设恁=/箫，根据平面向量的线性运算和平面向量基本定理可得2=：,进而可得结果；

LILIIIUUUlUUL

法2：建系，设/G=x2C+yA4,结合向量的坐标运算分析求解；法3：做辅助线，根据几何知识分析可

知*二—进而可得结果•

AH11

142—►1—►

【详解】法i：因为左=而+!友;而+^■方，设恁=4赤，则就=4五5+!力砺=——AE+-AAB,

22232

4216uutr£uuur

因为3,G,E三点共线，则条+?=1,解得丸=：,即=所以

--6—►3—►6—►3—►

AG=—AD+—AB=—BC——BA=-a--b；

111111111111

法2：坐标法（特殊化平行四边形建系）不妨设平行四边形为矩形，建立如图所示平面直角坐标系,

71

设C（4,0）,力（0,2）,则£（3,2）,尸（4,1）所以直线=y,直线4歹:>=—w、+2,

241624

，解得G，可得4G强=（0,2）,SC=（4,0）,

1T1111

6

x=一

__»__»__„,41111

设就=xBC+yBA=（4%,0）+（0,2y）=（4x,2y）=\—H?则'，解得

6_-3，

y=一

H11

—►6—•3—►63-

所以4G=—二氏4二--」；

11111111

法3：如图，延长4尸，BC,交于点

因为厂为中点，所以/b=少〃，

4GAF44G

又"GEs^HGB,则把=空=2,可得—二33

GHBH8AH3+811

uuir6101r—►6—►3—►6—►3—63一

可知4G=厂，所以4G=—/。+—/5=—5。一一BA=—a——b；故选：C.

11111111111111

3.（23-24山西•阶段练习）如图，在正方形Z5C。中，。£=2。£,£3和4。相交于点6,且尸为/G上一点

_,_、_31

（不包括端点），若丽=4砺+4同，则万+公的最小值为（）

A.5+36B.6+275C.8+V5D.15

【答案】B

【分析】先确定G的位置，接着由旃=4而+〃曲进行转化，利用共线定理得g九+日=1,再利用基本不等

式“1〃的妙用即可求解.

【详解】由题可设BG=x3E,xe（O,l）,

则由题意得耳4=无砺=尤（就+酝）=X前+§无比=x瑟+§尤诙，

23——►3―►——►—►—►5——►-►

因为A、G、。三点共线，故x+§x=lnx=m，所以BG=《5£,所以BF=hBE+pBA=,BG+曲,

又A、G、尸三点共线，所以g九+四=1,

所以1+M『]序+小=6+当+36+2再x*6+2收

4"[4〃八3743〃\A3/z

当且仅当芈=",即日=@九=地一1时等号成立，故,的最小值为6+2后.故选：B.

A31134Ajn

3.（23-24宁夏银川・）如图所示的矩形45CQ中，E,F满足绿=衣,CF=2FD,G为防的中点，若

AG=AAB+^ADf则得的值为（）

【答案】A

【分析】根据已知条件结合平面向量基本定理将就用方，力表示出出来，从而可求得功的值

【详解】因为G为昉的中点，BE=EC,CF=2FD^

―►1—►1―►1（—►1—A1（1―►—A2―►3—►

所以/G=—4E+—4/=—AB+-AD+--AB+AD\=-AB+-AD,

222（2J2（3J34

___k_23

因为/G=2/3+〃/。，所以4=§,〃=a，

所以2〃=±2X3=_L1.

342

故选：A

4.（23-24陕西咸阳）如图所示，在正方形/BCD中，E为48的中点，下为CE的中点，若下=力百-〃诟,

【答案】C

【分析】根据平面向量基本定理结合题意将善用刀，质表示，从而可求出4M，进而可求得答案.

【详解】因为在正方形NBCO中，£为的中点，F为CE的中点，

所以方二运+而=;反=|■通+［（而+丽=1—►11—►1—►3—►1—►

-AB+-X-AB+-AD=-AB+-AD,

222242

—.—._.313

^^AF=XAB-uAD,所以4=一,//二一一，所以4+〃=:+.故选：C

424

,AE=^AD,BF=；BC,CE与DF交于点、

5.（23-24新疆乌鲁木齐•模拟）如图，在平行四边形/BCD中

。.设方=1,AD=B，若+则〃—()

113

A.——B.—C.—D.——

17171717

【答案】D

【分析】根据尸、E,O,C三点共线，^AO=xAD+yAF.Ad=mAE+nAC＞利用平面向量线性运

算的应用将£3表示而，由此可得方程组求得xj,进而得到的值.

【详解】连接NG/C,因为D,。,厂三点共线，设元=Q5+y方，则

x+y=l,所以就=%25+穴方+函=工亚+穴罚+AD)=(x4y)b+yc；

因为瓦。,。二点共线，AO=mAE+nAC>则冽+〃=1,^VXAO=—AD-\-n(AD+AB)=(^+ny)+na,

%+》=1

9

m+n=\x=—

17,所以坂，

则1m，解得<m=92+11

x+—y=——\-n81717

43y=­

17

y-n

贝1」4=得，"二告，所以〃一丸=^"一亮=亮.故选：D

题型三：线性运算：基底非同一起点

指I点I迷I津

向量共线定理和向量基本定理

①向量共线定理（两个向量之间的关系）：向量B与非零向量.共线的充要条件是有且只有一个实数彳，使得

b—Xa-

变形形式：已号直线廿三点A、B、P,。为直线/外任一点，有且只有一个实数%,使得：

OP=（l-A）OA+AOB.

特别提醒：共线向量定理应用时的注意点：向量共线的充要条件中要注意5/0”,否则4可能不存在，也可能

有无数个.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量

共线且有公共点时，才能得出三点共线；另外，利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不

重合.

②于面向量基本定理（平面内三个向量之间关系）：

若I、£是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任一向量〃，有且只有一对实数4、4,使

a=4G+4*

特别提醒：不共线的向量I、I叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

基底的不唯一性：只要两个向要不荽线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不唯一，平面内任意向量

Z都可被这个平面的一组基底I、尾线性表示，且在基底确定后，这样的表示是唯一的.

1.（23-24•四川成都•）在正六边形48CDE尸中，~AD=xAC+yBD,则£+丁=（）

【答案】C

【分析】根据向量的线性运算法则和运算律求解即可.

【详解】AD=AB+m）=AC+CB+BD=AC--JD+BD,所以=就+而nZD=工工+工而，

2233

所以x=u，所以/+"5+电、9

故选：C.

2.（23-24浙江•阶段练习）已知六边形45C。跖为正六边形，且就=心BD=b^以下不正确的是（）

—►21----.II—

A.DE=——a+-bB.BC=-a+-b

3333

—►22--"247*

C.AF=——a+-bD.BE=——a+—b

3333

【答案】C

----►1--------2--------1--------2—

【分析】根据正六边形的特征求出m。=铲,/川=铲,9=产品。=,，再由向量加法的三角形法则以

及向量的减法即可求解.

【详解】如图，^AC^BD=M

C因为六边形ABCDEF为正六边形，所以NABC=/BCD=120°,且&ABC泮DCB.

又V45。是等腰三角形，所以/A4C=/BC4=30°,从而可有乙4。。=/。比1=90°,

则CA/=8M=/Msin30°=—/M,所以流=一£,而=一鼠同理有瓦？=一瓦施=一办.

23333

所以说=防=疝-砺=-与+与，所以选项A不符合题意；

33

BC=BM+MC=-b+-a,所以选项B不符合题意；

33

箫=①=两+砺=-匕+勺，所以选项C符合题意；

33

BE=2AF=-^a+^b,所以选项D不符合题意.故选：C

33

3.(23-24重庆巴南•阶段练习)如图，矩形/3CD中，点E是线段上靠近A的三等分点，点尸是线段3C

的中点，则反=()

B.^-DF-^-AC

A.IDF-IAC

9999

D.-^-DF^AC

C.±DF+LAC+

9999

【答案】A

【分析】解法一：由平面向量的加、减、数乘运算，以及平面向量基本定理，可表示诙,

解法二：以。为原点，DC、分别为》轴的正方向建系，由。£=4。尸+4/。，结合坐标运算，求得

4，%,可表示瓦.

【详解】解法一：依题意瓦=方+^比①，丽=皮+；刀②，就=束一次③，

由②③式解得刀=§而一§就，5C=-DF+-^C,代入①式得。£=］而一］就.

解法二：以。为原点，DC.D4分别为X、y轴的正方向建立平面直角坐标系，

a

设DC=a,DA=b,则尸,4(0,6),C(a,O),

3

..1

b4+“2=3o5

由诙=4市+4工，有|■|,6)=4ci.——+A(a,-b),有<

22—99

—•8——5—~■

DE=-DF--AC.故选：A.

4.(23-24高三河南•阶段练习)已知VABC为等边三角形，分别以C4,C5为边作正六边形，如图所示，则

()

22

___—.9—•—•

C.EF^5AD+4GHD.EF=-AD+3GH

2

【答案】A

【分析】选取五§,就为基底，表示出方,15,曲，结合平行向量基本定理设方=x15+y而，即可求解.

【详解】选取方，就为基底，

EF=EH+HF^3AB+1C<

AD=BG=2BC=-2AB+2AC，

GH=GB+BH2CB+AB2AB-2AC+AB=3瓜2就，

设防=xAD+yGH=-2xAB+2xAC+3yAB-lyAC

=(-2x+3v)2B+(2X-2y)AC>

,(9

|-2x+3y=3%=一—>9—>—►

.I，2,即川=—/O+4G”.故选：A

［2x-2y=l1=42

5.(22-23甘肃天水•阶段练习)如图，四边形N8C。是平行四边形，点瓦尸分别为CD,4。的中点，若以向

量荏,而为基底表示向量，则下列结论正确的是()

D,EC

—•4—►2—,—-4--2--

A.AD=-AE——BFB.AD=——AE——BF

5555

—,i2—'■4—，—2--4--

C.AB=-AE--BFD.AB=—AE+—BF

5555

【答案】c

【分析】先行,7万表示出近，赤，联立旅，万，反解出漏,7万即可

【详解】点瓦尸分别为的中点，•.•就=方+石，AE=AD+DE=AD+^AB,

—►—*-*1一—►1—»—»5—►”，》2,4，，’》

BF=BA+AF=-AD-AB,-BF+AE=-AD,:.AD=-BF+-AE,

22455

1—>.,5—».2—»4—>-

-AE-BF=-AB,:.AB=-AE--BF,故选：C

2455

题型四：三大定理：奔驰定理

指I点I迷[电_

:

I为内~~"点，axPA+/>xPB+ex.PC=0>贝!1sAp/：^^PAC^\PAB=。：b：c.

重要结论：SRPBC_aSAPXC_bS"AB_c

S\ABCa+b+cS/UBCa+b+cS^UBCci+b+C

结论1：对于A43c内的任意一点/,若APBC、APCA、AP4B的面积分别为S八SB,Sc,贝!J：

SA-PA+SB-PB+SC-PC=O.

即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积.

结论2：对于A4BC平面内的任意一点/,若点/在AA8C的外部，并且在N&1C的内部或其对顶角的内部所

在区域时，则有-%比-PA+S^-PB+S^-PC^.

结论3：对于A43c内的任意一点/,若4强+%旃+4冗=0，则AP3C、APCA、AP/B的面积之比为

4：为4.

即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三色形喳之比簟于权系数之比.

结论4：对于AA8C所在平面内不在三角形边上的任一点/,4刀+4诩+4定=0,则APBC、NPCA、APAB

的面积分别为图:田：|闵.

即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零,则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.

各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形.

mtfA+stfB+tOC=0

(1)SAABO=——!——；

Q・Q

（2）SAAB。：QAACO*°ACBOm

SAABCm+s+t

L（23-24甘肃）"奔驰定理"因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具

体内容是：已知“是V/3C内一点，ABMC,AAMC,A/MS的面积分别为邑，SB,Sc,且

Sj疝+S&•砺+%,标=。.若初为V/2C的垂心，3MA+4MB+5MC=0,贝i]cos//Affi=（)

【答案】B

【分析】根据5/跖1+其・荻+Sc-MC=0和3疝+4砺+5近=0得邑：S»：SC=3：4:5,从而可以得出

ADAr

——=4,—匕=3,设"D=x,MF=yf得/M=3x,BM=2yf再结合垂心和直角三角形余弦值即可求

MDBF

解.

如图，延长交8c于点。，延长交/C于点尸，延长CM交N5于点瓦

由M为VA8C的垂心，3MA+4MB+5MC^0.^.SA-MA+SB-MB+SC-MC=O,

45

得邑：SB:品=3:4:5,所以，=§S/,Sc=：S/,

又S/BC=S/+SB+SC，则『=4,同理可得事=3,所以黑=4,骼=3，

SASBMDMF

设A®=x,MF=y,则4M=3x,BM=2y,

所以cos/BME>=W=cosN/〃F=匕，即3f=2/,土=显,所以cos/BMD=工="，

2y3xy32y6

所以CGSNAMB=cos（7t-ZBMD）=-cosNBMD=-^.故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用"奔驰定理''得到邑：邑：Sc=3:4:5,从而利用对顶角相等得

到土=逅，由此得解.

y3

2.（23-24河北）平面向量中有一个非常优美的结论：已知。为V/8C内的一点，ABOC,/\AOC,NAOB

的面积分别为,，SB，SC,则邑•石+其•砺+与•云=6.因其几何表示酷似奔驰的标志，所以称为“奔

驰定理已知。为VN8C的内心，三个角对应的边分别为a,"c,已知a=3,b=，c=5,则痛.就=

（）

A.273-8B.-2C.V6-7D.3a-9

【答案】A

【分析】根据三边，先求出角3的余弦值,再由内心可得到邑：Sg：Sc=a»：c,进而由“奔驰定理”得到

aOA+bOB+cOC=0^在对向量进行线性运算即可.

【详解】因为a=3,b=2c=5,所以cosgJ+c*鲁,因为。为V/8C的内心，设

2ac15

/l=NOBC,N2=NOBA,由题意Nl=/2,贝I」与：“=；忸。|忸C|sinN1:g忸。|忸邪皿N2=a:6,

同理可得,:SC=a:b:c所以根据"奔驰定理，有aE+b赤+c历=6，所以

--*'c--►a.

a^BA-BO\+bOB+c[BC-BO\=0,即BO=-------BC+-------B4

a+b+ca+b+c

所以=BC+―-—BAUBC-BA

a+b+ca+b+cJ、

2

BC-BA=2A/3-8.故选：A.

8+26

3.（2024上海•专题练习）"奔驰定理"因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结

论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是V4BC

内一点，的面积分别为邑,S",Sc，且邑.疝+5^・南+S,•流=0.以下命题错误

的是（）

A

B.若“为V/2C的内心，贝U3C•南+4C・砺+48・标=0

C.若N8/C=45o,N/8C=60。，“为V/3C的外心，则邑：品：7=6：2：1

D.若M为VA8C的垂心，3MA+4MB+5MC^0>则cos//Affi=-"

6

【答案】C

【分析】取BC的中点。，连接结合奔驰定理可得到2碗=-疝，进而即可判断A；设内切圆半

径为「，从而可用『表示出邑,S",7,再结合奔驰定理即可判断B;设V/BC的外接圆半径为R,由圆心角

和圆周角的关系可得/3MC=90。,44儿幻=120°,ZAMB=150°,从而可用R表示出SA,SB,SC,进而即可判断

C；延长交8c于点。，延长80交/C于点凡延长CO交48于点£,根据题意结合奔驰定理可得到

ss

苫^=4,得^=3,从而可设MD=x,MF=y,贝==所以

YV

cosZBMD=—=cosZAMF=,进而即可求cos/BMD,从而即可判断D.

2y3x

A

【详解】对于A：取BC的中点D连接MQ/M,

由用：品：%=1：1:1,贝1］疝+砺+标=0，所以2施=施+就=-疝，

----►2―►

所以4,M,。三点共线，且4"=—4D,

——►2—►——►2—►

设。/分别为/C的中点，同理可得CW=—C£,BM=-BF,所以M为△/MC的重心，故A正确；

33

对于B：由M为V/BC的内心，则可设内切圆半径为「，

对于C：由"为V/BC的外心，则可设VZBC的外接圆半径为K,

又ABAC=45。,乙45。=60°,

则有/BMC=2ZBAC=90°,ZAMC=2ZABC=120°,NAMB=2ZACB=150。，

22

所以邑=1R2.sin/gMC=[E2.sin90°=：氏2,51^2,sin=17?.sin120°=—A,

222B224

222

Sc=^R-sinZAMB=^R-sml50°=^-R,所以邑:%=2:6:1,故C错误；

[/T\]对于D：如图，延长/初交8C于点。，延长80交ZC于点尸，延长CO交于点E,

A

由M为V/5c的垂心,3A£4+4Affi+5A/C=（j.则邑：S»：S0=3:4:5,

ss

又S“BC=S«+SB+S°，则廿=4，廿=3,设地=尤,MF=y，贝=3尤,敏=2了，

所以cos/8MD=^=cos//A/F=二，BP3x2=2/,-=—

2y3xy3

所以cosN8MD=