高考数学一轮专项复习练习卷：椭圆（一）（含解析）

限时跟踪检测-椭圆（一）

一、单项选择题

1.若椭圆/+叼2=1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则的值为（）

A.-B.-

42

C.2D.4

2.（2023•湖南长沙模拟）椭圆々x—32+厂42+个工+32+什42=26的

短轴长为（）

A.10B.12

C.24D.26

3.如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（）

A.也

3

C啦D

,2-f

4.（2024・四川资阳模拟）如图所示，椭圆三+正=1（介2）的左、右焦点分别为尸1,尸2,过

a2-4

尸1的直线交椭圆于M,N两点，交y轴于点若尸1,“是线段的三等分点，则△加W

的周长为（）

A.20

C.2v5

5.（2024•山东聊城模拟）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆

上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴与短半轴平方和的

算术平方根.设椭圆。的焦点为尸1,尸2,尸为椭圆C上的任意一点，R为椭圆C的蒙日圆

的半径，若炉1•炉2的最小值为$2,则椭圆C的离心率为（）

B.

2

6.（2024•广东东莞模拟）已知尸i,凡分别为椭圆C：刍+£=1（。>6>0）的左、右焦点,

过凡且垂直于x轴的直线/交椭圆C于/,2两点，若△/尸步是边长为4的等边三角形,

则椭圆C的方程为（）

7.设椭圆C：，+，=1（°>6>0）的左、右焦点分别为E，尸2,离心率为伊，尸是C上

一点，且EPLAP.若△尸E凡的面积为4,则。=（）

22

8.（2024•广西柳州、梧州大联考）已知尸是椭圆C：；+：=1的右焦点，P为椭圆C上

一点，A（l,2啦），则2|+|尸尸|的最大值为（）

A.4啦B.4

C.4+2&D.4+2小

22

9.已知椭圆C：工+匕=1的左、右焦点分别为尸1,反，点M在椭圆C上，当△VFF2

259

的面积最大时，△破1尸2的内切圆半径为（）

4

3

二、多项选择题

10.2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附

近一点P变轨进入以火星星球球心F为一个焦点的椭圆轨道1（环火轨道）绕火星飞行，2021

年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在尸点第二次变轨进

入仍以尸为一个焦点的椭圆轨道11（火星停泊轨道），且测得该轨道近火点m千米，远火点n

千米，火星半径为r千米，若用2cl和2c2分别表示椭圆轨道I和n的焦距，用2al和2.2分别

表示椭圆轨道I和II的长轴长，则下列结论正确的是（）

A.a\~\~c\=ai-\-ci

B.a\—c\=ai—ci

C.椭圆轨道II的短轴长为2y]m+rn+r

D.a2Ci<aiC2

11.数学家称史匚为黄金比，记为。，定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比。，则

2

称该椭圆为“黄金椭圆”，以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆

三+(=1伍>6>0)与它的焦点圆在第一象限的交点为。，则下列结论正确的有()

A.<a2+<«—1

B.黄金椭圆的离心率e=。

C.设直线。。的倾斜角为仇贝!]sin6=0

D.交点。的坐标为(6,mb)

三、填空题与解答题

22

12.(2024•山东济宁第一中学质量检测)如图，椭圆号+[=1(°>6>0)的右焦点为R过尸

的直线交椭圆于4,B两点，点C是/点关于原点。的对称点，若CFUB且CF=AB,则

椭圆的离心率为.

13.(2024•河北平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为F(0,l),椭圆C上的点到厂的距

离的最小值为1,则椭圆C的标准方程为;若P为椭圆C上一动点，M(3,3),

则\PM\一|即的最小值为.

14.已知椭圆C：1(0>6>0),焦点尸i(—c,0),F2(C,0),左顶点为/,点E的坐

标为(0,c),点/到直线£仍的距离为

⑴求椭圆。的离心率;

（2）若尸为椭圆C上的一点，且/招尸尸2=60。，△尸尸1后的面积为小,求椭圆C的标准

方程.

高分推荐题

22

15.（多选）（2024•山东青岛模拟）已知椭圆C：：+：=1的左、右焦点分别是尸1,尸2,

I为椭圆。上一点，则下列结论正确的是（

A.△〃吊尸2的周长为6

B.丛MFFi的面积为

2

C.AA/F1F2的内切圆的半径为W

9

D.△MB6的外接圆的直径为3:2

解析版

一、单项选择题

1.若椭圆N+叼2=1的焦点在〉轴上，且长轴长是短轴长的两倍，则加的值为（）

解析：将原方程变形为N+；=L

2

由题意知。2=1，b=\,.*.a=A,b=l.

—=2,:・m=—.

m4

答案：A

2.（2023,湖南长沙模拟）椭圆Y一，一3一―y~4―2+yJ―，+3――—+4—2=26的

短轴长为（）

A.10B.12

C.24D.26

解析：由题意，得

2〃=26,

2c=7—3—32+~—4—42,

。=13,

解得•则b=12,26=24.故选C.

。=5,

答案：c

3.如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（）

解析：设圆柱的底面半径为1,则椭圆的短半轴长为1,长轴长为‘一=谑，即长半

sm6003

轴长为孚，所以半焦距为金，故离心率为之

332

答案：B

22

4.（2024・四川资阳模拟）如图所示，椭圆［+匕=1（°>2）的左、右焦点分别为尸1,尸2,过

出4

尸1的直线交椭圆于M,N两点，交y轴于点打，若尸I，H是线段的三等分点，则

的周长为（）

A.20

C.2^5

出力，可得/7J0，力二*为M

解析:

■:FiH=HN,OFI=OF2,：.OH//FTN,

的中点，，易得/―2c'一J,将点河代入椭圆方程，即"+4=1，即4c2+1=/，，

a1W

Z?2=a2—c2=3c2+l=4,/.c2=1,:.a=\f5,△/iW2V的周长为4a=4芯.

答案：D

5.（2024•山东聊城模拟）研究发现椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆

上，这个圆叫做椭圆的蒙日圆，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长半轴与短半轴平方和的

算术平方根.设椭圆C的焦点为尸2,尸为椭圆。上的任意一点，R为椭圆C的蒙日圆

的半径，若另1•而2的最小值为gK,则椭圆。的离心率为（）

1

A.

2

C.-D.3

33

解析：设椭圆方程为三十二=1（。>6>0）,由题意得氏2=层+扶.设尸（%,J；）,Fi（c,0）,尸2（一

azbz

C.0）,则匠1•匠2=/+/—c2=x2+["--二]—c2=q+02—2c2".当x=0时，两？成有最

11r2

小值层一202.（当椭圆焦点在歹轴上时，同理可证），/―2/=-（次+尸尸―（2序—/）,即e^=—

55a1

三,解得e=T或户一舍去）•故选D.

答案：D

6.（2024•广东东莞模拟）已知凡分别为椭圆C：1（心6>0）的左、右焦点,

过尼且垂直于x轴的直线/交椭圆C于4,2两点，若△/凡2是边长为4的等边三角形,

则椭圆C的方程为（）

N222

A.-+rV=lB.工x+匕V=1

4396

/2r22

C.工+匕V=1D.工+匕V=1

164169

解析：如图所示，是边长为4的等边三角形,

・・・|Zb2|=4,\AFX\=^AB\=2,

2a=\AF\|+\AF1\=6,.\a=3.

又,//班2|=2c=M/尸2『一M/if

=2A/3,；・C=3.

则62=/—C2=6,故椭圆C的方程为芷+正=1.故选B.

96

答案：B

7.设椭圆C：:+，=1（°>6>0）的左、右焦点分别为凡，离心率为T，尸是C上

一点，且招尸，尸小.若△尸居凡的面积为4,则。=（）

A.1B.2

C.4D.8

解析：；.3层=公2.由椭圆定义可得|正成+修尸2尸2°.由凡P得尸碎2+

a2

22

|PF2|=（2C）,

又△PFIB的面积为4,则；『人卜|刊司=4,即/丹卜|尸7/=8,...（『为|+『尸2|）2—2上人|•『尸2|

=4/,即44一16=3。2,则层=16,解得Q=4.故选C.

答案：C

22

8.（2024•广西柳州、梧州大联考）已知厂是椭圆C：；+；=1的右焦点，P为椭圆C上

一点,A（l,2啦），则|囹+|尸尸|的最大值为（）

A.4J2B.43

C.4+2\［2D.4+23

解析：由题意可得，a=2,b=小,E-则椭圆。的右焦点

为尸（1,0）.

743^12>b二点/（I2啦）在椭圆外・

设椭圆C的左焦点为尸（-1,0）,连接尸尸（图略），

则干尸|+|尸尸］=4,即|尸用=4一|尸尸1,

故|我|+|跳］=|刃|+4一|尸尸

'：\PA\~\PF'\^AF'\=2小，当点尸为AP的延长线与椭圆的交点时取等号,

A|B4|+|PF|<4+2小.

故以|+|尸尸|的最大值为4+23.故选D.

答案：D

22

9.已知椭圆C：土+2=1的左、右焦点分别为尸2,点M在椭圆C上，当工MFiFz

259

的面积最大时，△破1尸2的内切圆半径为（）

A.3B.2

4

C.-D.

33

解析：因为椭圆为福+1=1,所以。=5,6=3,

大时，点M为椭圆C短轴的顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点。为坐标原点，△

的内切圆半径为，则尸=。=尸匹|=（

MF1E1r\MF215,2c=8,|W|=b=3,S^MFIF2=

+\MF2\+|F1^2|）-r^FiFi^OM],所以r=:故选D.

答案：D

二、多项选择题

10.2021年2月10日19时52分，中国首次火星探测任务“天问一号”探测器在火星附

近一点P变轨进入以火星星球球心厂为一个焦点的椭圆轨道1（环火轨道）绕火星飞行，2021

年2月24日6时29分，“天问一号”探测器成功实施第三次近火制动，在尸点第二次变轨进

入仍以尸为一个焦点的椭圆轨道11（火星停泊轨道），且测得该轨道近火点m千米，远火点«

千米，火星半径为r千米，若用2cl和2c2分别表示椭圆轨道I和n的焦距，用2al和2a2分别

表示椭圆轨道I和H的长轴长，则下列结论正确的是（）

A.。1+。1=。2+。2

B.a\—。1=。2—C2

C.椭圆轨道II的短轴长为2y)m+rn+r

D.a2C\<a\C2

解析：由已知得b\>bi9c\>ci,.•・曲+。1>42+。2,故A错误；\PF\=ai—c\=ai

—02,故B正确；轨道H的短轴长为2b2=2=2yj—。2一。2=+。2—=

2-\jm~\~rn~\~r,故C正确；由m—c\=ai1o2得。1+。2=。2+。1,两边平方，得力+

。之+2防。2=滋+。，+2。2。1,即W+2QIC2=63+2Q2CI,由于仇>人2>0,故房>叫，••a\C2<aic\,

故D错误.故选BC.

答案：BC

11.数学家称史工为黄金比，记为。，定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比。，则

2

称该椭圆为“黄金椭圆”，以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆

[+，=1（°>6>0）与它的焦点圆在第一象限的交点为0,则下列结论正确的有（）

A.co2~\~co=l

B.黄金椭圆的离心率

C.设直线。。的倾斜角为仇则sin8=①

D.交点。的坐标为3，cob）

解析：方程〃+。-1=0的根为。=二^,故A正确；由题意可知，2=史1=。，

2a2

2

则e=-=\!1-G0=A/1,故B错误；易知QF\LQF2,且N0FIF2=4贝”。尸21

9°fsm，+cos4°°

=2c-sin\QFi\=2ccos5,所以|。碎+|。7囹=20122J=2a,即sin-+cos-=

9=+，两边平方，可得Sin8+1=[^』T^=^^即Sin8=&^-1=61=①，

cN①勺5—1222

故C正确；由C知sind=0,所以tan^故D错误，故选AC.

答案：AC

三、填空题与解答题

22

12.（2024•山东济宁第一中学质量检测）如图，椭圆5+三=1（心6>0）的右焦点为尸，过产

的直线交椭圆于N,B两点，点C是/点关于原点。的对称点，若CFUB且CF=AB,则

椭圆的离心率为.

解析：设椭圆的左焦点为尸，连接/尸，BF',CF',则四边形仙尸C为矩形,

y

所以/尸=CF=/3,且

则三角形Z8F为等腰直角三角形，

设/r=N3=x(x>0),则x+x+R=4a,

解得x=(4—2仍)0,则//=(2仍一2)a,

在RtZX/歹户中，由勾股定理得(49)2+(//>=(2C)2,所以[(4—2啦)才+[(2啦-2)仃

2

=(2c),得e?=9—672,所以C=A/6-43.

答案：«一3

13.(2024•河北平顶山模拟)已知椭圆C的一个焦点为F(O,1),椭圆。上的点到厂的距

离的最小值为1,则椭圆C的标准方程为；若P为椭圆C上一动点，M(3,3),

则1PM一|尸目的最小值为.

解析：因为椭圆C的一个焦点为尸(0,1),所以椭圆。的焦点在y轴上，且c=l.

因为椭圆C上的点到歹的距离的最小值为1,所以a—c=l,得a=2.

22

因为〃=02—C2=3,所以椭圆C的标准方程为乙+上=1.

43

将M(3,3)代入椭圆方程，得：+l=*>1，所以点M在椭圆外.

如图所示，设椭圆C的另一个焦点为b(0,—1),

则|PF|+|尸用=4,

所以甲M—FA=\PM\+1尸尸|一4.

当F：P,M三点共线时，|PM+『用取得最小值，且最小值为\MF'\=

73—02+3+12=5,

所以1PM一甲5的最小值为1.

答案：^+^=11

43

14.已知椭圆C：2+3=1伍>6>0)，焦点尸1(一c,0),尸2(c,0),左顶点为N,点£的坐

标为(0,c),点/到直线的距离为

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若尸为椭圆。上的一点，且NEP尸2=60。，用的面积为小,求椭圆C的标准

方程.

解：(1)由题意，得4(—4,0),直线的方程为x+y=c.

因为点A到直线EF2的距离为二由6,

2

\~a-c\r-

即一—=&b,

#+122

所以〃+c=小b,即(Q+C)2=3/>2,又加=/一02,

所以(Q+C)2=3(〃2—c2)f所以2c2+QC一/=0,

因为离心率e=,，所以2/+?-1=0,

a

解得e=3或e=—1(舍去)，

所以椭圆C的离心率为1

2

(2)由(1)知离心率e=C=l,即a=2c①.

a2

因为尸尸2=60