高考数学一轮专项复习练习卷：平面向量（含解析）

平面向量

高考数学一轮复习易混易错专项复习

【易混点梳理】

1.向量加法的法则：三角形法则和平行四边形法则.

如图，已知非零向量mb,在平面内取任意一点作方=〃，BC=b^则

向量K叫做。与〃的和，记作〃+b,a+b=~AB+^C=^C-

三角形法

则"+让L

A---a---

已知两个不共线向量a",作刀=a，4=》，以刀，而为邻边作口450

平行四边则对角线上的向量充=a+b.

形法则,D7.——

2.对于零向量与任意向量a,有a+O=O+a=a.

3.向量加法的运算律：

交换律：a+b=b+a•,

结合律：a+(b+c)=(a+b)+c.

4.向量形式的三角不等式：|。+回Va|+|",当且仅当生分方向相同时等号成立.

5.相反向量：

①定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作一a,并且规定，零向量

的相反向量仍是零向量.

②性质：零向量的相反向量仍是零向量；

a和-a互为相反向量，于是-(-a)=a；

若a,8互为相反向量，则“=—6，b=-a,a+Z>=0.

6.向量数乘的定义:规定实数2与向量。的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作：,

它的长度与方向规定如下：①|Xa|=|R|a|；②当％>0时，2a的方向与"的方向相同；当％<0

时，羽的方向与“的方向相反.当4=0或a=0时，2a=0.

7.向量数乘的运算律：设心〃为任意实数，则有:

①4(〃〃)=(%〃)〃；

(2)(2+=X。+〃〃；

(3)2(a+〃)=%〃+.

特另I」地，有(-2)a=-(2a)=2(-a)；2(a-6)=Aa-Ab,

8.向量的线性运算：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，向量线性运算的结果仍

是向量.对于任意向量。,方，以及任意实数4〃1，〃2，恒有2(〃必士〃2方)=2〃巡±4〃2方.

9.向量共线(平行)定理：向量手0)与方共线的充要条件是：存在唯一一个实数2,使方=.

10.平面向量基本定理：如果4，02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任

一向量a,有且只有一对实数4,4，使a=4勺+402.

11.基底：若4，02不共线，则把｛，，0?｝叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.

12.平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.

13.平面向量的坐标运算：

设向量a=(占，%)"=(%,%)，XeR,则有下表：

运算文字描述符号表示

两个向量和的坐标分别等于这两个向a+b=(x+x,y+y)

加法t2}2

量相应坐标的和

两个向量差的坐标分别等于这两个向a-b=(x-x,y-y^

减法x2x

量相应坐标的差

实数与向量的积的坐标等于用这个实2a=(2%1，4%)

数乘

数乘原来向量的相应坐标

一个向量的坐标等于表示此向量的有

向量坐标公已知Z®,%),8(X2，%),

向线段的终点的坐标减去起点的坐标

式则48=(%—%)

14.平面向量共线的坐标表示

(1)设a=(M,%)"=(%，当)，其中共线的充要条件是存在实数力,使“=

(2)如果用坐标表示，向量共线的充要条件是再为-々M=0.

15.向量的夹角：已知两个非零向量方，如图，。是平面上的任意一点，作厉=a,砺=8,

则4408=6(0^6)叫做向量a与〃的夹角.记作＜见分＞.

IT

当6=0时，向量。同向；当。=万时，向量a,8垂直，记作a_Lb；当。=兀时，向量。反向.

16.平面向量数量积的定义：已知两个非零向量a与〃，它们的夹角为。，把数量|a||"cos6叫

做向量a与〃的数量积(或内积)，记作a协，即a唠=|a|g|cos。.

17.投影向量：如图，设是两个非零向量，AB=a^CD=b,过万的起点Z和终点8,分别

作函所在直线的垂线，垂足分别为4,四，得到4瓦，这种变换称为向量。向向量b投影，4瓦

叫做向量a在向量b上的投影向量.

18.向量数量积的性质：设是非零向量，它们的夹角是，,e是与方方向相同的单位向量，则

(1)a*e=e,a=\a\cos0；

(2)a上boa,b=0；

9

(3)当。与〃同向时，=\a\\b\；当〃与〃反向时，ab=-\a\\b\9特别地，〃・〃=|标『或

|a|=”；

(4)由cos6-可得，|〃功；

八a,b

(5)cos0=--------

⑷|方|

19.向量数量积的运算律

(1)交换律:a-b=b-a；

（2）数乘结合律：（"）唠=2（。功）=。•（劝）；

(3)分配律：(a+=<rc+"c.

20.平面向量数量积的坐标表示:设向量。=（苞，必）"=（》2，%），则a•干

这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.

21.向量模的坐标表示：

（1）若向量a=（x，N）,则|a|=旧+/；

2—2

（2）若点N（X［，％），B（x2,y2）,向量AB=（x2-x］，8-乂），则|481=（x2—x；）+（jv2J^i）-

由此可知，向量的模的坐标运算的实质是平面直角坐标系中两点间的距离的运算.

22.向量夹角的坐标表示：设a"都是非零向量，a=（苞，%）"=（%，%）,。是“与〃的夹角,

°0'b

则2小

23.向量垂直的坐标表示：设向量。=（占，必），分=（%，％），则。，8=。沙=0=为％+%%=0.

【易错题练习】

1.已知a=(l,2),6=(3,-1),若(初-a)//(2a+b),则k=()

A.-lB-4c-tDl

2.在△ZBC中，为边上的中线，2次=无，则雇=（）

1—、5—、

A.--A8+-I4CB.——AB——AC

6666

5—■1--

C.--AB一一ACD.--A8+-ZC

6666

3.向量a=(l,3),b=(3x-l,x+l),c=(5,7),若(a+方)〃(a+c),Mc=ma+nb,则小+〃的值

为()

A.2B-iC.3D-1

点。在边上，且；则线段

4.已知△Z5C中，AB=\,AC=2,ABAC=60°,BCAD=3C,

AD的长度为（）

c.立

B.----

23

5.已知向量a,8满足|a|=l,\a+2b|=2,且(方―2a)，8,则仍|=()

A£>.-----D.1

-i2

—.——._.___.1—.~TR2AC

6.已知|Z8|=/,|ZC|=-.若尸是△/BC所在平面内一点，且2尸=^+^^,

t\AB\\AC\

则万-7近的最大值为()

A.13B.5-2V2C.5-2V6D.10+2V2

7.(多选)已知向量a=(l,3),8=(2/),(a+6)±a,则()

47T

A.6=(2,-3)B.向量ai的夹角为了

C.a+-b=V7D.a在办上的投影向量是（-1,2）

2

8.（多选）若正方形ABCD中，O为正方形ABCD所在平面内一点，且血=》万+yAD,x,yeR,

则下列说法正确的是（）

A.刀可以是平面内任意一个向量

B.若x+.v=l,则。在直线8。上

1—，1—>—>2—>1—»

c.若X=y=—,AP=-AO,则——AD+-AB

'2333

D.若厉+2砺+3历=0,则4的=6%BOC

9.设。为△48C所在平面内一点，AD=-^AB+^AC.^BC=WC（2eR）,则

X=.

10.在中，已知ZB=2,ZC=6,ZBAC=60°,BC,/C边上两条中线5N相交

于点尸，则/MPN的余弦值为

答案以及解析

1.答案：B

解析：因为心-a=(3k,-k)-(1,2)=(3k2a+:=(2,4)+(3,—1)=(5,3),且

(劫一a)〃(2a+8),所以(3A—1)x3—5(—左一2)=0,即14%=—7,解得左=—。.故选B.

2.答案：A

解析：如图，因为2次=历，所以次=[赤.由已知可得力=1•(方+就)，所以

—•1—■—-

AE=-(AB+AQ,

所以屉=衣-方△(方+痔-益=-*在+!就.故选A.

666

解析：由题意，得a+〃=(3x,x+4),a+c=(6,10).

因为(a+5)//(〃+c),所以30x=6x+24,解得x=l,

加+2〃=5in—1

则c=加a+〃〃=(私3冽)+(2凡2〃)=(加+2〃,3加+2”)=(5,7),即('解得<'故

3加+2〃=7,[〃=2,

加+〃=3.故选C.

4.答案：D

解析：由题意得通=诟+砺=商+-通)=§就+§益，因为|在|=1,\AC\=2,

ABAC=600,所以|力|=+g矶=^1|^C|2+||Z8|2+^AC-AB

=Jlx4+-xl+-x2xlxl=,即线段Z。的长度为冬8.故选D.

\999233

5.答案：B

解析：由S—2a)，6,^(b-2a)b=b2-2ab=0,所以/=2a•氏将|a+2"=2的两边同时平

方，得〃+4a・b+4b2=4,即1+2/+4/=l+6g/=4,解得|肝=；,所以0=苧，故选

B.

6.答案：B

解析：以N为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

(1、-752AC

则即,0),C0,-(r>0),-^=(1,0),-=-=(0,2),

It)\AB\MC|

所以定=(1,2),即尸(1,2),

故方=(7_1,一2),PC=^-l,i-2j,

所以而•卮=1—7+4—2=5—L+2]<5—2正，当且仅当/=2,即/=血时，等号成立.故选

t{tJt

解析：va=(1,3)，〃=(2,y),「.〃+〃=(3,3+y),

•「(a+〃)_La,3x1+(3+y)x3=0,

：.y=-4,=(2,-4),故A错误;

ablx2+3x(-4)6

cos(a,6)=

\a\-\b\~710-7202

47T

又〈3〉且0,兀],，向量跖8的夹角为彳,故B正确;

■.-a+16=(l,3)+(l,-2)=(2,l),a+^b=45,故C错误;

a在b上的投影向量为db=（_i,2）,故D正确.故选BD.

8.答案：ABD

解析：对于A,由题意XAD=xAB+yAD,x,jeR,以｛方,五万｝为基底的坐标

系中，根据平面向量基本定理易知近可以是平面内任意一个向量，故A正确；

对于B,由向量共线的推论知，若x+y=l,则。在直线8。上，故B正确；

对于C,由题设（方+砺），则舒=诟+丽」（在+疝5）,所以丽」方—之砺,

2666

故c错误；

对于D,由方+2无+3玩=0,则3（赤+双）=砺-刀=刀，作E为5c的中点，连接

贝|]6砺=而，即砺〃刀，且|砺|=口方如图所示，所以S2BC=6S会显,故D正确.故

9.答案：-3

解析：因为前=2皮(XeR),所以正—在=2公—2诟(XwO),即砺=—次+——AC,

AA

__»1_,4►11

又AD=——